1.zb1)
다음 그림에서 점
O는
△ABC의 외심이다. 다음 중 옳은 것은?
① OD = OE = OF ② OA = OB = OC
③ AD = AF ④ ∠OCE = ∠OCF
⑤ △OBD≡△OBE
2.zb2)
다음 그림과 같이
△ABC의 내심
I를 지나고, 변
BC에 평행한 직선이 변
AB, AC와 만나는 점을 각각
D, E
라고 할 때,
AD = 6cm,
AE = 9cm, DB = 2cm, EC = 3cm, BC = 10cm
일 때,
△ADE의 둘레의 길이는?
① 20 cm ② 21 cm ③ 22 cm
④ 23 cm ⑤ 24 cm
3.zb3)
다음 그림에서 점
I는 직각삼각형
ABC의 내심이 다. 삼각형의 세 변의 길이가 각각
10 cm,
8cm, 6cm일 때, 색칠한 부분의 넓이는?
① ( 24 - π) cm2 ② ( 24 - 2π) cm2
③ ( 24 - 4π) cm2 ④ ( 36 - 2π) cm2
⑤ ( 48 - 4π) cm2
4.zb4)
다음 그림과 같이
△ABC의 내심
I를 지나고 선분
BC에 평행한 직선과 선분
AB, 선분
AC의 교점을 각 각
D, E라 한다.
BD = 3, CE = 2일 때,
DE의 길 이는?
① 4 ② 5 ③ 6
④ 7 ⑤ 8
5.zb5)
다음 그림에서
∠x+ ∠y의 크기는?(단, 점
I는
△ABC
의 내심, 점
O는
△DEF의 외심)
6.zb6)
정삼각형의 외심과 내심이 일치하는 이유를 설명하여 라.
7.zb7) ∠A = 90°
삼각형의 내접원의 넓이를
a, 외접원의 넓이를
b라 할 때,
b-a를 구하면?
① 15π ② 17π ③ 20π
④ 21π ⑤ 25π
8.zb8)
다음 그림에서 점
O는 외심이다.
x의 크기는?
① 60° ② 65° ③ 70°
④ 75° ⑤ 80°
9.zb9)
다음 그림에서
△ABC의 둘레는
18이다.
AD의 길이는?(원은 내접원,
D, E, F는 접점)
① 1 ② 2 ③ 3
④ 4 ⑤ 5
10.zb10)
다음 중 설명이 옳지 않은 것을 두 가지 고르면?
① 선분의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점은 그 선분의 수직 이등분선위에 있는 점이다.
② 삼각형의 외심은 세 꼭지점에서 같은 거리에 있다.
③ 삼각형의 내심에서 각 변에 내린 수선은 각 변을 이등 분한다.
④ 정삼각형은 외심과 내심이 일치한다.
⑤ 둔각 삼각형의 내심과 외심은 삼각형 외부에 있다.
11.zb11)
다음 그림의 직각삼각형
ABC에서 내접원
I의 반
지름의 길이는?
① 1.5 cm ② 2 cm ③ 2.5 cm
④ 3 cm ⑤ 4 cm
12.zb12)
다음은
△ABC의 내심
I를 지나고 변
BC에 평행
한 직선의 교점을 각각
D, E라고 할 때,
BD + CE = DE임을 증명하는 과정이다. 괄호 안에 들 어갈 것이 순서대로 맞게 연결된 것은?
[가정] △ABC의 내심 : ( ㉠ ) [결론] BD + CE = DE
[증명] △DBI는 이등변 삼각형
∵ ∠DBI = ∠CBI, ∠CBI = ( ㉡ ) → DB = DI
△ECI는 이등변 삼각형
∵ ∠ECI = ∠BCI, ∠BCI = ∠EIC → ( ㉢ ) = EI
∴ BD + CE = DE
① DE// BC ∠IBD EC
② ∠DBI = ∠CBI DE// BC CE
③ ∠ECI = ∠BCI ∠DIB DE
④ DE// BC ∠BCI BD
⑤ DE// BC ∠DIB CE
13.zb13)
다음 그림의 이등변삼각형
ABC에서 점
I, O는
각각 내심, 외심이다.
∠BAC = 50°,
∠BIC - ∠BOC의 크기는?
① 5° ② 10° ③ 15°
④ 20° ⑤ 25°
14.zb14)
그림에서
BC위의 점
D는
△ABC의 외심이다.
∠B = 30°
이고
AC = 3일 때,
BC의 길이는?
① 5 ② 6 ③ 7
④ 7.5 ⑤ 9
※ 그림을 보고 답하여라.
15.zb15)
점
D가 외심일 때,
∠BAD와 같은 각은?
① ∠CAD ② ∠ACD ③ ∠DCB
④ ∠DBC ⑤ ∠DBA
16.zb16)
점
D가 내심일 때,
∠DCB와 같은 것은?
① ∠CAD ② ∠BAD ③ ∠ACD
④ ∠DBC ⑤ ∠DBA
※ 세 변의 길이가 6, 8 , 10인 직각삼각형의 외접원과 내접원의 넓이의 차를 구하려고 한다. 다음 물음에 답하여라.
17.zb17)
내접원의 반지름의 길이를 구하여라.
18.zb18)
외접원의 반지름의 길이를 구하여라.
19.zb19)
외접원과 내접원의 넓이의 차를 구하여라.
20.zb20)
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만남을 증 명하여라.(괄호 안에 증명의 과정을 써 넣어라. 삼각형의 합동조건은 기호로 쓰지 말고 문장으로 반드시 쓸 것.)
[증명] 그림과 같이 △ABC에서 ∠A, ∠B의 이등분 선의 교점을 I라고 하고 점 I에서 세 변
AB, BC, CA에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라 하자.
△CIE와 △CIF에서 ( ① - ⑥ )
즉 CI는 ∠C는 이등분선이다. 따라서 세 각의 이등분 선은 한 점 I에서 만난다.
21.zb21)
다음 그림에서 원
O는
△ABC의 외접원이다.
∠BAC = 64°
일 때,
∠BOC의 크기를 구하면?
① 128° ② 132° ③ 135°
④ 140° ⑤ 145°
22.zb22) △ABC
에서 점
I는 내심이다. 다음 중 옳지 않은
것은?
① △BIF = △BID ② △IEA = △IEC
③ ∠FBI = ∠DBI ④ CD = CE
⑤ IE = ID = IF
23.zb23)
다음 그림에서 삼각형
ABC는
AB = AC인 이등
변삼각형이다. 점
O는 외심이고, 점
I는 내심이다.
∠A = 48°
일 때,
∠OBI의 크기를 구하면?
① 9° ② 10° ③ 12°
④ 15° ⑤ 18°
24.zb24)
다음 그림에서
∠B = 90°인 삼각형
ABC에서 점
O는 외심이고, 점
I는 내심이다.
AB = 3,
BC = 4, CA = 5
일 때,
OF의 길이를 구하시오.
25.zb25)
다음 중 삼각형의 외심을 작도하기 위해 필요한 작도
방법은 어느 것인가?
26.zb26)
다음 그림에서 점
I는
△ABC의 내심이다.
BC// DE
일 때,
△ABC의 둘레의 길이는?
① 28 cm ② 30 cm ③ 32 cm
④ 34 cm ⑤ 36 cm
27.zb27)
다음에 주어진
6개의 삼각형은 모두 합동이다. 이
삼각형들을 포개었을 때,
A, B, C, D,E, F중 같은 위치에 있는 것끼리 짝을 지어 보고, 점의 이름을 써라.
28.zb28)
점
O는
△ABC의 외심이고
∠BAO = 20°,
∠ACO = 40°
이 때,
∠OBC의 크기는?
① 10° ② 20° ③ 30°
④ 40° ⑤ 50°
29.zb29)
삼각형
ABC의 내심
I를 지나고,
BC에 평행한
직선과
AB, AC와의 교점을
D, E라 하고
AD = 6 cm, DB = 4cm, AE = 5cm, EC = 3cm,
BC = 9cm일 때,
DE의 길이는?
① 5 cm ② 6 cm ③ 7 cm
④ 8 cm ⑤ 9 cm
30.zb30)
다음 그림
△ABC에서
AB = AC,
∠BAD = ∠CAD
이고 점
P는
AD위의 임의의 점일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?
① △ABP≡△ACP ② ∠ADB = ∠ADC
③ AP = BP ④ BP = CP
⑤ BD = CD
1) [정답] ② 2) [정답] ①
[해설] △DBI에서 ∠DBI = ∠CBI이고(내심에서 꼭지점에 연결한 선은 그 각을 이등분 한다.) 또 ∠CBI는 ∠DIB와 같 다.(엇각) 따라서 선분DB와 선분DI는 같게 되며 선분IE와 선분EC또한 같은 방법에 의해 길이가 같은 선분이 된다.
따라서 △ADE의 둘레 길이는 20cm가 된다.
3) [정답] ③ 4) [정답] ②
[해설] DI= DB= 3, IE= EC= 2 DE= DI+ IE= 3 + 2 = 5
5) [정답] 102°
6) [정답]
외심은 삼각형의 세 선분의 수직이등분선의 교점이고 내심 은 각각의 삼각형의 각에 대한 이등분선이 만나는 교점이 다. 점 A에서 BC에 내린 수선의 발을 D라고 하자. 정삼각 형은 이등변삼각형이므로 이등변삼각형은 꼭지각의 이등분 선은 밑변을 수직 이등분한다는 성질을 갖고 있다. 따라서
AD⊥ BC, BD = CD
이다. 나머지 선분CF와 선분BE에 대해서도 성립한다. 그 수직이등분을 하는 교점들이 서로 만나는 점이 외심이다. 그런데 이 때 모두 꼭지각의 이등분 선을 내렸기 때문에AD, BE, CF
에 의해 각 A, B, C는 모두 이등분되고 그 이등분선의 교점이 만나므로 내심 이 된다. 따라서 정삼각형에서 외심과 내심은 일치한다.7) [정답] ④
[해설] 선분BC는 외접원의 지름이므로 외접원의 넓이는 25π이다. 내접원의 반지름은 삼각형 ABC에서 △ABC의 넓이는 24인데 이는 ( 6 + 8 + 10 ) ×반지름× 1
2 과 같 으므로 반지름은 2가 된다. 따라서 내접원의 넓이는 4π가 된다. 넓이의 차는 21π이다.
8) [정답] ① 9) [정답] ② 10) [정답] ③, ⑤ 11) [정답] ② [해설] 5×12× 1
2 = ( 13 + 12 + 5 )×r× 1 2 따라서 반지름은 2cm이다.
12) [정답] ⑤ 13) [정답] ③
[해설] ∠BOC는∠A의두배이므로 ( 외심의 성질 )100°이다.
또한 △ABC는 이등변삼각형이므로
∠B와∠C는 65°이다.
내심은 각 꼭지각을 이등분하므로 ∠IBC와∠ICB는37.5°가 된다.
따라서 ∠BIC는180° - 65° =115°이다. 두 각의 차이는 15°가 된다.
14) [정답] ②
[해설] 점 D가 △ABC의 외심이므로 BD= AD= DC 이
다. 따라서 각B가 30°이고 △ABD는 이등변삼각형이므로 각BAD는 30°이다. 그러면 각 ADB는 120°가 되므로 각 ADC는 60°가 되고 AD= DC이므로 각 DAC와 각C가 60°이다. 즉 △ADC는 정삼각형이다. 따라서
BD= AD= CD=AC= 3이므로 BC = 6이다.
15) [정답] ⑤ 16) [정답] ③ 17) [정답] 2 [해설] 1
2 ×6×8 = 1
2 × ( 6 + 8 + 10 ) ×x x= 2
18) [정답] 5 [해설] 10× 1
2 = 5 19) [정답] 21 π
[해설] 5×5×π - 2 ×2×π = 21 π
20) [정답] 각 FCI와 각ECI가 같고 각 CFI와 각 CEI는 직각이 다. 그리고 CI는 공통이므로 두 직각삼각형인 △CIE와
△CIF는 빗변이 같고, 직각이 아닌 나머지 대응하는 한 각이 같으므로 (RHA합동) FI= EI 이다
그러므로 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만난 다.
21) [정답] ①
[해설] 외심의 성질이용한다.
∠BOC= 2∠A= 128〫
22) [정답] ② 23) [정답] ①
[해설] 우선 외심의 성질에 의해 BOC는 96°이고, AO= BO= CO이므로 각 OBC는 42°이다. 한편, 각
∠ABC와 각 ∠ACB는 66°인데, 이때 I는 내심으로 BI는 각 ∠ABC를 이등분한다. 따라서 각IBC는 33°이고 따라서 각OBI는 42°-33°=9°이다.
24) [정답] 0.5
[해설] O는 외심이므로 외심의 성질에 의해
CO= AO= 2.5이다. 그 다음으로 내접원의 반지름의 길 이는 삼각형의 넓이로 구할 수 있다.
( 3 + 4 + 5 ) ×x× 1
2 = 6이므로 반지름은 1이된다. 따 라서 AD= AF= 2가 되고 FO= 2.5 - 2= 0.5
25) [정답] ④ 26) [정답] ⑤
[해설] 내심의 성질에 의해 BI와 CI는 각B와 C를 이등분한 다. 그러므로 ∠DBI= ∠IBC 이다
또한 BC//DE 이므로 ∠DIB= ∠IBC (엇각) ⇒ ∠DBI= ∠DIB
그러므로 △DBI는 이등변삼각형이 된다. 같은 방법으로 △ ECI는 이등변 삼각형이 된다. 그러므로
BD= DI, IE= EC 이므로 △ABC의 둘레는 (10+6+8+12)cm이 된다.
27) [정답] 1-3-5 (내심), 2-4-6(외심) 28) [정답] ③
[해설] O가 외심이므로 OA= OB= OC 이다. 그러므로
∠OAC= ∠OCA= 40〫 이므로 ∠A= 60〫 이다.
⇒ ∠BOC= 2∠A= 120〫
△OBC에서 OB= OC 이므로
x= 1
2 × ( 180 - 120 ) = 30〫
29) [정답] ③
[해설] 각 DIB= 각 IBC(엇각), 각EIC=각ICB(엇각)이므로△
DBI와 △EIC는 이등변 삼각형이다.
따라서 DB= DI, EC= EI DB= 7 이 된다.
30) [정답] ③
