제4장 분포의 특성
중심성향 분포의 특성
20대 사람들이 입는 바지 길이를 대표할 수 있는 대표값은?
- 조사된 표본에서 바지 길이를 측정한 변 수 값들의 중심성향이 답!
수 값들의 중심성향이 답!
- 한 변수의 중심성향을 나타내는 대표값 (표본의 경우 통계량)으로는 평균(mean) 과 최빈값
(mode), 중앙값(median) 등이 있음 - 변수의 산포 경향을 나타내는 평균편차 나 분산, 그리고 표준편차도 중요함
변수의 특성을 포괄적으로 설명할 수 있 는 것을 한마디로 변수의 분포
(distribution)이라고 함 (변수의 분포만 알면 변수가 가지고 있는 대부분의 특성을 파악 가능)
2
연령 집단별 평균 키와 평균 몸무게 연령 집단별 평균 키와 평균 몸무게
80 남성 180 남성
사람의 평균 신장은 20세부터 줄어들기 시작하여 이후
30 40 50 60 70 80
10 20 30 40 50 60 70 80
연 령
평균몸무게(kg)
남성 여성
120 130 140 150 160 170 180
10 20 30 40 50 60 70 80
연 령
평균 신장(cm)
남성 여성
사람의 평균 신장은 20세부터 줄어들기 시작하여 이후 60년간 10cm 정도 감소한다?
사람의 평균 몸무게는 20세부터 줄어들기 시작하여 이 후 60년간 15kg 정도 감소한다?
중심성향 분포의 특성
90 100
O
렉시스 도표 렉시스 도표
횡단면 자료
시계열 자료
10 20 30 40 50 60 70 80
연령
O1 O2
O3
X1 X2
O
X
시계열 자료
종적 자료
O와 X를각각의 45도 선을 따라 모두 조사
1978년 시점
0
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 연도
45o
O : 70세 157cm X : 21세 162cm
나이의 효과를 주장하기 앞서 자료의 유형부터 확인하라!
중심과 퍼진 정도 중심과 퍼진 정도
0 25 50 75 100 0 25 50 75 100
퍼진 정도 퍼진 정도
중심 중심
¾ 히스토그램에서 자료를 요약할 때 중심과 중
¾ 히스토그램에서 자료를 요약할 때 중심과 중 심 주위로 퍼진 정도를 주로 사용
- 중심 : 평균, 중앙값
- 퍼진 정도 : 표준편차, 사분위수 범위
중심성향 분포의 특성
¾ 히스토그램을 중심과 중심과 퍼진 정도
중심과 퍼진 정도
8 6 4 2 0 2 4
중심 주위로 퍼진 정도의 두 가지 정보만으로 요약 할 때 문제가 없는 것은 아니다.
¾ 왼쪽에 도시한 해발의 분포처 -8 -6 -4 -2 0 2 4
해발 (km) 럼 중심과 퍼진 정도만으로는
봉우리가 두 개(bimodal)라는
사실을 알 수 없다.
4
평균과 분산 평균과 분산
평균
평균 평균
¾ 평균이 중요하긴 하지만 전부는 아니다.
평균이 같아도 분산이 다르면 분포는 다르다.
중심성향 분포의 특성
숫자열 1,2,2,3
히스토그램과 평균의 관계
히스토그램과 평균의 관계
, , ,
0%
50%
0 1 3 4 5 6 7 8
숫자열 1,2,2,5 0%
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8
숫자열 1,2,2,7 50%
0%
0 1 2 4 5 6 7 8
히스토그램은 평균에서 균형
중심성향 분포의 특성
-평균(mean)
: 변수값들을 모두 더한 합계를 더한 값들의 수로 나눈 값 -산술평균(arithmetic mean)산술평균(arithmetic mean)
: 전체 변수값들을 모두 더한 합계를 더한 값의 수로 나누어 구할 수 있음
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산술평균은 자료가 등간척도나 비율척도로 측정된 경우에만 사용할 수 있음
중심성향 분포의 특성
가중평균(weighted mean)
: 중요도에 따라서 측정한 값의 가중치를 고려한 평균
각 집단의 평균을 집단 내의 관측치수에 따라서 가중하여 구한 평균이 가중평균임 [예] 물가지수 (470개의 품목을 선정하여, 월별로 3회에 걸쳐 가격을 조사)
기하평균(geometric mean) : 기하학에서 많이 활용
고대 이집트인들이 홍수로 인하여 나일강이 범람한 후에 토지를 다시 적절하게 재분배하 기 위한 목적으로 측량시 활용함
기 위한 목적으로 측량시 활용함
시간적으로 변화하는 자료의 비율에 대한 대표값 계산에서 많이 활용함(인구증가률, 물가 변동율 같은 상승률, 증가률)
계산은 복잡하나, 배수가 극단적인 값을 가질 경우에도 크게 영향을 받지 않은 장점이 있어 비율의 평균을 구할 때 사용할 수 있는 비교적 정확하고 합리적인 방법임
중심성향 분포의 특성
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조화평균(harmonic mean)
: 시간적으로 변화하는 자료 (상품의 가격이나 속도 증의 평균을 구하고자 할 경우) [예] 서울에서 부산으로 갈 때는 평균 100km/h의 속도로 가고, 서울로 돌아올 때는 110km/h의 속도로 주행했다면 평균속도는?
110km/h의 속도로 주행했다면 평균속도는?
(서울에서 부산까지의 거리를 A라고 가정)
중심성향 분포의 특성
중앙값(median)
: 전체변수값들을 오름이나 내림차순으로 정렬했을 경우 중앙에 위치한 값
최빈값(mode)
: 변수값들의 빈도를 구했을 경우, 도수가 가장 높은 값
산포경향 분포의 특성
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산포경향 분포의 특성
산포경향 분포의 특성
¾ 표준편차는 관측치들이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는
표준편차의 의미 표준편차의 의미
¾ 표준편차는 관측치들이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는 지 알려 준다.
관측치의 약 68%가 평균에서 1SD 떨어진 영역 내에 존재 하고, 대략 95%가 평균에서 2SD 떨어진 영역 내에 존재 한다.
68%
평균 평균+2SD
평균 -2SD
95%
평균 평균 +1SD 평균-1SD
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여성 신장 히스토그램 여성 신장 히스토그램
국내건강검진 자료 중 여성 5,257명의 키의 분포를 나타내는 히스토그램이다.
( ) ( )
(i) (ii)
(i)에는 평균으로부터 1SD 이내의 범위가, (ii)에는 평균으로부터 2SD 이내의 범위가 보 라색으로 표시되어 있다.
110 120 130 140 150 160 170 180 190 110 120 130 140 150 160 170 180 190
68 – 95 법칙
왜 도 분포의 특성
왜도(skewness) : 분포의 기울어짐 정도
-좌우대칭을 이루는 대표적인 분포가 정규분포좌우대칭을 이루는 대 적인 분 가 정규분 - 대표적인 비대칭 분포는 카이제곱분포, F분포
(비대칭 분포의 경우 대칭의 형태에서 벗어나 좌측이나 우측 어느 한쪽으로 기울어짐)
첨 도 분포의 특성
첨도(kurtosis)
: 변수의 모양이 얼나마 뽀족한지를 나타내는 값
관측치들이 중심근처에서 어느 정도 집중적으로 몰려 있는가를 특정하는 척도 관측치들이 중심근처에서 어 정 집중적 몰려 있는가를 특정하는 척
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도수분포표 분포의 특성
