32. [정답]
[풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 두 직선의 위치 관계를 이해하여 관련 문항 을 해결할 수 있다.
직선 AB 의 방향벡터는 AB 직선
의 방향벡터를 라 하면 두 직선이 서로 평행하려면
AB ( 는 이 아닌 실수)
이므로 따라서
33. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
점 을 지나고 방향벡터가 인 직선의 매개변수방정식 은 이다. 일 때 이므로 조 건에 맞는 직선은 점 을 지난다. 따라서 이다.
34. [정답] ④ [풀이]
공간도형과 공간좌표
경계선 과 지면이 만나는 점을 원점 O라 하고 원점 O를 기준으로 X, P, Q 를 공간좌표를 이용하여 나타내면 다음과 같다.
따라서 점 Q 는 두 점 X, P를 지나는 직선 위의 점이다.
X 과 P 를 지나는 직선의 방정식은
즉,
……… ㉠ 이 직선이 를 지나므로 ㉠에 대입하면
에서 ,
∴
C R P B
A
∙
S
T Q
ㄴ ㄷ
ㄱ
m∙
ㄹ
ㅁ
↑
↓
S T 이므로 두 점 S T 를 지나는 직선의 방정식
이 평면과 만나는 교점이 레이저를 쏜 창가이다.
을 대입하면
이므로
인 곳은 ㄱ지점이다.36. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 두 직선의 교점의 좌표를 구할 수 있는가?
직선 의 방정식은
즉,
점 을 지나고 축에 평행한 직선 의 방정식은
이므로 직선 와 직선 의 교점의 좌표를 로 놓을 수 있다.
점 는 직선 위의 점이므로
따라서
에서 이고 점 이 원 위의 점이므로
∴
,
이므로
∴ ⋅
∴
37. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 직선과 삼각형이 만날 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
삼각형 ABC는 평면 위에 있으므로 직선의 방정식에 을 대입 하면 삼각형 ABC를 품는 평면과 직선 의 교점의 좌표는
이다.
평면 과 선분 CA, CB의 교점의 좌표가 각각 이므로
≤ ≤ 에서 ≤ ≤ 따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.
38. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 두 직선이 수직일 조건을 알고 있는가?
39. [정답]
[풀이]
[출제의도] 이해력 – 벡터
두 점 B , C 을 지나는 직선을 이라 하면 직선 의 방정식은
즉,
이다.
따라서
(실수)라 하면
직선 위의 점은 P는 로 표현되고
AP의 최솟값이 이다.
AP
≥
∴
[다른풀이]
두 점 B C 을 지나는 직선의 방정식은
점 A 에서 직선 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 직 선 위의 점이므로 임의의 실수 에 대하여 점 H는
H
직선 의 방향벡터를 이라 하면
AH⊥이므로 AH∙
AH OH OA 에서
AH∙ ∙
∴
H
AH OH OA
∴
AH
40. [정답] ④ [풀이]
점 는 직선
위의 점이므로
⋯ ㉠
점 는 평면 위의 점이므로
㉠에서
∴ ,
∴
41. [정답]
[풀이]
구하는 평면이 직선
에 수직이므로 평면의 법선벡터 는 직선의 방향벡터 과 일치한다.
또한, 구하는 평면은 점 를 지나므로
∴ , ,
∴
42. [정답] 10 [풀이]
∴
43. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 평면의 법선벡터를 이용하여 두 점의 위치를 정하고, 선분 의 길이를 구할 수 있는가
A 로 놓으면 ··· ㉠ 좌표공간의 원점을 O라 하면
PA OA OP
두 벡터 PA 가 서로 수직이므로 에서
㉠에서 정리하면
즉 A 또는 A
점 B도 마찬가지이므로 두 점 A B좌표는
이다. 따라서 AB
44. [정답] ④ [풀이]
[공간도형]
점 A 을 지나고 직선 에 수직인 평면 의 방정식은
⋅
∴ ∴ ⋯⋯ ㉠ 직선 의 방정식에서
로 놓으면
, , 이므로
점 B 으로 놓고 ㉠에 대입하면
∴ 따라서 B 이므로
AB
45. [정답] ④ [풀이]
P , , 이라 하면 직선 AP의 방정식은
, 평면의 방정식은 이므로 직선의 방정식과 평면의 방정식을 연립하여 풀면
,
,
P가 처음 B 에 있을 때 Q B, 0, 0)
축의 양의 방향으로 한없이 움직이므로 → ∞이다.
Q
p ,
,
가 (0, 1, 1)로 수렴하므로 Q의 자취의 길이는
이다.46. [정답]
[풀이]
[출제의도] 이해 능력 – 공간벡터 주어진 정팔면체와 평면 이
평면에서 만나는 점은 A , B
평면에서 만나는 점은 C , D
평면에서 만나는 점은 E , F 이다.
따라서 주어진 정팔면체와 평면 이 만나서 생기는 도형은 육 각형 ADFBCE이다.
점 C, D, E, F를 평면에 정사영한 점을 각각 C′, D′, E′, F′ 라 하면 육각형 AD′F′BC′E′의 넓이는 이다.
평면과 평면 이 이루는 각을 라 하면 cos ⋅
⋅
이므로
cos
∴ ∴
47. [정답]
[풀이]
[출제의도] 세 평면의 교점을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
주어진 네 평면 중 세 평면이 만나는 점이 사면체의 꼭짓점이므로 A , B , C 이다.
따라서 사면체 OABC의 부피는
×
× ×
× ∴
48. [정답]
[풀이]
세 직선의 방향벡터가 모두 평면의 법선벡터와 수직이므로 내적의 값은
이어야 한다.
이라 하고 내적을 계산하면
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
⋯⋯ ㉢
㉡-㉠에서 ⋯⋯ ㉣
㉡-㉢에서 ⋯⋯ ㉤
㉣ × -㉤ × 에서 ,
이면 이므로 평면이 존재하지 않는다.
∴
∴
49. [정답]
[풀이]
•
직선 의 방정식은
이고, 직선 위의 임의의 점 의 좌표를 로 놓으면
일 때, 의 값은 최소이고, 점 의 좌표는
이므로점 는 선분 위에 있다.
∴
∴
50. [정답]
이므로
CH⋅ ⋅
∴
∴ H
∴ CH
∴ AH
따라서 삼각형 CAB의 넓이 는 AB⋅CH
⋅ ⋅
∴
51. [정답]
[풀이]
사면체 PQRS 의 부피는
× ∆PRS × PQ
×
× ×
× 한편, QR QS이므로 ∴
∴
(∵ )
′ 에서
일 때, 극대이자 최대가 된다.
따라서 부피의 최댓값은
× ×
52. [정답]
[풀이]
도형 위의 점 P 라 두면 ≤ , ≤ ≤ 을 만족한 다.
주어진 도형의 자취는 결국 두 점 A와 P를 지나는 직선의 방정식이
평면과 만나서 생기는 점들의 자취라 볼 수 있다.
여기서, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 유도해보면
⇒
라 둘 수 있다.
이 직선 위의 임의의 점을 매개변수 를 활용해 표기하면
라 둘 수 있다.
이때, 평면과의 교점은 결국 인 점들이므로 을 만족시킨다.
여기서,
, ,
가 성립한다.
∴
,
이 식을 위의 원의 방정식에 넣어서 정리하면 ≥
, ≤ ≤ 이
된다.
그러므로 주어진 자취의 넓이는
=
∴
53. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 직선의 방정식을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
이고 방향벡터는 이므로 수선의 발 H 를 H 라 하면
OH⋅ 에서 ∴ 따라서 H 이므로 이다.
54. [정답] ①
직선 의 방향벡터 이고 ⊥ 이므로
⋅ 에서
∴
55. [정답] ③
[출제의도] 이해능력-공간도형과 공간벡터
직선의 방향벡터 와 평면의 법선벡터 가 서 로 평행하므로 실수 에 대하여 가 성립한다.
따라서 이므로 에서
56. [정답] [풀이]
평면 는 법선벡터가 이고 점 A 을 지나므로 점 B 는 평면 위의 점이므로
에서
∴ B ∴ AB AC 한편 원점은 평면 위의 점이므로
OA AC
[다른풀이]
는 실수라 하면
점 C 의 좌표를 라 하자
AB⊥AC이므로 AB∙ AC
∙
∴ 또는
이때, 이면 C 이 되어 모순이다.
∴
∴ B
한편, AB AC이므로
∴
×
×
57. [정답] ⑤
[출제의도] 직선의 방정식과 평면의 방정식을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.
직선
위의 점 는 모든 실수 에 대하여 이므로 평면의 방정식 에 대입하면
이다.
즉, 이므로
[출제의도] 평면의 방정식의 성질을 이해하여 두 평면이 이루는 각의 크기를 구한다.
두 평면의 법선 벡터를 각각 , 이라 하면 두 평면이 이루는 각의 크기 에 대하여
cos
∙
따라서 sin
cos
59. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 두 평면이 이루는 예각의 크기에 대한 코사인 값을 구할 수 있는가
평면 의 법선벡터를 라 하면
평면의 법선벡터를 라 하면 로 놓을 수 있다.
따라서 cos
∙
× × ×
×
60. [정답] ④ [풀이]
두 평면의 법선벡터는
,
두 평면이 이루는 각의 크기가 이므로
⋅
cos 에서
×
×
∴ (∵ )
61. [정답] ⑤
[출제의도] 이해능력-공간도형과 공간벡터 직선
⋯ ㉠
위의 임의의 점 의 좌표를 라 하면 점 의 평면 위로의 정사영의 좌표는 이다.
이때 점 는 등식 ㉠을 만족시키므로 점 은 등식
를 만족시킨다.
따라서 직선
의 평면 위로의 정사영인 직선 의 방 정식은
⋯ ㉡
마찬가지로 직선
의 평면 위로의 정사영 의 방정식 은
⋯ ㉢
두 직선 ㉡, ㉢의 방향벡터를 각각 라 하면
이므로
∙
62. [정답] ① [풀이]
삼수선의 정리를 이용하여 이면각 의 코사인 값을 구하면 cos
(여기서 심화미적 공식 살짝 쓰겠습니다.)
cos
∴ cos
색칠한 새로운 평면에 대해서도 삼수선의 정리를 사용하고 구한 코사인 값을 이용해
인 것을 알 수 있다.
63. [정답] ④ [풀이]
tan를 , 에 수직인 평면은 라 두고.
이라는 평면으로 tan tan
잘랐을 때의 단면은 다음과 같다.
tan
⇒
tan
그림에서 보면 알 수 있듯이 평면의 위치에 관계없이
S와 평면 위의 그림자의 평면 위로의 정사영의 크기가 일정하므로
라 둬도 무방하다.
여기서, 평면 위의 그림자의 넓이를 A, 평면 위의 정사영의 넓이를 S′이라 두면
S′ Scos Acos′
A ′ 이므로 S⋅
⋅
이다
∴S
64. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 점과 평면 사이의 거리를 활용할 수 있고 정사영의 넓이 를 구할 수 있는가?
점 A 과 평면 : 사이의 거리를 라 하면
⋅ ⋅
그러므로 AP≤ 인 점 P가 나타내는 도형은 그림에서 반지름의 길이가
인 원의 경계 및 내부이다.한편, 평면의 법선벡터는 이고 평면 의 법선벡터는
이므로 평면과 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 하면 cos
⋅ ⋅ ⋅
따라서 구하는 정사영의 넓이는
× cos ×
65. [정답] ② [풀이]
A
B
10
8
그림의 직각삼각형 ABO에서
OA , AB 이므로
OB
원기둥의 한 밑면과 평면 이 이루는 각의 크기를 라 하면 각 OAB 의 크기도 이므로
cos
이때, 원기둥의 한 밑면의 넓이를 , 이 밑면의 평면 위로의 정사 영의 넓이를 ′이라 하면
×
′ × cos ×
66. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 좌표공간에서 점과 평면 사이의 거리를 계산한다.
원점 O와 평면 사이의 거리는
67. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 추론 능력 – 공간좌표
평면 ABC 의 절편, 절편, 절편이 각각 이므로 평면 방정식 은
,
따라서 DH는 점 D 와 평면 사이의 거리이므로
DH
⋅ ⋅ ⋅
68. [정답] ② [풀이]
주어진 구는 중심이 이고 반지름의 길이가 인 구이다.
따라서 중심 으로부터 평면 까지의 거리는
그러므로 구의 점에서 평면까지의 거리의 최솟값은
[풀이]
[출제의도] 구의 성질을 이용하여 평면과 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다.
점 P와 평면 사이의 거리가 최대일 때는 구의 중심 C 을 지나고 평면에 수직인 직선이 구와 만나는 두 점 중 평면과의 거리가 더 먼 점 이 P일 때이다.
점 C 과 평면 사이의 거리는
× × ×
이므로 거리의 최댓값은
이다.
따라서 ×
70. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 평행한 두 평면 사이의 거리를 구할 수 있다.
오른쪽 그림과 같이 접하는 구의 단면을 생각하면 두 평면 에 동시 에 접하는 구의 지름의 길이는 두 평면 사이의 거리 와 같다.
평면 위의 한 점 에서 평면 까지의 거리를 구하면
∣ ∣
71. [정답] ② [풀이]
점 A 는 직선
위에 있으므로
,
따라서 점 A 와 평면 사이의 거리는
× × ×
72. [정답] ② [풀이]
점 가 구 위에 있으므로
한편, 두 평면 은 서로 평행하므로
이 두 평면 사이의 최단거리 는 평면 위의 한 점
로부터평면 에 이르는 거리와 같다.
따라서
⋅ ⋅
⋅
73. [정답] ② [풀이]
점 D의 좌표를 라 할 때,
DG가 평면 의 법선벡터가 되므로
따라서 DG
한 변의 길이가 인 정사면체의 높이가
이므로 구하는 정사면체의 한 변의 길이는
×
[다른풀이]
삼각형 ABC의 무게중심 을 G라 하자.
D에서 평면 ABC에 내린 수선의 발은 삼각형 ABC의 무게중심 G 이므로
DG⊥평면 ABC이므로 DG
∴ D
D가 평면 위에 있으므로
∴
∴ D
D에서 평면 ABC까지의 거리는
DG
정사면체의 한 모서리의 길이를 라 하면
DG
∴
74. [정답] ③ [풀이]
[벡터]
선분 의 중점을 ,
에서 평면에 내린 수선의 발을 ′으로 놓으면
∣ ∣ ∣∣ ≥ ∣′ ∣ 그런데 의 좌표는 이므로
점 과 평면 사이의 거리는 선분 ′의 길이므로
∣ ∣
따라서 구하는 최솟값은 ∣′ ∣ 이다.
75. [정답]
[풀이]AB 에서
AB 라 하면
OB OA AB 이고, B는 평면 위의 점이므로
에서
∴ OB
OA ⋅OB
76. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 직선과 평면의 방정식
평면 의 방정식을 구하면 삼각형 에서 ∙
점과 평면 사이의 거리 공식에 의해
∴
77. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.
두 벡터 AP, AB가 이루는 각의 크기를 라 하자.
AP∙ AB
AP
AB
cos
AB
에서
AP
cos
AB
가 성립하므로 점 P는 점 B를 지나고 직선 AB에 수직인 평면과 구의 교선인 원 위에 있다.
이때, 이 원의 반지름의 길이는 구의 중심과 직선 AB 사이의 거리와 같다.
한편, 원점 O에서 직선 에 내린 수선의 발을 H 라 하면
∙ 에서 이다.
이때, H 이므로 OH이다.
따라서 구하는 도형의 길이는 이다.
78. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 벡터의 내적에 관한 성질을 알고 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
로 놓고 평면의 방정식에 대입하면
∴A
OA∙ OP OP∙ OP에서 OP ∙ AP 이다.
따라서 점 P는 선분 OA를 지름으로 하는 구 위의 점이고, 이 구의 중 심의 좌표는 , 반지름의 길이는 이므로 구하는 최댓값은
79. [정답]
[풀이]
[출제의도] 평면과 평면의 위치 관계와 정사영을 이용하여 도형과 관 련된 문제를 해결한다.
평면 에 의하여 정육면체가 잘린 단면은 그림과 같다.
두 평면 , 의 법선벡터가 각각 , 이 므로 두 평면이 이루는 각 에 대하여 ⋅ ⋅ cos , cos
오각형 HIJKL의 정사영이 오각형 OAJKC 이므로
cos
따라서 이므로
80. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 벡터
평면 과 평면 의 법선벡터는 각각 ,
이므로 두 평면이 이루는 각의 크기를 라 하면 cos
∙