½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4, pp. 411∼414

(1)

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4, pp. 411∼414

É a

< ¨ý u § ª 4 5 \M U ê s0 n É; c 8 ý X ¢ ÛÅ W ¥ Ã U Ø< g8 ý : X ì Ä× D

*

>

( å + Ö < ^∗

@

/½ ¨@ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , â · ¡ ¤ 712-714 (2003¸ 10 Z 4 20{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

H 2 £ §d ¦ ¸1 p u > h¥ Æ õ Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O \ l íô Ç D h Ðî r þ j& h o ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h É r Õ ü w _ " é ¶

Ð s À Ò# Q > _ ½ ¨ ¸ & ñ \ & h 6 x # r + « > % i . Ù ü t2 x © ñ 6 x _ N > h_ & h Ð s À Ò# Q

¦ & h : § H ë H ] j\ & h 6 x % i ` ¦ M :, N = 2 ∼ 100 _ # 3 0 A\ " f @ /é ß y Ø Ô ¦ ´ òÖ ¦& h Ü ¼ Ð l $ © I

\ ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . @ /Â Òì r_ â Ä º é ß ô Ç _ r ' Ü ¼ Ð l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 ¦, N=16 õ N=86_ â Ä

º s ] j t µ 1 Ï| ) a כ Ð 8 ± ú É r l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . Õ ª Q N = 100 ` ¦ Å # Q / å L >

´

òÖ ¦$ í s b # Qf s ' a8 £ ¤ ÷ &% 3 .

PACS numbers: 36

Keywords: þ j& h o, : § H ë H ] j, 9 þ t QÛ ¼'

I. " e Â ] Ø

"

é

¶ ç ß _ © ñ 6 x` ¦ ´ òõ & h Ü ¼ Ð l Õ ü t½ + É Ã º e H ~ ½ Ó Z O

[ þ t s ´ ú §s > hµ 1 Ï÷ & " f, ´ òÖ ¦& h þ j& h o · ú ¦o 1 p u \

@

/ô Ç ' a d s & t ¦ e . [1] ² D G è x 9 ¸ s : r s x 9 ] X

½ + Ë H ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð " é ¶ ç ß _ © ñ 6 x` ¦ ª % i < Æ& h Ü ¼

Ð l Õ ü t # , 6 £ x| 9 > _ ½ ¨ ¸ F g < Æ& h $ í | 9 ¢ ¸ H É r \ P

%

i < Æ& h $ í | 9 ` ¦ & ñ S X > > í ß ½ + É Ã º e H U ´s \ P § 4 . Õ ª

Q ^ > ° ú H ¦ " é ¶ ( J $ [ > ³ ð \ " f l $ © I

\

¦ ¹ 1 Ô H ë H ] j H : r| 9 & h Ü ¼ Ð @ /é ß y # Q 9Ö ¦ Ã º µ 1 Ú\ \ O l M

:ë H \ ´ òÖ ¦& h þ j& h o · ú ¦o 1 p u s כ ¹½ ¨ ) a . \ V\ ¦ [ þ t

#

Q, É r 9 þ t QÛ ¼' _ ½ ¨ ¸ & ñ ë H ] j H Ã º´ ú § É r ² D G t & h þ j

è \ -t © I > r F l M :ë H \ Ðî r ë H ] j Ð · ú

94 R e .

s

Qô Ç # Q 9¹ ¡ §` ¦ F G4 ¤ H ~ ½ ÓZ O _ @ /³ ð& h כ Ü ¼ Ð H Ô

¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l (simulated annealing) ~ ½ ÓZ O [2, 3]õ Ä »

· ú ¦o 1 p u (genetic algorithm) ~ ½ ÓZ O [4,5]s e . Ô ¦a Ë >

¿

9 ª ? /? /l ~ ½ ÓZ O (Õ ªa Ë > 1) É r > \ -t © # 4 ` ¦ F G4 ¤ #

² D

G t & h \ -t þ j è © I \ ¦ # Á # Q l 0 Aô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð >

: r ¸ T _ \ P " é ¶ Ü ¼ ÐÂ Ò' ~ Ã Î H \ P \ -t \ ¦¿ 9 ª ? / · p .

s

M : : r ¸ T H ¦ : r \ " f r # & h & h Ü ¼ Ð $ : r Ü ¼

Ð ? / 9 " f > l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ¸2 ¤ ¸] X ) a .

s

כ É r u Õ ªa Ë > 1õ ° ú É r ¸ ª _ ^ o =ó ø Í\ Z ~ # ½ ¨_ þ t s

© ± ú É r \ -t © I \ ¦ ¹ 1 Ô ¸2 ¤ ^ o =ó ø Í` ¦ : ¤: ¤ u

H כ õ Ä » . 7 £ ¤, s כ É r Ó ü t o < Æ& h þ j& h o · ú ¦

∗

E-mail: [email protected]

o

1 p u \ K { © 9, N ≤ 20 & ñ ¸_ É r > \ ´ ú §s & h 6 x ) a

.

Ä

» · ú ¦o 1 p u É r Ò q tÓ ü t < Æ& h > h¥ Æ \ ½ Ó` ¦ ¿ º ¦ e

. Ò q tÓ ü t > h^ H y Ã º ì r\ P ` ¦ : x # & ñ è ß \ ¦ Ò q tí ß

¦ É r > h^ ÐÂ Ò' è ß & ñ \ ¦ ~ Ã Î ½ + Ë # 6

£

§ [ j@ /\ ¦ ë ß H . s כ ` ¦ : r * " f þ j& h o\ ¦ ' H כ s Ä

» · ú ¦o 1 p u s . Y > > h_ Ò re ¦ ½ ¨ ¸\ ¦ t ¦ r

# , Õ ª { 9 Â Ò $ í | 9 ` ¦ Ó ü t 9~ Ã Î H < H ½ ¨ ¸\ ¦ + þ A$ í # , Õ

ª × æ \ " f ± ú É r \ -t \ ¦ ° ú H ½ ¨ ¸\ ¦ Y J ? /# Q Ò re ¦ ½ ¨

¸\ í < Ê ) a " é ¶ \ ¦ @ /u # H ~ ½ Ód s . Ä » · ú

¦o 1 p u É r ´ ú § É r " é ¶ Ð s À Ò# Q > \ " f 0 A§ 4 ` ¦ µ 1 Ï6 f t

ë ß , q §& h É r > \ & h 6 x l \ H q ´ òÖ ¦& h s .

s

ü < ° ú s Ó ü t o < Æ& h þ j& h o ~ ½ ÓZ O õ Ò q tÓ ü t < Æ& h þ j

&

h o ~ ½ ÓZ O s > r F Ù ¼ Ð Õ ª × æç ß % ò % i \ K { © ÷ & H ß ¼l _ > \ & h 6 x l \ & h ½ + Ëô Ç o < Æ& h þ j& h o ~ ½ ÓZ O s > r F

½ + É כ s . 7 £ ¤, & ñ _ $ í © õ & ñ \ " fü < ° ú s 6 xÓ o × æ _ " é ¶ f ¨ Ã Ì÷ &l ¸ ¦, s p f ¨ Ã Ì÷ &# Q e ~ " é ¶

b

# Q4 R H õ & ñ s ½ ¨ ¸_ þ j& h o\ ¸¹ ¡ § s | ¨ c כ s

¦ Æ Ò : r½ + É Ã º e . " f " é ¶ f ¨ Ã Ì ¢ ¸ H » 1 Ï Ã Ì½ + É Ã

º e H 0 p x$ í ` ¦ ) 6 x # o < Æ& h õ & ñ _ ¿ 9 ª ? /? /l

\

¦ r ¸ % i .

s

ü < ° ú É r õ & ñ ` ¦ l Õ ü t l \ & h ½ + Ëô Ç כ É r H 2 £ §d ¦

¸1 p u > h¥ Æ { 9 כ s . " f & h ] X ô Ç o < Æ( J $ [ > _ ° ú כ` ¦

&

ñ _ # 9 þ t QÛ ¼' _ " é ¶ Ã º\ ¦ " é ¶ H ° ú כÜ ¼ Ð Ä »t

" f : r ¸\ ¦ ¦ : r \ " f $ : r Ü ¼ Ð " f" fy ± ú Æ Ò# Q " f ½ ¨

¸\ ¦ þ j& h oô Ç . s M :, ½ ¨ ¸\ ¦ þ j& h o H ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð H

Ø Ô> ? / 9l (steepest descent) ~ ½ ÓZ O [6]` ¦ × þ

-411-

(2)

-412- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4

Õ

ªa Ë > 1. Ô ¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l ~ ½ ÓZ O \ _ ô Ç þ j& h o · ú ¦o 1 p u É r

>

ü @Â Ò ÐÂ Ò' \ P \ -t \ ¦ ~ Ã Î " f ( J $ [ > © # 4 ` ¦ F

G4 ¤ # l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ¸2 ¤ ¦î ß ÷ &% 3 .

%

i . Ó ü t : r Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O s -Á º & h F G& h s

¦ ó ø Íé ß ) a 7 H _ \ ¦ Ð ¿ 9 ª ? /? /l ~ ½ Ód ` ¦ × þ ½ + É Ã º e

`

¦ כ s . # l " f H H 2 £ §d ¦ ¸1 p u > h¥ Æ s þ j& h o õ & ñ

\

¸¹ ¡ § s ÷ & H כ ` ¦ Ðs l 0 A # Ô ¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l ~ ½ ÓZ O õ

_ × æ4 ¤` ¦ x l 0 A # Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O ` ¦

× þ

% i .

ë

ß { 9 s ü < ° ú É r > h¥ Æ s Ä »6 x , > H N-{ 9 > _ (

J $ [ > ÷ rë ß m (N + 1)-{ 9 > , (N + 2)-{ 9 > , (N - 1)-{ 9 > 1 p x1 p x_ ( J $ [ > ³ ð ` ¦ Ö ¸6 x " f þ j& h o õ

&

ñ ` ¦ ' > ) a . s ü < ° ú É r õ & ñ É r Õ ªa Ë > 2\ Ð כ

%

! 3 ' ) a .

II. T Â ] Ø õ m Í 4 m U ê s0 n É

:

§ H_ | í ¸ É Ò` ç ¸4 S q(plum pudding model) É r " é ¶ A

" é ¶ _ ½ ¨ ¸ Ð Ò q ty ÷ &# Q& . : r A _ 3 l q& h É r ² ú $ í t

3 l wÙ þ ¡t ë ß , N > h_ ½ ¨ \ C \ P | ¨ c â Ä º_ þ j è

\

-t ½ ¨ ¸\ ¦ ¹ 1 Ô H ë H ] j H @ /é ß y ´ ú § É r ï rî ß & ñ © I \ ¦

í < Ê ¦ e l M :ë H \ þ j& h o · ú ¦o 1 p u_ _ Û ¼à Ô\ V , o

æ ¼s ¦ e . [1,5,7]

N > h_ é ß 0 A ì ø Ít 2 £ § 1 ½ ¨ \ ì r í½ + É M :_

\

-t H

E = 1 2

N

X

i N

X

j6=i

1 |r

i

− r

j

| (1) s

.

"

é

¶ i _ ý a³ ð H ½ ¨ ý a³ ð> \ " f (θ

ⁱ

,φ

i

) Ü ¼ Ð ³ ðr

%

i Ü ¼ 9, " é ¶ _ ¹ ¡ §f e É r l : r& h Ü ¼ Ð Ø Ô> ? / 9

l

~ ½ ÓZ O \ _ % i . 7 £ ¤, " é ¶ i _ 0 A H

∆θ

i

= α F

iθ

(2)

sinθ

i

∆φ

i

= α F

iφ

(3)

\

_ # Å Ò# Q . # l " f " é ¶ ~ Ã Î H j Ë µ_ ß ¼l @ /

|

Ä Ì N Ü ¼ Ð » ¡ ¤' ÷ &Ù ¼ Ð α = 0.025/N Ü ¼ Ð 6 x % i .

Õ

ªa Ë > 2. H 2 £ §d ¦ Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O \ _ ô Ç þ

j& h o · ú ¦o 1 p u É r " é ¶ f ¨ Ã Ì ¢ ¸ H » 1 Ï Ã Ì H õ & ñ _

¸¹ ¡ §` ¦ ~ Ã Î > ( J $ [ > © # 4 ` ¦ F G4 ¤ # l $ © I \ ¦

¹

1 Ô ¸2 ¤ ¦î ß ÷ &% 3 . \ V\ ¦ [ þ t # Q, z ´ É r N-{ 9 > _ (

J $ [ > s ¦, & h É r (N + 1)-{ 9 > _ ( J $ [ > ` ¦ _ p ô Ç . s X O â Ä º, > _ þ j& h o õ & ñ É r A \ " f " é ¶

f

¨ Ã Ì÷ &# Q (N + 1) { 9 > _ ( J $ [ > ` ¦ B t

' ô Ç 6 £ §, r N-{ 9 > ( J $ [ > ` ¦ ' H

כ

` ¦ l @ /½ + É Ã º e .

H 2 £ §d ¦ ¸1 p u > h¥ Æ ` ¦ ¸{ 9 H õ & ñ É r # Qt e

`

¦ Ã º e xÜ ¼ , # l " f H (1) " é ¶ [ þ t` ¦ Ø Ô> ? / 9

l ~ ½ ÓZ O \ _ # N

SD

r ç ß > é ß ë ß p u ¹ ¡ §f . (2) Á

ºô Ç@ / ÐÂ Ò' (s ë H ] j\ " f H ½ ¨_ × æd Ü ¼ ÐÂ Ò' ) ô Ç > h _ " é ¶ \ ¦ f ¨ Ã Ì r ¸ô Ç 6 £ § N

A

r ç ß > é ß ë ß p u Ø Ô

>

? / 9l r . (3) ô Ç > h_ e _ _ " é ¶ \ ¦ » 1 Ï Ã Ì r

¸ô Ç 6 £ § N

A

r ç ß > é ß ë ß p u Ø Ô> ? / 9l r

. (4) : r ¸\ ¦ ± ú Æ Ò# Q " f (1)-(3) _ õ & ñ ` ¦ ÷ &Û ¦ s ô

Ç .

"

é

¶ \ ¦ f ¨ Ã Ì r ¸½ + É â Ä º, ë H ] j_ $ í ` ¦ Ö ¸6 x # ½ ¨

_ × æd Ü ¼ ÐÂ Ò' " é ¶ É r " é ¶ ÐÂ Ò' j Ë µ` ¦ ~ Ã Î

Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O \ _ # f ¨ Ã Ì t & h ` ¦ ¹ 1 Ô

¸2 ¤ % i . ë ß { 9 ë H ] j_ $ í © s ~ ½ ÓZ O s : x6 x ÷ &

t

· ú § H , e _ _ ~ ½ Ó ¾ Ó_ Á ºô Ç@ / t & h Ü ¼ ÐÂ Ò' " é ¶

f ¨ Ã Ìt & h ` ¦ ¹ 1 Ô ? / 9 ¸ ¸2 ¤ # ¸ Á º ' a . s M :

^

¦ Þ Ôë ß _ q H

exp( −βE

N +1

+ βµ(N + 1))

exp( −βE

N

+ βµN ) = exp( −β(∆E − µ)) (4) s

÷ &Ù ¼ Ð, ∆E ≤ µ s " é ¶ \ ¦ Á º ¸| f ¨ Ã Ìr v ¦,

∆E > µ s exp(−β(∆E − µ)) _ q Ö ¦ Ð f ¨ Ã Ìr .

»

1 Ï Ã Ì_ â Ä º\ H ^ ¦ Þ Ôë ß _ q

exp( −βE

N−1

+ βµ(N − 1))

exp( −βE

N

+ βµN ) = exp( −β(∆E + µ)) (5) s

÷ &Ù ¼ Ð, ∆E ≤ −µ s " é ¶ \ ¦ Á º ¸| » 1 Ï Ã Ìr v ¦,

∆E > −µ s exp(−β(∆E + µ)) _ q Ö ¦ Ð » 1 Ï Ã Ìr

. [8] > \ > r F H " é ¶ _ Ì Ã º ¦& ñ ÷ &# Q e t · ú § Ü

¼Ù ¼ Ð, " é ¶ _ Ì Ã º_ o\ o < Æ( J $ [ > ` ¦ ç ß m

7 £ x ¢ ¸ H y èr & " f " é ¶ H " é ¶ _ Ì Ã º % 3 # Qt

¸2 ¤ % i .

è

ß Ã º Ð µ 1 ÏÒ q tr e _ _ ½ ¨ ¸\ @ / # , íl : r ¸ T

_SD

= 400 r ç ß > é ß

(3)

½ ¨ 7 Hë H H 2 £ §d ¦ Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O \ _ ô Ç : § H ë H ] j_ þ j& h o – # î ï r -413-

³

N Energy N Energy N Energy N Energy

3 1.73205080 28 310.49154237 53 1191.92229047 78 2662.94647456 4 3.67423461 29 334.63443995 54 1239.36147478 79 2733.24835747 5 6.47469150 30 359.60394593 55 1287.77272081 80 2805.35587598 6 9.98528137 31 385.53083808 56 1337.09494533 81 2878.52282966 7 14.45297756 32 412.26127470 57 1387.38322929 82 2952.56967528 8 19.67528786 33 440.20405747 58 1438.61825068 83 3027.52848892 9 25.75998653 34 468.90485331 59 1490.77333535 84 3103.46512443 10 32.71695639 35 498.56987255 60 1543.83040101 85 3180.36144293 11 40.59645055 36 529.12240840 61 1597.94183019 86 3258.21160571 12 49.16525362 37 560.61888777 62 1652.90940989 87 3337.00264298 13 58.85323061 38 593.03850360 63 1708.87968150 88 3416.72019675 14 69.30636330 39 626.38900903 64 1765.80257792 89 3497.43901862 15 80.67024412 40 660.67527886 65 1823.66796026 90 3579.09122272 16 92.91165530 41 695.91674436 66 1882.44152530 91 3661.71369932 17 106.05040484 42 732.07810757 67 1942.12270040 92 3745.29163624 18 120.08446745 43 769.19084649 68 2002.87470174 93 3829.84433842 19 135.08947315 44 807.17426314 69 2064.53606622 94 3915.30926962 20 150.88159783 45 846.18840111 70 2127.10090155 95 4001.77167556 21 167.64178633 46 886.16711366 71 2190.64990642 96 4089.15401005 22 185.28753616 47 927.05927071 72 2255.00119097 97 4177.53359962 23 203.93019067 48 968.71345537 73 2320.63388374 98 4266.82246415 24 223.34707406 49 1011.55718269 74 2387.07298183 99 4357.13916313 25 243.81276034 50 1055.18231475 75 2454.36968903 100 4448.35063433 26 265.13332634 51 1099.81929035 76 2522.67487184

27 287.30261504 52 1145.41896437 77 2591.85015235

m

_ Ø Ô> ? / 9l \ ¦ ' % i . Õ ª 6 £ § \ 0.9 T _

: r ¸\ " f ° ú É r õ & ñ ` ¦ ÷ &Û ¦ s % i . N

^A

H ¸¿ º 40 r ç

ß > é ß ` ¦ 6 x % i .

III. + s Ç Ê Ý

N = 2 ∼ 100 _ # 3 0 A_ : § H ë H ] j\ H 2 £ §d ¦ Ø Ô

>

? / 9l ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h 6 xô Ç õ , @ /Â Òì r_ â Ä º é ß ô Ç

_ r ' Ü ¼ Ð s p Ð ¦ ) a õ [ þ t` ¦ % 3 % 3 ` ¦ ÷ rë ß m

|

% i . l > r_ õ ü < q § , N = 16 _ â Ä º E

= 92.91165530 ( l > r_ õ H E = 92.920 [3] ) s 9 N

~

כ ¹½ ¨÷ &% 3 ~ â Ä º H N = 85 Ü ¼ Ð 6 r_ ì ø Í4 ¤ s 9 כ ¹

% i ¦, Qt H ¸¿ º 2 r ¢ ¸ H 3 r & ñ ¸_ ì ø Í4 ¤ r ' Ü

? /% 3 .

l

ø Í4 ¤ H כ s Ð: x s . [1,9,10] Õ ª! 3 \ ¸ Ô ¦ ½ ¨ ¦ ² D G t

# Qz ` ¦ ^ ¦ Ã º e . s H ô Ç¼ # Ä ºo _ ~ ½ ÓZ O s @ /é ß y

´

òÖ ¦& h s H t ³ ð Ð s K | ¨ c Ã º e xÜ ¼ , õ Ð & ³ z

´& h ^ ( J $ [ > s ª % i < Æ& h ¸4 S q_ â Ä º\ ¸ Õ ª

Qô Ç ´ òÖ ¦$ í s Ä »t | ¨ c Ã º e H t H " î S X t · ú § . é ß t

^ > _ ( J $ [ > ³ ð s ° ú H ª ô Ç + þ AI \ ¦ s 6 x H

~

ß ) a .

:

o ~ ½ ÓZ O : £ ¤& ñ ô Ç N _ ° ú כ\ @ / # 2 [ $ í ` ¦ × ¼ Q · p

H z ´s . [9,10] Ä ºo 6 xô Ç H 2 £ §d ¦ Ø Ô>

?

/ 9l ~ ½ ÓZ O \ " f ¸ : £ ¤& ñ ô Ç N ° ú כ_ â Ä º 4 ∼ 5 r_ ì ø Í 4

¤ s 9 כ ¹ô Ç â Ä º e % 3 Ü ¼ 9, ì ø Í \ Ð Õ ª H~ ½ Ó_ N

°

(4)

-414- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4

: r& h Ü ¼ Ð, × æç ß % ò % i \ 5 Å q H ß ¼l _ > _ ½ ¨ ¸

&

ñ \ Ä »6 xô Ç H 2 £ §d ¦ Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O ` ¦ > hµ 1 Ï

% i Ü ¼ 9, ¦ & h : § H ¸4 S q\ & h 6 x # Õ ª ´ òÖ ¦$ í ` ¦ { 9

7 £ x % i . × æç ß ß ¼l _ 9 þ t QÛ ¼' ³ ð ë H ] j\ Ä »6 x

½ +

É כ Ü ¼ Ð Ò q ty ÷ & 9, Ð & ³z ´& h ( J $ [ > \ @ /ô Ç ½ ¨

\

¦ ' ½ + É > S \ s .

P c

p 8 ý ò k >

: r ½ ¨ H @ /½ ¨@ / < Æ § < ÆÕ ü t ½ ¨q t " é ¶` ¦ ~ Ã Î ¤Ü ¼Ù ¼ Ð s

\ y _ > p w` ¦ ³ ð½ + Ëm .

Y c

p w Ã U Ø ô

[1] E. L. Altschuler, T. J. Williams, E. R. Ratner, F.

Dowla, and F. Wooten, Phys. Rev. Lett. 72, 2671 (1994).

[2] S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt, and M. P. Vecchi, Sci- ence, 220, 671 (1983).

[3] L. T. Wille, Nature 324, 46 (1986).

[4] D. M. Deaven and K. M. Ho, Phys. Rev. Lett. 75, 288 (1995).

[5] J. R. Morris, D. M. Deaven, and K. M. Ho, Phys.

Rev. B 53, R1740 (1996).

[6] M. J. D. Powell, Nonlinear Optimization (Academic Press, New York, 1982).

[7] H. A. Munera, Nature, 320, 597 (1986).

[8] N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A.

Teller, and E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).

[9] T. Erber and G. M. Hockney, J. Phys., A 24, L1369 (1991).

[10] L. Glasser and A. G. Every, J. Phys., A 25, 2473 (1992).

Optimization of Small Cluster Structures via a Grand Canonical Steepest Descent Algorithm

Byeong June Min

^∗

Department of Physics, Daegu University, Kyungbuk 712-714 (Received 20 October 2003)

A new method based on a grand canonical ensemble concept and a steepest descent algorithm is proposed as an effective method for handling the structural optimization problem of small-to- medium-sized clusters. When applied to the classical Thomson problem of N unit charges on a sphere for N = 2 ∼ 100, the proposed method was found to show an exceptional efficiency. We report a new ground state configuration for N = 16 and N=86. However, the efficiency of the present optimization scheme decreases rapidly when N exceeds 100.

PACS numbers: 36

Keywords: Optimization, Thomson problem, Cluster

∗

E-mail: [email protected]

 ½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4, pp. 411∼414

   ½ ¨ 7 Hë  H  Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 47, Number 6, 2003¸  12 Z 4, pp. 411∼414

É a

<   ¨ý u §  ª 4  5  \M  U ê s0 n É; c 8 ý X ¢   ÛÅ W ¥ Ã U Ø< g8 ý : X ì Ä× D

*

>

( å + Ö < ∗

@

/½ ¨@ / < Æ § Ó ü t o  < Æõ ,  â · ¡ ¤ 712-714 (2003¸  10 Z 4 20{ 9  ~ Ã Î6 £ §)

 H  2 £ §d  ¦  ¸1 p u > h¥ Æ õ   Ø Ô>  ? / 9l  ~ ½ ÓZ O \  l  íô  Ç D h Ðî  r þ j& h o ~ ½ ÓZ O `  ¦ & h  É r Õ ü w  _  " é ¶  



Ð s À Ò# Q  > _  ½ ¨ ¸   & ñ \  & h 6 x #  r + « > % i  . Ù ü t2  x  ©  ñ  6 x _  N > h_  & h    Ð s À Ò# Q 



¦  & h   :  §  H ë  H ] j\  & h 6 x % i `  ¦ M :, N = 2 ∼ 100 _  # 3 0 A\ " f @ /é ß y   Ø Ô ¦ ´ òÖ  ¦& h Ü ¼ Ð l $   ©  I

\  ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3  . @ /Â Òì  r_   â Ä º é ß  ô  Ç   _  r '  Ü ¼ Ð l $   © I \  ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3  ¦, N=16 õ  N=86_   â Ä

º s ] j t  µ 1 Ï|  ) a  כ  Ð   8 ± ú  É r l $   © I \  ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3  . Õ ª Q  N = 100 `  ¦  Å # Q  / å L  > 

´

òÖ  ¦$ í s  b  # Qf  s   ' a8 £ ¤ ÷ &% 3  .

PACS numbers: 36

Keywords: þ j& h o, :  §  H ë  H ] j, 9 þ t  QÛ ¼' 

I. " e Â ] Ø

"

é

¶   ç ß _   ©  ñ  6 x`  ¦ ´ òõ & h Ü ¼ Ð l Õ ü t½ + É Ã º e    H ~ ½ Ó Z O

[ þ t s  ´ ú §s  > hµ 1 Ï÷ &  " f, ´ òÖ  ¦& h   þ j& h o · ú  ¦o 1 p u \ 

@

/ô  Ç  ' a d  s  & t  ¦ e   . [1] ² D G  è x 9  ¸ s  : r s   x 9 ] X 

 

½ + Ë  H   ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð " é ¶   ç ß _   ©  ñ  6 x`  ¦  ª  % i  < Æ& h Ü ¼



Ð l Õ ü t # , 6 £ x| 9 > _  ½ ¨ ¸  F g < Æ& h $ í | 9  ¢ ¸  H  É r \ P 

%

i  < Æ& h $ í | 9 `  ¦ & ñ S X  >  > í ß ½ + É Ã º e    H U ´s  \ P § 4  . Õ ª



Q  ^ >  ° ú   H  ¦ " é ¶ ( J $ [ >  ³ ð  \ " f l $  © I 

\

 ¦ ¹ 1 Ô  H ë  H ] j  H  : r| 9 & h Ü ¼ Ð @ /é ß y  # Q 9Ö  ¦ Ã º µ 1 Ú\  \ O l  M

:ë  H \  ´ òÖ  ¦& h   þ j& h o · ú  ¦o 1 p u s  כ ¹½ ¨  ) a . \ V\  ¦ [ þ t

#

Q,    É r 9 þ t  QÛ ¼' _  ½ ¨ ¸   & ñ ë  H ] j  H Ã º´ ú § É r ² D G t & h þ j



è \  -t   © I   > r F  l  M :ë  H \     Ðî  r ë  H ] j Ð · ú 



94 R e   .

s

 Qô  Ç # Q 9¹ ¡ §`  ¦ F G4  ¤   H ~ ½ ÓZ O _  @ /³ ð& h    כ Ü ¼ Ð  H Ô

 ¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l  (simulated annealing) ~ ½ ÓZ O  [2, 3]õ  Ä » 



 · ú  ¦o 1 p u (genetic algorithm) ~ ½ ÓZ O  [4,5]s  e   . Ô  ¦a Ë >

¿

9 ª ? /? /l  ~ ½ ÓZ O (Õ ªa Ë > 1) É r >  \  -t   © # 4 `  ¦ F G4  ¤ # 

² D

G t & h \  -t  þ j è  © I \  ¦ # Á # Q l  0 Aô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð > 

  : r  ¸ T _  \ P " é ¶ Ü ¼ ÐÂ Ò'  ~ Ã Î  H \ P \  -t \  ¦¿ 9 ª ? / · p .

s

 M :  : r  ¸ T   H  ¦ : r \ " f r    #  & h  & h Ü ¼ Ð $  : r Ü ¼



Ð ? / 9  " f >  l $   © I \  ¦ ¹ 1 Ô  ¸2  ¤  ¸] X  ) a .

s

 כ  É r u  Õ ªa Ë > 1õ  ° ú  É r  ¸ ª _  ^ o =ó ø Í\  Z  ~ #   ½ ¨_ þ t s

  ©  ± ú  É r \  -t   © I \  ¦ ¹ 1 Ô  ¸2  ¤ ^ o =ó ø Í`  ¦ :  ¤:  ¤ u 



 H  כ õ  Ä »   . 7 £ ¤, s  כ  É r Ó ü t o  < Æ& h   þ j& h o · ú  ¦

E-mail: [email protected]

o

1 p u \  K { ©   9, N ≤ 20 & ñ  ¸_     É r > \  ´ ú §s  & h 6 x ) a

.

Ä

»    · ú  ¦o 1 p u É r Ò q tÓ ü t < Æ& h   > h¥ Æ \    ½ Ó`  ¦ ¿ º ¦ e  

. Ò q tÓ ü t > h^   H y  Ã º ì  r\ P `  ¦ :  x #  & ñ    è ß  \  ¦ Ò q tí ß 

 ¦  É r > h^  ÐÂ Ò'  è ß    & ñ  \  ¦ ~ Ã Î    ½ + Ë #   6

£

§ [ j@ /\  ¦ ë ß   H . s   כ `  ¦  : r * " f þ j& h o\  ¦ '     H  כ s  Ä

»    · ú  ¦o 1 p u s  . Y > > h_  Ò  re  ¦ ½ ¨ ¸\  ¦ t  ¦ r   

# , Õ ª { 9 Â Ò $ í | 9 `  ¦ Ó ü t  9~ Ã Î  H   < H ½ ¨ ¸\  ¦ + þ A$ í # , Õ

ª ×  æ \ " f ± ú  É r \  -t \  ¦ ° ú   H ½ ¨ ¸\  ¦ Y  J ? /# Q Ò  re  ¦ ½ ¨



¸\   í < Ê ) a " é ¶  \  ¦ @ /u  #    H ~ ½ Ód  s  . Ä »    · ú 



¦o 1 p u É r ´ ú § É r " é ¶   Ð s À Ò# Q  > \ " f 0 A§ 4 `  ¦ µ 1 Ï6 f  t

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4, pp. 411∼414

½ ¨ 7 Hë H Sae Mulli (The Korean Physical Society), Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4, pp. 411∼414

< ¨ý u § ª 4 5 \M U ê s0 n É; c 8 ý X ¢ ÛÅ W ¥ Ã U Ø< g8 ý : X ì Ä× D

( å + Ö < ^∗

/½ ¨@ / < Æ § Ó ü t o < Æõ , â · ¡ ¤ 712-714 (2003¸ 10 Z 4 20{ 9 ~ Ã Î6 £ §)

H 2 £ §d ¦ ¸1 p u > h¥ Æ õ Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O \ l íô Ç D h Ðî r þ j& h o ~ ½ ÓZ O ` ¦ & h É r Õ ü w _ " é ¶

Ð s À Ò# Q > _ ½ ¨ ¸ & ñ \ & h 6 x # r + « > % i . Ù ü t2 x © ñ 6 x _ N > h_ & h Ð s À Ò# Q

¦ & h : § H ë H ] j\ & h 6 x % i ` ¦ M :, N = 2 ∼ 100 _ # 3 0 A\ " f @ /é ß y Ø Ô ¦ ´ òÖ ¦& h Ü ¼ Ð l $ © I

\ ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . @ /Â Òì r_ â Ä º é ß ô Ç _ r ' Ü ¼ Ð l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 ¦, N=16 õ N=86_ â Ä

º s ] j t µ 1 Ï| ) a כ Ð 8 ± ú É r l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ? /% 3 . Õ ª Q N = 100 ` ¦ Å # Q / å L >

òÖ ¦$ í s b # Qf s ' a8 £ ¤ ÷ &% 3 .

Keywords: þ j& h o, : § H ë H ] j, 9 þ t QÛ ¼'

¶ ç ß _ © ñ 6 x` ¦ ´ òõ & h Ü ¼ Ð l Õ ü t½ + É Ã º e H ~ ½ Ó Z O

[ þ t s ´ ú §s > hµ 1 Ï÷ & " f, ´ òÖ ¦& h þ j& h o · ú ¦o 1 p u \

/ô Ç ' a d s & t ¦ e . [1] ² D G è x 9 ¸ s : r s x 9 ] X

½ + Ë H ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð " é ¶ ç ß _ © ñ 6 x` ¦ ª % i < Æ& h Ü ¼

Ð l Õ ü t # , 6 £ x| 9 > _ ½ ¨ ¸ F g < Æ& h $ í | 9 ¢ ¸ H É r \ P

i < Æ& h $ í | 9 ` ¦ & ñ S X > > í ß ½ + É Ã º e H U ´s \ P § 4 . Õ ª

Q ^ > ° ú H ¦ " é ¶ ( J $ [ > ³ ð \ " f l $ © I

¦ ¹ 1 Ô H ë H ] j H : r| 9 & h Ü ¼ Ð @ /é ß y # Q 9Ö ¦ Ã º µ 1 Ú\ \ O l M

:ë H \ ´ òÖ ¦& h þ j& h o · ú ¦o 1 p u s כ ¹½ ¨ ) a . \ V\ ¦ [ þ t

Q, É r 9 þ t QÛ ¼' _ ½ ¨ ¸ & ñ ë H ] j H Ã º´ ú § É r ² D G t & h þ j

è \ -t © I > r F l M :ë H \ Ðî r ë H ] j Ð · ú

94 R e .

Qô Ç # Q 9¹ ¡ §` ¦ F G4 ¤ H ~ ½ ÓZ O _ @ /³ ð& h כ Ü ¼ Ð H Ô

¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l (simulated annealing) ~ ½ ÓZ O [2, 3]õ Ä »

· ú ¦o 1 p u (genetic algorithm) ~ ½ ÓZ O [4,5]s e . Ô ¦a Ë >

9 ª ? /? /l ~ ½ ÓZ O (Õ ªa Ë > 1) É r > \ -t © # 4 ` ¦ F G4 ¤ #

G t & h \ -t þ j è © I \ ¦ # Á # Q l 0 Aô Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð >

: r ¸ T _ \ P " é ¶ Ü ¼ ÐÂ Ò' ~ Ã Î H \ P \ -t \ ¦¿ 9 ª ? / · p .

M : : r ¸ T H ¦ : r \ " f r # & h & h Ü ¼ Ð $ : r Ü ¼

Ð ? / 9 " f > l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ¸2 ¤ ¸] X ) a .

כ É r u Õ ªa Ë > 1õ ° ú É r ¸ ª _ ^ o =ó ø Í\ Z ~ # ½ ¨_ þ t s

© ± ú É r \ -t © I \ ¦ ¹ 1 Ô ¸2 ¤ ^ o =ó ø Í` ¦ : ¤: ¤ u

H כ õ Ä » . 7 £ ¤, s כ É r Ó ü t o < Æ& h þ j& h o · ú ¦

1 p u \ K { © 9, N ≤ 20 & ñ ¸_ É r > \ ´ ú §s & h 6 x ) a

.

» · ú ¦o 1 p u É r Ò q tÓ ü t < Æ& h > h¥ Æ \ ½ Ó` ¦ ¿ º ¦ e

. Ò q tÓ ü t > h^ H y Ã º ì r\ P ` ¦ : x # & ñ è ß \ ¦ Ò q tí ß

¦ É r > h^ ÐÂ Ò' è ß & ñ \ ¦ ~ Ã Î ½ + Ë # 6

§ [ j@ /\ ¦ ë ß H . s כ ` ¦ : r * " f þ j& h o\ ¦ ' H כ s Ä

» · ú ¦o 1 p u s . Y > > h_ Ò re ¦ ½ ¨ ¸\ ¦ t ¦ r

# , Õ ª { 9 Â Ò $ í | 9 ` ¦ Ó ü t 9~ Ã Î H < H ½ ¨ ¸\ ¦ + þ A$ í # , Õ

ª × æ \ " f ± ú É r \ -t \ ¦ ° ú H ½ ¨ ¸\ ¦ Y J ? /# Q Ò re ¦ ½ ¨

¸\ í < Ê ) a " é ¶ \ ¦ @ /u # H ~ ½ Ód s . Ä » · ú

¦o 1 p u É r ´ ú § É r " é ¶ Ð s À Ò# Q > \ " f 0 A§ 4 ` ¦ µ 1 Ï6 f t

ë ß , q §& h É r > \ & h 6 x l \ H q ´ òÖ ¦& h s .

ü < ° ú s Ó ü t o < Æ& h þ j& h o ~ ½ ÓZ O õ Ò q tÓ ü t < Æ& h þ j

h o ~ ½ ÓZ O s > r F Ù ¼ Ð Õ ª × æç ß % ò % i \ K { © ÷ & H ß ¼l _ > \ & h 6 x l \ & h ½ + Ëô Ç o < Æ& h þ j& h o ~ ½ ÓZ O s > r F

½ + É כ s . 7 £ ¤, & ñ _ $ í © õ & ñ \ " fü < ° ú s 6 xÓ o × æ _ " é ¶ f ¨ Ã Ì÷ &l ¸ ¦, s p f ¨ Ã Ì÷ &# Q e ~ " é ¶

b

# Q4 R H õ & ñ s ½ ¨ ¸_ þ j& h o\ ¸¹ ¡ § s | ¨ c כ s

¦ Æ Ò : r½ + É Ã º e . " f " é ¶ f ¨ Ã Ì ¢ ¸ H » 1 Ï Ã Ì½ + É Ã

º e H 0 p x$ í ` ¦ ) 6 x # o < Æ& h õ & ñ _ ¿ 9 ª ? /? /l

¦ r ¸ % i .

ü < ° ú É r õ & ñ ` ¦ l Õ ü t l \ & h ½ + Ëô Ç כ É r H 2 £ §d ¦

¸1 p u > h¥ Æ { 9 כ s . " f & h ] X ô Ç o < Æ( J $ [ > _ ° ú כ` ¦

ñ _ # 9 þ t QÛ ¼' _ " é ¶ Ã º\ ¦ " é ¶ H ° ú כÜ ¼ Ð Ä »t

" f : r ¸\ ¦ ¦ : r \ " f $ : r Ü ¼ Ð " f" fy ± ú Æ Ò# Q " f ½ ¨

¸\ ¦ þ j& h oô Ç . s M :, ½ ¨ ¸\ ¦ þ j& h o H ~ ½ ÓZ O Ü ¼ Ð H

Ø Ô> ? / 9l (steepest descent) ~ ½ ÓZ O [6]` ¦ × þ

-412- ô Ç² D GÓ ü t o < Æ rt “D hÓ ü t o ”, Volume 47, Number 6, 2003¸ 12 Z 4

ªa Ë > 1. Ô ¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l ~ ½ ÓZ O \ _ ô Ç þ j& h o · ú ¦o 1 p u É r

ü @Â Ò ÐÂ Ò' \ P \ -t \ ¦ ~ Ã Î " f ( J $ [ > © # 4 ` ¦ F

G4 ¤ # l $ © I \ ¦ ¹ 1 Ô ¸2 ¤ ¦î ß ÷ &% 3 .

i . Ó ü t : r Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O s -Á º & h F G& h s

¦ ó ø Íé ß ) a 7 H _ \ ¦ Ð ¿ 9 ª ? /? /l ~ ½ Ód ` ¦ × þ ½ + É Ã º e

¦ כ s . # l " f H H 2 £ §d ¦ ¸1 p u > h¥ Æ s þ j& h o õ & ñ

¸¹ ¡ § s ÷ & H כ ` ¦ Ðs l 0 A # Ô ¦a Ë > ¿ 9 ª ? /? /l ~ ½ ÓZ O õ

_ × æ4 ¤` ¦ x l 0 A # Ø Ô> ? / 9l ~ ½ ÓZ O ` ¦

% i .

ß { 9 s ü < ° ú É r > h¥ Æ s Ä »6 x , > H N-{ 9 > _ (

J $ [ > ÷ rë ß m (N + 1)-{ 9 > , (N + 2)-{ 9 > , (N - 1)-{ 9 > 1 p x1 p x_ ( J $ [ > ³ ð ` ¦ Ö ¸6 x " f þ j& h o õ

ñ ` ¦ ' > ) a . s ü < ° ú É r õ & ñ É r Õ ªa Ë > 2\ Ð כ

! 3 ' ) a .

II. T Â ] Ø õ m Í 4 m U ê s0 n É

§ H_ | í ¸ É Ò` ç ¸4 S q(plum pudding model) É r " é ¶ A

" é ¶ _ ½ ¨ ¸ Ð Ò q ty ÷ &# Q& . : r A _ 3 l q& h É r ² ú $ í t

3 l wÙ þ ¡t ë ß , N > h_ ½ ¨ \ C \ P | ¨ c â Ä º_ þ j è

-t ½ ¨ ¸\ ¦ ¹ 1 Ô H ë H ] j H @ /é ß y ´ ú § É r ï rî ß & ñ © I \ ¦