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2009年 8月

敎 育 學 碩 士 (數 學 敎 育 )學 位 論 文

도 형 과 그 래 프 의 교 수 ․ 학 습 방 법 연 구

조 선 대 학 교 교 육 대 학 원

수 학 교 육 전 공

최 다 희

도 형 과 그 래 프 의 교 수 ․ 학 습 방 법 연 구

A st udy on met hodsoft eachi ng andl ear ni ng ofFi gur esandGr aphs

2009 년 8월

조 선 대 학 교 교 육 대 학 원

수 학 교 육 전 공

최 다 희

도 형 과 그 래 프 의 교 수 ․ 학 습 방 법 연 구

지도교수 김 남 길

이 논문을 교육학석사( 수학교육) 학위 청구논문으로 제출함

2009 년 4 월

조 선 대 학 교 교 육 대 학 원 수 학 교 육 전 공

최 다 희

최다희의 교육학 석사학위 논문을 인준함.

심 사 위 원 장 조 선 대 학 교 교 수 황 혜 정 인

심 사 위 원 조 선 대 학 교 교 수 김 남 길 인

심 사 위 원 조 선 대 학 교 교 수 이 관 규 인

2009 년 6월

조 선 대 학 교 교 육 대 학 원

ABSTRCT

A st udy on met hodsoft eachi ng and l earni ng ofFi guresand Gr aphs

ChoiDa-hee

Advisor:Prof.Nam-GilKim Ph.D.

MajorinMathematicsEducation

GraduateSchoolofEducation,ChosunUniversity

‘The application of mathematics' was newly introduced as an optional subjectforhigh schools in the 7th revision ofmathematics curriculum in Korea.

'The application of a mathematics' is the subject that one can meet questions requiring a wide range of thinking and creatively solve them throughit,relatingtoeverydaylife.

As an optionalsubject,it willresult in plenty of educationaleffect if accompanied by proper ways following learning aim.However,we have difficulty in both how to teach and evaluate it how that it is initially

conducted.

Therefore,the study has been carried outwith 'Discrete mathematics'in ordertosee'FiguresandGraph'in thecontentsof「 theapplication ofa mathematics」.

Further,the study covered questions outofeveryday life,open to wide applicationandeasyapproachforstudents.

- 목 차 -

ABSTRACT

Ⅰ .서 론 ···1

A.연 구 의 필 요 성 과 목 적 ···1

B.연 구 의 내 용 및 방 법 ···3

C.연 구 의 제 한 점 ···3

Ⅱ .이 론 적 배 경 ···4

A.제 7차 수 학 과 교 육 과 정 개 정 안 에 서 의 수 학 의 활 용 ···4

B.이 산 수 학 의 개 념 과 역 사 ···8

Ⅲ .이 산 수 학 에 서 의 도 형 과 그 래 프 및 도 형 과 그 래 프 의 지 도 방 안 과 실 생 활 의 예 ···10

A.도 형 과 그 래 프 의 지 도 방 안 및 이 산 수 학 에 서 의 도 형 과 그 래 프 ···11

B.도 형 과 그 래 프 의 실 생 활 의 예 ···21

Ⅴ .결 론···32

참 고 문 헌···34

Ⅰ .서 론

A.연 구 의 필 요 성 과 목 적

현 재 우 리가 살고 있는 사회 는 급속 도로 변화 하는 정보 화 사 회라 고 말 할 수 있 다 .변 화 의 가 장 큰 이 유 는 컴 퓨 터 의 발 명 과 발 전 ,인 터 넷 의 개 발과 폭 발적 대 중화 ,정보 통신 기 술의 급 진적 발달 등 으로 현 대사 회의 발 전과 변화 를 촉진 시키 고 있다 .이 러한 사 회 환경 의 변 화로 인 해 학교 교 육에 서의 요 구도 달 라지 고 있다 .정보 통신 의 발달 로 지 식의 상 호 교환 이 원활 해지 면서 통신 기계 를 통 해 단 편적 이고 사실 적인 지식 과 정 보를 손 쉽 게 구 할 수 있 음 에 따 라 정 보 를 효 율 적 으 로 공 유 하 고 분 석 하 고 종 합하 는 능 력이 강조 되고 있 다(석 상호 ,2002).

이 러 한 사 회 의 변 화 에 서 학 교 교 육 은 그 어 떤 분 야 보 다 사 회 변 화 에 앞 장서 서 이끌 어 나갈 인 재양 성에 중 점을 두 어야 함 은 당연 한 것이 다.

이 에 적 합한 학교 교육 은 단 순히 기능 인의 양성 보다 는 자 기 주 도적 으로 지 적 가치 를 창조 할 수 있는 자 율적 이고 ,창 의적 인 인 간의 육 성에 그 중 점을 두어 야 한 다.

이 러 한 추 세 에 따 라 올 해 부 터 시 행 하 게 된 제 7차 수 학 과 교 육 과 정 개 정안 은 제 7차 수 학과 교육 과정 의 문제 점을 보안 하고 현실 에 맞 게 수 정 하여 나온 교육 과정 이다 .

제 7차 수학과 교육과정 개정안에서는 학생들이 구체적인 경험을 근거로 하 여 여 러 가 지 현 상 을 수 학 적 으 로 해 석 하 고 조 직 하 는 활 동 을 통 해 구체적인 사실에서 추상화 단계로 점진적으로 나아가는 과정과 직관이나 구체적인 조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학적 경험을 통하여 형식이나 관 계를 발견 하고 수 학적 개 념,원리 ,법 칙 등을 이해 할 수 있도 록 하고 있 다.

또한 수학적 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명확히 이해하고 합리적인 해 결 계획 을 세 워 실행 하며 반성 을 통하 여 풀 이 과정 을 점 검하 고 다양 하 게 활 용 하 는 태 도 를 기 르 도 록 하 고 있 으 며 수 학 적 지 식 과 기 능 을 활 용하 여 실 생활 의 여 러 가지 문제 를 해 결해 봄 으로 써 수 학의 필요 성과 유 용 성 을 인 식 하 고 수 학 학 습 의 즐 거 움 을 경 험 함 으 로 써 수 학 에 대 한 긍 정적 인 태 도를 갖도 록 하고 있다 .

그 런 의미 에서 실 생활 과 밀 접하 게 관련 된 내 용을 다 루는 과 목인 ‘수 학의 활 용’이 개 설되 었다 .‘수학 의 활 용’은 국민 공통 기본 교 육 기 간인 고등 학 교 1학 년까 지의 수 학을 학 습한 학생 이면 선 택할 수 있는 과 목으 로,

‘수학 의 활 용’에는 명 제와 논 리,지수 와 로그 ,수 열,확률 과 통계 ,도 형과 그 래프 등 4개 의 영 역으 로 내 용을 구 성하 고 있 으며 수학 학습 에서 습득 된 지 식 과 기 능 을 활 용 하 여 실 생 활 의 여 러 가 지 상 황 을 수 학 적 으 로 간 결하 게 표 현하 고 처 리할 수 있도 록 하 는 데 중 점을 둔다 ,

따 라 서 본 연 구 에 서 는 학 습 자 의 자 율 과 선 택 의 폭 을 중 시 한 제 7차 수학과 교육과정 개정안의 선택과목인 ‘수학의 활용’(특히 ‘도형과 그래프’

단원을 중심으로)에 대한 내용을 7차 교육과정에서 선택과목인 이산수학 에서 그래프단원을 비교하여 연구하였으며 수학교육의 목표에 일치하도록 학습하는 구체적이고 실제적인 지도방법을 제시하는 것에 그 목적을 둔다.

B.연 구 의 내 용 및 방 법

앞에서 제시한 연구 목적과 필요성에 따라 본 논문 연구 내용을 살펴보면 제 Ⅰ 장 서 론 에 이 어 제 Ⅱ 장 에 서 는 제 7차 교 육 과 정 개 정 안 에 서 의

‘수학 의 활용 ’에 대 해 알아 보고 또 한 이산 수학 의 개 념과 역 사를 문 헌을 통 해 간 단하 게 알 아보 았다 .

제 Ⅲ장에서는 이산수학에서 도형과 그래프 및 도형과 그래프의 지도방안과 실 생활 의 예 를 알 아보 고 제 Ⅳ 장에 서는 결론 을 제시 하였 다.

C.연 구 의 제 한 점

첫 째,본 연구 는 아 직 실 행하 지 않 은 제 7차 수 학과 교육 과정 개정 안에 바 탕 을 두 고 연 구한 것 이 므 로 이 교 육과 정 이 내년 에 실 제 학 교 현 장에 어떻 게 적 용되 는지 에 대해 서 확 실히 알 수가 없다 .

둘째,‘수학의 활용’이라는 교과목이 이번에 새롭게 개설된 과목이고 아직 교 과 서 가 출 판 되 지 않 은 상 태 여 서 자 세 한 내 용 을 알 수 없 어 제 7차 수학 과 교 육과 정 개정 안에 바탕 을 두 고 연구 하였 다.

셋째,본 연구는 실제 학교에서 연구한 것이 아니므로 지도안이 학생들에게 얼 마나 효과 적일 지 검증 되지 않 은 상태 이므 로 실제 학 교 현장 에서 적용하여 지도할 때 나타나는 문제들을 수정,보안 할 필요가 있다.

Ⅱ .이 론 적 배 경

A.제 7차 수 학 과 교 육 과 정 개 정 안 에 서 의 수 학 의 활 용

1)‘수 학 의 활 용 ’성 격

‘수학 의 활용 ’은 국민 공 통 기본 교 육 기간인 고등학 교 1학년 까지의 수 학을 학 습 한 학 생 이면 선 택 할 수 있 는 과목 으 로,실 생활 에 필 요한 수 학적 지 식 과 기 능 을 습득 하 도록 하 는데 적 합 하다 .‘수 학의 활 용’의 학습을 통하여 실생활의 여러 가지 문제를 수학의 관점에서 이해하고 합리적으로 해결하는 능력을 신장시키며,수학에 대한 관심과 흥미를 길러 수학에 대한 긍정적 태도를 기를 수 있다.

‘수학의 활용’의 내용은 ‘명제와 논리’,‘지수와 로그’,‘수열’,‘확률과 통계’,

‘도형과 그래프’의 영역으로 구성된다.

‘수 학 의 활 용 ’의 교 수 ․학 습 에서 는 고등 학 교 1학 년까 지 의 수 학 에서 습득한 수학적 개념,원리,법칙을 토대로 하여,실생활의 여러 가지 문 제를 수학적으로 관찰,조사,탐구,분석하는 활동을 통하여,자기 주도 적 으로 문 제 를 해 결 할 수 있 도 록 하는 데 중 점을 둔 다.이 과 정 에서 여러 가지 현상을 수학적으로 해석하고 조직하는 활동,구체적인 사실에서 점진적으로 추상화로 나아가는 과정,직관이나 구체적인 조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학적 경험을 통하여 형식이나 관계를 발견하는 것이 중요하다.

또한 수학적 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명확히 이해하고 합리적인 해 결 계 획 을 세 워 실 행 하 며 ,반 성 을 통 하 여 풀 이 과 정 을 점 검 하 고 다 양 하 게 활 용 하 는 능 력 을 기 르 도 록 한 다 .수 학 적 지 식 과 기 능 을 활 용 하 여 여 러 가 지 문 제 를 해 결 해 봄 으 로 써 수 학 의 필 요 성 과 유 용 성 을 인 식 하 고 , 수 학 학 습 의 즐 거 움 을 경 험 해 봄 으 로 써 수 학 에 대 한 긍 정 적 인 태 도 를 갖 게 한 다 .‘수 학 의 활 용 ’에 서 는 계 산 기 나 컴 퓨 터 를 활 용 하 여 계 산 의 복 잡 성 에 얽 매 이 지 않 고 학 생 에 게 의 미 있 는 내 용 을 지 도 할 수 있 도 록 한 다 .

2)‘수 학 의 활 용 ’목 표

수학 적 개 념,원 리 ,법 칙 을 활용 하 여 수학 적 으 로 사 고 하 고 의 사 소 통 하 는 능 력 을 길 러 ,여 러 가 지 문 제 를 합 리 적 이 고 창 의 적 으 로 해 결 하 며 수 학 의 실 용 성 을 인 식 하 여 수 학 에 대 한 긍 정 적 태 도 를 갖 는 다 .

가 .실 생 활 상 황 속 에 서 명 제 와 논 리 ,지 수 와 로 그 ,수 열 ,확 률 과 통 계 , 도 형 과 그 래 프 에 관 련 된 개 념 ,원 리 ,법 칙 과 이 들 사 이 의 관 계 를 이 해하 고 이 를 활 용 하 는 능 력 을 기 른 다 .

나 .여 러 가 지 현 상 을 관 찰 ,분 석 ,조 직 하 여 수 학 적 으 로 나 타 내 는 능 력 을 기 른 다 .

다 .수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리적으로 해결하는 능력을 기른다 .

라 .수 학 적 으 로 사 고 하 고 의 사 소 통 하 는 능 력 을 기 른 다 .

마 .수 학 의 가 치 를 이 해 하 여 수 학 에 대 한 관 심 과 흥 미 를 지 속 적 으 로 가 지 며 수 학 에 대 한 긍 정 적 태 도 를 기 른 다

3)내 용 체 계

(1)내 용 체 계

제 7차 수학과 교육과정에서의 이산수학의 그래프 단원과 비슷한 내용을 다 루 고 있 는 제 7차 수 학과 개정 교 육 과 정 의 수 학의 활용 단원 중 도 형과 그 래 프 의 내 용 을 비 교 해 보 자 .

7차 수학과 교육과정 (이산수학) 7차 수학과 개정교육과정 (수학의 활용)

영 역 내용 영역 내 용

그래프

그래프 ․ 그래프의 뜻 ․ 여러 가지 그래프

도형과 그래프

․ 연결 상태가 같은 도형

․ 평면그래프와 정다면체

․ 그래프를 이용한 의사결정의 최적화 수형도 ․ 여러 가지 수형도

․ 생성 수형도 여러 가지

회로

․ 오일러회로 ․ 해밀턴 회로

그래프의 활용

․ 행렬의 뜻 ․ 그래프와 행렬 ․ 색칠문제

(2)도 형 과 그 래 프 의 영 역 별 내 용

연 결 상 태 가 같 은 도 형

① 평 면 도 형 의 성 질 을 이 해 하 고 ,공 통 적 인 특 징 을 설 명 할 수 있 다 .

② 점 과 선 으 로 이 루 어 진 도 형 의 성 질 을 이 해 한 다 .

③ 입체 도 형 에 서 연 결 상 태 가 같은 도 형을 관 찰 하고 ,공 통적 인 특 징을 설 명 할 수 있 다 .

평 면 그 래 프 와 정 다 면 체

① 정 다 면 체 를 평 면 그 래 프 로 나 타 낼 수 있 다 .

그 래 프 를 이 용 한 의 사 결 정 최 적 화

① 그 래 프 를 이 용 하 여 여 러 가 지 최 적 화 문 제 를 해 결 할 수 있 다 .

<용 어 와 기 호 >

한붓그리기,그래프,(그래프의)꼭짓점,(그래프의)변,경로,최적의 경로

<교 수 ․ 학 습 상 의 유 의 점 >

① 다 양 한 소 재 를 통 해 평 면 도 형 을 탐 구 하 도 록 한 다 .

② 입 체 도 형 의 성 질 은 관 찰 과 직 관 에 의 해 이 해 하 게 한 다 .

③ 한 꼭 짓 점 에 서 자 기 자 신 으 로 가 는 변 이 없 고 ,한 쌍 의 꼭 짓 점 사 이 에 많 아 야 한 변 이 있 는 그 래 프 를 주 로 다 룬 다 .

B.이 산 수 학 의 개 념 과 역 사

1736년 스 위 스 의 수 학 자 오 일 러 (Leonhard Euler 1707～ 1783)가 점 (vertices)과 변 (edges)만 으 로 이 루 어 진 도 형 에 관 한 이 론 ,즉 그 래 프 이 론 을 이 용 하 여 프 러 시 아 의 도 시 쾨 니 히 스 베 르 그 (Königsberg)의 4개 지 점 을 연 결 하 는 7개 의 다 리 를 꼭 한 번 씩 만 건 너 서 시 작 지 점 으 로 되 돌 아 오 는 문 제 를 연 구 함 으 로 써 발 달 하 기 시 작 했 다 .그 러 나 비 교 적 최 근 가 지 도 수 학 의 독 립 된 분 야 로 인 정 되 지 않 았 다 .

이산 (discrete)의 사 전 적 정 의 는 ‘다 른 것 과 별 개 의 ,분리 된 ,따 로 따로 의 , 불 연 속 의 ’으 로 정 의 되 어 져 있 다 .다 시 말 해 이 산 이 란 서 로 흩 어 져 있 음 을 의 미하 며 연 속이 라는 말 과 대 비되 는 뜻으 로 이 해할 수 있다 .그러 므로 이 산 수 학 (discrete mathematics)은 “분 리 된 ”또 는 “불 연 속 의 ”로 나 눌 수 있 는 대 상이 나 이 산 객체 (discreteobjects)를 다 루는 수학 의 한 분 야이 다 .

Dossey(1991)에 따 르 면 이 산 수 학 에 서 의 대 부 분 의 집 합 은 유 한 하 거 나 셀 수 있 는 것 으 로 구 성 되 어 지 는 반 면 에 연 속 수 학 에 서 는 셀 수 없 는 집 합이 대상 이며 ,연속 수학 에서 는 양 적 측정 에 관 계된 상황 에 적 합하 다면 이 산 수 학 은 세 기 에 초 점 을 두 고 있 다 .

이 산 과 연 속 의 개 념 은 이 처 럼 대 립 되 는 듯 이 보 이 지 만 실 세 계 의 적 용 에 서 는 보 완 적 인 접 근 을 보 이 기 도 한 다 .예 를 들 면 ,이 산 및 연 속 수 학 두 분 야 모 두 물 체 의 모 임 이 나 그 구 조 에 관 심 을 갖 는 경 우 가 많 다 . 이 러한 물 체의 모임 을 집 합이 라고 하 는데 ,연속 수학 은 주로 실수 의 집 합 등 과 같 은 것 을 다 루 므 로 기 하 학 적 의 미 에 서 연 속 적 인 표 현 구 조 로 나 타 내 어 지 고 ,반 면 에 이 산 수 학 에 서 는 서 로 떨 어 져 있 고 불 연 속 인 원 소 들의 집합을 다룬다.또한,연속수학에서는 무한하거나 셀 수 없는 집합을

대상으로 다루며,이산수학에서는 유한하거나 셀 수 있는 집합을 대상으로 취 급 하 는 경 우 가 대 부 분 이 다 .

NCTM(1989)에 의 하 면 이 산 수 학 은 미 분 ,적 분 과 같 은 연 속 인 수 학 과 대 조 되 는 개 념 으 로 유 한 개의 원 소 를 갖 는 집 합 및 체계 의 수 학 적 성 질을 연 구 하 는 수 학 의 한 분 야 로 써 ,이 산 적 인 대 상 과 유 한 과 정 의 절 차 를 다 룬 다 .이 산 수 학 에 서 는 특 히 알 고 리 즘 방 법 을 강 조 하 여 컴 퓨 터 공 학 을 이 용 하 여 문 제 를 해 결 하 고 ,그 이 론 을 발 달 시 키 기 위 해 알 고 리 즘 을 개 발 하 고 분 석 하 는 것 을 중 요 하 게 다 루 고 있 다 .컴 퓨 터 공 학 에 서 는 이 산 및 연 속 에 대 응 하 는 용 어 로 디 지 털 및 아 날 로 그 라 는 말 을 많 이 사 용 하 고 있다.이산수학의 중요성은 지난 수십 년에 걸쳐서 급격히 증가되어 왔다 . 그 이 유 는 디 지 털 컴 퓨 터 가 이 산 엔 진 이 기 때 문 이 며 ,디 지 털 컴 퓨 터 에 서 행 해 지 는 모 든 계 산 은 기 본 적 으 로 정 수 에 기 초 하 기 때 문 이 다 .현 대 의 디 지 털 컴 퓨 터 는 기 본 적 으 로 유 한 이 산 시 스 템 으 로 서 컴 퓨 터 의 여 러 성 질 들 을 이 산 수 학 체 계 의 틀 내 에 서 해 석 할 수 있 다 .즉 ,이 산 수 학 은 디 지 털 컴 퓨 터 시 스 템 의 이 론 적 인 배 경 이 라 고 할 수 있 다 .

Ⅲ .이 산 수 학 에 서 의 도 형 과 그 래 프 및 도 형 과 그 래 프 의 지 도 방 안 과 실 생 활 의 예

7차 수 학 과 개정 교 육 과 정 에 있 는 수 학의 활 용 에 서 도 형 과 그래 프 내 용 을 7차 교 육 과 정 에 서 다 룬 이 산 수 학 의 그 래 프 단 원 에 서 찾 아 보 면 ‘평 면 그 래 프와 정다면체’내용은 이산수학의 그래프 단원에 있는 그래프,여러 가지 회 로 (오 일 러 회 로 )의 내 용 을 다 루 고 있 으 며 ,‘그 래 프 를 이 용 한 의 사 결 정 최 적 화 ’내 용 은 이 산 수 학 의 ‘의 사 결 정 최 적 화 ’단 원 에 서 다 루 고 있 는 그 래 프 와 최 적 화 의 내 용 과 관 련 이 있 음 을 알 수 있 다 .하 지 만 이 산 수 학 에 서 다 루 고 있 는 수 형 도 나 행 렬 ,색 칠 문 제 는 다 루 고 있 지 않 으 며 이 산 수 학 에 서 는 다 루 고 있 지 않 는 ‘연 결 상 태 가 같 은 도 형 ’의 내 용 이 도 형 과 그 래 프 단 원 에 새 롭 게 도 입 되 었 다 .도 형 과 그 래 프 의 내 용 을 이 산 수 학 의 그 래 프 단 원 과 비 교 해 보 면 다 음 과 같 다 .

7차 수학과 교육과정 ( 이산수학 - 그래프 )

7차 수학과 개정교육과정 ( 수학의 활용 - 도형과 그래프 )

그래프

< 평면그래프와 정다면체 >

→ 꼭짓점과 변으로 이루어진 도형의 뜻 → 짝수점과 홀수점의 뜻

→ 평면도형에서 꼭짓점, 변, 면의 개수 사이의 관계 여러 가지 회로 < 평면그래프와 정다면체>

→ 오일러 회로 : 한붓그리기가 가능한 도형의 성질 수형도, 그래프의 활용 도형과 그래프 단원에서는 다루지 않음

< 연결 상태가 같은 도형 >

→ 평면도형에서 연결상태가 같은 도형의 뜻 → 단일폐곡선의 뜻과 성질

< 그래프를 활용한 의사결정 최적화 >

→ 그래프를 이용한 최적화 문제

A.도 형 과 그 래 프 의 지 도 방 안 및 이 산 수 학 에 서 의 도 형 과 그 래 프

1.1 ‘연 결 상 태 가 같 은 도 형 ’지 도 방 안

<지 도 목 표 >

① 연 결 상 태 가 같 은 도 형 의 뜻 을 알 수 있 다 .

② 단 일 폐 곡 선 의 뜻 과 성 질 을 이 해 할 수 있 다 .

<지 도 방 안 >

① 사 각 형 과 삼 각 형 ,원 과 같 은 평 면 도 형 을 통 해 연 결 상 태 가 같 은 도 형 에 알 아 보 고 자 연 적 으 로 단 일 폐 곡 선 이 무 엇 인 지 알 려 주 므 로 학 생 들 이 이 해 하 기 쉽 도 록 한 다 .

② 연 결 상 태 의 뜻 을 이 해 시 킨 다 음 일 상 생 활 에 서 연 결 상 태 가 같 은 도 형 이 무 엇 이 있 는 지 찾 아 보 고 도 형 을 관 찰 하 여 공 통 적 인 특 징 을 찾 을 수 있 도 록 한 다 .

<지 도 상 의 유 의 점 >

단 일 폐 곡 선 위 에 있 는 한 점 에 서 출 발 하 여 한 쪽 방 향 으 로 선 을 따 라 가 면 곡 선 위 의 모 든 점 을 오 직 한 번 씩 만 지 나 서 원 래 의 출 발 점 으 로 되 돌 아 있 음 을 이 해 시 킨 다 .

1.2 이 산 수 학 에 서 의 도 형 과 그 래 프

1)그 래 프

아 래 그 림 과 같 이 점 과 선 으 로 이 루 어 진 그 림 을 그 래 프 라 고 한 다 .

● ● ● ● ● ● ●

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● ● ● ● ● ● ●

● ●

● ● ●

● ● ● ●

2)꼭 짓 점 과 변

그 래 프 에 서 점 을 꼭 짓 점 이 라 하 고 ,꼭 짓 점 을 연 결 한 선 을 변 이 라 한 다 .꼭 짓 점 은    ··· 와 같 이 나 타 내 며 변 은 양 끝 의 꼭 짓 점 을 이 용 하 여   ··· 와 같 이 나 타 낸 다 .

아 래 그 래 프 에 서 꼭 짓 점 과 변 의 집 합 을 나 타 내 면 다 음 과 같 다 .

 ● ● 꼭 짓 점 집 합 :

변 의 집 합 :

 ● ●

 ● ● 

3)같 은 그 래 프

꼭 짓 점 의 위 치 를 바 꾸 거 나 변 을 구 부 리 거 나 늘 이 거 나 줄 여 서 두 그래 프 가 같 은 그 림 으 로 그 려 질 수 있으 면 두 그래 프 는 같 은 그 래 프 라 고 한 다 .

4)꼭 짓 점 의 차 수

그 래 프 에 서 한 꼭 짓 점 에 연 결 된 변 의 개 수 를 그 꼭 짓 점 의 차 수 라 고 한 다 .

5)꼭 짓 점 의 차 수 의 성 질

각 꼭짓점의 차수를 모두 더할 때,각 변은 그 변의 양 끝 꼭짓점의 차 수 에 서 각 각 한 번 씩 더 해 지 게 된 다 .즉 ,각 변 은 두 번 씩 세 어 지 게 된 다 .따 라 서 그 래 프 에 서 모 든 꼭 짓 점 의 차 수 의 합 은 그 래 프 에 서 모 든 변 의 개 수 의 2배 가 된 다 .

2.1 '평 면 그 래 프 와 정 다 면 체 ' 지 도 방 안

<지 도 목 표 >

① ‘점과 선으로 이루어진 도형의 성질’에서는 꼭짓점과 변으로 이루어진 도 형 의 뜻 을 알 수 있 다 .

② 짝 수 점 과 홀 수 점 의 뜻 과 성 질 알 수 있 다 .

③ 한 붓 그 리 기 가 가 능 한 도 형 의 성 질 을 알 수 있 다 .

④ 꼭 짓 점 과 변 으 로 이 루 어 진 평 면 도 형 에 서 꼭 짓 점 ,변 ,면 의 개 수 사 이 의 관 계 알 수 있 다 .

<지 도 방 안 >

① 악 수 나 누 기 의 문 제 를 활 용 하 면 그 래 프 의 여 러 가 지 성 질 을 이 해 시 키 는 데 도 움 이 될 것 이 다 .이 때 ,교 사 는 학 생 들 을 여 러 명 씩 한 팀 을 이 루 게 하 여 무 작 위 로 악 수 를 나 누 게 하 고 인 원 을 달 리 하 여 반 복 적 으 로 악 수 를 나 누 게 하 여 짝 수 점 과 홀 수 점 의 뜻 과 성 질 을 학 생 들 이 직 접 확 인 해 답 할 수 있 도 록 함 으 로 써 학 생 들 이 직접 참여할 수 있는 계기를 마련하는 방법이 될 수 있고,학생들도 수 업 에 직 접 참 여 해 보 면 서 흥 미 를 가 질 수 있 게 될 것 이 다 .

② 스 포츠 경 기 에서 리 그 전의 대 진 표 를 활 용 하 면 모 든 꼭 짓 점 사 이에 변이 있는 그래프로 표현될 수 있는 완전그래프에 대해 학생들에게 쉽 게 설 명 할 수 있 을 것 이 다 .

③ 컴 퓨 터 의 집 적 회 로 판 은 평 면 판 에 여 러 가 느 다 란 전 기 선 이 회 로 를 이 루 도 록 되어 있 다 .이 것 을 활 용 하면 교 사 는 평 면그 래 프 를 학 생 들 에 게 지 도 하 는 데 도 움 이 될 것 이 다 .이 때 ,가 느 다 란 전 기 선 이 지 정 된 연 결 부 위 외 에 서 는 교 차 하 지 않 도 록 하 여 학 생 스 스 로 평 면 에 그 래 프 를 직 접 그 려 보 게 하 면 그 결 과 평 면 에 그 릴 수 없 음 을 확 인 할 수 있 을 것 이 다 .

④ 오 일 러 회 로 가 존 재 하 는 그 래 프 는 한 붓 그 리 기 가 가 능 하 므 로 오 일 러 회 로 의 뜻 을 알 려 주 고 실 생 활 속 에 서 오 일 러 회 로 를 활 용 할 수 있 는 소 재 를 제 시 하 여 수 업 중 학 생 들 의 흥 미 와 관 심 을 유 발 시 킬 수 있 도 록 한 다 .

⑤ 배 달 문 제 나 청 소 차 량 의 이 동 경 로 등 생 활 문 제 를 활 용 하 면 오 일 러 회 로 를 쉽 게 이 해 시 킬 수 있 고 학 생 들 에 게 실 생 활 에 오 일 러 회로 를 이 용해 서 문제 를 해 결할 수 있는 다른 예를 조 사해 보도 록 함으로써 오일러 회로가 우리 삶에 얼마나 많이 활용되는가 알도록 한 다 .

<지 도 상 의 유 의 점 >

① 실 생 활 의 여 러 가 지 문 제 상 황 을 그 래 프 로 간 결 하 게 표 현 할 수 있 도 록 지 도 한 다 .

② 문 제 상 황 을 그 래 프 로 표 현 할 때 꼭 짓 점 과 변 을 어 떻 게 나 타 낼 지 주의하여 지도하고 여러 다양한 방법이 있음을 유의하여 지도한다 . 이 때 꼭 짓 점 은 여 러 번 지 날 수 있 다 는 오 일 러 회 로 의 성 질 을 이 해 시 킨 다 .

2.2 이 산 수 학 에 서 의 도 형 과 그 래 프

1)완 전 그 래 프

그 래 프 에 서 집 합 의 원 소 의 개 수 가 한 개 이 상 이 고 또 임 의 의 서 로 다 른 두 꼭 짓 점 을 이 은 모 서 리 가 꼭 한 개 씩 존 재 하 는 그 래 프 를 완 전 그 래 프 라 고 한 다 .

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● ● ● ● ●

2)완 전 그 래 프 의 성 질

꼭 짓 점 의 개 수 가 인 완 전 그 래 프 에 서 각 꼭 짓 점 의 차 수 는    이 고 ,변 의 개 수 는 개 의 꼭 짓 점 에 서 서 로 다 른 두 꼭 짓 점 을 선 택 하 는 조 합 의 수 이 므 로 __ 

    

이 다 .한 편 ,꼭 짓 점 의 개 수 가 인

완 전 그 래 프 가 포 함 하 는 삼 각 형 의 개 수 는 __      

 이 다 .

3)짝 수 점 과 홀 수 점

그 래 프 에 서 꼭 짓 점 의 차 수 가 짝 수 일 때 그 꼭 짓 점 을 짝 수 점 이 라 하 고 꼭 짓 점 의 차 수 가 홀 수 일 때 그 꼭 짓 점 을 홀 수 점 이 라 고 한 다 .

4)평 면 그 래 프

그래프를 평면 위에 어느 두 모서리도 꼭짓점이 아닌 점에서 교차하지 않 도 록 굽 은 선 또 는 곧 은 선 으 로 그 릴 수 있 을 때 의 그 래 프 를 평 면 그 래 프 라 고 한 다 .

5)평 면 그 래 프 의 성 질 (오 일 러 공 식 )

임 의 의 그 래 프 가  개 의 꼭 짓 점 , 개 의 변 , 개 의 면 으 로 연 결 된 평면 그래프이면        이 성립한다.또한, 개의 꼭짓점과 개의 변 을 갖 는 평 면 그 래 프 에 서 는 부 등 식  ≤     이 성 립 한 다 .

6)연 결 그 래 프

그 래 프 의 한 꼭 짓 점 에 서 이 어 진 변 을 반 복 하 지 않 으 면 서 또 다 른 꼭 짓 점 으 로 이 동 할 때 순 서 대 로 꼭 짓 점 을 나 열 한 것 을 경 로 라 고 하 고 , 꼭짓 점 에 서 출 발 하 여 그 꼭 짓 점으 로 되 돌 아오 는 경 로를 회 로 라고 한 다 . 이 때 ,임 의 의 두 꼭 짓 점 을 잇 는 경 로 가 있 는 그 래 프 를 연 결 그 래 프 라 고 한 다 .

7)오 일 러 회 로

연 결 그 래 프 에 서 모 든 변 들 이 한 번 씩 만 나 타 나 는 경 로 를 오 일 러 경 로 라고 하 며 ,모 든 꼭 짓 점 이 꼭 한 번씩 만 지 나 는 회 로 를 오일 러 회 로 라 고 하 고 ,오 일 러 회 로 를 가 지 는 그 래 프 를 오 일 러 그 래 프 라 고 한 다 .

8)오 일 러 회 로 의 성 질

오 일 러 회 로 가 존 재 하 는 그 래 프 는 한 붓 그 리 기 가 가 능 하 다 .하 지 만 한 붓 그 리 기 가 가 능 하 다 고 해 서 오 일 러 회 로 가 항 상 존 재 하 는 것 은 아 니 다 .

● ●

● ● ● ●

● ● ● ●

(a) (b)

→ (a)의 그 래 프 는 한 붓 그 리 기 는 가 능 하 나 시 작 점 으 로 되 돌 아 올 수 없 으 므 로 오 일 러 회 로 가 존 재 하 지 않 지 만 ,(b)의 그 래 프 는 한 붓 그 리 기 가 가 능 하 며 시 작 점 으 로 되 돌 아 오 기 때 문 에 오 일 러 회 로 가 존 재 한 다 .

9)해 밀 턴 회 로

그 래 프 에 서 모 든 꼭 짓 점 을 오 직 한 번 씩 만 지 나 지 만 시 작 점 으 로 돌 아 오 지 않 는 경 로 를 해 밀 턴 경 로 라 고 한 다 .또 모 든 꼭 짓 점 을 오 직 한 번 씩 만 지 나 며 시 작 점 으 로 돌 아 오 는 회 로 가 있 을 때 ,이 회 로 를 해 밀 턴 회 로 라고 하며 해밀턴 회로를 가지는 그래프를 해 밀 턴 그 래 프 라 고 한 다 .

10)해 밀 턴 회 로 의 성 질

꼭 짓 점 의 개 수 가    ≥  인 연 결 그 래 프 에 서 서 로 인 접 하 지 않 는 두 꼭 짓 점 들 의 차 수 의 합 이  이 상 이 거 나 꼭 짓 점 의 개 수 가    ≥   인 연 결 그 래 프 에 서 각 꼭 짓 점 의 차 수 가 

 이 상 인 그 래 프 는 해 밀 턴

회 로 를 갖 는 다 .

3)'그 래 프 를 이 용 한 의 사 결 정 최 적 화 '지 도 방 안

<지 도 목 표 >

① 그 래 프 를 이 용 하 여 여 러 가 지 최 적 화 문 제 를 해 결 할 수 있 다 .

<지 도 방 안 >

① 배 낭 꾸 리 기 등 과 같 은 계 획 세 우 기 문 제 를 통 해 실 생 활 에 나 타 나 는 계 획 세 우 기 의 최 적 화 문 제 를 이 해 할 수 있 게 한 다 .

② 집 을 짓 기 위 한 작 업 과 그 작 업 을 끝 마 치 기 위 해 필 요 한 작 업 일 수 와 작 업 의 순 서 에 대 해 계 획 을 세 워 본 다 .각 작 업 을 꼭 짓 점 으 로 하 고 ,두 작 업 사 이 에 선 후 관 계 를 화 살 표 로 표 시 하 여 그 래 프 로 나 타 내 면 작 업 일 정 을 보 다 쉽 게 파 악 할 수 있 다 . 전 체 작 업을 마치 기 위 해 필 요한 최 소의 시간 은 시 작에 서 마 지막 작 업 까 지 의 경 로 중 에 서 작 업 시 간 이 가 장 긴 경 로 로 결 정 하 게 되 는 데 이 러 한 일 상 생 활 에 서 자 주 나 타 나 는 최 적 화 문 제 를 그 래 프 를 이 용 하 여 해 결 할 수 있 음 을 알 게 한 다 .

③ 그 래 프 로 나 타 내 어 지 는 계 획 세 우 기 의 문 제 를 이 해 하 게 한 다 음 도 로 망 에 서 최 적 의 경 로 를 구 할 수 있 게 한 다 .

<지 도 사 의 유 의 점 >

① 의 사 결정 과 최 적 화에 서 는 다 양 한 상 황 에 서 논리 적 인 의 사결 정 이 이 루 어 지 는 수 학 적 과 정 을 경 험 하 게 한 다 .

② 의 사 결 정 에 서 는 변 화 하 는 상 황 이 수 학 적 으 로 처 리 될 수 있 는 경 우 만 을 다 룬 다 .

③ 최 적 화 문 제 는 최 적 의 알 고 리 즘 구 성 에 중 점 을 둔 다 .

B.도 형 과 그 래 프 의 실 생 활 의 예

중 학 교 에 서 배 운 그 래 프 는 꼭 짓 점 과 변 으 로 이 루 어 진 도 형 으 로 정 의 되 어 있 으 며 악 수 하 는 횟 수 구 하 는 문 제 나 총 경 기 의 수 를 구 하 는 실 생 활 문 제 를 통 해 서 그 래 프 의 뜻 을 이 해 할 수 있 었 으 며 대 각 선 의 총 수 를 구 하 므 로 꼭 짓 점 의 차 수 와 변 의 수 사 이 의 관 계 를 알 수 있 었 다 .또 한 다 면 체 를 대 상 으 로 다 면 체 의 꼭 짓 점 ,모 서 리 ,면 의 수 를 조 사 하 는 과 정 에 서 규 칙 성 을 찾 으 므 로 오 일 러 공 식 (       )을 알 수 있 었 다 . 그 리 고 한 붓 그 리 기 문 제 는 아 래 그 림 과 같 은 도 형 에 서 한 꼭 짓 점 에 서 다 른 꼭 짓 점 으 로 그 을 수 있 는 선 분 의 총 수 를 찾 는 문 제 를 통 해 알 수 있 었 으 며 고 등 학 교 에 서 는 경 우 의 수 ,순 열 ,조 합 을 통 해 서 한 붓 그 리 기 알 수 있 었 다 .

(예 제 1) 회 의 용 탁 자 에 8명 이 앉 아 있 다 .양 옆 의 사 람 을 제 외 한 모 든 사람과 서로 악수를 한다고 할 때 악수를 모두 몇 번 하겠는가?

(풀 이 )이 문 제 는 다 각 형 의 총 대 각 선 의 수 와 같 다 . 먼 저 각 형 의 한 꼭 짓 점 에 서 그 을 수 있 는 대 각 선 은     개 이 고 , 중 복 된 만 큼 나 누 어 주 어 야 하 므 로 각 형 의 대 각 선 의 총 수 는 

    

개 다 . 따 라 서 탁 자 에 앉 은 8명 의 사 람 이 양 옆 의 사 람 을 제 외 한 모 든 사 람 과 악수 하는 수는 8사람 각각이 자기 자신과 자신의 양옆의 사람을 제외한

    명 의 사 람 과 악 수 하 고 ,중 복 된 만 큼 나 누 어 주 면 

   

 

번 악 수 한 다 .

(예 제 2)다 음 입 체 도 형 은 모 든 면 이 정 다 각 형 인 다 면 체 이 다 . 다 음 표 를 완 성 하 여 라 .

입체 몇 면체인가? 각 면을 이루는 정다각형의 이름

각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수 모서리의 개수 (1)

(2) (3)

(풀 이 )꼭 짓 점 과 면 ,면 과 모 서 리 의 관 계 를 정 육 면 체 의 경 우 로 예 를 들 어 보 면 ,한 꼭 짓 점 에 정 사 각 형 인 면 이 3개 씩 모 이 므 로    , 정 사 각 형 의 네 변 이 모 서 리 가 되 고 각 모 서 리 는 두 면 씩 포 함 하 므 로

   이 다 .그 런 데 정 육 면 체 의 면 은 6개 이 므 로           

이 고 오 일 러 의 공 식 을 만 족 한 다 .오 일 러 공 식 이 항 상        가 성 립 한 다 .

(예 제 3)문 다음 그림과 같이 4개의 섬이 있다.3개의 다리를 건설하여 4개의 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 구하시오.

(풀 이 )(i)한 섬에 다리를 1개 또는 2개를 건설하는 경우는

 →  →  → 

 →  →  → 

⋮

 →  →  → 

 →  →  → 

⋮

 × × ×   (가지)

A → B→ C→ D와 D→ C→ B→ A ,A → C→ D→ B와

B→ D→ C→ A와 같이 같은 것이 ₂가지씩 있으므로 ²⁴

2= 12(가지)

(ii)아래의 그림과 같이 한 섬에 세 개의 다리를 건설하는 경우는 4가지이다.

A B

C

D

∴     (가지)

(예 제 4)다 음 그림과 같이 도형을 그리는데 연필을 떼지 않고 한 번에 그리는 방법의 수는?(A 또는 B에서 시작한다.)

(풀 이 ) 에서  로 가는 방법의 수를 생각한다.

_ _ _의 순으로 그리는 방법 ;각각을 시계 방향,반시계 방향으로 그릴 수 있으므로  × ×   _ _ _를 선택하여 배열하는 방법의 수 ;  ≠  따라서  ×^  그런데 에서 로 그리는 방법도 있으므로  ×  

이 제 이 산 수 학 을 통 해 서 알 아 본 도 형 과 그 래 프 의 내 용 을 실 생 활 에 서 일 어 나 는 문 제 중 에 서 그 래 프 의 간 단 한 이 론 을 쉽 게 해 결 할 수 있 는 여 러 가 지 예 를 살 펴 보 도 록 하 겠 다 .

(예 1)지 역 내 의 인 터 넷 망 연 결 (그 래 프 정 의 )

어떤 지역에 설치할 15대의 인터넷 중계기가 있다.어떤 인터넷 중계기로 15대 중 특 정 한 5대 로 만 연 결 되 도 록 할 수 있 겠 는 가 ?

(풀 이 )15대 중 특 정 한 5대 로 만 연 결 이 가 능 하 다 고 가 정 하 면 중 계 기 를 꼭 짓 점 으 로 하 고 인 터 넷 망 을 변 으 로 나 타 낸 그 래 프 를 생 각 해 보 면 이 그 래 프 에 는 꼭 짓 점 이 15개 있 고 각 꼭 짓 점 은 차 수 가 5이 다 .이 때 그 래 프 의 변 이 몇 개 인 가 조 사 해 보 자 .이 것 을 조 사 하 기 위 해 서 는 모 든 꼭 짓 점 의 차 수 를 합 하 면 된 다 .그 러 나 이 계 산 에 서 는 변 이 전 부 두 번 씩 계 산 되 어 있 다 .(각 각 의 변 이 두 개 의 꼭 짓 점 을 연 결 하 고 있 기 때 문 이 다.)따라 서 이 그래 프 의 변 은 

 × 

개 가 된 다 .그 러 나 이 수 는 정 수 가 아 니 다 .즉 이 와 같 은 그 래 프 는 있 을 수 없 다 .따 라 서 물 음 에 서 묻 고 있 는 인 터 넷 중 계 기 는 설 치 할 수 없 다 .

(예 2)한 붓 그 리 기 (오 일 러 그 래 프 )

다 음 그 림 은 여 행 할 곳 을 간 단 히 나 타 낸 길 안 내 도 이 다 .모 든 도 로 를 한 번 만 지 나 쳐 여 행 하 려 면 어 느 지 점 에 서 출 발 하 여 어 느 지 점 에 서 끝 내 야 하 는 가 ?

(풀 이 )각 꼭 짓 점 의 차 수 를 구 해 보 면

             

             이 다 .

그 래 프 에 서 차 수 가 홀 수 인 점 이 2개 있 으 므 로 오 일 러 회 로 는 존 재 하 지 않 지 만 차 수 가 홀 수 인 한 꼭 짓 점 에 서 또 다 른 차 수 가 홀 수 인 꼭 짓 점 에 서 끝 나 는 한 붓 그 리 기 는 가 능 하 다 .따 라 서 한 붓 그 리 기 는 꼭 짓 점  에 서 출 발 하 여 꼭 짓 점 에 서 끝 내 던 지 꼭 짓 점 에 서 출 발 하 여 꼭 짓 점

에 서 끝 내 야 한 다 .

(예 3)정 사 각 형 의 삼 각 형 분 할 (오 일 러 정 리 )

정 사 각 형 안 에 점 이 20개 있 다 .이 들 점 은 서 로 만 나 지 않 는 선 분 으 로 연 결 되 어 있고 ,정 사 각 형 의 꼭 짓점 과 도 연 결 되 어 있 다.그 리 고 그것 으 로 정사각형은 작은 삼각형으로 분할되어 있다고 한다.삼각형은 몇 개인가?

(풀 이 )20개의 점과 정사각형의 꼭짓점을 평면그래프의 꼭짓점이라 하고 정 사각 형의 변과 선 분을 그 래프 의 변이 라고 하 자.각각 의 부분 (그래 프가 평 면 을 분 할 하 고 있 는 )에 대 해 서 는 이 들 경 계 에 있 는 변 을 헤 아 리 고 그 것 을 합 한 다 .변 은 모 두 하 나 의 면 을 두 개 로 나 누 므 로 합 은 변 의 개 수 가 2배 가 될 것 이 다 .

면 은 모 두 4개 의 변 으 로 둘 러 싸 인 바 깥 의 것 하 나 를 제 외 하 면 삼 각 형 이기 때문에         가 되고 이것은  _{ }



   

  이다 . 꼭 짓 점 이 24개 이 므 로 오 일 러 정 리 를 이 용 하 면

  

  

       이 다 . 즉   이 다 .(바 깥 쪽 의 면 도 센 다 .)

따 라 서 정 사 각 형 안 에 있 는 삼 각 형 의 개 수 는 42가 된 다 .

(예 4)가 스 ,수 도 ,전 기 선 의 안 전 공 사 (평 면 그 래 프 )

신 도 시 에 세 전 원 주 택 을 건 설 하 고 자 한 다 .각 집 에 서 는 전 기 와 가 스 그 리 고 수 도 관 공 사 가 이 루 어 지 고 있 다 .그 런 데 공 사 중 사 고 를 막 기 위 하 여 각 전 기 ,가 스 ,수 도 관 은 평 면 상 서 로 겹 쳐 지 지 않 도 록 공 사 가 이 루 어 져 야 한 다 고 한 다 .이 러 한 공 사 가 가 능 한 것 인 지 알 아 보 고 ,만 약 그 것 이 불 가 능 하 다 고 한 다 면 안 전 한 공 사 가 될 수 있 도 록 하 기 위 하 여 공 사 가 이 루 어 지 기 이 전 에 배 관 들 이 겹 쳐 져 있 을 수 있 다 는 것 을 알 려 주 도 록 한 다 .이 러 한 정 보 들 을 입 수 하 기 위 하 여 이 를 그 래 프 로 표 현 하 고 사 고 를 예 방 할 수 있 도 록 하 여 라 .(단 ,공 사 는 평 면 상 에 서 만 한 다 )

(풀 이 )짓 고 자 하 는 전 원 주 택 과 전 기 ,수 도 ,가 스 공 급 장 소 를 정 점 으 로 표 시 하 고 전 기 선 ,수 도 관 ,가 스 배 관 들 은 간 선 으 로 나 타 낸 그 래 프 는 아 래 의 그 림 의 _{ } 그 래 프 와 같 다 .

< 세 전 원 주 택 의 전 기 ,수 도 ,가 스 공 급 계 획 도 의 그 래 프 의 표 현 >

이 때,평면그래프의 정의에 의하여  _{ } 그래프는 평면그래프가 아니다.

즉 ,이 번 공 사 에 서 는 전 기 선 이 나 수 도 또 는 가 스 관 이 평 면 상 으 로 모 두 겹 쳐 지 지 않 게 고 사 할 수 는 없 다 .그 러 므 로 배 관 공 사 시 안 전 에 좀 더 주 의 해 야 한 다 .

(예 5)신도시가 건설되어 각 가정 A,B,C,D,E에 수돗물 공급을 위하여 배 관 작 업 을 하 려 고 한 다 .각 집 사 이 의 거 리 가 다 음 그 림 으 로 나 타 내 어 질 때 최 소 의 비 용 으 로 배 관 작 업 을 하 려 면 어 떤 경 로 로 배 관 을 하 여 야 하 는 가 ?

(풀 이 )가장 긴 변부터 차폐로 회로가 없는 수형도가 될 때까지 제거한다 .

(예 6)목 재 회 사 에 서 는 통 나 무 원 목 을 가 지 고 목 재 와 합 판 .두 가 지 의 제 품 을 제 조 하 는 데 목 재 1000BF를 제 조 하 려 면 전 나 무 원 목 1000BF와 미 송 원 목 3000BF가 소 요 되 고 ,합 판 1000SF를 제 조 하 려 면 전 나 무 원 목 2000BF와 미 송 원 목 4000BF가 소 요 된 다 (BF는 board feet :목 재 의 부 피 단 위 ,SF는 square feet:면 적 단 위 ).현 재 확 보 되 어 있 는 원 목 재 고 량 은 전 나 무 32000BF,미 송 72000BF인 데 ,당 분 간 원 목 구 입 이 없 어 재 고 량 만 으 로 생 산 계 획 을 수 립 해 야 한 다 .목 재 1000BF를 판 매 하 면 4만 원 의 이 익 이 남 고 합 판 1000SF를 판 매 하 면 6만 원 의 이 익 이 남 는 다 . 총 이 익 을 극 대 화 하 려 면 목 재 ,합 판 의 생 산 량 을 각 각 얼 마 로 결 정 해 야 하 는 가 ?

(풀 이 ) = 목 재 의 생 산 량 , = 합 판 의 생 산 량 이 라 표 시 하 고

  ≤  (전 나 무 원 목 의 제 약 )

   ≤  (미 송 원 목 의 제 약 )

이 라 는 두 개 의 부 등 식 을 구 할 수 있 다 .여 기 서 의 계 수 와 의 계 수 는 전 나 무 와 미 송 나 무 의 단 위 투 입 량 이 필 요 하 기 때 문 이 다 .또 한 생 산 량 은 항상 음수가 될 수 없으므로 ≥    ≥  이다.이를 그래프로 나타내면,

< ( ,)들 의 집 합 >

이 그 림 에 서 수 평 축 ,수 직 축 ,그 리 고 두 개 의 제 약 식 (constraints)들 로 둘 러 싸 인 사 각 형 모 양 의 공 통 부 분 이 대 안 들 전 체 의 집 합 또 는 가 능 해 라 고 부 른 다 .여 기 서 목 재 를 만 큼 생 산 하 고 만 큼 생 산 한 다 면 이 익 은 얼 마 인 가 ?

목 재 1000BF에 4만 원 , 합 판 1000SF에 6만 원 의 이 익 이 생 기 므 로

  천 원 의 총 이 익 이 생 긴 다 .이 값 을 (단 위 ,천 원 )라 고 놓 는 다 면 ,목 적 함 수      로 나 타 낸 다 .(하 나 의 일 차 함 수 로 목 표 를 나 타 낼 수 있 을 때 이 러 한 일 차 함 수 를 목 적 함 수 라 한 다 .)

여 기 서    의 그 래 프 를 생 각 해 보 면 가 변 수 이 므 로 그 래 프 는 하 나 의 직 선 이 아 니 라 서 로 평 행 한 직 선 들 이 나 온 다 .

이 직 선 이 원 점 에 서 멀 어 질 수 록  값 은 커 지 기 때 문 에 최 대 이 익 을 달 성 하 려 면 가 능 한 한 원 점 에 서 멀 리 떨 어 져 있 어 야 하 나 제 약 조 건 을 만 족 해 야 하 므 로 아 래 그 림 에 서 보 여 준 바 와 같 이 점 A와 접 하 는 직 선 이 다 ,

그 런 데 점 A는 두 방 정 식            의 교 점 이 므 로       을 얻 는 다 .

이 때      에 대 입 하 면 ,         만 원 인 데 이 것 이 구 하 는 최 대 이 익 이 다 .

Ⅳ .결 론

21세 기 지 식 정 보 화 사 회 에 서 살 아 가 고 있 는 우 리 에 게 수 학 적 힘 의 신장이 무엇보다 중요하다.여기서 수학적 힘이란 창의력,논리적 사고력 , 비 판 적 사 고 력 ,문 제 해 결 능 력 ,추 론 능 력 ,의 사 소 통 능 력 ,수 학 에 대 한 자 신 감 과 태 도 ,수 학 과 인 접 한 학 문 의 관 련 성 및 수 학 의 유 용 성 인 식 등 을 포 함 하 는 포 괄 적 인 개 념 이 다 (김 라 경 ,2005).이 러 한 수 학 적 힘 을 기 르 기 위 해 서 는 단 편 적 인 지 식 습 득 이 나 알 고 리 즘 적 인 연 습 을 위 주 로 하는 수 학 보 다 는 실 생 활 에 서 수학 적 모 델 을 구성 하 고 이 를 수학 내 외 에 서 적 절 하 게 이 용 하 는 수 학 적 사 고 가 중 요 하 다 고 생 각 한 다 . 이 번 에 새 롭 게 수 학 교 육 과 정 에 포 함 된 수 학 의 활 용 이 실 생 활 과 관 련 된 여 러 가 지 이 산 적 인 문 제 를 해 결 하 는 데 필 요 한 기 본 적 인 수 학 개 념 과 원 리 를 학 습 하 는 데 적 합 한 수 학 이 라 고 생 각 한 다 .

따 라 서 수 학 의 활 용 교 과 에 서 도 형 과 그 래 프 단 원 이 수 학 적 사 고 증 진 과 문 제 해 결 력 신 장 에 유 용 한 도 구 로 사 용 되 기 위 해 서 는 현 장 교 사 들 이 끊 임 없 이 관 심 을 가 져 야 하 며 충 분 한 이 론 적 지 식 과 배 경 을 갖 추 도 록 노 력 해 야 하 고 연 구 되 어 지 고 있 는 수 학 의 활 용 의 여 러 가 지 지 도 방 안을 현 장 에 서 잘 적 용 해 가 장 이상 적 인 방 안 을 교 사 들 나 름 대로 개 척 해 나 가 야 한 다 .또 한 수 학 의 활 용 수 업 은 기 존 의 주 입 식 교 육 이 아 닌 학 생 들 스 스 로 자 기 방 식 의 문 제 를 해 결 해 보 는 경 험 을 함 으 로 써 스 스 로 문 제 를 이 해 하 고 ,발 견 하 며 전 략 을 계 획 하 고 자 기 가 푼 문 제 를 반 성 하 는 과 정 을 알 도 록 해 야 한 다 .

본 논 문 에 서 는 수 학 의 활 용 내 용 중 도 형 과 그 래 프 단 원 을 7차 교 육 과 정 인 이 산 수 학 의 그 래 프 단 원 과 비 교 하 며 살 펴 보 았 다 .또 내 년 부 터 실 행 될 본 수 업 에 앞 서 교 사 들 과 학 생 들 이 겪 을 혼 란 을 극 복 하 기 위 해 도 형 과 그 래 프 단 원 의 효 율 적 인 지 도 방 안 을 모 색 하 고 실 제 적 인 몇 몇 예 를 제 시 하 였 다 .

이 제 2010년 부 터 제 7차 개 정 안 의 수 학 교 육 과 정 의 하 나 로 고 등 학 교 2, 3학 년 을 대 상 으 로 수 학 의 활 용 이 시 작 될 때 본 논 문 이 도 움 이 되 었 으 면 한 다 .하 지 만 아 직 학 생 들 에 게 실 제 적 인 수 업 을 통 한 장 단 점 을 파 악 하 지 못 하는 한 계 가 있 으므 로 본 논 문 에서 제 시 한 지 도방 안 을 참 조 하여 수 학 교 사 들 의 다 각 적 인 수 업 적 용 을 통 해 그 효 율 성 을 점 검 해 보 는 자 료 로 활 용 됨 은 물 론 체 계 적 인 발 전 을 위 해 서 앞 으 로 끊 임 없 이 연 구 되 고 보 안 된 지 속 적 인 후 속 연 구 가 필 요 하 다 고 생 각 된 다 .

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저 작 물 이 용 허 락 서

학 과 수학교육 학 번 20068231 과 정 석사

성 명 한글: 최 다 희 한문: 崔 多 希 영문: choi da hee

주 소 광주시 서구 풍암동 모아엘가@ 103동 1202호

연락처 010-4607-4879 E-MAIL: dahee0611@hanmail.net

논문제목

한글 : 도형과 그래프의 교수․ 학습 방법 연구

영문 : A study on methods of teaching and learning of Figures and Graphs

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2009 년 4 월 24 일

저작자: 최 다 희 (서명 또는 인)

조선대학교 총장 귀하