30장. 자기장의 원천
(Sources of the Magnetic Field)
30.1 비오-사바르 법칙
30.2 두 평행 도체 사이의 자기력 30.3 앙페르의 법칙
30.4 솔레노이드의 자기장
30.5 자기에서의 가우스 법칙
30.6 물질 내의 자성
- Oersted의 법칙을 일반화
- 1820년 (Jean Baptiste Biot (1774 ~ 1862) & Felix Savare (1791 ~ 1841)) - 전류와 자기장의 세기를 일반화
o 정상 전류
I
가 흐르는 도선의 길이 요소dℓ
에 의한 점P
에서의 자기장dB
에 대한 실험적 측정 결과는 다음과 같다.■
dB
⊥dℓ
anddB
∝dℓ
- 자기장
dB
는ds
(전류 방향의 미소 변위)와ds
에서 점P
를 향하는 벡터r
에 수직이다.■
dB
∝ 1/r
2- dB
의 크기는r
2 에 반비례한다. 여기서r
은dℓ
로 부터P
까지의 거리이다.■
dB
∝ sinθ
whereθ =
(dℓ
,r
)- dB
의 크기는 전류 및 길이 요소dℓ
의 크기dℓ
에 비례한다.■
dB
의 크기는 sinθ
에 비례한다.여기서
θ
는 벡터dℓ
와r
사이의 각이다.30.1 비오-사바르의 법칙
(The Biot-Savart Law)
2
0
ˆ
4 r
r
d Id
B
A m T / 10
4
70
0 2ˆ
4 r
r d
I
B
∴
비오-사바르 법칙
(Biot-Savare's Law)A m T / 4 10
0
7
0
0 c 1
2 3 10
81 m/sec
2cf
); 자유 공간의 투자율
(Permeability of free space)
- 유한한 크기의 전류에 의한 임의의 점에서의 자기장
B
를 구하기 위해서는 전류를 구성하는 모든 전류 요소Ids
로부터 만들어지는 자기장을 합해야 한다.- 전류가 흐르는 도선에 대한 비오-사바르 법칙은 텔레비전의 전자빔 처럼 공간 안을 이동하는 전하가 만드는 전류에 대해서도 타당하다.
가는 직선 도체 주위의 자기장 예제 30.1
x-축을 따라 놓여 있고 일정한 전류 I 가 흐르는 가는 직선 도선을 생각하자.
점 P 에서의 자기장의 크기와 방향을 구하라.
Sol 점 P로부터 거리 r에 있는 길이 요소 ds 로
인한 점 P 에서의 자기장은 ds ×r 의 방향 이므로 그림 면에서 나오는 방향이다.
사실상 모든 전류 요소가 그림 면에 있으므 로 점 P에서 그림 면 밖으로 향하는 자기장 이 발생한다.
a B I
2
0
☆
- 무한히 긴 직선 도선의 경우 :
a B I
2
0무한히 긴 직선 도선의 경우 :
- 무한 직선 도선에 전류
I
가 흐를 때 도선에서a
떨어진 지점에서의 자기장의 세기곡선 부분 도선에 의한 자기장 예제 30.2
전류가 흐르는 부분 도선에 의한 점 O에서의 자기장을 구하라. 도선은 두 개의 직선 부 분과 반지름이 a이고 중심각이 θ인 원호로 이루어져 있다. 도선의 화살표는 전류의 방 향을 표시한다.
풀이
a I a
B I
2 2 4
0
0
선분 AA’ 과 CC’ 은 무시할 수 있으므로, 곡선 부분 도선 AC 에 비오-사바르 법칙을 적용한다.
경로 AC 에 의한 O 점에서의 자기장은 그림 면으로 들어가는 자기장만을 만든다.
- 원형 고리 중심에서의 자기장은 (
θ
= 2π
)원형 전류 도선의 축상에서의 자기장 예제 30.3
yz 평면에 위치한 반지름 R 의 원형 도선에 전류 I 가 흐르는 경우를 생각하자.
중심으로부터 x 만큼 떨어진 축상의 점 P 에서의 자기장을 계산하라.
풀이
ds
r ds ˆ
) (
4 ˆ
4
2 20 2
0
x R
ds I
r I d
dB
s r
P 점에서의 자기장은 x 축 성분과 그에 수직한 성분으로 분해할 수 있는데, 수직한 성분은 대칭성 때문에 상쇄된다.
전류 길이 요소 ds 와 벡터 r 은 수직인 관계에 있다.
☆
R B I
2
0
3 2 0
2x B Ia
3 0
2 x
B
(μ
=IA
=Iπa
2)- 원형 중심에서의 자기장 (
x
=0) :cf ) 원형 전류에서 멀리 떨어진 곳에서의 자기장 B ? (x ≫ a) cf ) 자기 모멘트 :
30.2 두 평행 도체 사이의 자기력
(The Magnetic Force Between Two Parallel Conductors)
- 도체에 흐르는 전류는 주위에 자기장을 만들기 때문에, 전류가 흐르는 도체는 서로 자기력을 작용하게 된다.
- 이러한 힘은 암페어(
A
)와 쿨롱(C
)을 정의하는 근거로서 이용될 수 있다.-
I
2 에 의해서 거리ℓ
떨어진 도선I
1 에 생기는 자기장- 도선
I
1 은B
2 의 자기장내에 있으므로 자기력 (∵ℓ
⊥B
2)- 도선이 단위 길이당 받는 힘 : cf) 전류 I 의 방향이 같으면 인력, 서로 반대 방향이면 척력이 작용
a B I
2
2 0 2
2 1
1
B
F I
a
I I a
I I B
I
F
2 2
2 1 0 2
0 1
2 1
1
a I I F
B
2
2 1
0
1 m 떨어진 두 긴 평행 도선에 같은 전류가 흐를 때 단위 길이당 작용하는 힘이 2 × 10
-7N/m이면, 각 도선에 흐르는 전류를 1 A 로 정의한다.
o
Define
) *암페어(ampere,A
)의 정의 ; 전류의 크기o
Define
) *쿨롱(coulomb,C
)의 정의 ; 전하의 크기도체에 1A의 정상 전류(Steady State Current)가 흐를 때, 1초 동안 이 도체의 단면을 통과하는 전하의 총량을 1 C 이라한다
N/m 10
1 2 1 1
2
0
7 m
A A
F
공중에 떠있는 도선 예제 30.4
두 개의 무한히 긴 평행한 도선이 그림에서 보는 것처럼 1.00 cm 떨어져서 바닥 위에 놓 여 있다. 길이가 10.0m이고 질량이 400 g이며 전류 I1=100A가 흐르는 세 번째 도선이 두 도선 사이의 중앙에 위로 수평으로 떠있다. 무한히 긴 두 도선에는 같은 전류 I2가 떠 있는 도선과는 반대 방향으로 흐른다. 세 도선이 정삼각형을 이루려면 무한히 긴 두 도 선에 흐르는 전류는 얼마이어야 하는가?
풀이 짧은 도선의 전류는 긴 도선의 전류와 반대 방향으로 흐르므로 짧은 도선은 다른 두 도선과 서로 민다.
k k
F cos 30 . 0 ˆ 0 . 866 ˆ
2 2
0 1 2
0 1 2
a I I a
I I
B
k F
g mg ˆ
ˆ 0 866 ˆ
.
0
0 1 2
F F
BF
g I a I k mg k
1
0
2
0 . 866 I
a I mg
A
m A
A m T
m s
m I kg
113
) 0 . 10 )(
100 )(
/ 10
4 ( 866 . 0
) 0100 .
0 ( ) / 80 . 9 )(
400 . 0 (
7
2 2
☆
30.3 앙페르의 법칙
(Ampere’s Law)
- Oersted의 직선도선에 흐르는 전류의 방향과 나침반의 관계를 도식화 - 오른 나사의 법칙을 도식화
- 직선 도선의 주위를
임의의 폐경로로 둘러싸면
→ Ampere's Loop
- Δ
ℓ
i → 0 :- 폐경로에서
B · dℓ 의 선적분은 μ
0I 와 같다. 여기서 I 는 폐경로에 의해서 둘러싸인 임의의 면을 통과하는 전체 정상 전류이다.
; 앙페르의 법칙 (Ampere’s law)
cf ) 무한 직선 도선에 전류 I가 흐를 때 도선에서 a 떨어진 지점에서의 자기장의 세기
in i
i
i
I
B
0
I
ind B
d
0
B
d
0I
inB
rB I
d
in
2
0
B
r B I
2
0
전류가 흐르는 긴 도선에 의한 자기장 예제 30.5
반지름 R 인 긴 직선 도선에 그림과 같이 도선의 단면에 균일하게 분포된 정상 전류 I 가 흐른다. 도선의 중심으로부터의 거리 r 이 r ≥ R 그리고 r < R 인 영역에서의 자기장을 구하라.
Sol i) r > R : 외부 ⇒ 원 1을 적분 경로로 선택하면
r B
outI
2
0
iii) r < R : 내부 ⇒ 도선 내부의 경우 원 2를 적분 경로로 선택하면 내부에서는 전류밀도(J )가 일정
2 2
R r I
I
I
R I r
2
2
B d B ( 2 r )
0I
0R r
22I B
in 2
0R I
2 r ( r R 의 경우 ) I
rB
I d
B Bd
d
in0
0
2
B
ii) r = R : 표면
R B
RI
2
0
☆
30.4 솔레노이드의 자기장
(The Magnetic Field of a Solenoid)
솔레노이드(Solenoid)는 나선형으로 감은 긴 도선이다. 내부 영역에 비교적 일정한 자기장을 만들 수 있다. 솔레노이드의 길이가 증가함에 따라 내부의 자기장은 점점 균일해지고 외부의 자기장은 더욱더 약해진다.
4 3
2 1
2
path path
path path
loop
d d
d d
d d
B B
B B
B B
B d
B Bd
d
path path
path
1 1
1
B
Bd
Bd
0
B
- loop 2 에 대하여 Ampere's Law를 고려하면
NI B
d
0 B B
0N I
0nI
“솔레노이드 내부 자기장”
(N 회 감은 도선에 흐르는 총 전류 = NI )
n N where
토로이드에 대한 자기장 (Toroid or Torus) 예제 30.6
- Toroid : Solenoid를 원형으로 감은 형태
NI rB
I d
B Bd
d
in0
0
2
B
r r
B
ToroidNI 1
2
0
- Toroid 내부에 반경
r
인 Amperian Loop을 잡으면30.5 자기에서의 가우스 법칙
(Gauss’s Law in Magnetism)
- 자기장에 관한 (자기)선속은 전기선속을 정의할 때 사용한 것과 비슷한 방법으로 정의된다.
- 면적이
A
인 평면에 일정한 자기장B
가 모든 면적 요소 벡터dA
와 각θ
를 이루는 특별한 경우를 고려하자.(단위; T.m2 = Wb, 웨버)
BB d A
cos
B
BA
직사각형 도선 고리를 관통하는 자기 선속 예제 30.7
I rB
I
d
in0 0
2
B
Sol
r B I
2
0
- 자기선속 : Φ m
☆
dr
r b BdA I
A d
m
B
2
0
bdr I dA
B ,
where 2
0
- 길이
b
, 폭a
인 직사각형의 도선- 전류
I
에서r
떨어진 곳에서의 자기장의 세기B
를 구하고 - 이 도선고리를 통과하는 전체 자기선속 Φm 을 구하라- by Ampere’s Law :
c c a r Ib
dr Ib r
Ib
c ac a
c c
1 2 ln 2 ln
2
0 0
0
o 자기에서의 가우스 법칙
(Gauss’s Law in Magnetism)- 전하를 둘러싼 폐곡면을 통과하는 전기 선속은 그 전하량에 비례한다. 다시 말하면 그 폐곡면을 뚫고 나오는 전기력선의 수는 그 안에 있는 알짜 전하에 비례한다. 자기장의 경우를 생각하자.
- 자기력선은 어느 한 점에서 시작되거나 끝나지 않는다.
임의의 폐곡면에 대하여, 표면 안으로 들어가는 자기력선의 수는 표면으로부터 나오는 자기력선의 수와 같기 때문에 알짜 자기선속은 영이다.
- 자기에 대한 가우스의 법칙 (Gauss’s law in Magnetism)
임의의 폐곡면을 통과한 알짜 자기선속은 항상 영이다.
No Magnetic Monopole!
- 이 설명은 고립된 자기 홀극은 발견되지 않았고 아마도 존재하지 않음을 나타낸다. 그럼에도 불구하고 기본적인
물리 현상을 성공적으로 설명하기 위한 이론들이 자기 홀극의 존재 가능성을 제안하므로 계속적으로 탐색하고 있다.
B dA 0
30.6 물질 내의 자성
(Magnetism in Matter)
◈ 원자의 자기 모멘트
(The Magnetic Moments of Atoms)- 원자 = 핵 + 전자
- 전자는 핵 주위를 궤도 운동
- 전자들이 자신보다 질량이 훨씬 더 큰 핵 주위를 회전한다는 원자의 고전적인 모형에서 회전하는 전자는 작은 전류 고리를 형성하며
- 전자의 자기 모멘트는 이 궤도 운동과 연관이 있다.
- 전류 :
- Magnetic Moment :
r ev e
T I e
2 2
m L e
e
2 where , L rp m
evr
대부분의 물질에서 원자 내의 한 전자의 자기 모멘트는 반대 방향으로 도는 다른 전자의 자기 모멘트와 상쇄된다. 전자의 궤도 운동에 의한 자기적 효과는 영(0)이거나 또는 매우 작다.
evr r r
IA ev
2 212
2
3 S
e
spin
m
e 2
T m J
e
e
B
9 . 27 10 /
2
24
o Spin Magnetic Dipole Moment
- 스핀에 관계되는 각운동량
S
의 크기는궤도 운동에 의한 각운동량
L
의 크기와 같은 크기 정도를 갖는다.◎ B : Bohr Magneton
◎ 자기구역
(Magnetic Domains)- 그 안에 있는 모든 자기 쌍극자 모멘트들이 정렬되어 있는 미시적 영역.
◈ 강자성
(Ferromagnetism)- 이런 물질들은 약한 외부 자기장에도 평행하게 정렬하려는 영구 원자 자기 모멘트를 갖는다.
- 자기 모멘트가 정렬하면 이들 물질은 외부 자기장이 제거된 후에도 자기화된 상태를 유지한다.
◎ Hysteresis Curves in Ferromagnetism :
o 잔류 자화 "Magnetic Remnant"
-
b
점,-
B
app=0 에서의B
의 크기 ⇒ 외부B
제거시의 내부 자기장의 세기o 퀴리 온도(Curie temperature)
- 강자성체의 온도가 퀴리 온도(Curie temperature)라고 하는 임계 온도에 도달하거나 넘어가면 물질은 잔류 자기화를 잃고 상자성체가 된다.
- by Experiments : "Curie's Law"
T C B
M
extT : Kelvin Temperature C : Curie Constant
M
sC k 3
1
◈ 상자성
(Paramagnetism)- 상자성체는 영구 자기 모멘트를 갖는 원자(또는 이온)를 갖고 있기 때문에 작은 자기장을 갖는다.
- 외부 자기장에 놓이면 물질의 원자 모멘트는 자기장에 따라서 정렬한다. 그러나 이러한 정렬 과정은 자기 모멘트 방향을 불규칙하게 하려는 열적 운동과 겨루어야 한다.
◈ 반자성
(Diamagnetism)- 외부 자기장이 반자성체에 걸리면, 약한 자기 모멘트가 자기장과 반대 방향 으로 유도된다. 이 때문에 반자성체가 자석에 의해서 약하게 반발하게 된다.
- 어떤 초전도체는 초전도 상태에서 완벽한 반자성을 나타낸다. 그 결과 외부 자기장은 초전도체에 의해서 밖으로 밀려나가서 초전도체 내부의 자기장은 영이 된다. 이 현상을 마이스너 효과(Meissner effect)라고 한다.
o 초전도체에서 외부 자기장에 대하여 반대 방향으로 Spin 정렬 : 자기 부상
cf
) 부상 : "Meissner Effect"- 초전도체의 경우 Critical Temperature 이하에서 Perfect Diamagnetism