6주차: 도형의 지도(1)
광주교육대학교 수학교육과 이 대 현
수학과 교육 2-강의 자료
학습 내용: 도형 지도의 의의
✔도형: 수와 연산의 지도와 더불어 초등 수학의 기본적인 학습 영역 평면도형과 입체도형
도형과 그 성질을 탐구
✔도형 지도의 초기 단계:
구체물을 제시하여 여러 가지 활동을 통해 기본도형의 개념과 그 성질을 이해하고, 점진적으로 형식화하여
그들 사이의 상호관계를 이해하도록 지도
[탐구] 초등학교에서 다루는 도형 개념에 대해 조사해 보아라.
학습 내용: 도형의 지도 단계
학년
영역 1학년 2학년 3학년
도 형
․입체도형의 모양
․평면도형의 모양
․기본적인 평면도형
․입체도형의 구성
․각과 평면도형
․평면도형의 이동
․원의 구성요소
4학년 5학년 6학년
․각과 여러 가지 삼각형
․다각형의 이해
․직육면체와 정육면체의 성질
․합동
․대칭
․각기둥과 각뿔의 성질
․원기둥과 원뿔의 성질
․여러 가지 입체도형
학습 내용: 기하의 역사(1)
✔기원전 6세기 경: 고대 그리스 시대, 수학이 학문으로 주목
✔고대 이집트: 나일강에 홍수, 토지의 경계가 없어져서 경작지를 본래대로 복원 토지를 측량하는 기술이 발달
토지를 뜻하는 ‘geo’
측량한다는 ‘metry’로 이루어진 기하(geometry)
기원전 2900년 경 초기 이집트의 피라미드 건축: 기하와 측량술에 대한 중요한 지식
✔아메스 파피루스: 대영 박물관의 Rhind 수집품 (Ahmes, B.C. 1680?~1620?) 현재까지 알려져 있는 세계 최고의 수학책
신관문자로 분수의 계산을 표기, 일차방정식과 이차방정식 여러 가지 기하문제
원주율인 π를 π=3.1604ㆍㆍㆍ를 이용
학습 내용: 기하의 역사(2)
✔그리스의 탈레스(B.C. 640~546)
=실용적인 수학을 근거로 해서 이론적 연구
=기하학을 그리스에 소개, 피라미드 그림자를 측정하여 실제 높이 측정 =추상적이고 일반적인 도형의 성질을 연구하는 추상과학의 길을 개척
✔피타고라스(Pythagoras, B. C. 572?～492?) =기하와 수론과의 연관성을 연구
=직각삼각형의 변의 길이를 나타내는 정수를 찾아내는 방법을 생각
✔플라톤(Platon, B. C. 427?～347)
아리스토텔레스(Aristoteles, B. C. 384～322)
=추론의 형식, 정의, 공리에 대한 연구를 추진하여 연역적 전개 방법을 확립
학습 내용: 기하의 역사(3)
✔유클리드(Euclid, B. C. 약 300년경) =「원론」(Elements) 13권을 저술
=당시까지의 기하학의 지식을 집대성하여 하나의 논리적 체계를 완성 =역사상 처음으로 수학을 논리적으로 정리하여 체계화한 것
=19세기 말까지 교과서로 활용
=공리에서 출발하여 차례로 정리를 증명하여 체계화한 것
=23개의 정의, 5개의 공준, 5개의 공리를 제시한 다음, 이것을 기초로 하여 정수론, 평면기하, 공간기하, 기하적 대수 등에 관한 465개의 명제를
논리적으로 다루고 있다.
[토론] 유클리드 원론의 가치와 수학의 역사에 끼친 영향을 조사하여 보아라.
학습 내용: 도형 교육의 목표
✔도형: 물체에는 색, 광택, 부드러움, 딱딱함, 형, 크기, 위치 등 여러 가지 속성이 존재
그 가운데서 형과 위치, 그리고 크기만을 추상화한 것 : 보이는 물체만이 아니고, 이상화된 대상을 다룬다.
(예) 완전한 직사각형이란 존재하지도 않고 만들 수도 없는 것이다.
1) 기본적인 평면도형이나 입체도형을 알고, 이들의 성질을 이해한다.
2) 기본적인 도형지도를 통하여 공간개념의 이해를 깊게 한다.
3) 도형이나 공간에 관하여 수학적으로 고찰하고 처리하는 능력을 기른다.
학습 내용: 도형 개념의 형성
✔개념의 구성: 내포와 외연
외연: 한 개념이 지시하는 모든 대상들의 전체 집합을 의미하는 것
(예) 평행사변형의 외연: 직사각형, 정사각형, 마름모와 같은 특수한 평행사변형과 전형적인 평행사변형들로 이루어진 평행사변형 전체를 의미
내포: 한 개념에 해당되는 대상들이 가지고 있는 공통적인 성질을 의미 (예) 평행사변형의 내포는 일반적으로 5가지 성질
✔도형의 개념 지도
=외연에 의해 몇 개의 도형을 주고, 그것을 시각적·감각적으로 분류하도록 하고, 내포에 의해 분류된 도형에서 공통적인 성질이나 특징을 찾아내도록 한다.
학습 내용: 도형 개념의 지도
✔도형 개념의 형성 지도에 있어서는 보통 다음 세 가지를 중요시
① 도형 개념이 갖고 있는 속성(내포)을 파악하는 일이다.
=구체물을 보는 관점을 분명히 할 필요
=구체물의 어느 속성에 착안하는가에 따라서 추상화되는 것과 사상(捨象) 되는 것이 구별되어 그 도형 개념이 갖는 속성(공통 성질)이 분명해진다.
=몇 개의 속성을 파악해 두는 것은 개념 형성에 있어서 불가결의 조건
② 도형 개념이 갖는 표상(image)을 만드는 일
=도형이 눈앞에 없어도 그 도형의 표상을 그릴 수 있도록 하는 것
③ 도형 개념이 갖는 범위(외연)를 포착하는 일
=그 도형 개념이 가리키는 대상 전체, 즉 그 개념의 적용 범위를 명백히 포착되도록 하는 것
=①, ②의 경우를 서로 관련시켜 그 도형 개념이 판별되도록 하는 것
학습 내용: 대상 개념 지도
ㆍ구체물에서 모양(형)을 추상하는 단계:
학생의 관점에서 구체물을 스스로 분류하게 하여 모양에 대한 친밀감을
갖게 하여 주변의 구체물에서 모양(형)을 추상화하는 힘을 갖게 한다는 것이다.
ㆍ구성 요소에 착안하여 내포와 외연을 명확히 하는 단계: 꼭지점의 개수나 변의 개수를 헤아려서 명칭을 붙여보고, 다른 도형과 분명히 구별할 수 있도록 한다.
ㆍ대각선이나 각 등의 구성 요소간의 관계에 착안하여 개념을 풍부하게 하는 단계: 대각선이나 각에 의한 내포에 주의하여 개념을 풍부하게 한다.
학습 내용: 관계 개념의 형성
ㆍ도형의 상호관계에서 관계개념을 형성하는 단계: 도형을 몇 개의 도형으로 분해하든지 이동하든지 포개(겹쳐)서 맞추어 보든지, 한쪽을 확대(축소)하는 조작활동에 의해서 변이나 각의 상등관계, 합동, 대칭개념을 형성한다.
ㆍ내포의 상호관계를 고찰하여 도형 상호간의 포함관계를 형성하는 단계:
‘도형 A는 도형 B의 성질을 모두 갖고 있다’, 혹은 ‘도형 A의 내포는 도형 B의 내포에 조건을 더한 것이다’라는 것에서, 도형 A가 도형 B의 특수인 것을 이해하도록 한다.
ㆍ도형의 위치관계에서 관계개념의 형성: 평행이나 수직의 개념은 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면 등이 서로 만나지 않는다든가 직각으로 만난다든가 라는 위치의 관계에서 표현되는 개념이다.
학습 내용: 입체 도형의 개념 형성
ㆍ공간도형의 개념형성에서 학생들이 느끼는 공간도형은 어른들이
인식하는 것과 다르기 때문에, 그것에 대한 능동적인 활동이 매우 중요하다.
ㆍ조작활동의 반복에 의해서 점점 공간도형이 심상으로 머릿속에 표상되도록 한다.
학습 내용: 정의의 지도(1)
✔정의: 용어의 의미를 일의적으로 정하는 것 도형 지도의 주안점
✔용어를 정의할 때는 다음에 주의
① 도형을 구성하는 요소나 조작에 관심을 갖고 용어를 정의해야 한다.
② 정의하는 방법은 여러 가지 방법이 있을 수 있다는 사실을 알고, 또 정의한 내용은 간단 명확해야 한다.
③ 정의는 그 용어가 갖는 성질을 구별할 줄 알아야 한다.
학습 내용: 정의의 지도(2)
ㆍ공리적 정의: 수학의 공리와 같이 약속해서 결정하는 것으로 정의한다.
예를 들면 삼각형의 ‘높이’에 대한 정의를 내리기 위해 삼각형의 구성 요소 인 변과 꼭짓점에 관한 약속이 있은 후, 삼각형의 높이는 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선의 길이로 정의한다.
ㆍ내포적 정의(논리적 정의): 내포들 중 특징적인 성질을 이용하여 개념을 정의 하는 것으로 최근류(最近類)와 종차(種差)에 의한 정의이다. ‘직사각형은 네 각이 직각인 사각형이다.’에서 직사각형의 상위 개념인 사각형이 최근류이 고 이 둘을 구분해 주는 ‘네 각이 직각’이라는 속성을 종차라 한다.
ㆍ예시적 정의: 저학년에서 사용되는 정의로서 구체적인 예를 들어 정의한다.
예를 들면 ‘성냥 곽과 같은 모양을 직육면체라고 한다.’는 예시적 정의다.
이에 (직육면체) ≠ (성냥 곽)을 인식해야 하며, 추상적인 지도를 덧붙이는 것이 바람직하다.
학습 내용: 학습 내용 정리
기하학의 역사를 조사하여 보아라.
도형 지도 방법에 대해 논하여라.
개념 형성 학습 모형에 따라 삼각형의지도 방안을 논하여라.
도형의 개념지도 시 주의점에 대해 토론하여라.
개념의 정의 방법에 대해 예를 들어 보아라.
