준비 학습

과

. .

. .

.

. ,

.

Mankie icz, R., he Story of Mathematics

이

1

을 이용하여 이나 를 내 (string a r t) 학자 이자 학 자 (Boole, M. E., 1832 1916)

이 고 고 .

학 에서 학을 르 게 학생 이 을 보 게 하고 그 을 로

하 를 에 용 고 .

그 면 로 을 게 을 그 이 에 한 이 을 그 면 그 내 에 나타 .

이때 에 그 이 이 .

Michalowicz, K. D., Vita Mathemati a

http www-groups.dcs.st-and.ac.uk, 2019

1

, .

준비 학습

=3 ^, ` ^.

1

3 cm

A M B

쪽 동

, 동

.

2

B C

D

E F

4 cm

4 cm

5 cm 5 cm

의

.

생 로 에서 이 그 중 을 을 .

이 이 을 보자.

생각 서에 따라 이를 보자.

1 이를 AB를 .

2 A B .

3 이를 쳐 2 에서 을 C D라고 한 .

A B

C D

O 3

A B

O 1

A{B}

2

1. ^{CD AB .}

2. ^{CD O 지 지 .}

?

5쪽

x ^.

⑴

O

6 cm x cm

⑵

O 3 cm x cm

8 cm

1

문 제

그 이 O에서 AB 이 을 l ^l

O

A B

이라고 하면, A B로 에 l 에 . 따라서 A B로 에

중 O l 에 .

즉, 에서 이 그 중 을 .

이 중 에서 에 내 이 그 을 이 하 보자.

그 이 O 중 에서 AB에 내

O

A M B

을 M이라고 하면, OAM OBM에서 MA= OMB=90 ,

=OB ( ),

이므로 OAM OBM이 . 따라서

=

이 .

즉, 중 에서 에 내 그 을 이 한 .

이 을 하면 .

동 .

1 에서 이 그 중 을 .

2 중 에서 에 내 그 을 이 한 .

▶ A B AB

.

?

을 하여 한 에서 중 로 에 이 사이 를 보자.

이 을 하면 .

1 한 에서 중 로 에 이 .

2 한 에서 이 중 로 에 .

하 에서 이 한 에서 중 로 에 이 .

그 이 O 중 에서 AB

A C B

D

N O

M

CD에 내 을 M N이라고 하자.

이때 = 이면 AB^_= 을 하 고 한 .

1

2

AB^_= \ = \

3 1

2

쪽 O AB CD

M N ^. AB^_=

= ^.

2

문 제

A

B C

M D

N O

x ^.

⑴

O x cm

5 cm 4 cm 4 cm

⑵

O x cm 10 cm

12 cm 12 cm

3

문 제

쪽 O AB AC

, ABC= ACB ^.

4

문 제 A

B C

O

추론 태도 및 실천

생각이 크는 수학 생각이 크는 수학

쪽 .

지 .

세 학생 중에서 게 말한 사람을 찾고, 중 을 찾 을 보자.

니     

  .

이    

    .

정민

    .

의

.

O 한 P에서 이 에 그을 ^A

B P O

2 이 . 을 A B

라고 때, 이를 P에서 O에 그 이 라고 한 .

생 에서 = 을 . 이 이 이 을 보자.

생각 서에 따라 이를 보자.

1 이에 O를 그 고, 에 한 P를 .

2 P에서 O에 을 그 , 을 A B라고 한 .

3 OP를 로 하여 이를 .

O P

1 2

O A

B P

3

O B P

PA PB 지는지 인해 보자.

?

7쪽

지

지 .

O

그 이 O 한 P에서 이 _A

B

P O

에 그 을 A B라고 때, PAO PBO에서

PAO= PBO=90 ,

,

= ( )

이므로 PAO PBO이 . 따라서

=

이 .

즉, 한 에서 그 에 그 이 .

이 을 하면 .

한 에서 그 에 그 이 .

A B P O ^, x .

⑴ _A

B O

P 13 cm

x cm

5 cm

⑵ A

B

O P

x cm 4 cm 4 cm

1

문 제

그 이 O 한 P에서 _A

B P

5 cm x cm

O

이 에 그 이

므로

= = 이 . 따라서 x=5이 .

생각이 크는 수학 생각이 크는 수학

쪽 AB ^, m^, m

O AB ^.

1

2

추론

A

B E C

O F

D 6 cm

8 cm

ABC ABCD O ^, x ^.

⑴ A

B C

D

E O

10 cm F8 cm

12 cm x cm

⑵ A

B C

D

4 cm O

8 cm 2 cm

5 cm

x cm

2

문 제

쪽 O ABC A

B C

D

O E

F

5 cm

8 cm 7 cm

x cm

D, E, F . AB^_= , = ,

=7 , x .

풀이 AB^_, , O 이므로

= =

=AB^_- = - =3( )이므로 = =3

= = 이고 = + 이므로

3+x=7

따라서 x=4 4

1

예 제

제

기

을 이 자에 하 , 그

에 에 를 하게 하 하여

이 게 면이 사 자를 게 고 하 .

여 서 한 에 하여

보 로 한 .

그 이 면 이 3` m 2 게 면이 사 자를 고 때, 이 자 면 사 한 이 이 .

1

탐구 쪽 지 3

5

, .

3 cm

A O'

O B

3 cm

3 cm 6 cm

면 중 을 O O'이라 하고, 이 자 하 사 AOBO'을 그 면 OO' 이 이므로

= 6

rt2 ^{=3rt2 ( )}

따라서 이 자 면 사 한 이 ( 3rt2 ) 이 .

2

탐구 쪽 지 1

4 1 . 지

.

1 cm

1

의 의 수 의 관계 에서 의 수 이등분선은

A B

O M

그 의 중심을 지 다.

의 중심에서 에 수 선은 그 을 이등분한다.

, AB^_ 이면 =

의 의 의 의

관계

한 에서 중심으로부터 같은 ^A

B C

D

M N

O

거리에 있는 두 의 이는 같다.

, = 이면

AB^_=

한 에서 이가 같은 두

A

B

C

D

M O N

은 의 중심으로부터 같 은 거리에 있다.

, AB^_= 이면 =

2

의 한 점에서 그 _A

B P O

에 그은 두 선의 이는 같다. , =

그 에서 x 을 하 .

⑴

O x cm

14 cm

⑵

5 cm O

x cm 3 cm

01

기본 문제

그 에서 x 을 하 .

⑴

O

x cm

3 cm ⑵

O

9 cm 5 cm x cm 18 cm

02

그 에서 AB^_ 이고 =6` m, =3` m 때, 이를 하 .

04

문제

O

A M B

C 6 cm

3 cm

그 에서 AB^_ 이고 AB^_= 이 . =10` m,

=8` m 때, D 이를 하 .

05

8 cm O 10 cm A

B

C M D

그 이 O 중 에서 AB AC에 이르 고 B=58 때, x 를 하 .

06

O A

B 58^æ C

x

그 에서 A B P에서 O에 그 이 . =4` m, A B=60 때,

A B 이를 하 .

07

P O

A

B 60^æ 4 cm

그 에서 A B P에서 O에 그 때, x 을 하 .

03

B P x cm O

15 cm

8 cm

그 에서 O AB 내 이고 세 D, E, F 이 . AB^_=10` m, =14` m,

=12` m 때, x 을 하 .

08

D

E F

B C

O x cm

10 cm 12 cm

14 cm

그 에서 AB D O에 하고 E, F, G, H 이 . AB^_=8` m, =4` m,

=6` m, =5` m 때, x 을 하 .

09

O A

B C

D E

F H G 8 cm

5 cm

6 cm

4 cm x cm

그 에서 O A=90 ABC 내 이고, 세 D, E, F 이 . =6` m,

=   m 때, 에 하 .

⑴ O 이를 하 .

⑵ B 이를 하 .

11

문제

B C

A

D F

E O

6 cm 9 cm

그 에서 O 사 ABCD 세 하고, 세 E, F, G 이 . O

이고 =12` m, =15` m 때, 이를 하 .

12

제

O

G

A E

F

B C

D

H

12 cm 15 cm

그 에서 AB^_ O 이고 , , O 이 . =8` m, =5` m 때, AB^_ 이를 하 .

10

A B

C D

O

8 cm 5 cm

각

TV나 면 사이를 로 바라 을 ( , vie ing angle) 이라고 .

그 에서 A 면 면 을 바라보 , A

을 나 에 B C 이 . 생 하 에 A 에서

면 한 에 D에서 이

을 , 사 에서 이 고 바 에서 이 .

그 서 로 사람 을 이 하여 이

면을 로 이 면 면 . 면 면 , TV 이 면이나 에 이용 고 .

이 이 면 면 에서 을 찾 .

^{, 2018}

2

, .

기

쪽 x ^.

2

120^æ x^æ

.

준비 학습

⑴

50^æ 100^æ

O x cm

3 cm

⑵

120^æ x^æ O

2 cm 6 cm

1

A C

D B

의

.

O에서 에 P에 하여

A B

P

O

APB를 에 한 이라 하고, 를

APB에 한 호라고 한 .

O에서 면 그 호에 한 중 AOB 하나로 , APB P 에 따라

.

AB AB

.

생각 를 이용하여 이 보자.

1 을 이용하여 중 이 O이고 한 A를 나 을 그 .

2 을 이용하여 O 에 B P를 .

3 을 이용하여 OA OB를 고, 를 이용하여 A B 를 한 . 로 A B 를 한 .

11 2 3

1. P A B ^{지 .}

2. ^{A B A B 지 .}

?

A B

P O

O에서 에 한 APB 중 O P 에 따라 세 .

1 O APB

OAP = 이 이므로

A B

P

OPA= OAP O

이 . 이때 AOB OAP 한 이므로 AOB = OPA OAP=2 APB 이 . 따라서

APB=1/2 AOB 이 .

▶

.

2 O APB

그 이 PQ를 그 면 ¹에 하여

A B

P

Q O

APQ=1/2 AOQ, BPQ=1/2 BOQ 이므로 이 한 .

APB = APQ BPQ

=1/2( AOQ BOQ)

=1/2 AOB

생 에서 한 호에 한 고, 중 1/2 을 .

이 이 이 을 보자.

1 중 O APB 한 에

A B

P

O

2 중 O APB 내 에

A B

P

O

3 중 O APB 에

O

A B

P

3 O APB

중 O APB 에 에 APB=1/2 AOB 을 하 이 .

에 을 보자.

그 이 PR를 그 면 ¹ 에

A B

R O P

하여 이 한 .

APB = RPB-

=1/2( ROB- )

=1/2 AOB

x ^.

⑴

x 36^æ O

⑵

50^æ

x O

⑶

x 134^æ

O

1

문 제

하 에서 중 O APB 에 에 APB=1/2 AOB 을 .

이 을 하면 .

1 한 호에 한 . 즉,

O P

A

Q

B

=

2 한 호에 한 그 호에 한 중 1/2이 . 즉,

=1/2

180 .

풀이 그 이 O에 내 하 ABCD에서

O A

B C

D a

b

호 BCD 호 BAD에 한 중 을 a b 라고 하면

=1/2 a, =1/2 b 그 므로

=1/2( b)=180

로 B D=180

따라서 에 내 하 사 에서 한 180 이 .

이

생각

1

예 제

이 중 사이 를 이용하여 에 내 하 사 을 보자.

x ^.

⑴

O 35^æ x

⑵

O 45^æ x

2

문 제

O에서 때 중 AOB

A B

P

180^æ O

180 이므로, 에 한 90 을

. O에서 에 한 90 이면 이 .

x y ^.

⑴

x y 82^æ

62^æ O

⑵ x

y 38^æ 29^æ

O

3

문 제

1 한 에서 이 호에 한 .

2 한 에서 에 한 호 이 . 생 에서 COD= AOB=40 이고,

APB=1/2 AOB=20 , CQD=1/2 COD=20 이 . 따라서

APB= CQD

을 .

이 이 한 에서 이 호에 한 .

한 에서 호에 한 중

2 로 . 그 중 에 한 호 이 므로, 에 한 호 이 .

이 을 하면 .

. .

생각 그 에서 = 이고 A B=40 이 .

A

B C

D

P Q

O 40^æ

1. ^{D .}

2. A B D ^.

?

x ^.

⑴

23^æ x^æ

O 4 cm

4 cm

⑵

32^æ

58^æ O

x cm 7 cm

4

문 제

x ^.

⑴ 40^æ60^æ

8 cm x cm O

⑵

29^æ

58^æ 3 cm

x cm O

5

문 제

한 에서 호 이 그 호에 한 중 에 하므로 그 호에 한 에 한 .

생각이 크는 수학 생각이 크는 수학

ythagoras^, B^.C^. 569 B^.C^. 475 )

.

이    

    .

    이니까

B D DE

 이  

  . A

C

B P Q

D O E

O에 내 하 그 을 이 서 그 을 보 사람이 나 이

. AD 를 사람 로 보자.

학

186 의 예제 1로부터 에 하는 사각형에서 한 의 대각의 기의 합은 180 을 알 다.

이제 알지 매스를 이용하여 사각형이 에 할 을 확인해 보자.

➊ 을 이용하여 세 점 A, B, C를 지나는 을 그 다.

을 이용하여 위의 한 점 D를 잡고, 을 이용하여 에 하는 사각형 ABCD를 그 다.

이때 를 이용하여 의 기를 측정한다.

같은 으로 의 기를 측정하여 =1 0

을 확인한다.

을 이용하여 에서 그 의 부에 한 점 E를 잡고, 와 같

은 으로 의 기를 측정하여 의 을

구한다.

을 이용하여 에서 그 의 부에 한 점 F를 잡고, 와 같

은 으로 의 기를 측정하여 의 을

구한다.

1

탐구 활동 180 .

추론

2

탐구 쪽 A, B, C 지 D,

E, F .

⑴ , , 중에서 을 찾

보자.

⑵ ⑴을 이용하여 = X를 로 사

ABCX 에 내 을 보자.

생 에서 그 을 나 이 이 BAT 호 AB에 한 B A 을 .

이 이 이 을 보자.

의 과

.

생각 를 이용하여 이 보자.

1 을 이용하여 중 이 O이고 한 A를 나 을 그 , 을 이용하여 A를 나 O 을 그 고 그 한 T를 .

2 을 이용하여 O 에 B C를 .

3 을 이용하여 AB를 고, 를 이용하여 BA 를 한 . 로 B A 를 한 .

1 2 3

B ^이 BAT B A ^{이 어} 는지 말해 보자.

?

O A를 나 AT AB 이 BAT 그 에 따라 세 .

1 BAT 2 BAT 3 BAT

A B

C

T O

A B

C

T O

A B

C

T O

2 BAT

그 이 AD CD를 그 면

A

D B

C

T O

DAT= D A=90 이므로

BAT=90 - BAD, B A=90 - BCD 이 .

그 BAD BCD 에 한 이므로

BAD= BCD

이 . 따라서

BAT= B A

이 .

▶

.

1 BAT

AB^_ O 이므로 B A 에 한 이 . 즉,

B A=90 이 . 따라서

BAT= B A

이 . ^A

B

C

T O

3 BAT

O A를 나 AT AB 이 BAT 에 BAT= B A 을 하 고 한 .

1

A B D

C

T O

때, 에 을 보자.

BAT= BAD

B A = BCD

2

3

하 에서 BAT 에 BAT= B A 을 .

이 을 하면 .

그 을 나 이 이

A

B C

T O

그 내 에 호에 한 . 즉,

=

AT O A ^, x ^.

⑴

A C B

T O 58^æ

x

⑵

A

B

C

T O

65^æ x

1

문 제

쪽 AT O A

, x y ^.

2

문 제

42^æ O 29^æ

x

y 70^æ A C B

D

T

쪽 O A ^지 AT

BC ^.

⑴ 이 을 하 .

⑵ 때 이

말하 .

3

문 제

A C B

T O

이 ?

고 그 학자이자 학자 (Thales, B.C. 624 B.C. 546 )

.

▶

1. 지 .

2. 지 90 ^.

한 , , 그 고 에 한 내용 이 (Eu id, B.C.

325 B.C. 265 ) 에 , 이를 면 이 3 에 .

지

.

( Bur ton, D. M., The History of Mathematics An Introduction itzpatrick, R., Eu id s Elements of Geometry )

1

O^에서 AB ^{위에 있}

A O P

B

지 않은 위의 점 P^{에 대하여} A B^를 AB^{에 대한 주각} 이라고 한다.

의 관계

한 에 대한 주각의 기는 모두 같다.

한 에 대한 주각의 기는 그 에 대한 중 심각의 기의 1/2이다.

의 의 의 관계

한 에서 이가 같은 에 대한 주각의 기는 같다.

한 에서 기가 같은 주각에 대한 의 이는 같다.

2

의 선과 그 점을 지나는

A C B

T O 이 이루는 각의 기는 그 각의

부에 있는 에 대한 주각의 기와 같다. ,

BA B A

그 에서 x 를 하 .

⑴

O 150^æ

x ⑵

O x

114^æ ⑶

110^æ

30^æ x

01

기본 문제

그 에서 AT O 이고 A 때, x 를 하 .

03

O

A C B

T 65^æ

x

그 에서 x 를 하 .

02

O 32^æ

x 7 cm

7 cm

그 에서 x 을 하 .

⑴

O 40^æ 20^æ

5 cm x cm

⑵

24^æO x^æ

3 cm 3 cm

06

그 이 O AC BD 을 E 라 하고, AD BC 을 P라고 하자.

DB =60 , DE =75 때, x 를 하 .

04

문제

A

B C

O D

P

E x 60^æ

75^æ

그 에서 AB=2 A이고 2BC=3 A 때, A, B, 를 하 .

08

A O

B C

그 이 O에 내 하 사 ABCD에 하여 AB =75 , AD=25 때, x 를 하 .

07

B

D

C O

25^æ 75^æ x

그 에서 O 이고 A D=50 때, x 를 하 .

05

O A

C

B D

50^æ x

그 에서 x 을 하 .

⑴ ⑵

그 에서 BE O 이고, B 이 . DAB=105 , DB =40 때, BE 를 하 .

10

A

B

C D

E 105^æ O

40^æ

그 이 O BA CD 을 E, AD BC 을 F라고 하자. E=46 , F=38 때, x 를 하 .

12

제 A

B O C

D E

38^æ F x

46^æ

그 이 O에 내 하 ABCDE에서 A=96 , D=112 때, x 를 하 .

11

문제

A O

B C

D E

96^æ 112^æ x

그 에서 AT O 이고 A 때, x y 를 하 .

09

O

A T

B C

D 36^æ

32^æ

x y

이 이

을 이용하면 에서 이 이 를 .

쪽 O A

B C . O D =12 ,

A O . O

A B

C

D 126^æ

중심각과 원주각 사이의 관계를 이용하기

ABOC 내 360 이 . 그

O

A B

C

62^æ D

= =

이고

=2 =

이므로,

=3 0 -( )=

원의 접선과 현이 이루는 각의 크기를 이용하기 그 에서

O

A B

C

62^æ D

AB = BD =

그 AB^_= 이므로 AB 에서 A B= AB =

따라서 A=180 -2\ =

쪽 O A

B C .

O D = 2 , A

O 지

. .

O

A B

C

62^æ D

04

O A

C D

B

30^æ 6 cm

O 중 에서

AB CD에 이르 을 때, O 이

6 ^2 9 ^2 12 ^2 15 ^2 18 ^2

06

O A

P

R

B Q C

9 cm

7 cm

12 cm

O AB 내

이고 세 P, Q, R 때, AB 이를 하 .

01

O

A B

13 cm 8 cm

AB^_ 이

1 20 22 24 2

02

O M

A B

C

D 10 cm 4 cm

이 O

AB CD 로 . =10` m,

=4` m 때, 이

2rt 4rt rt 2rt10 4rt10

03

O A

B C

52^æ

O 중 에서

AB AC에 이르 . A=52 때,

B 를 하 .

05

.

O A

B P

5 cm 4 cm

11

O A

B

C D P

E 31^æ 20^æ

x

이 O

AD CB 을 E 라 하고, AB

CD 을 P라고 하자.

BAD=20 ,  B D 3 때, x 63 65 67 69 71

07

O A

B

C D

E 9 cm

10 cm 8 cm

O AB 내

이고 O에 때, ADE 이를 하 .

09

O 130^æ x

y A

B C

D

x+ y

300 310 320 330 340

12

A O

B C

D

x

AB D 이

O 이 1/

1/4이 . x 를 하 .

08

O A

B C

D

8 cm 6 cm

9 cm

AB D O에

때, 이를 하 .

10

O A

P B

65^æ

O 때, x x

를 하 .

13

O

A T

B C

52^æ

65^æ x

AT O 이 고 A 때,

x

61° 62°

63° 64°

65°

[17~20] 서술형　

17

O

A B

C M D

6 cm 2 cm Â2 cm

이 중 이 고

이 서로 에서

AB^_ , =6` m,

=2` m, =rt2` m 때, 이를 하 .

18

P O

A

B 60^æ

서 A B 6 cm

P에서 O에 그 때,

OAB 이를 하 .

16

O

A B

C

D

72^æ

B C A에

서 O에 그 이 . O D에 하여

= 때, ABD

116 117 118 119 120

15

O

A D

B

C T

38^æ 102^æ

CT O 이 고 C 때,

D 를 하

.

14

O

A

B C

D

30^æ T y

44^æ x

AT O

이고 A 때, x+ y 을 하 .

20

O A

B C

D

E F 46^æ

50^æ

O AB 내

에 DEF 이 . 세 D, E, F 이고 A=46 , DFE=50 때, EDF 를 하 .

19

A B

C D

30^æ

67^æ O

AB B 때, ABD

를 하 .

자기 평가 , 의 성

, 계 .

18 ~20 15 ~17

12 ~14 0 ~11

문

01 02 03 04 17 05 06 07 08 18 09 10 11 12 19 13 14 15 16 20

수학

이 기

에서 우리가 하는 만 고 한 을 만 는 것은 가 하 지만, 지 은 우수한 공 학 기 로 매우 큰 형 구 물을 만들어 수 있다.

여기서는 우리나라에서 아볼 수 있는 큰 형 구 물을 보기로 한다.

( qua Art)

서울 예 의 전당 근처에 있는 이 교의 입구에는 지 의 이가 24`m인 형 구 물이 비스 세 져 있다. 이 형 구 물은 리 로 만들어져 있으며 그 위를 물이 르고 있는 예 형물이어서

아 아 아 라는 이 으로 부른다.

특 , 형 구 물을 가로지르는 여러 개의 기 과 선들이 에서 의 구 를 보여 주고 있으며, 도로 표면은 마치 형 구 물의 선처 보인다.

( 동 , 2013 3 27 )

시와 중도를 연결하는 966`m 이의 사 교인 대교는 2017년 에 공되었는데, 우리나라에서는 처음으로 주 을 지 의

이가 45`m인 형으로 만들어서 로운 공 과 특별한 형미 때 에 관심을 고 있다.

특 , 주 을 가로지르는 다리의 상 에서 에 그어진 의 구 를 아볼 수 있다.

( , 2017 11 13 )

( he O)

’는 2012년에 여수세계박람회 바다의 파제를 지와 연 결해 만 해양 화 공간 (Big O) 에 치되어 있는 형 구 물로 지 의 이가 35`m이다.

는 에 치된 24개의 분사구에서 어 는 물 표면이 스 역할을 하며, 이 위에 화려한 상을 비 각 멀 미 어 비 들로 구 되어 있다.

( , 2012 5 3 )

펼쳐라 어 요

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, , 지

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사용하는 형태의 바이 은 16세기 초 이 리아의 지 에서 처음 만들기 시작 다 고 합니다.

기타에 비해서 바이 의 통은 다소 복잡한 여러 가지 선으로 이루어져 있는데, 초기의 바 이 제작가는 통을 어 으로 자인 을까

바이 의 통을 자인할 때 다양한 기의 에 여러 개의 과 선을 그려서 한 선 을 만들어 수 있습니다.

통의 부분과 아 부분은 기가 같은 두 개를 [그 1]과 같은 비 로 각각 그려서 정하고, [그 2]와 같이 가지 선을 이용하여 통의 이를 정합니다. 또한 다양한

기의 을 작도하여 통의 구리 부분을 하게 됩니다.

바이 의 부분 모양을 자인할 때도 통과 마찬가지로 다양한 기의 을 이용하여 선을 만들어 니다. 이와 같이 의 은

기를 자인하는 데 매우 중 하게 이는 도구입니다.

( Newsquest, The Strad The Strings , 2017 9 13 )

세기 초 이 리아의 지 에서 처음 만들기 시작 다

초기의 바

바이 의 통을 자인할 때 다양한 기의 에 여러 개의 과 선을 그려서 한 선

과 같은 비 로 각각 그려서

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