초등 수학 내용 전문성 향상 과정 (초5~6학년군)
- 도형 영역 내용과 배경지식 탐구 (2) -
각기둥, 각뿔
원기둥, 원뿔, 구
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각기둥, 각뿔목차
1. 각기둥과 각뿔에 대한 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 2. 각기둥과 각뿔의 개념
3. 각기둥과 각뿔의 지도방법
1. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기
2015 개정 수학과 교육과정 5-6학년군 각기둥과 각뿔과 관련한 성취기준을 살펴보면 다음과 같다.
2015 개정 수학과 교육과정
성취기준 [6수02-06] 각기둥과 각뿔을 알고, 구성 요소와 성질을 이해한다.
[6수02-07] 각기둥의 전개도를 그릴 수 있다.
교수‧학습 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
· 각기둥의 전개도는 간단한 형태만 다루고, 각뿔과 원뿔의 전개도는 다루지 않 는다.
· 모형을 이용하여 입체도형의 구성 요소와 성질을 확인하게 한다.
· 도형 영역의 문제 상황에서 문제 해결 전략 비교하기, 주어진 문제에서 필요 없는 정보나 부족한 정보 찾기, 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기 등을 하여 문 제 해결 능력을 기르게 한다.
평가 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
- 입체도형의 전개도에 대한 평가는 전개도가 될 수 있는 것과 될 수 없는 것을 구별 하는데 중점을 둔다.
각기둥과 각뿔의 단원학습 계열은 다음과 같다.
수학 6-1 교사용 지도서, p.152
2. 각기둥과 각뿔의 개념
2015 개정교육과정에 따른 초등수학에서는 입체도형이라는 용어를 예시를 들어 암묵 적으로 이해하도록 하고, 제시되는 입체도형들은 모두 구체적인 예를 들어 정의하는 예시 적 방법을 사용하고 있지만 여기서는 보다 정확한 수학적 정의로 그 의미를 설명하고자 한다.
각기둥은 한 직선에 평행한 3개 이상의 평면과 그 직선과 만나는 2개의 합동이고 평행 한 다각형으로 둘러싸인 다면체이다. 여기서 직선에 평행한 평면을 옆면(lateral plane), 합 동이고 평행한 2개의 다각형을 밑면, 두 면이 만나는 교선을 모서리(edge), 모서리와 모서 리가 만나는 점을 꼭짓점(vertex)이라고 한다.
모선
<직각기둥과 빗각기둥>
초등학교 수학에서는 빗각기둥은 다루지 않고 암묵적으로 직각기둥만을 다루며 이를 간 단히 각기둥이라고 한다.
(1) 각기둥의 개념
밑면 모양이 각각 삼각형, 사각형, 오각형,… 일 때, 그 각기둥을 삼각기둥, 사각기둥, 오 각기둥, …이라고 한다. 따라서 각기둥의 개념은 모형을 관찰함으로써 개념을 이해하고 입 체를 변별할 수 있다. 초등수학에서는 각기둥의 지도에서 수학적인 정의를 가급적 자제하 고 실물이나 모형을 통하여 구성 요소의 수와 위치 관계를 관찰하고 직관적으로 이해하도 록 하고 있다.
삼각기둥 모형을 관찰하면서 ‘ 두 개의 평행하고 합동인 삼각형과 이들에 수직인 세 개 의 직사각형으로 둘러싸인 입체’로 파악할 수도 있다. 또, 사각기둥은 직육면체와 모양이
같으므로 직육면체 성질이 사각기둥에서도 똑같이 성립한다. 따라서 직육면체는 면으로 둘러싸인 입체로서 도형을 관찰한 것이고, 사각기둥은 기둥의 관점에서 본 것이라 할 수 있다.
학생들은 각기둥 모형을 관찰하면서 아래와 같은 내용을 발견할 수 있다.
- 두 밑면은 서로 평행하다.
- 두 밑면은 서로 합동이다.
- 옆면은 모두 직사각형이다.
- 밑면이 정다각형이면 옆면은 모두 합동인 직사각형이 된다.
- 밑면에 수직인 평면으로 자른 단면은 직사각형이다.
(2) 각기둥의 전개도와 겨냥도 이해하기
전개도는 입체도형의 변과 면의 위치 관계, 면과 변의 대응 관계 파악, 평면도형과 입 체도형의 관계를 파악하는데 유용하게 활용할 수 있다. 전개도를 ‘입체도형의 표면을 잘라 서 한 평면 위에 펼친 한 장의 그림’으로 정의할 수도 있으나 초등수학에서 각기둥의 전 개도는 ‘각기둥의 모서리를 잘라서 평면위에 펼쳐 놓은 그림’으로 표현하여 ‘모서리’라는 구성요소를 정의의 요소로 추가하여 정의를 내리고 있다. 이는 ‘표면을 잘라서’라는 말에 서 어떻게 자르느냐에 따라 무수한 많은 전개도가 존재할 수 있고, ‘입체도형의 안이 채워 져 있는 경우 표면을 어떻게 정교하게 자를 수 있는가?’라는 의문을 제기할 수도 있기 때 문이다. 따라서 학생들에게 각기둥의 전개도를 지도하기 위해서는 ‘모서리를 잘라서’라는 관점에서 다양한 전개도가 나올 수 있도록 안내한다.
겨냥도를 통해서 각기둥의 보이지 않는 면을 이해하고, 전개도를 통하여 구성요소의 관 계를 이해하고 입체를 구성할 수 있다. 이를 테면 입체모형의 전개도에서 다음 관점에서 관찰할 수 있다.
- 평행한 면은 어느 것인가?
- 수직인 면은 어느 것인가?
- 어느 변과 어느 변이 연결된 모서리인가?
(3) 각뿔의 개념과 성질
평면 위의 다각형판과 이 평면 밖의 정점 P를 연결한 직선들로 이루어진 도형을 각뿔 이라고 한다. 이 때 이 다각형을 각뿔의 밑면이라 하고, 정점P를 각뿔의 꼭짓점, 또 꼭짓 점에서 밑면에 내린 수선의 길이를 각뿔의 높이, 각뿔의 꼭짓점과 밑면의 모서리를 연결 한 삼각형의 면을 옆면이라 한다. 초등수학에서는 각뿔의 수학적 정의보다는 모형을 통한 예시적 정의를 하고 있다. 교과서에서도 모형을 이용하여 꼭짓점, 모서리, 옆면, 밑면 등을 설명하고 그 수를 알아보도록 하고 있다. 특히 각뿔의 이름을 정할 때 각뿔의 밑면이 삼 각형, 사각형, 오각형 일 때 각각 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔이라고 한다. 그러나 각뿔의 높이 는 각뿔의 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 길이이므로 옆면의 삼각형의 높이와 같지 않음 을 지도한다.
각뿔모형의 관찰을 통하여 학생들은 다음의 성질을 발견할 수 있다.
- 밑면은 다각형이다.
- 옆면은 모두 삼각형이다.
- 옆면의 삼각형의 밑변은 다각형의 각 변이다.
- 밑면의 꼭짓점은 옆면의 꼭짓점이 된다.
3. 각기둥과 각뿔의 지도방법
3차원 도형에 대한 기하학적 탐구에서는 먼저 분류하기, 묘사하기, 구성하기, 탐구와 발견하기가 이루어지고, 2차원 모양과 3차원 모양의 관련짓기를 다룬다. 입체도형의 지도 에서 모델은 중요한 역할을 한다. 처음에는 주변 환경에서 구할 수 있는 구체물을 이용하 고 나중에는 교구로 제작된 자료를 활용한다.
(1) 각기둥과 각뿔의 정의 및 구성요소에 대한 지도방법
각기둥과 각뿔을 지도할 때는 두 개 또는 그 이상의 대상이 기하적 성질에 따라 어떻게 같거나 다른가를 보기 위하여 학생들에게 3차원 대상을 분류하고 묘사하는 능력이 필요 하다.
구체적인 지도방법을 살펴보면 다음과 같다.
① 각기둥과 각뿔을 동시에 제시한 다음 ‘ 입체도형을 분류 기준을 정해 2가지로 분류 해봅시다.’와 같은 발문을 통해 각기둥과 각뿔로 분류하게 한다
② 분류한 다음 각각의 입체도형들이 가지는 특징을 말해보게 한다.
③ 각기둥과 각뿔을 정의한다. 이 때 성질을 이용한 분석적 정의 방법은 학생들이 이해 하기에 조금 무리가 있을 수 있으니 예시적 정의방법을 이용하는 것이 좋다.
④ 각기둥과 각뿔의 구성 요소를 지도할 때는 구체물을 이용하여 탐구하도록 한다. 구 성요소를 지도하기 위해서는 입체도형의 밑면, 옆면을 살펴보고, 각기둥과 각뿔의 밑면의 모양에 따라 각기둥과 각뿔의 이름짓기 활동을 통해 약속한다.
각기둥의 밑면의 모양에 따라 ‘삼각기둥’, ‘사각기둥’, ‘오각기둥’이라고 약속하지만 학생 들이 밑면의 모양이 직삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형이니 직삼각기둥, 이등변삼각기둥, 정삼각기둥이라고 이름지을 수도 있다. 그러나 각기둥의 이름은 대표성을 띨 수 있는 것 으로 이름짓기 때문에 이를 모두 삼각기둥이라고 부르는 것이라고 학생들과 함께 의견을 수렴하는 것도 지도시 좋은 방법이 될 수 있다.
⑤ 밑면을 지도할 때는 학생들이 ‘위쪽에 있는 면을 왜 밑면이라고 불러야 하나요?’라고 질문할 수 있다. 이 때의 밑면은 밑에 있는 면이라기보다는 기본이 되는 면(Base plane)이
라는 의미를 갖고 있다는 것을 지도할 필요가 있다.
그리고 두 밑면을 찾아보는 활동에서 사각기둥의 경우 직육면체나 정육면체도 포함될 수 있고 이에 근거하여 밑면과 옆면을 구분하지 않고 학생들이 밑면이 3쌍이라고 말할 수도 있다. 그러나 직육면체와 정육면체는 사각기둥의 특수한 경우이므로 밑면과 옆면을 구분하여 사용하도록 지도해야 한다. 즉, 한 쌍을 밑면으로 정하면 다른 두 쌍은 옆면이 되는 것을 알 수 있도록 하며, 어느 면을 밑면으로 하던지 직사각형의 모양이 나오므로 사각기둥이라는 이름을 어렵지 않게 유추할 수 있도록 지도한다.
또한 육각기둥, 팔각기둥의 경우는 옆면의 개수가 짝수인 까닭에 마주보는 면이 평행하 고 합동인 경우가 많을 수 있으나 다른 면들과 수직으로 만나는 경우만 밑면이 될 수 있 음을 지도한다.
⑥ 각기둥과 각뿔의 모서리, 꼭짓점, 높이를 찾아보는 활동을 통해 삼각기둥, 사각기둥, 오각기둥 등 각기둥에 따른 모서리의 개수, 꼭짓점의 개수에 대한 규칙을 발견하도록 지 도한다.
(2) 각기둥의 전개도 지도방법
입체도형의 모서리를 잘라서 펼치는 것은 전개도를 만들기 위한 보편적인 방법이다. 따 라서 모서리를 자르지 않고 표면을 잘라서 나타낼 수도 있지만 펼쳐 놓은 그림으로 나타 내기 쉬운 방법이 모서리를 잘라서 펼치는 것임을 학생들이 알 수 있도록 지도해야 한다.
일반적으로 전개도의 옆면은 서로 연결되어 하나의 큰 직사각형 모양이 되는 경우가 많 지만 학생들이 어떻게 자르냐에 따라 다양한 형태의 전개도가 나온다는 것을 지도할 수 있다.
또한 각기둥의 전개도를 여러 가지 방법으로 그려봄으로써 학생들의 논리적 사고력과 창의성을 기르게 한다. 그러나 전개도에 대한 내용을 너무 어렵게 지도하기보다는 2015 교육과정의 평가 방법 및 유의사항에 제시되어있는 것과 같이 전개도가 될 수 있는 것과 될 수 없는 것을 구별하는데 중점을 두도록 한다.
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원기둥, 원뿔, 구목차
1. 공간과 입체 및 원기둥, 원뿔, 구와 관련한 2015 개정 수학과 교육과정 성취 기준
2. 공간과 입체에 대한 배경지식 3. 공간과 입체와 관련한 지도방법 4. 원기둥, 원뿔, 구의 개념
5. 원기둥, 원뿔, 구의 지도방법
1. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기
공간과 입체 및 원기둥, 원뿔, 구와 관련한 2015 개정 수학과 교육과정 5-6학년군 성취 기준을 살펴보면 다음과 같다.
2015 개정 수학과 교육과정의 성취기준
공간과 입 체
[6수02-10] 쌓기나무로 만든 입체도형을 보고 사용된 쌓기나무의 개수를 구할 수 있다.
[6수02-11] 쌓기나무로 만든 입체도형의 위, 앞, 옆에서 본 모양을 표현할 수 있고, 이러한 표현을 보고 입체도형의 모양을 추측할 수 있다.
원기둥, 원 뿔, 구
[6수02-08] 원기둥을 알고, 구성요소, 성질, 전개도를 이해한다.
[6수02-09] 원뿔과 구를 알고, 구성요소와 성질을 이해한다.
교수‧학습 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
공간과 입 체
· 도형 영역의 문제 상황에서 문제 해결 전략 비교하기, 주어진 문 제에서 필요 없는 정보나 부족한 정보 찾기, 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기, 문제 해결 과정의 타당성 검토하기 등을 통하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.
원기둥, 원 뿔, 구
· 각기둥의 전개도는 간단한 형태만 다루고, 각뿔과 원뿔의 전개도 는 다루지 않는다.
· 한 직선을 중심으로 직사각형, 직각삼각형, 반원을 돌리는 활동을 통하여 원기둥, 원뿔, 구를 만들어 보게 한다.
· 모형을 이용하여 입체도형의 구성 요소와 성질을 확인하게 한다.
평가 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
- 입체도형의 전개도에 대한 평가는 전개도가 될 수 있는 것과 될 수 없는 것을 구별 하는데 중점을 둔다.
공간과 입체 단원의 학습 계열은 다음과 같다.
공간과 입체단원의 학습계열(수학지도서 6-2, p.193) 원기둥, 원뿔, 구 단원의 학습 계열은 다음과 같다.
원기둥, 원뿔, 구 단원의 학습 계열(수학지도서 6-2, p.293)
2. 공간과 입체에 대한 배경지식
가. 공간과 입체에 관련된 공간 시각화와 공간 방향
공간과 입체 단원에서 다루는 내용과 관련된 공간 시각화와 공간 방향 활동을 살펴보면 다음과 같다.
공간 시각화는 공간의 대상, 관계, 변환에 대한 정신적 표상을 구성하고 조작하는 능력 을 의미하며 여기에 포함되는 능력은 평행이동, 회전이동, 대칭이동과 같은 변환 후의 모 양과 과정을 상상하면서 공간의 대상을 정신적으로 변환하는 능력, 평면이나 입체 퍼즐 조각들로 모양을 만드는 것과 같은 공간의 부분을 바꾸어 재배열하는 능력, 공간의 대상 을 평면에 표현하거나 구조를 파악하는 능력, 숨은 그림 찾기와 같이 도형이나 대상을 분 리하여 인식할 수 있는 능력이 있다.
공간시각화와 관련한 변환 능력에는 평행 이동, 대칭 이동, 회전 이동 등의 조작을 통하 여 공간의 대상이나 쌓기나무로 쌓은 모양들이 같은지 다른지를 파악하는 활동이 포함되 며, 재배열 능력에는 공간 대상이나 쌓기나무로 다양한 모양 만들기, 쌓은 모양을 보고 똑 같은 모양 만들기, 여러 모양을 결합하여 새로운 모양 만들기 등이 포함된다. 또한 표현의 변환과 구조 파악 능력에는 공간의 상황이나 대상의 조감도, 투영도, 평면도 이해하기, 공 간 대상이나 쌓기나무로 쌓은 모양을 위, 앞, 옆에서 본 모양, 위에서 본 모양에 수를 적 는 방법, 층별로 나타내기와 같이 3차원 표현에서 2차원 표현으로 변환하기, 역으로 위, 앞, 옆에서 본 모양, 위에서 본 모양에 적은 수, 층별로 나타낸 그림을 보고 구조를 파악 하기, 위에서 본 모양에 적은 수를 보고 위, 앞, 옆에서 본 모양 파악하기, 쌓기나무로 쌓 은 모양을 보고 개수 구하기, 쌓기나무로 쌓은 모양의 투영도 그리기 등이 포함된다. 한 편, 도형과 배경의 분리 능력에는 공간의 대상이나 쌓기나무로 쌓은 모양을 배경과 분리 하여 인식하기, 위, 앞, 옆에서 본 모양들을 분리하여 인식하기 등이 포함된다.
공간 방향은 공간에서 자기자신과 여러 가지 대상의 상대적 위치와 거리 관계를 이해하 고, 공간에서 위치, 방향, 거리를 알고 공간에서 이동해 가는 방법을 아는 능력이다. 여기 에 포함되는 능력은 위치와 방향을 아는 능력, 지도나 좌표체계에서의 위치와 이동 경로 를 설명하는 능력, 공간이나 지도의 축척이나 실제 거리를 포함하여 자신과 대상 또는 대 상 간의 거리나 원근을 파악하는 능력, 공간의 대상들이 다양한 위치와 각도의 조망에서 어떻게 보이는가를 상상한 능력등이 있다.
공간 방향과 관련한 위치와 방향 능력에는 공간 대상이나 쌓기나무로 쌓은 모양을 찍은 사진을 보고 위치와 방향 파악하기, 다양한 방향과 각도에서 본 모양 상상하기, 공간 대상 들이나 쌓기나무로 쌓은 모양 사이의 상대적인 위치와 방향 파악하기, 공간 대상을 찍은 사진들을 보고 찍은 위치의 원근과 고저 파악하기 등이 포함된다.
3. 공간과 입체 지도방법
가. 투영도로 나타내는 방법
투영도는 물체에 평행 광선을 비추어 평면 위에 나타난 상을 이용하여 그 물체의 모양 을 나타내는 방법이다. 투영도는 쌓기나무로 쌓은 모양을 평면에 제시하는 가장 일반적인 방법의 하나이다. <그림 1>과 같이 1층으로 쌓은 경우 쌓기나무로 쌓은 모양의 뒷부분까 지 보이면 쌓은 모양과 쌓기나무의 개수를 알 수 있지만, <그림 2>와 같이 쌓기나무로 쌓은 모양의 뒷부분이 보이지 않는 경우에는 뒤에 숨어 있는 쌓기나무가 있을 수 있기 때 문에 여러 가지의 경우가 있을 수 있다.
이러한 활동을 통해 학생들은 입체 도형을 평면상으로 표현하기 위해서는 단순히 투영 도만으로 표현하기에는 어려움이 있다는 것을 인식하고 위에서 본 모양을 추가하여 표현 하는 방법과 연결시킬 수 있다.
나. 투영도와 위에서 본 모양으로 나타내는 방법
투영도만으로는 쌓기나무로 쌓은 모양을 알 수 없을 때 가장 쉽게 생각할 수 있는 방법 중 하나가 위에서 본 모양을 같이 제시하는 방법이다. 그러나 이 방법 은 <그림 3>과 위 에서 본 모양은 같으나 수직 방향으로 안 보이는 부분들이 있기 때문에 여러 가지가 있을 수 있다.
<그림 3> 위에서 본 모양은 같으나 쌓은 모양이 다른 두 그림(6-2교과서 p.54,55) 따라서 학생들은 쌓기나무로 쌓은 모양을 평면으로 표현하기에는 위에서 본 모양으로만 부족하다는 것을 인식하고 앞와 옆에서 본 모양으로 나타내는 방법을 추가할 필요가 있음 을 알게 한다.
다. 위, 앞, 옆에서 본 모양으로 나타내는 방법
쌓기나무로 쌓은 모양의 위, 앞, 옆에서 본 모양으로 나타내는 방법은 물체를 여러 방향 에서 보면 물체의 모양을 더 정확하게 파악할 수 있고, 쌓기나무로 쌓은 모양의 경우, 위 와 아래, 앞과 뒤, 오른쪽과 왼쪽의 모양은 서로 대칭이기 때문에 어느 한 쪽의 모양만 알 면 다른 쪽의 모양은 같으므로, 위, 앞, 오른쪽 옆에서 본 모양으로 나타낸다. 그러나 이 방법도 <그림 4>의 경우와 같이 여러 가지 모양이 나올 수 있다.
<그림4> 위, 앞, 옆에서 본 모양으로 쌓기나무를 만들 수 있는 모양(6-2지도서, p.211) 학생들은 위, 앞, 옆에서 본 모양으로 나타내는 방법의 활동의 장점과 단점을 파악하고, 여러 가지가 발생하는 문제점을 개선하기 위한 방법에 대해 논의해볼 수 있는 기회를 가 지고 좀 더 구체적인 방법에 대해 고민해보도록 지도할 수 있다.
라. 위에서 본 모양에 수를 적는 방법
쌓기나무로 쌓은 모양의 위에서 본 모양에 수를 적는 방법은 <그림 5>와 같이 위에서 본 모습의 각 위치에 쌓은 쌓기나무의 개수를 적음으로써 앞에서 기술한 투영도, 투영도 와 위에서 본 모양, 위, 앞, 옆에서 본 모양과는 달리 정확하게 쌓은 모양과 쌓기나무의 개수를 알 수 있다. 이를 통해 학생들은 입체모양을 만들기 위해 필요한 쌓기나무의 개수 와 위치를 파악할 수 있다는 것을 알 수 있다.
<그림 5>위에서 본 모양에 수를 적는 방법(6-2 지도서, p.202)
또한 <그림6>과 같이 수로 표시한 쌓기나무의 개수를 보고 실제 쌓기나무를 이용해 입 체로 쌓아보는 활동을 통해 쌓기나무의 위치를 알아보고 궁극적으로는 공간시각화 능력을 향상시킬 수 있다.
마. 층별로 나타내는 방법
쌓기나무로 쌓은 모양을 층별로 나타내는 방법은 위에서 본 모양에 수를 적는 방법과 마찬가지로 정확하게 쌓은 모양과 쌓기나무의 개수를 알 수 있다. 단, 층별로 나타낼 때 층별로 칸의 위치를 맞춰야 하므로 주의를 기울일 필요가 있다. 연결큐브를 이용하거나 쌓기나무를 서로 붙여 <그림7>과 같이 바닥층에 쌓기나무가 없는 경우는 위에서 본 모양 에 수를 적는 방법으로는 쌓은 모양을 정확하게 표현하기 어렵지만 층별로 나타내는 방법 은 정확하게 표현할 수 있는 장점이 있다.
<그림7>쌓기나무로 쌓은 모양을 층별로 나타내는 방법
4. 원기둥, 원뿔, 구의 개념
<그림 6> 위에서 본 모양에 수를 쓰는 방법으로 쌓은 모양을 보고 쌓기나무 개수 알기(6-2교 과서, p.59)
가. 원기둥
한 공간에서 평행인 두 평면 a, b 위의 반지름이 같은 두 원과 직선 에 대하여, 직선 에 평행하고 두 원의 둘레와 만나는 선분이 그리는 면과 이들 두 원으로 둘러싸인 입체도형을
‘원기둥(circular cylinder)’이라고 한다.
<그림8>직원기둥과 빗원기둥 및 구성요소
이때 두 원을 원기둥의 ‘밑면’, 원기둥 두 밑면 사이의 거리를 원기둥의 ‘높이’, 밑면의 둘레 와 만나는 선분 AB를 원기둥의 ‘모선’, 모선이 그리는 면을 원기둥의 ‘옆면’이라고 한다. 원 기둥에서 두 밑면은 평행하고, 합동이다. [그림 1]과 같이 원기둥 중에서 모선과 밑면이 수 직이면 ‘직원기둥’, 수직이 아니면 ‘빗원기둥’이라고 한다. 초등학교 교육과정에서는 빗원기둥 은 다루지 않고 암묵적으로 직원기둥만을 다루고 있다.
나. 원뿔
한 공간에서 원과 이 원을 포함하는 평면 a 밖에 한 점 P를 잡는다. 이때 점 P와 원 위의 각 점을 이은 선분 전체와 이 원의 영역으로 이루어지는 입체도형을 ‘원뿔(circular cone)’이 라고 한다.
<그림9> 직원뿔과 빗원뿔 및 구성요소
P를 ‘원뿔의 꼭짓점’, 원을 원뿔의 ‘밑면’, 꼭짓점 P와 평면 a와의 거리를 원뿔의 ‘높이’, 꼭짓 점 P와 밑면인 원의 둘레 위의 임의의 점을 잇는 선분을 원뿔의 ‘모선’, 모선이 움직여서 그 린 곡면을 원뿔의 ‘옆면’이라고 한다. 또 [그림 2]와 같이 원뿔의 높이가 원의 중심을 지나는 원뿔을 ‘직원뿔’, 지나지 않는 원뿔을 ‘빗원뿔’이라고 한다. 초등학교 교육과정에서는 빗원뿔 은 다루지 않고 암묵적으로 직원뿔만을 다루고 있다. 특히 원뿔의 높이는 직각삼각자와 자 를 사용하여 재면 편리하다는 것을 알게 하는 것도 중요하다.
다. 구
구(球, sphere)는 반원을 그 지름을 축으로 1회전시킬 때 생기는 입체도형이다. 그러나 현 교육과정에서 회전체를 중학교에서 다루고 있기 때문에 초등수학에서는 구체물을 이용한 예 시적 정의로 표현하고 있다. 3차원 공간에서 한 정점으로부터의 거리가 일정한 점들의 모임 을 구면(球面, spherical surface)이라고 하고, 이 구면을 경계로 하는 입체도형을 구라고 정 의할 수도 있다. 이때 정점 또는 반원의 지름의 중심을 구의 중심이라고 하고, 중심에서 구 면 위의 한 점을 잇는 선분을 구의 반지름이라고 한다. 구면 위의 두 점을 잇는 선분 중에
서 중심을 지나는 선분을 구의 지름이라고 한다.
구와 구면을 구별하는 것 같이 표현하지만, 구란 구면을 말하는 것으로 그 내부를 포함한 이름은 아니다. 원이 원 둘레(원주)를 말하는 것과 같은 것으로 이는 특히 위의 두 번째 정 의에서 명백함을 알 수 있다.
구는 그 중심을 지나는 모든 직선을 회전축으로 볼 수 있고, 회전체는 그 축에 수직인 평면 으로 자를 때 그 단면은 원이 되기 때문에 구는 어느 쪽에서 보거나 관계없이 원으로 보인 다. 이것은 구만이 갖는 성질이다.
구의 중심을 지나는 평면으로 잘린 부분의 원을 대원(大圓, great circle)이라고 하고, 중심을 지나지 않는 평면으로 잘린 부분의 원을 소원(小圓, small circle)이라고 한다. 구의 중심을 지나는 평면은 무수히 많으므로 한 구의 대원은 무수히 많다. 지구를 구로 생각한다면 적도 와 경선(남극과 북극을 지나는 선)이 대원에 해당한다.
[그림3] 구 대원은 다음과 같은 성질을 갖는다(신택균, 최영우, 1971).
첫째, 대원은 구면을 합동인 두 부분으로 나눈다. 대원에 의하여 나누어진 구면을 반구(半球, hemisphere)라고 한다.
둘째, 두 개의 대원은 서로 다른 것을 이등분한다.
셋째, 한 쌍의 대점(구의 지름의 양 끝점)을 지나는 대원은 무수히 많고, 대점이 아닌 구면 위의 두 점을 지나는 대원은 하나뿐이다. 구면 위의 두 점을 지나는 대원의 호는 구면 위의 두 점 사이의 최단 거리이고, 이것을 구면 위의 측지선(測地線, geodetic line)이라고 한다.
라. 회전체
회전체는 중학교에서 다루는 개념이지만 초등수학에서는 한 직선을 중심으로 직사각형, 직 각삼각형, 반원을 돌리는 활동을 통하여 원기둥, 원뿔, 구를 만들어보는 활동의 일부로 제시 되고 있다.
회전체는 평면도형을 그 평면 위의 한 직선을 축으로 하여 1회전하였을 때 얻어지는 입체 도형을 의미한다. [그림 4]와 같이 직사각형, 직각삼각형, 반원을 한 직선을 축으로 하여 회 전시키면 원기둥, 원뿔, 구가 만들어진다. 이때의 곡면을 회전면, 축이 되는 한 직선을 회전 축이라고 한다. 또 원기둥과 원뿔에서 옆을 둘러싼 굽은 면을 옆면이라고 하고, 옆면을 만드 는 선분을 모선이라고 한다. 원기둥에서 평행하고 합동인 두 면을 밑면, 원뿔에서는 하나의 원으로 된 면을 밑면이라고 한다.
[그림 4] 원기둥, 원뿔, 구의 회전체
[그림 4]와 같이 원기둥과 구에도 모선이 있으나 교과서에서는 원기둥과 구의 모선을 다루 지 않는다. 특히, 평가 문제에 원기둥의 모선에 관해 묻지 않는다.
회전체는 다음과 같은 성질이 있다.
첫째, 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 원이다.
둘째, 옆에서 보는 모양은 어느 쪽에서 보거나 같다.
원기둥, 원뿔, 구를 회전체로 도입하여 정의할 수도 있으나 회전체는 현행 교육과정에서 회 전체는 중학교에서 다루는 개념으로 다양한 입체도형들을 분류하는 활동을 통해 도입한 후 회전체로서의 원기둥, 원뿔, 구는 간단한 활동을 통해 직관적으로 이해하는 수준 정도로 다 루어야 한다.
5. 원기둥, 원뿔, 구의 지도방법 가. 원기둥의 지도방법
원기둥을 지도하는 방법은 두 가지를 생각할 수 있다.
첫째, 생활의 여러 가지 기둥 모양의 물건들(각기둥 2개, 원기둥 3개 정도)을 제시하고 두 가지로 분류하도록 한다.
이때, 분류 기준을 어떻게 정했는지 알아보게 함으로써 각기둥과 원기둥의 차이점을 스스로 깨닫게 하여 원기둥을 다음과 같이 예시적 정의를 사용하여 정의하는 것이 좋다.
둘째, 학생들이 스스로 분류하는 데 어려움을 겪을 때는 다음과 같이 일부 입체도형의 이름 을 먼저 소개하고, 두 집단의 입체도형들이 어떤 성질을 갖는지 비교하는 활동을 통해 원기 둥을 이해하게 할 수도 있다.
입체도형을 비교하고 분류하기(6-2수학지도서, p.301)
학생들은 원기둥 모형을 조작하는 활동을 통해 다음의 성질을 발견할 수 있다.
- 두 밑면은 합동인 원이다.
- 두 밑면은 평행하다.
- 옆면은 어느 쪽에서 보더라도 모양이 같다.
- 옆면을 전개하면 직사각형이 된다.
- 두 밑면의 중심을 잇는 직선은 밑면에 수직이다.
- 꼭짓점이 없다.
나. 원기둥의 전개도 지도방법
2015 개정 교육과정에서는 전개도를 각기둥과 원기둥의 전개도만 다루도록 되어 있다. 초등 수학 교과서에서는 원기둥의 전개도를 ‘원기둥을 잘라서 펼쳐놓은 그림’과 같이 구체적으로 어디를 자른다는 말은 사용하지 않고 자르는 활동의 행위와 결과를 반영한 정의를 통해 암 묵적으로 ‘모선을 자른다.’, ‘밑변인 원의 둘레를 자른다.’, ‘밑면과 옆면이 한 점에서 만난다.’
와 같은 조건을 인정하고 있다.
특히 원기둥의 전개도에 대한 이러한 정의는 원기둥의 성질에 대한 이해 수단이 되며, 다양 한 전개도를 얻을 수 있어 창의적 사고 활동의 여지가 있다. 예를 들어, 원기둥의 전개도는 옆면을 밑면에 수직인 모선으로만 자르지 않고 다음과 같이 두 점 ㄱ과 ㄴ을 잇는 곡선으로 자르면 옆면이 평행사변형으로 나오는 전개도가 만들어지기도 한다.
옆면이 평행사변형인 원기둥 전개도(6-2 수학지도서, p.302)
그러나 학생지도 시 교과서와 지도서에서는 밑면과 수직인 선분(모선)을 따라 잘라서 옆면 이 직사각형이 되는 경우만 원기둥의 전개도로 다루도록 하고 있다.
다. 원뿔과 구의 지도 방법
원뿔과 구도 앞의 원기둥과 같이 ‘실생활의 물건을 이용한 분류하기’, ‘이름을 소개한 후 비 교하고 분류하기’의 활동을 통해 지도할 수 있다.
또한 원뿔과 구를 정의하기 위해 원기둥과 같이 실물을 예로 들어 다음과 같이 정의할 수 있다.
원뿔과 구의 정의(6-2 수학지도서, p.302)
학생들은 원뿔의 모형을 관찰하고 조작함으로써 다음과 같은 성질을 발견할 수 있다.
- 원뿔에는 꼭짓점은 1개 있고, 모서리는 없다.
- 옆에서 보면 삼각형의 모양이다.
- 모선은 무수히 많다.
- 원뿔을 옆에서 보면 삼각형이고, 위에서 보면 원 모양이다.
특히 구의 중심과 반지름을 확인하기 위해서는 구 모형을 분해하는 활동이 있으면 좋으므로 구 모형교구(3-D Fraction Shapes)를 활용하거나 놀이용 점토로 구를 만들어 잘라보거나 스 티로폼 공을 잘라 탐색할 수 있다.
학생들은 구의 모형을 통해 다음과 같은 성질을 발견할 수 있다.
- 구를 평면으로 자르면 그 단면은 원이 된다.
- 구의 중심을 지나는 평면으로 자르면 가장 큰 원이 된다.
- 구의 중심에서 구의 겉면에 있는 어느 점까지의 거리는 모두 같다.
- 구의 반지름은 모두 같고 무수히 많다.
또한 2007개정 교육과정에서는 회전체를 이용하여 구를 정의하였으나 2015 개정 교육과정 에서는 그러한 방법으로 정의하고 있지 않다. 반원 모양의 종이를 직접 만들어 나무젓가락 에 붙여 돌려보면서 나타나는 모양이 무엇인지를 유추하면서 구의 반지름이 얼마인지 찾을 수 있다. 또한 회전체를 만들어서 겨냥도를 그리는 활동을 휴대전화 앱 또는 회전체 관련 프로그램을 실행하여 확인하는 활동과 연계시킬 수 있다.
