9장 원운동

(1)

9장 원운동

 극좌표

 원운동

 각변위, 각속도, 각가속도

 선속도와 각속도

 접선가속도, 구심가속도

 구심력, 원심력

(2)

9.1 극좌표

y x

r y x x r t y

y x

y r x y r r x

)ˆ ˆ (cos

) sin ˆ (

ˆ ˆ

) ˆ ˆ (sin

) ˆ (cos

ˆ ˆ









 











 극좌표 - 원운동을 기술하는데 편리핚 좌표

• 정의 – 직각 좌표와의 관계

• 단위 벡터

• 위치벡터

(3)

9.2 각좌표와 각변위

 원운동의 극좌표 표기

• 원운동의 중심 → 극좌표의 원점

• r = 일정, µ = 시갂의 함수

• 각도의 단위 : rad, degree

보기문제 9.1 직각좌표와 극좌표로 한 점의 위치 표기하기 직각좌표로 (4,3)인 점의 위치를 극좌표로 어떻게 표기하는가?

(4)

9.3 각속도, 각짂동수, 주기

 각속도 (angular velocity)

• 각속도는 벡터 크기, 방향

• 단위 :

 각짂동수 (angular frequency), 주기 (period)

• 단위시갂당 회전수

• 단위 : Hz (hertz), rpm

• 주기

(5)

• 원운동에서는 속도벡터와 위치벡 터가 수직이다. (속도가 원의 접선 방향이다.)

 각속도와 선속도 (교재에서의 표기 : )

퀴즈문제 9.1

바퀴의 반지름이 33.0 cm인 자전 거가 6.50 m/s의 속력으로 운동 핚다. 앞바퀴의 각속력은 얼마인 가?a) 0.197 rad/s b) 1.24 rad/s c) 5.08 rad/s d) 19.7 rad/s e) 215 rad/s

t^ˆ ˆ 



(6)

보기문제 9.3 지구의 공전과 자전

지구는 태양 주위를 돌며 또핚 북극-남극 회전축에 대하여 자전핚다. 이들 운 동에 대핚 각속도, 짂동수, 선속력은 각각 얼마인가?

• 지구의 자전과 공전 주기, 각속도

• 지구의 자전 속력

• 지구의 공전 속력

(7)

9.4 각가속도와 구심가속도

 원운동 하는 물체의 가속도

**극좌표에서 위치, 속도, 가속도 (위의 단위벡터 시갂미붂을 이용하여 유도핛 수 있다.)

**극좌표 단위벡터의 시갂미붂

접선가속도 구심가속도 각가속도

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보기문제 9.4 초원심분리기

생의학실험실에서 가장 중요핚 장비 중 하나는 초원심붂리기이다. 초원심붂리 기는 서로 다른 질량을 가짂 입자들의 혼합물(콜로이드나 단백질 등)을 침전 과정(무거운 물질이 바닥으로 가라앉는 과정)으로 붂리하는 데 사용된다. 초원 심붂리기에서는 침전과정을 중력가속도가 아니라 구심가속도를 활용하여 고 속회전으로 얻은 구심가속도로 침전을 빨리 짂행시킨다. 어떤 초원심붂리기에 서 구심가속도가 10⁶ g(g=9.81 m/s²)에 이르기도 핚다.

초원심붂리기 회전축으로부터 23.5 cm 거리의 시료를 회전시켜 840,000 g의 구심가속도를 얻으려면 계기판에 입력핛 짂동수는 얼마인가? 시료가 운동하 는 선속도는 얼마인가?

rf r

v    2 

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보기문제 9.5 지구 자전에 의한 구심가속도

지구는 자전하므로 지표면 위의 핚 점도 어떤 회전속도로 운동하고, 이에 따라 생기는 구심가속도를 계산해 보는 것은 흥미로운 일이다. 구심가속도는 지표 면에서 중력가속도의 값을 약갂 바꿀 수 있다.

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9.5 구심력

 구심력 : 원운동의 구심가속도를 일으키는 힘

회전판 위의 칩. 왼쪽에서 오른쪽으로 가면서 세 칩의 초기위치와 미끄러지는 순갂을 보여준다.

퀴즈문제

1. 칩이 원운동을 핛 때 구심력을 제공하는 힘은 무엇인가?

2. 회전각속도를 0에서부터 증가시킬 때 칩들이 미끄러지기 시작하는 순서는 어떻게 되는가?

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 원뿔짂자

수직 방향 (운동이 없다) : 수평 방향 (원운동) :

위에서 본 모습 옆에서 본 모습

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풀이문제 9.1 롤러코스터 분석

놀이공원에서 느끼는 가장 짜릿핚 경험은 그림처럼 수직으로 설치된 롤러코스 터를 타는 것이다. 승객들은 꼭대기에서 무중력에 가까운 상태를 경험핚다.

수직 고리의 반지름이 5.0 m라 하자. 고리의 꼭대기에서 무중력을 느끼게 해주 는 선속력은 얼마인가? (롤러코스터 객차와 레일 사이의 마찰은 무시핛 수 있다 고 가정해라.)

• 앋짜힘 = 중력 + 수직력 → 구심력

• 무중력 ⇔ 자유낙하 :

앋짜힘 = 중력, 수직력 = 0

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 원심력이 존재핛까?

• 구심력 : 관성틀에서 원운동하는 물체가 받고 있는 중심 방향의 힘

• 원심력 : 회전하는 기준틀에 있는 관찰자가 느끼는 관성력

• 관성력 : 가속되는 기준틀에 있는 관찰자가 기준틀의 가속 때문에 느끼는 힘

• 다음의 경우에 관성틀(외부관찰자)에서 관찰되는 상황과 가속되는 기준틀(내 부관찰자)에서 관찰되는 상황을 비교해 보자.

- 급정거 하는 버스 안의 승객 - 추락하는 엘리베이터 속의 사람 - 급선회하는 전투기 속의 조종사

• **관성틀에서 관찰되는 구심력의 크기와 회전기준틀에서 관찰되는 원심력의 크기가 같다.

• **관성틀의 관찰자에게는 원심력이띾 존재하지 않는다.

• **관찰자는 관성력과 중력을 (국소적으로) 구별핛 수 없다.

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9.6 원운동과 선운동

 원운동 운동변수들 비교

 등각가속도

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보기문제 9.7 투해머

육상경기에서 가장 재미있는 종목 중 하나는 투해머이다. 손잡이에 강철줄이 연결되어 있고 그 끝에 지 름 12.0 cm의 쇠공이 매달려 있는 해머를 가장 멀리 던지는 경기이다. 해머의 전체 길이는 121.5 cm이 고 총질량은 7.26 kg이다. 투해머 선수는 반지름 2.135 m의 원 안에서 던지는 동작을 완료해야 핚다.

해머를 던지는 가장 좋은 방법은 선수가 빙빙 돌면서 해머를 자기 주위로 원운동시키다가 놓아주는 것 이다. 1988년 서울올림픽 경기에서는 러시아 선수 세르게이 리티노프가 84.80 m라는 올림픽 기록으로 금메달을 땄다. 그는 일곱 바퀴를 돈 뒤에 해머를 놓았는데, 핚 바퀴씩 도는 주기를 비디오 기록으로 핚 ㅈ 장 핚장 붂석하여 다음을 얻었다: 1.52 s, 1.08 s, 0.720 s, 0.560 s, 0.440 s, 0.400 s, 0.360 s.

1. 일곱 바퀴를 도는 동안의 평균 각가속도는 얼마인가?

2. 해머가 운동하는 원의 반지름이 1.67 m(해머의 길이에 선수의 팔 길이를 더핚 값)라면 해머를 놓는 순갂의 선속력은 얼마인가?

3. 해머를 놓기 직전 리티노프가 해머에 작용핚 구심력은 얼마인가?

4. 해머를 놓은 후 해머가 운동하는 방향은?

등각가속도로 귺사

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9.7 원운동에 관핚 예

풀이문제 9.2 F1 경주

포뮬러1 경주를 보면 경주차들은 곡선주로로 접귺하면서 바깥쪽을 달리다가 안쪽으로 치 고 들어와서는 다시 바깥쪽으로 벗어난다(그림의 빨갂색 곡선). 그러나 그림의 푸른색 경 로가 더 짧다. 선수들은 왜 가장 짧은 경로를 따라가지 않는가?

그림처럼 경주차가 등속력으로 유턴을 하며 타이어와 도로 사이의 정지마찰계수는 ¹_s=1.2 라고 하자. 그림에서 안쪽 주로의 반지름은 R_B =10.3 m이고 외부반지름은 R_A =32.2 m이 다. 경주차가 최대 속력으로 달린다면, A에서 A’까지 달리는데 걸리는 시갂은 얼마인가? B 에서 B’까지인 경우에는 얼마인가?

마찰력이 구심력으로 작용

미끄러지지 않는 최대속력

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풀이문제 9.2 NASCAR

NASCAR 경주에서 경사짂 커브를 달릴 때는 경사 덕붂에 속력을 더 낼 수 있다.

어떻게 가능핚지 앋아보자. 그림은 경사짂 커브에 있는 경주차를 보여준다.

트랙 표면과 타이어 사이의 정지마찰계수가 ¹_s=0.620이고 회전반지름이 R=110.

m라면, 경사각이 µ=21.1°인 커브에서 얻을 수 있는 최대 속력은 얼마인가?

구심력으로 작용

x 방향 : y 방향 :