Nonlinear system: 선형 시스템이 아닌 시스템

Ch.1 신호와 시스템의 개념



Linear if

• Additive:

• Homogeneous:



Linearity를 위한 필요충분 조건: 중첩의 원리 성립



Nonlinear system: 선형 시스템이 아닌 시스템

• Additivity나 homogenity 중 어느 하나라도 만족이 안 되는 시스템

Linear System vs. Nonlinear System



 

 



T x t  x t T x t T x t



 



T x t T x t

1 2 1 2

[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]

T  x t   x t T x t   T x t



Principle of superposition

( ) T  0 t

1 x t¹( ) y t₁( )

1( ) x t

0 t

1( ) y t

T( ) 0 t

2( )

x t y t₂( )

2( ) x t

0 t

2( ) y t

( ) T  0 t

1

1 2

( ) ( ) ( ) x t

x t x t



 ^{1 2}

( ) ( ) ( ) y t

y t y t





1 2

( ) x t  x x

0 t

1 2

( ) y t  y y

( ) T  0 t



1

( ) ( ) x t

x t



1

( ) ( ) y t

y t

 ( ) 1

x t x

0 t ( ) 1

y t y



Equivalence of linear system

( )

T  y t( )

1( ) 

x t x¹

x 







2( )

x t x² ^x1  ^x2



( ) T 

( ) y t

1( )

x t   ^y1



 y2

 y1

( ) T  ( )

x t ^y2 



Time Invariant (TIV: 시불변) 시스템의 개념

• 시스템의 속성이 시간에 따라 변하지 않는 시스템

• 시스템이 동작하는 시점에 상관 없이 항상 같은 출력을 발생

• y(t)=T[x(t)]이면, 인 경우

• ex)



Time Varying (TV) 시스템

• TIV 시스템이 아닌 시스템(속성이 시간에 따라 변하는 시스템)

• ex)

TIV System vs. TV System

0 0

[ ( )] ( )

T x t t  y t t (a) ( ) 3 ( )

(b) ( ) 2 ( ) ( )

y t x t

dy t y t x t

dt



 

(c) ( ) ( )

(d) ( )( ) ( ) y t t x t

dy t t y t x t dt



 



TIV 시스템

( ) T  0 t

1 x t( ) y t( )

( ) x t

0 t ( ) y t

( ) T  0 t

1 ¹

0

( )

( )

x t x t t





1( ) x t

0 t

1( ) y t

t0

t0 1

0

( )

( )

y t y t t





t 만큼 이동0 t 만큼 이동0

[ ( )] ( )

T x t t  y t t



Causal (인과) System의 개념

• 현재의 출력에 과거와 현재의 입력은 영향을 미치나 미래의 입력은 영향을 미치지 않는 시스템, 즉 원인(cause)이 있어야 결과(effect)가 있는 시스템

• 시각 t₀에서 시스템의 출력 y(t₀)이 현재와 과거의 입력, 즉 t ≤ t₀ 의 입력에 의해서만 결정되는 시스템



Noncausal (비인과) System

• t > t₀ 의 입력이 y(t₀)에 영향을 미치는 시스템

Causal System vs. Noncausal System



Causal System의 정의

• 임의의 두 개 입력 x₁(t)와 x₂(t) 가 다음과 같은 경우

• 대응하는 출력 y₁(t)와 y₂(t)도 역시

를 만족한다면 이 시스템을 인과적이라 한다.

1( ) 2( ), 0

x t  x t  t t

1( ) 2( ), 0

y t  y t  t t

1( ) x t

0 t t



2( ) x t

( ) ( ) x t  x t

1( ) y t

0 t t



2( ) y t

( ) ( ) y t  y t





선형 시스템의 인과성 조건

(a)

(b)

Linear System의 Causality

0 0

( ) 0 ( ) 0

x t   t t 이면 y t   t t

( ) 0 for 0

h t  t 

( ) y t

t ( )

x t

t

t0 t₀

Causal linear ( )

x t y t( )

system

( ) 0

x t  y t( ) 0

 

Causal linear ( )t

 _{h t( )}

system ( )t



0 t

( ) h t

0 t

( ) 0 h t 

 (a)

(b)



BIBO Stability

• BIBO 안정 시스템(stable system) :

1. 임의의 유한한 크기의 입력을 가했을 때(bounded input), 출력이 무한한 크기로 발산하지 않는(bounded output) 시스템

2. 모든 t 에서 에 대해, 모든 t 에서 을 만족시키는 시스템

• BIBO 불안정 시스템(unstable system) : 출력이 발산하는 시스템

Stable System vs. Unstable System

( ) _x x t  B  

( ) _y

y t  B  

(a) BIBO 안정성을 증명하려면, 크기가 제한된 모든 종류의 입력 신호에 대해 출력 신호의 크기가 제한되는 것을 보여야 하나,

(b) 불안정성을 증명하는 경우에는, 출력 신호가 발산하게 되는 제한된 크기의 입력 신호의 예를 하나만 제시해도 충분

( ) x t

1( ) 안정 y t

시스템

불안정

시스템 y t²( ) 0 t

Bx

( ) x t

0 t By

1( ) y t

Bx



0 t

2( ) y t (a)

(b)

By





무기억 (memoryless) 시스템

• 현재 출력 값이 오직 현재의 입력 값에만 관계되는 시스템

• 과거나 미래의 입력이 현재의 출력에 영향을 주지 않음

• 시스템 구현 시 기억 소자 불필요

• 예:



기억 (memory) 시스템

• 과거의 입력이 현재의 출력에 영향을 주는 시스템

• 시스템 구현 시 기억 소자 필요

• 예:

기억 System vs. 무기억 System

2 2

( ) ^t ( ), ( ) 2 ( ) ( ) y t e^ x t y t  x t x t

2( )

( ) ( 1), ( ) ^t ( ) , ( ) ^{t t} ( ) y t  x t y t 







가역성 (invertible) 시스템

• 시스템의 출력을 관측함으로써 입력 신호를 결정할 수 있는 시스템

• 입력과 출력이 일 대 일 mapping 관계 성립

• 역 시스템을 시스템 출력에 직렬로 연결하면 원래의 입력 신호 복원

• 예) 음성 부호화 시스템 encoder와 역 시스템 decoder,



비가역성 시스템

• 예) 일 대 다 mapping 관계,

가역성 System vs. 비가역성 System

system ( )

x t y t( )

( ) ( ) z t  x t inverse

system

( ) 2 ( ), ( ) ^t ( ) , ( ) 0

y t x t y t x  d y

 



( ) sin ( ) y t  x t



신호와 시스템 해석

• 신호와 시스템 간의 상호 작용에 대해 알아내는 과정

• 시스템 유형에 따라 입출력 간의 상호 작용 특성이 다르게 드러남



신호 처리 (signal processing)

• 주어진 신호를 변화시켜 원하는 성질을 갖도록 시스템을 설계하여 그 시스템에 통과시키는 과정



시스템 설계

• 먼저 시스템에 대한 수학적 모델링을 하고, 원하는 신호 처리 기능이 이루어지도록 시스템 파라미터와 시스템 구조를 결정

• 시스템 모델링

시스템 유형과 복잡도(예: 미분방정식 차수)를 적절히 선정

복잡도가 높을수록 원하는 기능이 정확히 작동, 구현상 어려움 설계된 시스템의 안정성 및 실현 가능성을 검증하는 것도 필요

신호와 시스템의 해석



시간 영역 vs. 주파수 영역 시스템 해석

• 시간 영역에서 가능,

다른 영역(주파수 영역 또는 s-영역)에서 훨씬 용이함

• 주파수 영역 신호 해석

시간을 독립변수로 표현한 신호 x(t) 대신

이를 푸리에 변환하여 주파수를 독립변수로 한 함수 X() 를 사용

시스템(임펄스 응답)도 주파수 영역에서의 표현이 필요(주파수 응답)

불안정한 시스템의 경우 푸리에 변환이 존재 불가

불안정한 시스템 포함한 해석: 푸리에 변환을 확장한 라플라스 변환



연속시간 시스템의 시간 영역 해석

• 시스템의 표현 방식: 입출력 관계를 시간 영역에서 표현(3장)

입출력 미분방정식(differential equation)

임펄스 응답[함수](impulse response [function])

• 시스템의 응답(출력)을 구하는 방법

입출력 미분방정식: 방정식의 해(solution)를 구함

임펄스 응답[함수]: 컨볼루션 적분(convolution integral)



연속시간 시스템의 주파수 (또는 s-) 영역 해석

• 시스템의 표현 방식: Fourier 변환과 Laplace 변환 (4~6장)

주파수 응답[함수](frequency response [function]): H()

전달함수(transfer function): H(s)

• 시스템의 응답(출력)을 구하는 방법

H():

H(s):

( ) ( ) ( ) ^t ( ) ( ) y t h t x t h t  x  d

  



 

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) Y   H  X   y t  F^ Y 

 

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) Y s  H s X s  y t  L^ Y s



이산시간 시스템의 시간 영역 해석

• 시스템의 표현 방식: 입출력 관계를 시간 영역에서 표현(7장)

입출력 차분방정식(difference equation)

임펄스 응답[함수](impulse response [function])

• 시스템의 응답(출력)을 구하는 방법

입출력 차분방정식: 방정식의 해(solution)를 구함

임펄스 응답[함수]: 컨볼루션 합(convolution sum)



이산시간 시스템의 주파수 (또는 Z-) 영역 해석

• 시스템의 표현 방식: 이산시간 Fourier 변환과 Z- 변환 (8~10장)

주파수 응답[함수](frequency response [function]): H()

전달함수(transfer function): H(z)

• 시스템의 응답(출력)을 구하는 방법

H():

H(z):

 

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )

Y   H  X   y t  F^ Y 

[ ] [ ] [ ] ⁿ [ ] [ ]

k

y n h n x n h n k x k



  



 

( ) ( ) ( ) [ ] 1 ( ) Y z  H z X z  y n  Z^ Y z