프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육에 관한 연구

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석사학위논문

프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육에 관한 연구

A Study on the Basic Design Education Using Fractal Geometry

국민대학교 교육대학원 디자인 ․ 공예 교육 전공

윤여림

2004

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프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육에 관한 연구

지도교수 김관배

이 논문을 석사학위 청구논문으로 제출함

2004년 월 일

국민대학교 교육대학원 디자인 ․ 공예 교육 전공

윤여림

2004

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윤여림의

석사학위 논문을 인준함

2004년 월 일

심사위원장 정 지 홍 (인) 심사위원 이 동 춘 (인) 심사위원 김 관 배 (인)

국민대학교 교육대학원

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논문개요

만델로브로트가(Mandelovrot) 주창한 프랙탈 기하학(Fractal Geometry)은 자연 을 추상화하면서 할 수 없었던 자연에 대한 세부적이고 상세한 해석을 가능하게 하며 자연에서 내재된 혼돈과 아름다움, 조형의 원리들을 디자인 요소로 적용할 수 있는 계기를 마련하였다.

프랙탈 이론은 자연의 본질, 자연의 미학을 탐구하는 과거 기계론적이고 선형 적인 자연관을 넘어서는 유기적인 새로운 자연관을 제시하며 자연이 얼마나 창 조적이고 ‘다양한가’ 동시에 ‘질서적인가’에 대한 의문을 명확히 제시해 주는 개 념이다.

이와 같이 다채로운 프랙탈 기하학을 활용하여 시각화 과정을 훈련하는 조형 교육을 통해 조형 능력을 향상시키고자 한다. 특히 실업계 고등학교에서 조형적 시각화를 위한 조형 교육은 디자이너가 되기 위한 자질과 발상, 표현능력을 향상 시킬 수 있는 기초 과정이므로 대상의 형태창출 능력과 조형 능력 향상을 위한 교육과정이 체계적으로 이루어져야 할 것이다. 이러한 기초 조형을 위한 교육 프 로그램을 연구하여 학생들의 지각적 사고의 폭 즉, 자유롭고 개방된 아이디어 창 출능력을 신장시킬 수 있는 새로운 조형교육의 소재 발굴이 필요한 현실이다.

이에 본 연구의 목적은 이러한 사고를 바탕으로 조형 교육의 다양한 조건을 수용할 수 있는 프랙탈 기하학의 기본 원리를 중심으로 이를 학생들이 다양한 미적 체험과 시각적 체험을 하는데 도움을 주고 조형 교육프로그램의 새로운 적 용 가능성을 제시하는데 의의가 있다.

따라서 본 연구에서는 학생들이 스스로 프랙탈 기하학의 조형에 대한 관심을 가지고 탐구를 통하여 조형원리의 발견과 새로운 관계를 추출하는 과정을 거쳐 창의적인 조형 결과물을 얻어낼 수 있도록 프랙탈 기하학의 조형 교육 프로그램

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을 제안하고자 한다. 이를 위해 다음과 같은 연구 방법을 제시하였다.

첫째, 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육의 이론적 배경과 문헌자료를 살펴 조 형 가능성을 확장시키고자 한다.

둘째, 실업계 고등학교에서의 조형 교육 현황 및 실태를 분석하고, 조형교육에 서 시각화 교육 이론을 분석을 통해 현재 조형 교육 과정에 적용시켜 발전시킬 수 있는 방법론에 대해 연구하여 조형 교육의 중요성을 밝혔다.

셋째, 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육을 연구․분석하여, 창의적인 조형표현 능력을 향상시킬 수 있는 조형 교육 프로그램을 제안하였다.

이러한 분석을 토대로 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육의 교과방법 및 학습 의 진행 단계를 제시하고자 한다. 우선, 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 프로 그램은 기초 조형 수업으로 실업계 고등학교 1학년에 편성하였으며, 『조형』교 과목을 바탕으로 주 1회 3시간으로 5주차 수업을 범위로 수업 안을 구성하였다.

다음은 프랙탈 기하학을 활용한 시각화 조형교육의 형태교육과 표현교육을 체 계적으로 습득할 수 있도록 제시한 수업 단계로 총 5단계로 나뉜다.

￭ 1단계는 프랙탈 기하학의 대상 선정

￭ 2단계는 프랙탈 기하학 대상의 관찰과 분석

￭ 3단계는 프랙탈 기하학의 조형 원리의 이해

￭ 4단계는 대상의 형태적 특징 및 구조적 형태 창출

￭ 5단계는 조형요소와 조형원리로 표현하기[조형적 시도]

최종 조형완성[프레젠테이션]의 단계 순으로 이루어진다.

프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육프로그램은 조형 원리를 이해를 돕고 다양 한 시각화 과정과 조형적 시도를 통해 새로운 조형교육의 변화 가능성의 발견과 창의적인 조형 표현 능력을 신장시키는 데 큰 역할을 할 것이다.

이러한 시각화를 위한 조형 교육 수업 안은 학생에게 미래에 경쟁력 있는 디 자이너가 되기 위한 실질적인 기회를 제공하여 자유로운 사고의 개발과 더불어 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육이 적절히 적용될 수 있도록 향후 구체적인 제도의 개선방안과 심층적인 연구가 지속적으로 모색되어야 할 것이다.

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목 차

논문개요 표목차 그림목차

Ⅰ. 서 론 ··· 1

1. 연구의 배경과 목적 ··· 1

2. 연구의 범위 ··· 2

3. 연구의 내용 및 방법 ··· 3

4. 연구의 체계도 ··· 4

Ⅱ. 프랙탈 기하학의 이론적 배경 ··· 5

1. 프랙탈 기하학의 개념 ··· 5

1-1. 자연에서 보여지는 프랙탈 기하학 ··· 7

1-2. 프랙탈 기하학의 특성 ··· 12

1-3. 프랙탈 기하학의 생성원리 ··· 13

2. 프랙탈 기하학의 관련 이론 ··· 16

Ⅲ. 조형 교육 현황 및 실태조사 ··· 28

1. 조형교육 현황 및 실태조사 ··· 28

2. 조형교과의 내용 분석 ··· 30

2-1. 조형교육의 목표 ··· 30

2-2. 교과교수 ․ 학습방법 및 교과의 내용 ··· 31

(7)

3. 조형교육에서 시각화교육 ··· 34

4. 조형교육에서 조형원리 분석 ··· 37

5. 조형교육에서 성취기준 및 평가기준 분석 ··· 42

Ⅳ. 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 ··· 45

1. 프랙탈 기하학에서의 조형원리 추출 ··· 45

1-1. 자기유사성(Self-Similarity), 스케일(Scaling) ··· 45

1-2. 프랙탈 차원(Fractal Dimension) ··· 48

1-3. 비선형성(Non-linearity) ··· 50

1-4. 무작위성(Randomness) ··· 53

1-5. 불규칙성(Irregularity) ··· 55

1-6. 비예측성(Unpredictability) ··· 56

2. 프랙탈 기하학의 형태구성의 특성 및 조형원리 분석 ··· 58

2-1. 프랙탈 기하학의 형태구성의 특성 분석 ··· 58

2-2. 프랙탈 기하학의 형태구성의 특성 및 조형원리 분석 ··· 63

Ⅴ. 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 활용 방안 ··· 66

1. 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 방안 ··· 66

1-1. 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육의 프로세스 ··· 67

2. 과정별 교육내용 및 방법 ··· 75

2-1. 프랙탈 기하학의 대상 선정 ··· 75

2-2. 프랙탈 기하학의 관찰 및 분석 ··· 76

2-3. 형태구성의 특징 분석 및 형태생성자 추출 ··· 80

2-4. 조형요소와 조형원리로 표현하기 ··· 87

(8)

Ⅵ. 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 프로그램 ··· 94

1. 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 목표 ··· 94

1-1. 학습지도 시 유의점 ··· 97

1-2. 평가 계획 ··· 98

2. 수업진행 단계 및 학습활동 ··· 100

2-1. 수업 계획표 ··· 100

3. 교수ㆍ학습 지도안 ··· 107

4. 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육에 대한 평가 ··· 113

4-1. 평가 개요 ··· 113

4-2. 수업 결과물 사례 ··· 114

4-3. 수업의 평가 및 분석 ··· 116

Ⅶ. 결론 및 제언 ··· 123

참고문헌 ··· 125

Abstract ··· 127

(9)

[표 목차]

[표3-1] 실업계 고등학교 조형 교육 현황 ··· 29

[표3-2] 7차 교육과정에서의 『조형』교과목의 성격 및 내용 ··· 32

[표3-3] 『조형』교과의 단원별 구성 내용 ··· 33

[표3-4] 다양한 형태 구성의 조형원리 ··· 38

[표3-5] 제7차 교육과정에 따른 『디자인요소와 원리』성취기준 ··· 44

[표3-6] 제7차 교육과정에 따른 평가기준 ··· 44

[표4-1] 프랙탈 기하학의 조형원리 추출-1 ··· 47

[표4-7] 프랙탈 기하학의 형태적 표현의 특징 ··· 64

[표4-8] 프랙탈 기하학의 형태구성의 특성 및 조형원리 분석 ··· 65

[표5-1] 디자인 프로세스와 수업모델 ··· 68

[표5-2] 단계별 수업 방안 ··· 73

[표6-1] 평면 조형 교육의 목표 ··· 95

[표6-2] 수업진행단계에 따른 평가 ··· 99

[표6-3] 평가 기준 ··· 99

[표6-4] 수업계획표 ···101

[표6-5] 1주차 교수 ․ 학습지도안 ···108

[표6-6] 2주차 교수 ․ 학습지도안 ···109

[표6-7] 3주차 교수 ․ 학습지도안 ···110

[표6-8] 4주차 교수 ․ 학습지도안 ···111

[표6-9] 5주차 교수 ․ 학습지도안 ···112

[표6-10] 단계별 적합성 평가 비교도 ···116

[표6-11] 단계별 논리성 평가 비교도 ···117

[표6-12] 단계별 매력 평가 비교도 ···118

[표6-13] 단계별 표현력 평가 비교도 ···119

[표6-14] 단계별 발전성 평가 비교도 ···120

(10)

[그림 목차]

[그림1-1] 연구 방향의 흐름도 ··· 4

[그림2-1] 자연에서 볼 수 있는 프랙탈 기하학 ··· 6

[그림2-2] 켈리포니아의 참나무 ··· 8

[그림2-3] 1.5차원의 프랙탈 구조 ··· 8

[그림2-4] 형태적 구조가 계속 반복되어지는 산맥 ··· 9

[그림2-5] 자연에서 본 프랙탈 기하학 형태의 고사리 ··· 9

[그림2-6] 자연에서 본 프랙탈 기하학- 1 ··· 10

[그림2-9] 피드백 루트 ··· 13

[그림2-10] Barnsely's Ferm(1) - 고사리 잎의 모델 형성 과정 ··· 14

[그림2-11] Barnsely's Ferm(1) - 프랙탈 고사리 ··· 15

[그림2-12] 피타고라스 나무 ··· 16

[그림2-13] 코흐 곡선 ··· 16

[그림2-14] 힐버트 곡선(Hilbert Curve) ··· 17

[그림2-15] 코흐곡선에서 유도해 본 눈의 형태1, 2 ··· 18

[그림2-16] 만델브로트 집합(Mandelbrot Set) ··· 19

[그림2-17] 시어핀스키 카펫 : 구멍이 있는 구조 ··· 20

[그림2-18] 시어핀스키 개스킷 ··· 20

[그림2-19] 칸토어의 먼지를 만드는 칸토어 집합 ··· 21

[그림2-20] 나무의 형태 ··· 22

[그림2-21] 줄리아 집합 ··· 23

[그림2-22] 여러 형상의 줄리아 집합들 ··· 24

[그림2-23] 로렌즈의 끌개 ··· 25

[그림2-24] 위상공간에서의 형상 ··· 26

[그림3-1] 파울 클레, 능동적인 선과 수동적인 면이 만들어내는 이미지 ··· 35

[그림3-2] 클레가 스케치 한 구조적 형태와 독자적인 형태(물고기) ··· 36

(11)

[그림3-3] 조형의 원리 계통 ··· 37

[그림3-4] 균형을 나타내는 레오나르도 다 빈치의 인체 비례도 ··· 39

[그림3-5] 비례가 잘 나타난 작품 ··· 39

[그림3-6] 통일성을 활용한 자동차 포스터 ··· 40

[그림3-7] 강조가 잘 나타난 사례 ··· 42

[그림4-1] 유사변형 ··· 46

[그림4-2] 자연의 Scaling- 꽃양배추의 모습 ··· 47

[그림4-3] 자연의 Fractal Dimension -프랙탈 해안 ··· 49

[그림4-4] D'Arcy Thomson의 연속변형을 사용한 다양한 물고기의 사례 ··· 51

[그림4-5] Düer가 사용한 비선형 연속변형 ··· 51

[그림4-6] 파도 - 비선형 연속변형 ··· 52

[그림4-7] Barnsely's Ferm(1)- 프랙탈 도형으로서의 고사리 ··· 53

[그림4-8] 시어핀스키 삼각형을 이용한 형태 모방-1 ··· 54

[그림4-9] 시어핀스키 삼각형을 이용한 형태 모방-2 ··· 54

[그림4-10] 불규칙성(Irregularity) ··· 55

[그림4-11] 불규칙성(Irregularity)― 형태 모방 ··· 56

[그림4-12] 비예측성(Unpredictability) 우주의 행성 - 형태 모방 ··· 57

[그림4-13] 중첩의 효과 ··· 60

[그림4-14] 건축 형태 생성 알고리즘 ··· 61

[그림4-15] 반복에 의한 프랙탈 이미지-달의 변화 ··· 62

[그림4-16] 왜곡에 의한 프랙탈 이미지 ··· 69

[그림5-1] 창조적 문제해결 프로세스 ··· 69

[그림5-2] 추출된 프로세스 ··· 74

[그림5-3] 확대에 의한 프랙탈 이미지-1 ··· 76

[그림5-4] 확대에 의한 프랙탈 이미지-2 ··· 77

[그림5-5] 집합에 의한 프랙탈 이미지-1 ··· 77

[그림5-6] 집합에 의한 프랙탈 이미지-2 ··· 78

[그림5-7] 외형에 의한 프랙탈 이미지 ··· 78

[그림5-8] 먼 거리에 의한 프랙탈 이미지 ··· 79

(12)

[그림5-9] 절단에 의한 프랙탈 이미지 ··· 79

[그림5-10] 학습 단계별 수업진행 ··· 81

[그림5-11] 구조적 형태 ··· 83

[그림5-12] 독자적 형태 ··· 83

[그림5-13] 무작위성(Randomness)―동일한 형태의 반복에 의한 배치 ··· 84

[그림5-14] 형태생선자 추출을 통한 시각화 단계-1 ··· 85

[그림5-17] 점으로 시각화 단계 ··· 88

[그림5-18] 선으로 시각화 단계 ··· 89

[그림5-19] 면으로 시각화 단계 ··· 90

[그림5-20] 색으로 시각화 단계 ··· 91

[그림5-21] 조형원리로 결합하기 - [반복, 대칭] ··· 92

[그림5-22] 조형원리로 결합하기 - [회전, 율동] ··· 92

[그림5-23] 조형원리로 결합하기 - [무작위성][자기유사성] ··· 93

[그림6-1] 수업 진행 단계별 목표 ··· 96

[그림6-2] 학생활동 활용 양식서1-1 ···114

[그림6-3] 학생활동 활용 양식서1-2 ···115

[그림6-4] 단계별 적합성 평가 백분율 비교 그래프 ···116

[그림6-5] 단계별 논리성 평가 백분율 비교 그래프 ···117

[그림6-6] 단계별 매력 평가 백분율 비교 그래프 ···118

[그림6-7] 단계별 표현력 평가 백분율 비교 그래프 ···119

[그림6-8] 단계별 발전성 평가 백분율 비교 그래프 ···120

[그림6-9] 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육의 기대효과 ···122

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Ⅰ. 서 론

1. 연구의 배경과 목적

자연환경은 무한히 다양한 디자인의 원천을 가지고 우리 주위를 에워싸고 있 으며, 많은 디자인의 원리는 자연 속에서 쉽게 발견되고, 또한 다양한 부분들이 통일된 전체 속에 포함된 모습을 하고 있다. 자연 속에서 창조적인 형태의 가능 성을 발견하고 이것을 디자인 요소로 승화시키는 작업은 계속 되어지고 있다.

다양한 디자인의 요소와 원리가 자연 속에서 쉽게 발견 되는 프랙탈 기하학 (Fractal Geometry)은 디자인의 원천이며, 무한한 조형의 소재로 자연의 본질을 완전히 새로운 접근방법으로 이해하는 수단이라 할 수 있다. 프랙탈 기하학은 내 재된 혼돈 속의 질서, 질서 속의 혼돈의 시각적인 미에서 디자인으로서의 잠재성 을 토대로 현대 문화와 환경에 맞는 디자인으로 수용할 수 있는 이론이다.

이러한 프랙탈 기하학은 과학 및 예술과 함께 자연을 경험하는 두 가지 상호 보완적인 방법 중 하나로서 자연 속의 복잡한 모양에 내재하는 규칙을 이해하려 는 프랙탈의 과학을 통하여 과학과 예술 간의 실제적 접목이 여러 분야로 활발 히 시도 되어지고 있다. 그러나 이러한 프랙탈 기하학의 조형 원리의 발견과 특 징적인 형태를 추출하는 과정은 이상적인 형태로 만드는 조형적 작업이 필요하 다. 이는 조형 교육에서 조형 활동의 경험을 통해 기초 조형의 개념과 이해를 통 해 습득되어진 조형 능력을 바탕으로 다양한 조형적 시도의 교육 과정이 되어야 할 것이다.

이에 본 연구의 목적은 자연의 형상과 더욱 더 가까워지고자 하는 프랙탈 기 하학의 미학이 갖는 의의를 찾아 예술성과 교육성을 연구․분석하여 프랙탈 기 하학의 다양한 조형적 가능성과 창조적 디자인 사고의 틀로 활용하여, 조형 표현 능력의 향상 시키는 데 그 의의가 있다.

따라서 본 연구는 프랙탈 기하학의 개념과 이론을 바탕으로 적용 가능한 조형 원리를 찾고, 다양한 시각화 과정과 조형적 시도를 통하여 조형 표현 능력을 향 상시킬 수 있는 교육 프로그램을 제시함으로써 조형 교육의 새로운 방법을 제안 하고자 한다.

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2. 연구 범위

프랙탈 기하학(Fractal Geometry)은 만델로브로트(Mandelovrot)가 그의 책 “ The Fractal Gepmentre of Nature”의 서문에 프랙탈(fractals) 다음과 같이 정의 했다.

우리를 둘러싸고 있는 많은 불규칙적이고 파편화된 패턴이라고 말할 수 있고 동일한 형태의 집합에 의해서 완성된 이론으로 이것을 프랙탈이라 부른다.”¹⁾ 즉, 자연에서 흔히 볼 수 있는 불규칙한 조각난 모양들이며, 그 예로서는 고사리 잎 의 가지치기 모양, 구름의 무정형 패턴, 번개의 불규칙적 궤적, 해안선의 드나드 는 모양 등을 들 수 있다.

본 연구는 이러한 프랙탈 기하학의 개념과 조형의 원리를 근거로 연구되었고, 다음과 같은 한계점을 가지고 있다.

첫째, 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육의 이론적 분석을 통해 조형 교육을 좀 더 체계적으로 교육하는 대상인 실업계 고등학교 디자인과 1학년 학생을 대상으 로 하였으며, 『조형』교과목의 기초 조형 이론과 실습 부분을 따르고 있다.

둘째, 본 연구에서는 프랙탈 기하학의 조형원리를 추출하는 과정과 형태생성자 를 추출이 교육 프로그램의 중심이며, 이에 조형의 원리를 추출하는 과정을 통하 여 조형의 원리를 이해하고, 시각화와 조형적 시도를 통해 조형 표현 능력을 향 상 시킬 수 있는 교육의 활용 방안을 다루고자 한다.

1) 장선희, 『카오스 프랙탈의 생성원리를 적용한 환경디자인 연구』, 이화여자대학교 디자인대학 원, (1999). p.7

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3. 연구의 내용 및 방법

본 연구에서는 프랙탈 기하학(Fractal Geometry)을 통하여 본 자연의 유기적 형태들을 관찰 및 분석하여 그 잠재성 및 조형 교육의 가능성을 실험적으로 제 시하고, 프랙탈 기하학의 이론적 고찰과 조형 교육의 실태를 조사하여 평면조형 에서의 창의적인 조형표현능력을 키우고 조형교육의 문제점들을 해결할 수 있는 교육 프로그램 및 방법을 제안하고자 한다.

본 논문의 연구범위는 현재 실업계 고등학교 디자인과의 1학년을 대상으로 평 면 조형 교육과정에 따라 전체 7장으로 구성되어 있으며, 각 장의 주요 내용을 요약하면 다음과 같다.

제 Ⅰ장에서는 이 논문을 연구하고자 하는 연구의 목적과 연구의 내용 및 방 법, 연구의 범위와 방법을 제시하였다.

제 Ⅱ 장에서는 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육의 가능성에 대하여 프랙탈 기하학의 개념 및 특성과 기본 원리를 문헌자료를 통하여 살펴보았다.

제 Ⅲ 장에서는 실업계 고등학교에서의 조형 교육의 현황 및 실태를 분석하여 조형 교육의 중요성을 밝혔다.

제 Ⅳ 장에서는 프랙탈 기하학에서 조형원리를 추출하여, 조형 교육의 학습요 소 및 특징적인 형태구성을 분석하였다.

제 Ⅴ 장에서는 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육의 목표를 살펴 본 다음 평 면조형 교육에 적합한 교육 이론을 수정․보완하여 교육 프로세스와 단계별 수 업 방안을 체계화 하였다.

제 Ⅵ 장에서는 프랙탈을 활용한 조형 교육의 수업진행 단계, 교수-학습지도 안, 기대효과를 제시하였다.

제 Ⅶ 장에서는 본 연구의 내용과 결과를 요약 정리하여 종합적 결론을 맺고 이를 바탕으로 향후 연구 방향과 과제를 제시하였다.

이러한 분석을 토대로 본 연구는 프랙탈 기하학을 활용한 조형교육에 대한 연 구로 프랙탈 기하학의 개념과 이론적 고찰을 통하여 조형교육의 적용 가능성의 근거를 마련하고, 조형 능력 향상을 위한 교육 방안을 제안하고자 한다.

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4. 연구의 체계도

프랙탈 기하학을 활용한 프랙탈 기하학을 활용한 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육의 이론적 배경 조형 교육의 이론적 배경 조형 교육의 이론적 배경

평면조형 교육의 현황과 평면조형 교육의 현황과 평면조형 교육의 현황과

문제점 문제점 문제점

프랙탈 기하학을 활용한 프랙탈 기하학을 활용한 프랙탈 기하학을 활용한

조형 교육의 필요성 조형 교육의 필요성 조형 교육의 필요성

조형 교육방법 모색 조형 교육방법 모색 조형 교육방법 모색

조형 교육 조형 교육 조형 교육 프로그램 제안 프로그램 제안프로그램 제안

결론 및 제언 결론 및 제언 결론 및 제언

『프랙탈 기하학』

조형 원리 교육의 효과 조형 원리 교육의 효과조형 원리 교육의 효과

[그림1-1] 연구 방향의 흐름도

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Ⅱ. 프랙탈 기하학의 이론적 배경

인간은 자연으로부터 예술적인 영감을 얻어서 자연의 미를 응용한 조형 활동 을 계속해 왔다. 그런 배경에는 자연 속에 수많은 디자인 원리가 숨어 있기 때문 이다. 이러한 조형 활동을 통해 디자인의 원리를 찾고 디자이너는 궁극적으로 어 떻게 의미 있는 대상을 조형적인 형태로 창조하느냐에 달려 있다고 해도 과언이 아니다. 따라서 디자이너는 디자인의 원리를 찾고 조형의 요소와 원리의 이론적 으로 이해하고 체계적으로 학습해야 할 필요가 있고, 이를 통하여 체계화된 문제 해결과정 및 방법을 경험하고 스스로 풀어나갈 수 있는 능력이 갖추어진다고 할 수 있다.

만델로브로트(Mandelovrot)가 주창한 프랙탈 기하학(Fractal Geometry)은 자연 을 추상화하면서 할 수 없었던 자연에 대한 세부적이고 상세한 해석을 가능하게 했다. 또한 자연 속에서 내재된 혼돈과 아름다움, 조형의 요소와 원리들을 찾을 수 있는 계기를 마련하였다. 조형의 활동에서 매우 중요한 조형의 원리와 요소들 은 모든 디자인 과정 중에서 창의성과 조형성에 결부되어져 디자인 전반에 있어 서 기초가 되는 과정이기에 디자이너가 갖추어야 할 기본이며, 조형적 기초 교육 에 있어서 필수적인 요소라고 할 수 있다.

이러한 관점에서 본 논문에서 다루고 있는 프랙탈 기하학을 활용한 조형 교육 을 명확히 규정하기 위해 프랙탈 기하학에 관한 이론적 배경을 살펴보고, 그에 따라 4장에서 다루고 있는 프랙탈 기하학의 조형의 원리를 접목시키기 위한 이 론적 뒷받침을 마련하고자 한다.

1. 프랙탈 기하학(Fractal Geometry)의 개념

프랙탈(fractal)이란 말은 ‘부서지다’라는 라틴어 동사 ‘frangere’에서 파생한 ‘부 서진 상태’를 뜻하는 형용사 ‘fractus’에서 유래되었는데, 1975년 만델브로트 (Mandelovrot)가 수학 및 자연계의 비정규적인 패턴에 대한 체계적 고찰을 담은 자신의 에세이에 표제를 주기 위해서 만들어졌다.

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만델로브로트는 그의 책 “ The Fractal Gepmentre of Nature”의 서문에 프랙 탈(fractals) 다음과 같이 정의했다.

“나는 새로운 자연의 기하학에 대하여 착상하고 발전시킨다. 그리고 그것의 사 용은 다수의 다른 분야에서도 적용될 것이다. 그것은 우리를 둘러싸고 있는 많은 불규칙적이고 파편화된 패턴이라고 말할 수 있고 동일한 형태의 집합에 의해서 완성된 이론으로 이끌 수 있다. 나는 이것을 프랙탈이라 부른다.”²⁾

프랙탈(Fractal)은 자연에서 흔히 볼 수 있는 불규칙한 조각난 모양들이며, 그 예로서는 고사리 잎의 가지치기 모양, 구름의 무정형 패턴, 번개의 불규칙적 궤 적, 해안선의 드나드는 모양 등을 들 수 있다.

다음 그림은 자연에서 보여지는 프랙탈 기하학이다. 꽃양배추와 고사리의 잎사 귀, 바다에서 보여지는 파도의 물결, 그리고 우주의 행성들의 무질서한 모습에서 프랙탈 기하학을 찾을 수 있다.

(출처 :『National Geographic』, YBM Si-Sa, (2001.8), p.123, (2001.8), p.103, (2002.12), p.96, (2003.3), p.54)

[그림2-1] 자연에서 볼 수 있는 프랙탈 기하학

2) 장선희, 앞의 논문, p.8

(19)

프랙탈의 다른 예로서는 눈의 결정이 성장모습, 전기의 방전패턴, 마른 진흙의 갈라진 모양, 철 등 금속의 금이 간 모양, 유체의 난류패턴, 허파, 실핏줄, 신경의 가지구조, 불규칙적인 주가의 등락패턴, 분자들의 무질서 운동, 은하계의 비정규 적 분포 등 분자부터 천문학적 단위까지 모든 척도의 자연계의 현상들에서 나타 난다. ³⁾ 즉, 프랙탈 패턴은 ‘자연패턴’이라는 결론이다.⁴⁾

이처럼 무한한 자연세계는 디자인의 원천이며 프랙탈 기하학은 무한한 조형 표현의 가능성을 들 수 있다.

1-1. 자연에서 보여지는 프랙탈 기하학(Fractal Geometry)

자연 환경은 무한히 다양한 디자인의 원천을 가지고 우리 주위를 에워싸고 있 다. 또한 많은 디자인의 원리가 자연 속에 쉽게 발견되고, 다양한 부분들이 통일 된 전체 속에 포함된 모습을 하고 있다.

인간은 이러한 디자인 원천인 자연을 관찰하여 패턴 및 형태의 가능성을 발견 하고 합리화 시켜 이상적인 기하학 형태로 만들어 왔다. 우리를 둘러싸고 있는 자연계는 복잡하고 불규칙한 모양이나 현상들이 가득하다. 예를 들어 구름이나 번개, 유리 파편, 겨울철 유리창에 서리는 성에, 굽어진 소나무, 바다 속의 산호 등이 그러한 예 이다. 이 절에서는 이와 같은 자연 속의 프랙탈 차원의 형태에 관해 고찰함으로써 실재 디자인의 소재로 적용 가능성에 대해 모색하고자 한다.

1) 나무

대부분의 나무의 구조는 프랙탈 적이다. 큰 가지가 나뉘어 지면서 여러 작은 가지가 생기고, 그 작은 가지도 갈라지면서 또 작은 가지가 생긴다. 이것도 구조 적으로 강과 해안선처럼 프랙탈 적이다. 또한 전체적으로 복합적 시스템을 이루 기 때문에 혼돈스럽던 또는 질서를 이루었던 간에 기본적으로 분석이 불가능하 고 세부요소로 분해도기도 어렵다.⁵⁾

3) 이태영, 『프랙탈 기하학 원리를 응용한 환경디자인 방법 연구』, 이화여자대학교 디자인대학원, (1999).p.7

(20)

(출처 :『National Geographic』한국판, YBM Si-Sa, (2001.4), p.58, (2003.2), p.86) [그림2-2] 켈리포니아의 참나무

(출처: 김용운, 김용국 『프랙탈 카오스의 세계』서울: 문예출판사 (1998), p.113) [그림2-3] 1.5차원의 프랙탈 구조

나무가 이러한 프랙탈 구조를 가지고 있는 원인은 물과 영양분의 운반을 전체에 고루 미치게 해야 하기 때문이며, 이들 나무가 모여 사는 숲도 프랙탈 구조를 하고 있다.⁶⁾ 이는 자연이 프랙탈로 시작하여 그 구조를 계속 반복하고 있는 일례이다. 이와 같이 자연은 단순한 무질서 상태가 아니며 그것은 불규칙한 산의 모습이나, 구름에서도 일정한 프랙탈 차원을 갖는다.

이런 뜻에서 프랙탈은 ‘규칙적인 도형’과 ‘불규칙적인 도형’ 사이에 걸쳐 있다고 할 수 있다. 다음 그림은 불규칙한 산의 모습의 프랙탈 형상을 보여주고 있다.

5) 세르지살라, 프랑소아르랍베 폴 앙드류, 『비선형적 거대도시』, 김진애(역) 서울: 서울포럼, (1991), p.7 6) 김용운, 김용국 『프랙탈 카오스의 세계』서울: 문예출판사 (1998), p.112-14

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(출처 :『National Geographic』한국판, YBM Si-Sa, (2000.2), p.88, (2001.6), p.128) [그림2-4] 형태적 구조가 계속 반복되어지는 산맥

2) 고사리

축소를 계속 반복하면서 고사리 잎은 만들어진다. 이것은 모든 자연현상이 스케일을 일정한 비율로 줄이거나 늘려 나가는 단순한 규칙을 되풀이한 결과로 이해된다. 즉, 프랙탈은 다만 간단한 규칙을 무한히 반복할 뿐만 아니라, 반복 주기가 일정한 비율로 빨라진 결과 급격히 혼돈 상태로 변화하는 것을 가리킨다.

다시 말하면, 자연의 복잡하고 불규칙한 현상도 알고 보면 단순한 법칙에 의해 지배받고 있는 것이다. 다음 그림은 자연에서 볼 수 있는 프랙탈 기하학 형태의 고사리이다.

(출처 : Heinz-otto Peitgen, 『Chaos and Fractals』, springer-verlag, (1992), p.210, p.120) [그림2-5] 자연에서 본 프랙탈 기하학 형태의 고사리

이와 같이 자연의 선과 형태는 기존의 기하학으로 표현되는 것과는 다른 실제 성과 차원을 가지고 있으며, 프랙탈은 이러한 형태 개념에 주목하는 것이다.

우리가 이미지 형태 또는 구조로서 프랙탈 기하학을 보는 것은 프랙탈이 만들

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어 내는 다이내믹한 과정을 무시하고는 이에 대해 말하는 것은 적절하지 않다는 것이다. 다음 그림들은 자연 속에서 볼 수 있는 그 밖에 프랙탈 기하학의 이미지 의 예이다.

(출처 :『National Geographic』, YBM Si-Sa, (2002.8), p.13, (2003.1), p.25, (2003.12), p.67, (2000.3), p.101) [그림2-6] 자연에서 본 프랙탈 기하학- 1

산, 산맥, 구름, 강줄기

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나무 표피, 땅의 균열, 산의 굴곡

곤충, 식물, 사막, 바다생물

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1-2. 프랙탈 기하학의 특성

프랙탈 이론은 지금까지 과학자가 사용해온 곡선이나 곡면으로는 충분하지 않 은 자연 속에 있는 복잡한 모양과 현상들, 이 울퉁불퉁한 상태를 밝히는 수단이 라 할 수 있으며 전체와 부분에 내재하는 유사성을 만들어 내는 객관적 방법을 연구하는 것이다. 즉, 프랙탈은 복잡한 구조 속의 작은 부분의 그 내부는 전체구 조와 똑같은 복잡한 구조를 포함한다는 것이다. 프랙탈 도형의 가장 큰 특징은

『프랙탈 차원』과 『자기유사성(self-similarity)』이다.

다음은 프랙탈 기하학의 특징에 대해 간단히 정리한 것이다.

첫째, 무한하게 세분된다.

둘째, 무한한 길이를 가진다.

셋째, 정수가 아닌 분수차원을 가진다.

넷째, 규모가 작아지는 방향으로 스스로 닮아간다.

다섯째, 간단한 반복 작업을 계속하여 간단히 만들 수 있다.

프랙탈 기하학의 특성을 활용해 영화의 특수효과를 위해 지구와 외계의 풍경 을 사실적으로 재현하는데 응용되었다. 또한 응용과학의 고분자연구의 근간이 되 었고, 원자로의 안전성 연구에서도 근본원칙이 되었다.

이렇듯 실용적인 수준에서 프랙탈 기하학은 물리학자, 화학자, 지질학자, 금속 학자, 확률 이론가, 그리고 생리학자들이 이용하는 연구 수단이 되고 있다.⁷⁾

따라서 프랙탈의 특성은 자연 속에서 프랙탈적인 요소를 지닌 형상을 찾아 그 것을 새로운 디자인의 방법과 시각으로 형태적 특징을 구성하고 응용하여 조형 교육의 활용 방안으로 제시 할 수 있을 것이다.

7) 제임스 클리크 『카오스: 현대과학의 대혁명』박배식 ․ 성운하(역), (서울: 동문사), (1993), p.122

(25)

1-3. 프랙탈 기하학의 생성(生成)원리

이미지 형태 또는 구조로서 카오스 형상과 프랙탈 기하학을 보는 것은 그것들 을 정적인 물체로 인식하는 것으로 이 같은 관점은 우리에게 거의 알려 주는 것 이 없다. 다시 말해, 카오스 프랙탈을 만들어 내는 다이내믹한 과정을 이해하고 분석하는 일은 당연시 되어지고 따라서 프랙탈 기하학의 생성원리인 시간과 형 태의 변이에 관한 질서를 찾기 위한 노력은 많은 분야에서 연구되어지고 있다.⁸⁾

아래 그림은 피드백을 설명하는 기본 개념으로 초기 값을 입력하면 조절변수 에 의해 출력이 만들어지고 다시 출력 값이 입력 값으로 개입되는 것을 말하며 이것을 “Iterator”라고도 한다. 즉, 피드백 시스템은 자신이 만든 결과로 다시 자 신의 상태를 조절한다.

다음 그림에서 IU는 입력, CU는 조절변수, OU는 출력을 의미한다. 피드백 회 로는 다른 피드백 회로를 제어해서 보다 높은 수준의 피드백 회로가 구성되고, 보다 정밀하고 복잡하게 진화해 간다. 또한 어떤 것은 여러 가지 피드백 회로가 얽히고 설겨서 새로운 방향으로 발전해 간다.

Processing Unit

IU O

C

feedback line

(출처 : Heinz-otto Peitgen, 『Chaos and Fractals』, springer-verlag, (1992), p.175) [그림2-9] 피드백 루트

이러한 프랙탈 기하학에서는 간단한 규칙을 무한히 반복하는 피드백 시스템을 통해서 해안선, 나무, 혈관의 가지, 구름의 모양, 코리플리워의 모양처럼 자연계 의 불규칙한 패턴이나 구조를 수학적으로 나타낼 수 있다. 즉, 컴퓨터의 무한에 가까운 조작의 과정을 통해서 자연의 미세한 부분에 내포되어 있는 부분까지도 8) 제임스 클리크, 앞의 책, p.122

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그려낼 수 있게 되었다. 또한, 지구의 구름계는 네거티브 피드백으로 작용한다.

즉, 바다의 표면이 너무 더워지면 증발된 물이 구름이 되고, 구름이 다시 비가 되어 바다로 떨어지는 피드백 루프를 형성하고 있다.

프랙탈은 IFS(Iterated function system) 시스템으로 만들어 낼 수 있는데 이것 은 시스템을 초기 형상(Initial image)⁹⁾에 몇 가지 아핀선형 변환¹⁰⁾을 무한히 반 복하는 것을 말한다.¹¹⁾ 다음은 IFS(Iterated function system) 시스템에 의해서 고사리 잎의 형태가 만들어지는 과정이며 이렇게 만들어진 프랙탈 도형은 자연 형태의 생성원리를 보여준다.

(출처 : Heinz-otto Peitgen, 『Chaos and Fractals』, springer-verlag, (1992), p.257) [그림2-10] Barnsely's Ferm(1) - 고사리 잎의 모델 형성 과정

중첩의 방법을 사용하며, 이는 카오스 게임에서도 잘 나타난다.

프랙탈 고사리 잎의 형태 추출 과정으로는 큰 잎은 그 속에 있는 작은 잎사귀 와 같은 모양을 따고 있다. 또 그 작은 잎사귀는 그 보다 작은 잎사귀와 같은 모 양을 하고 있다. 고사리는 이와 같은 작은 일이 큰 잎과 같은 모양을 하고 있는 즉, 부분이 전제와 같은 구조를 가지고 있다. 이러한 구조를 프랙탈 이라고 한다.

여기서 프랙탈이란 우리말로 ‘자기닮음’ 이며 자연의 패턴에 잠재하는 ‘닮은꼴’을 의미한다. 다음 그림은 프랙탈 기하학의 고사리 형태의 생성원리를 보여 주는 과 정이다.

9) 프랙탈 패턴을 만들 때 최초 이 직선이나 곡선을 말한다.

10) ‘아핀’이란<친척 관계의>또는<비슷한>이라는 뜻의 형용사이다. 합동변환과 비슷하면서 같지 않 은 변환 예를 들면 늘어놓은 고무판 위에 잎사귀를 실물크기로 그려 놓고 고무판을 줄이고 그림 을 비틀어 원래 그림 보다 더 작게 변형한 그림을 상상해 보자 이것은 아핀 변환에 근거한 착상 방법이다. 즉, 변환은 그림자의 모양이 왜곡 되듯이 선분의 길이, 삼각형 형의 크기, 모양, 각, 그리고 원 따위의 개념은 없어지게 된다.

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(출처: 장선희, 『카오스 프랙탈의 생성원리를 적용한 환경디자인 연구』, 이화여자대 디자인대학원, (1999). p.16)

[그림2-11] Barnsely's Ferm(1) - 프랙탈 고사리

프랙탈 기하는 카오스 현상에서 자주 나타내며, 유클리드 기하학과 달리 일정 한 생성자(Generator)¹²⁾를 반복 사상시켜 얻을 수 있다. 생성자(Generator)는 어 떤 기하학적인 형태가 와도 관계없다. 생성자의 형태와 반복사상의 방법이 정확 하면 무수히 사상을 한 결과 얻어지는 모양은 똑 같다. 이러한 프랙탈의 생성원 리는 시각화 과정과 대상의 특징적인 형태 추출의 중요한 근거가 된다.

다음 그림은 피타고라스 나무로 중학교 수학 내용 인 피타고라스 정리를 만족 시키는 삼각형들을 반복의 재료로 삼아 피타고라스 정리에 의한 알고리즘으로 그려진 나무의 모습이다. 여기에 전체에 통일감을 잃지 않을 정도의 자유도를 줄 수 있다면, 실제의 자연 현상과 프랙탈 그래픽 결과의 차이가 점점 없어질 것이 다. ¹³⁾

12) 생성자(Generator)이란 발생 시키는 사람(물건), 낳는 사람, 생성원, 사물이 생겨남. 또는 생겨 이루어지게 함.

13) 김수경, 『프랙탈 기하학을 적용한 건축형태 생성방법에 관한 연구』, 한양대학교 대학원, (2001), p.58

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(출처: 김용운, 김용국 『프랙탈 카오스의 세계』서울: 문예출판사 (1998), p.99) [그림2-12] 피타고라스 나무

이러한 프랙탈 기하학의 생성원리는 프랙탈만이 가지는 중요한 조형 원리로써 자연의 생성과정에서 그 원리를 찾을 수 있으며 이러한 생성원리는 새로운 디자 인의 요소와 원리로 조형교육의 활용 방안의 토대로가 된다.

2. 프랙탈 기하학의 관련이론 1) 코흐 곡선(Koch curve)

직선이든 곡선이든 상관없이 연결되어 있는 선을 의미하며, 1904년 스웨덴의 수학자 코흐(heige von Koch)의 이름을 딴 것이다. 만델브로트의 말에 따르면

‘거칠지만 강력한 해안선 모델’이다. 즉, 코흐는 눈송이 모양의 도형을 생각해 냈 다.

(출처: 제임스 클리크 『카오스: 현대과학의 대혁명』박배식․성운하(역), 서울: 동문사, (1993), p.116) [그림2-13] 코흐 곡선

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코흐의 곡선에서 삼각형 주위로 외접원을 그렸을 때, 코흐의 곡선이 결코 원 밖으로 그려지지 않으므로 눈송이의 면적은 항상 원래 삼각형의 외접원의 면적 보다 클 수 없다. 다시 말해 코흐의 곡선에 무한히 삼각형을 추가한다. 하더라도 코흐곡선 안의 전체면적은 유한하다.

무한한 길이의 곡선이 유한한 면적을 둘러싸게 되는 패러독스가 생기는 것이 다. 즉, 유한한 공간 내에 있는 무한한 길이라는 결과를 낳는다.

코흐곡선과 같은 기괴한 형상은 자기 유사성을 보이는데, 그것은 크게 확대하 여도 똑 같은 모양을 나타내기 때문이다. 동일한 변형을 점점 더 작은 규모로 반 복하는 자기 유사성이 이 곡선을 만드는 기법이다. 코흐 곡선의 성질을 부분적으 로 지니고 있는 공간을 채우는 곡선(space-filling curve)으로는 페아노 곡선 (peano curve), 힐버트 곡선(Hilbert curve)등이 있다.¹⁴⁾

(출처: 제임스 클리크 『카오스: 현대과학의 대혁명』박배식․성운하(역), 서울: 동문사, (1993), p.28)

[그림2-14] 힐버트 곡선(Hilbert Curve)

자연 가운데서 이러한 원리의 가장 아름다운 예 중의 하나가 눈송이이다. 모든 눈송이의 모양은 다양하나 기본적인 육각형 모양으로 통일되어 있다. 각 눈송이 는 한 형태로 제한되고 있고 12번 반복되어 나타난다. 이러한 회일성은 살아있는 형태 보다 더 강한 질서와 획일성을 지니고 있는 비유기적이고 결정체로 이루어 진 형태들의 성격이다.

아래 그림은 코흐의 ‘눈의 결정’에서 따낸 프랙탈 형상을 보여준다.¹⁵⁾ ‘코흐의 섬’ 또는 ‘눈의 결정’은 작은 규모로 단계적으로 반복 점진시키는 과정에서 얻어 지며, 이러한 방법으로 매우 고도로 정밀한 구조의 복잡성을 만들어 낸다.¹⁶⁾ 이

14) 김희수, 『프랙탈 기하학의 이해와 디자인에의 응용가능성에 관한 연구』, 이화여자대학교 디자인 대학원, (1995), p.13

15) J. Briggs & Peat, 『혼돈의 과학』 김광태 ․ 조혁(역) 서울: 범양사 출판부 (1993), p.93

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러한 프랙탈 기하학은 자연의 형태를 기술하는 디자인의 새로운 방법을 지적해 준다고 할 수 있다.

(출처: 김용운, 김용국 『프랙탈 카오스의 세계』서울: 문예출판사 (1998), p.115) [그림2-15] 코흐곡선에서 유도해 본 눈의 형태1, 2

2) 만델브로트 집합(Mandelbrot Set)

만델브로트의 집합은 프랙탈 보다 더 프랙탈 적이다. 그것은 모든 축척에 걸쳐 아주 복잡하기 때문이다.¹⁷⁾

수학적 프랙탈 중 일반에게 가장 널리 알려진 것은 만델브로트의 프랙탈로 이 를 처음으로 시각적으로 표현하고 연구를 시작한 만델브로트의 이름을 따서 명 명되었다.¹⁸⁾ 만델브로트 집합은 점의 모임이다. 복소수 평면에서의 모든 점, 즉 모든 복소수는 그 집합 안에 있거나 밖에 있다. 그 집합을 정의하는 하나의 방법 은 모든 점에 대해 간단한 산술을 반복하여 조사해 보는 것이다. 하나의 과정을 무한히 되풀이하여 그 결과가 무한한지 여부를 묻는 이 작업은 일상세계의 피드 백(feedback) 과정과 비슷하다.

만델브로트 집합은 그 경계의 차원이 2차원의 면적과 같다는 것이 증명되어 우리가 알고 있는 어떤 곡선보다 더 굴곡이 심한 복잡한 곡선이라는 것이 알려 졌다. 또한 그 속에 무한히 많은 아름다운 이미지들이 내포되어 있으므로 컴퓨터 를 통하여 간단한 알고리즘을 주고, 그 안에 숨어있는 이미지들을 찾아내어 시각 16) 김용운 ․ 김용국, 앞의 책, p.45

17) F. Capra, 『EYE FRACTAL』, 서울: 범양사, (1997), p.88~89 18) 일리아 프레고진, 『혼돈으로부터의 질서』, 서울: 정음사, (1993), p.147

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화하는 작업은 아주 재미있는 일이다. 만데브로트 프랙탈은 그 무한한 복잡성에 도 불구하고 PC에서 단 20줄 정도의 프로그램으로 그려낼 수 있다.

이러한 만델브로트 집합의 분기적 구조¹⁹⁾는 각각 단계별로 자연의 계곡 형태, 생태계에 있어서의 자연림의 상황을 근접하게 모사해 낼 수 있다.

(출처: 김용운 ․ 김용국 『프랙탈 카오스의 세계』서울: 문예출판사 (1998), p.51) [그림2-16] 만델브로트 집합(Mandelbrot Set)

확대하여 보면 규모가 점점 작아지는 방향으로 상세한 모양이 반복되는 자기유사성이 잘 나타난다.

3) 시어핀스키 카펫과 시어핀스키 개스킷(Sierpinski Carpet and Sierpinski Gasket) 원시림에서 보이는 것처럼 복합성이 일정한 수준에 도달하면 자연적 형태구성 원칙은 인간예술의 인위적 질서를 대체하며 공간의 점거하는 가장 원초적인 방 식에 희귀한다. 개미집의 번식, 하류와 산의 형태, 인간두뇌의 신경세포들이 그 예들이다.²⁰⁾ 시어핀스키 카펫은 정사각형을 9등분하여 중앙의 정사각형을 버리는 과정을 계속 반복함으로서 만들어진다. 이와 유사한 3차원 물체로 맹거(menger) 스폰지가 있다. 이것은 경고해 보이는 격자로서 표면적은 무한하지만 부피는 0이 다.

19) 여러 갈래로 갈라지는 구조

20) 세르지살라 ․ 프랑소아즈랍베, 앞의 책, p.7

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(출처: Manfred Schroeder.『fractals, chaos, power laws』(1991) p.179, p.138) [그림2-17] 시어핀스키 카펫 : 구멍이 있는 구조

견고해 보이는 격자로, 표면적은 무한하지만 부피는 0이다.

(출처: Manfred Schroeder,『fractals, chaos, power laws』, (1991) p.180) [그림2-18] 시어핀스키 개스킷

시어핀스키 삼각형의 약간의 무작위성을 첨가하면 매우 자연적인 형태를 만들 어 볼 수 있다. 삼각형의 각 변의 중점을 취하는 대신에 규칙을 바꿔서 중점주위 의 임의적인 점을 취해보자. 그리고 각 코너의 삼각형을 검게 칠한다. 같은 방법 을 계속 반복해 보면 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 산의 형태를 유도해 볼 수 있다.

이러한 시어핀스키의 삼각형 프랙탈의 모양은 조개껍질 등 자연의 패턴에서도 관찰되며, 이탈리아 성당의 모자이크, 프랑스의 항구의 방파제 목조구조에서도 관찰된다.

4) 칸토어 집합(Cantor Set)

프랙탈은 아무리 모양이 복잡해 보여도 간단한 규칙의 반복으로 만들어 질 수 있다. 만델브로트는 19세기 수학자인 게오르그 칸토어의 이름을 따서 칸토어 집

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합이라 불리는 추상적인 구조를 재현하였다.

프랙탈의 가장 수학적 예인 칸토어 집합은 다음과 같이 만들어진다.

1

⅓

1/27

1/2187

(출처: 김희수, 『프랙탈 기하학의 이해와 디자인에의 응용가능성에 관한 연구』, 이화여자대학교 디자인 대학원, (1995), p.10)

[그림2-19] 칸토어의 먼지를 만드는 칸토어 집합 칸토어의 집합에서 점들은 무수히 많지만 그 전체의 길이는 영이다.

위에 나타난 바와 같이 길이가 1인 막대로부터 시작하여 그 가운데 1/3을 잘라 내면 두개의 1/3 크기의 선분이 생긴다. 이를 한 단계로 하고 그 후 매 단계에서 남아 있는 모든 작은 선분들의 가운데 1/3을 잘라내는 것을 계속 반복하면 그 극 한에서 생겨나는 무한히 많은 점들의 기묘한 집합이 칸토어 집합이다.

점, 선, 면 등의 유클리드 기하체의 경우 그 차원은 각각 0,1,2의 정수로 주어 진다. 프랙탈의 경우도 그 차원이 정의되나 그 값이 비정수로 주어진다. 이 칸토 어 집합의 길이는 0이나, 그 프랙탈 차원은 D=0.6309로 0차원의 점도, 1차원의 선도 아닌 이상한 기하체이다.

이처럼 길이가 있는, 또는 부피가 있는 프랙탈을 살찐(fat) 프랙탈이라 한다.

우리의 신체 구조에서 혈관의 분포나 기관지의 분포, 콩팥의 배뇨관 분포, 신 경계의 분포는 살찐 프랙탈의 좋은 예이다.²¹⁾

이러한 구조의 역설적인 특성은 티끌 같은 것에도 전 세계가 들어가고 한순간 의 생각에 무한의 시간이 들어간 칸토어의 무한론의 입장과 같다.

21) 김희수, 앞의 논문, p.11

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5) 카오스 게임(Chaos Game)

마이클 반슬리는 자연 자체의 모습, 특히 살아있는 유기체에 의하여 생성된 형 상들에 대하여 생각하였다. 그는 항상 훨씬 더 큰 변이성을 발생시키는 방법들을 찾으면서 줄리아 집합들과 그 외 다른 과정들을 이용하여 실험을 해 보았다. 마 침내 그는 자연적인 형상들을 모델링 하는 새로운 기법의 기초로서 임의성에 관 심을 돌렸다. 그것을 반슬리는 '반복되는 함수계에 의한 프랙탈의 총체적 구성' 이라 하였고 이것이 바로 '카오스 게임'이다.²²⁾ 반슬리의 형상들은 어트랙터였다.

(출처: 김희수, 『프랙탈 기하학의 이해와 디자인에의 응용가능성에 관한 연구』, 이화여자대학교 디자인 대학원, (1995), p.18)

[그림2-20] 나무의 형태

각각의 새로운 점은 임의적으로 찍혀지나 점차적으로 양치류의 모습이 나타난다.

모든 필요한 정보는 몇 개의 단순한 규칙에 코드화 되어 있다.

카오스 게임은 어떤 그림들의 프랙탈한 성질, 즉 주된 그림이 작은 사본들로 되어 있다고 하는 성질을 이용하였다. 임의적으로 반복될 규칙을 반복하는 것은 축척에 관계없이 그 정보를 만들어내는 것이다. 이러한 의미에서 형상이 프랙탈 하면 할수록 그에 적합한 규칙들은 더 단순해질 것이다.

만델브로트의 기법은 구성과 순화의 무한한 반복이었다. 코흐의 눈송이 또는 시어핀스키의 개스킷을 만들기 위하여 사람들은 선분을 잘라내고 그것을 특정한 형상으로 대체할 것이다. 반슬리의 카오스게임은 임의적인 과정의 극한으로서 형 상의 면적에 접근해 가며 처음에는 희미한 형체가 점점 분명해지는 그림을 만드 는 것으로 이 방법에서는 순화의 과정은 필요 없고 최종형상을 구현할 일련의 규칙만이 필요하다. 방법으로는 '콜라즈 정리'라 부르는, 즉 재현하기를 원하는 22) 제임스 클리크, 앞의 책, p.290-293

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형상을 그리고 그 위에 그 그림의 작은 사본들을 겹친다.²³⁾ 프랙탈 형상은 그 자 신의 사본들로 쉽게 덮을 수 있고, 더 프랙탈 할수록 더 어렵지만, 근사적인 수 준에서 어떤 형상도 덮을 수 있다. 이러한 모델은 가장자리가 결코 직선이 아니 므로 유클리드 기하학으로 만들어진 모델보다 더 더욱 흥미롭다.

6) 줄리아 집합(Julia Set)

프랑스 수학자인 가스통 줄리아와 피에르 파투에 의해서 1차 세계대전 중에 발견되고 연구되었다. 1979년에 만델브로트는 줄리아 집합들의 목록이자 안내자 로서 기능하는 형상을 복소수 평면에 만들 수 있다는 것을 발견하였다. 그는 제 곱근과 사인(sine), 그리고 코사인(cosine)을 가진 방정식으로 복잡한 반복과정을 연구하였다. 어떤 줄리아 집합들은 여러 곳에서 잘려지고 변형되어 프랙탈한 구 조로 된 것 같다.²⁴⁾ 다음은 줄리아 집합의 형태적 특징과 프랙탈 구조를 보여주 는 그림이다.

(출처: Heinz-otto Peitgen, 『Fractals for the Classroom』, Springer, (1991), p.139) [그림2-21] 줄리아 집합

23) 김희수, 앞의 논문, p.17 24) 김희수, 위의 논문, p.20

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(출처: 『Heinz-otto Peitgen, 『Fractals for the Classroom』, Springer, (1991), p.140) [그림2-22] 여러 형상의 줄리아 집합들

다른 것들은 몇 개의 구역으로 나뉘어 지며 심지어 어떤 것들은 서로 분리된 먼지 같다. 프랙탈 구조를 가진 먼지들은 어떠한 두 개의 조각도 '함께' 존재하 지 않고 모든 먼지는 빈 공간의 영역에 의하여 다른 모든 것과 분리되기 때문 에 또 '홀로' 존재하지도 않는 기묘한 성질을 갖는다.

그것은 하나의 먼지가 있으면 그 근처에 반드시 다른 일군(一群)의 먼지가 임 의적으로 흩어져 있기 때문이다. 두아디와 허바드는 근사한 일련의 새로운 수학 을 이용하여 떠돌아다니는 모든 입자가 가는 선, 즉 본체의 돌출부에서 뻗어 나 온 섬세한 망사에 의해 다른 모든 부분과 연결되어 있다는 것을 증명하였다.²⁵⁾

두 수학자는 컴퓨터 현미경으로 확대해 보았을 때 어떠한 부분도 본체를 닮았 으나 아주 똑같지는 않은 새로운 입자들을 드러내 보인다는 것을 증명하였다. 모 든 새로운 입자들은 그 자신의 나선들과 불꽃같은 돌출부로 둘러싸여 있고, 또 비슷하기는 하지만 완전히 같지는 않은 더 작은 분자들로 이루어져 있다.

7) 로렌즈의 끌개(Lorenz Attractor)

1963년 로렌즈가 결정론적 카오스를 찾아내었을 때 동시에 발견한 것이 로렌 즈의 끌개(Lorenz Attractor)이다. 로렌즈는 기상 데이터의 변화과정을 그림으로 표현하는 작업을 시도했다.

3차원 공간에서 점의 위치를 정하는 좌표를 사용한 것은 온도, 기압, 풍향 등 세 가지 변수의 값들이 나타내는 숫자였다. 이러한 숫자에 의해 위치가 결정되는 25) 김희수, 앞의 논문, p.18

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점들을 연결시킬 때 생기는 경로를 추적하면 기상계의 거동을 그림으로 나타낼 수 있을 것으로 생각했었다.

그러나 컴퓨터의 화면에 나타난 그림은 올빼미의 얼굴을 닮은 이상한 그림이 었다. 한없이 복잡한 궤적은 결코 서로 교차하거나 반복 없이 항상 일정한 범위 에 머무르면서 고리모양을 끝없이 그려내고 있다. 3차원에서 나타난 이상한 이 이중나선 구조가 바로 '로렌즈의 끌개'이다.²⁶⁾

(출처: S. 캘러트, 『카오스란 무엇인가』, 서울: 범양사, (1993), p.67) [그림2-23] 로렌즈의 끌개

이 끌개 상에서의 끊임없는 팽창과 접힘 현상의 반복으로 작은 초기 조건의 오차가 기하학적으로 증폭되어, 계(physical System)의 상태에 대한 예측성을 잃 게 되면 혼돈현상이 일어나게 된다. 이 현상을 ‘나비 효과’²⁷⁾라 한다.

이 끌개는 매우 복잡한 구조를 가지고 있고, 끌개상의 운동은 혼돈하고 있다.

그러나 원점을 중심으로 120˚ 돌리면 본래의 패턴과 완전히 일치하는 대칭성을 가진다.²⁸⁾ 또한 오랜 시간이 지나면 이 끌개 상 에선만 운동이 일어나고, 이는 혼돈하다는 것을 발견되었다.

이러한 현상은 수리 물리학(Mathematical Physics)에서는 물리적 계의 역학을

26) 제임스 클리크, 앞의 책, p.43-45

27) 나비효과 : MIT의 기상학자인 로렌즈(Edward Lorenz)에 의해 발견된 것으로 ‘오늘 홍콩에서 대기를 휘젓는 나비의 움직임이 다음달에 뉴욕에서는 폭풍으로 발전한다.’ 는 뜻으로 1963년 로 렌즈는 컴퓨터를 이용한 기상 모의실험에서 계산을 빠르게 하기 위해서 소수점이하 여섯 자리까 지 썼던 일기예보 모델을 세 자리까지만 입력시킨 결과 아주 미미한 초기 조건의 차이가 엄청나 게 증폭되어 판이한 결과를 얻음으로 이 ‘나비효과’를 발견하게 되었다.

28) John Briggs, 앞의 책, p.143

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눈으로 볼 수 있는 지도를 탄생시켰다. 이런 가상적인 지도상의 추상적 공간을 그 계의 상태 공간(State Space), 혹은 위상공간(Phase Space)²⁹⁾이라 한다.

(출처: 제임스 클리크 『카오스: 현대과학의 대혁명』박배식․성운하(역), 서울: 동문사, (1993), p.67)

[그림2-24] 위상공간에서의 형상

간단한 진자의 경우 위상공간은 2차원이다. 1차원은 추의 위치, 나머지 1차원 은 추의 속도를 표시한다. 역학계에서 변수가 세 개일 때는 그 계의 상태를 3차 원의 위상공간에서 눈으로 볼 수 있다. 위상공간은 숫자를 그림으로 바꾸는 방법 을 제고할 뿐 아니라 역학계로부터 본질적인 정보를 모조리 상세하게 추출해 낼 수 있는 유용한 수단이 되기 때문에 현대과학의 강력한 발명의 하나로 손꼽힌다.

기이한 끌개를 파악하는 하나의 개념이 IBM연구원이면서 하버드의 객원교수 로 있던 만델브로트에 의해 프랙탈 기하학으로 발전되었다.³⁰⁾

로렌즈의 끌개는 전혀 그 궤적을 예측할 수 없지만 놀랍게도 그림에서 보듯 어떤 특정 패턴을 가지고 있다. 이와 같이 조직화된 무질서(organized disorder) 를 보여준다. 아직 이 이상한 끌개의 기하학적인 경로를 수학적으로 정확하게 기 술하는 것은 불가능하나 현실적으로 가능한 방법은 컴퓨터를 통해 생성시키는 방법이다.

지금까지 프랙탈 기하학의 이론적 배경인 관련 이론들을 살펴보았다. 이러한

29) 위성공간(phase space) : 물채의 위치와 운동량을 좌표(座標)로 한 공간, 위상이 주어진 집합으로 운동상태를 기술함에 있어서 이 공간을 상정하는 것이 편리하다.

추상공간(출처: 『국어대사전』, 이희승(편저)(1982),민중서림) 30) 김희수, 앞의 논문, p.21

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프랙탈 기하학 속에는 일정한 질서가 있을 뿐만 아니라 비선형적 특성과 점진 반복 작용이 결합되어 프랙탈 기하학이 생성됨을 확인시켜 준다. 이는 프랙탈 기 하학의 특성과 생성원리의 근거가 되고 있다.

이러한 프랙탈 기하학의 복잡한 구조 속에 작은 덩어리들이 나선형으로 모여 큰 덩어리를 이루고 또한 간단한 규칙들과 이론들의 결합이 반복되고 있다는 것 을 발견할 수 있다.

따라서 프랙탈은 간단한 변환이 상상할 수 없을 정도의 복잡한 구조를 만들어 내며, 자연계의 구조적 불규칙성을 기술하고 분석할 수 있는 새로운 기하학으로 프랙탈 기하학의 형상을 정량적으로 기술할 수 있는 새로운 조형 언어를 제공하 고 있다. 이에 본 연구의 4장에서 다루고 있는 프랙탈 기하학의 조형원리와 형태 적 특징과 표현을 접목시키기 위한 이론적 토대로 연구하였다.

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Ⅲ. 조형 교육 현황 및 실태조사

조형교육은 조형의 요소와 원리에 따라 다양한 재료의 실험과 조형 감각 훈련 을 통해 미적 체험과 이미지에 의한 정서적 가치를 이루는 시각적 체험을 하도 록 하며, 디자인을 공부하는 학습자가 조형실습에 당면하는 명확하고 구체적인 상황을 부여함으로써, 조형의 성취방법에 있어서 새로운 창의적 가능성을 찾을 수 있도록 한다. 조형 교육에서 무엇보다 조형에 대한 발상을 폭넓게 할 수 있는 사고의 전환과 체계적인 지도 방법이 요구된다.

이러한 관점에서 본 논문에서 다루고 있는 조형 교육을 명확히 규정하기 위해 현재 실업계 고등학교에서의 조형교육 현황, 조형교육의 목표와, 학습방법 및 조 형 교과내용 분석을 통하여 본 연구의 4장에서 다루고 있는 프랙탈 기하학에서 의 조형요소와 원리추출의 근거를 마련하고, 더불어 5장의 조형교육 활용방안과 교육방법 즉, 시각화를 위한 조형요소와 원리의 적용을 위한 이론적 뒷받침을 마 련하고자 한다.

1. 조형 교육 현황 및 실태조사

지금까지의 실업계 고등학교 디자인 과에서 기초 조형 교육은 6차 교육과정에 서는 “공업실습”이라는 과목에서 일부분으로 다루어졌으며, 7차 교육과정으로 바 뀌면서 “조형”으로 교과서의 명칭을 바뀌게 되었다.

현재 실업계 고등학교는 상업계, 공업계, 2.1체제로 나누어지며 조형교육 현황 은 주로 1학년과 2학년에서 수업이 이루어지고 있다.

이는 디자인 교육에서 조형교육은 기초조형의 중요성을 인지한 후 다양한 디 자인 수업이 체계적으로 이루어 함이며, 모든 기초조형교육이 바탕이 되어야 다 양한 디자인의 사고와 전환이 이루어질 수 있기 때문이다.

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[표3-1] 실업계 고등학교 조형 교육 현황³¹⁾

실업계

상업계

1학년: 시각 디자인 일반 2학년: 그래픽 디자인 2.1체제 1학년: 시각디자인 기초

공업계

1학년: 조형 1학년: 디자인 일반

디자인 교육의 방향에서 중요한 것은 학생들이 조형을 구성하는 데 있어서 조 형 발상의 잠재성을 충분히 발휘할 수 있도록 하는 조형발상 교육의 방법적 모 색이 절실히 필요하다.

이러한 조형 교육에서 무엇보다 조형에 대한 발상을 폭넓게 할 수 있는 사고 의 전환과 체계적인 지도 방법이 요구된다. 지금까지의 조형 교육은 추상적 조형 실습의주로 진행되어 학생들이 소재에 대한 제작경험을 쌓는 정도의 교육에 그 치고 있어 조형의 요소와 원리를 이해하고 스스로 조형관을 정립하여 디자인 목 적에 합당한 조형의 확산적 발상을 해야 하는 진정한 조형교육의 원리 수업이 요구되어진다.³²⁾

이에 학생들이 스스로 조형에 대한 관심을 가지고 탐구를 통한 조형 원리를 발견하고, 새로운 관계를 추출하여 창의적인 결과물을 얻어낼 수 있는 적절한 교 육 프로그램과 수업지도 계획이 필요하다.

31) 교육인적자원부, 실업계고등학교 교육과정 해설, (2001), p.111 32) 교육인적자원부, 위의 책, p.99