성 선 생 SKY수 학
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07년 21회 KMO
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1차 중등부 A형제21회 한국수학올림피아드 1차시험 (중등부)
2007년 5월 12일 ; 제한시간 4시간 ; 문항당 4-6점 문제유형 A
* OMR 카드에는 수험번호, 성명, 지원분야를 반드시 기입하십시오.
* 20문항 모두 주관식 단답형입니다. 답은 반드시 세 자리 수로 답해야 합니다.
예를 들면, 답이 7인 경우, OMR카드에는 007로 표기합니다.
* 1번부터 4번까지 각 4점, 17번부터 20번까지 각 6점, 나머지는 각 5점.
1. 양의 정수 에 대하여, 이하의 양의 정수 중 과 서로 소인 것들의 개수를 으로 나타낼 때, 방정식
을 만족시키는 양의 정수들 중 보다 작은 것들은 모두 몇 개인가?
[4점]
2. 원에 내접하는 삼각형 에서 ∠ ∠ ∠ 이다.
변 의 수직 이등분선과 원과의 교점 중에서 점 에 가까운 것을 , 변 의 수직 이등분선과 원과의 교점 중에서 점 에 가까운 것을 ,
변 의 수직 이등분선과 원과의 교점 중에서 점 에 가까운 것을 라고 하자.
삼각형 의 세 각 중 그 크기가 가장 큰 것은 몇 도인가? [4점]
3. 다항식 가 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 상수 의 값을 구 하여라. [4점]
4. 집합 는 아래 조건을 만족시키는 네 자리의 자연수 들의 집합이다. 집합 의 원소의 개수 를 으로 나눈 나머지를 구하여라. [4점]
● 네 개의 자리수 는 서로 다르며, 어느 두 개의 합이 나머지 둘의 합과 같다.
예를 들어, 는 의 원소이다.
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1차 중등부 A형5. 정수 ⋯ 을 나누는 자연수들 중 가장 작은 세 자리 자연수를 구하여라.
[5점]
6. 양의 실수 에 대하여 다음 식의 최소값을 구하여라. [5점]
7. 정18각형 ⋯의 두 대각선 과 이 이루는 각 중에서 작은 각의 크기는 몇 도인가? [5점]
8. 자연수 에 대하여, 차 다항함수 를
⋯
로 정의하자. 방정식 의 모든 근들의 합이 5049일 때, 의 값을 구하여라. [5점]
9. 2007개의 원이 평면 위에 그려져 있는데, 임의의 두 원은 두 점에서 만난다고 한다. 이 때 만들 어지는 호의 개수의 최대값을 1000으로 나눈 나머지를 구하여라. 예를 들어 원이 3개일 때 호의 개수의 최대값은 12이다. [5점]
10. 삼각형 에서 이고 점 와 변 의 중점 를 연결하는 직선을 , 점 에서 변 에 내린 수선의 발을 , 선분 와 직선 이 만나는 점을 라 하자. 의 값을 구하여라. [5점]
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1차 중등부 A형 11. 방정식
을 만족시키는 자연수의 순서쌍 의 개수를 구하여라. [5점]
12. 오각형 가 원에 내접해 있다. 선분 와 선분 의 교점을 , 선분 와 선분
의 교점을 라 하자. ∠ ∠ 이고 일 때, 의 값을 구하여 라. [5점]
13. 20명의 사람이 한 줄에 10명씩 두 줄로 마주보고 앉아 있다. 각각의 사람은 마주앉은 사람, 또는 좌측에 앉아 있는 사람, 또는 우측에 앉아 있는 사람과만 악수를 할 수 있다고 한다. 한 사람도 빠짐없이 모든 사람이 동시에 악수하는 방법은 모두 몇 가지인가? [5점]
14. 관계식 을 만족시키는 양의 실수 에 대하여 다음 식의 최대값을 구하여 라. [5점]
15. 방정식 을 만족시키는 자연수의 순서쌍 을 모두 ,
, ⋯ 라 할 때, ⋯ 를 구하여라. [5점]
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1차 중등부 A형16. 정수 로 만든 순서쌍
들 중 다음 네 조건 을 만족시키는 순서쌍의 개수를 구하여라. [5점](1)
(2) (3)
(4)
17. 삼각형 에서 ∠ ∠ 이다. 점 는 삼각형 의 내심이고 점 는 변
에 접하는 삼각형 의 방접원의 중심이다. 삼각형 의 외심과 점 , 점 를 지나 는 원과 직선 의 교점을 라고 할 때, ∠ 의 크기는 몇 도인가? [6점]
18. 이차함수
의 최소값이 각각
이다. 이 때, 의 값이 될 수 있는 수 중 가장 작은 것을 구하여라. [6점]
19. 정수 에 대하여 정수 을 생각하자. 정수 을 2000의 배수가 되게 하 는 순서쌍 들 중 모두 0 이상 1999 이하인 순서쌍은 모두 몇 개인가? [6점]
20. 직선 위에 6개의 점 ⋯ 이 순서대로 있다. 각 점을 빨강, 노랑, 파랑, 초록 중 한 색 으로 칠하는데 이웃한 두 점 와 을 같은 색으로 칠하거나 둘 중 적어 도 하나는 빨간색으로 칠해야 한다고 할 때, 이렇게 칠하는 방법의 수를 구하여라. [6점]
