정답 과 풀이

(1)

올 림 포 스 고 난 도 수학 Ⅱ

정답 ^과 풀이

해 01-15 올림포스(고난도)_수2_01강-오2.indd 1 2017-11-06 오후 2:31:22

(2)

올림포스 고난도•수학Ⅱ

2

함수의 극한

01 내신 우수 문항 ^기출

01

^⑤

02

^①

03

^②

04

^⑤

05

^⑤

06

^⑤

07

^⑤

08

^③

09

^②

10

^③

11

^③

12

^②

13

^①

14

^③

15

^②

16

^④

17

^③

18

^⑤

19

^④

20

^⑤

21

^②

22

g(x)=xÛ`+3x-4

23

²

본문 8~11쪽

01

x`^limÚ2+ xÛ`+x-6|x-2| = lim

x`Ú2+ (x-2)(x+3)

x-2 =5

x`limÚ2-|xÛ`+x-6|= lim_x`

Ú2-|(x-2)(x+3)|= lim_x`

Ú2-(2-x)(x+3) 이므로

x`limÚ2- x-2

|xÛ`+x-6|= lim

x`Ú2- x-2

(2-x)(x+3)=-;5!;

x`Ú2+lim xÛ`+x-6|x-2| + lim

x`Ú2- x-2

|xÛ`+x-6|=5+{-;5!;}= 245

 ⑤

02

x`^limÚ1+`f(x)= lim

x`Ú1+(xÛ`+ax+2)=a+3

x`limÚ1-`f(x)= lim

x`Ú1-(-xÛ`+2x+b)=1+b limx`Ú1`f(x)가 존재하므로

a+3=1+b, b=a+2

aÛ`+bÛ`=aÛ`+(a+2)Û`=2(a+1)Û`+2

따라서 a=-1, b=1일 때 aÛ`+bÛ`의 최솟값은 2이다.

 ①

03

^{f(-1)+ lim}_x`_Ú0-^{`f(x)+ lim}_x`_Ú1+`f(x) =1+(-1)+(-1)

=-1

 ②

04

x`^limÚ1+`f(x) = lim_x`

Ú1+ '§x+1-('§x-1)-2 '§x-1

= lim_x`Ú1+ 0 '§x-1 =0

x`limÚ1-`f(x) = lim

x`Ú1- '§x+1+('§x-1)-2

'§x-1

= lim

x`Ú1- 2('§x-1) '§x-1 =2

x`limÚ1+`f(x)+ lim

x`Ú1-`f(x)=0+2=2

 ⑤

05

이차방정식 axÛ`+4x-12=0의 두 근은 x=-2Ñ'Ä4+12a

a 이

므로

a=-2+'Ä4+12a a

a`limÚ0+ a= lim_a`

Ú0+ -2+'Ä4+12a a = lim

a`Ú0+

(-2+'Ä4+12a)(-2-'Ä4+12a) a(-2-'Ä4+12a) = lim

a`Ú0+

-12a a(-2-'Ä4+12a) =3

 ⑤

06

^lim_x`Ú1`f(x)=a, lim

x`Ú1 g(x)=b (a, b는 실수)라 하면 limx`Ú1{ f(x)-(x+1)g(x)}

=limx`Ú1`f(x)-lim

x`Ú1 (x+1)g(x)

=limx`Ú1`f(x)-lim

x`Ú1 (x+1)_lim

x`Ú1 g(x)

=a-2b=4 yy ㉠

limx`Ú1{(x+1)f(x)+g(x)}

=limx`Ú1(x+1)f(x)+lim

x`Ú1 g(x)

=limx`Ú1 (x+1)_lim_x`

Ú1`f(x)+lim

x`Ú1 g(x)

=2a+b=3 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 lim_x`

Ú1{ f(x)+g(x)} =lim_x`_Ú1`f(x)+lim_x`

Ú1 g(x)

= 2+(-1)=1

 ⑤

07

^limx`Ú1`f(x)=2, lim

x`Ú1 g(x)

f(x)=3에서 limx`Ú1 g(x)=lim_x`_Ú1 [ f(x)_ g(x)

f(x) ]=2_3=6 x+1=t라 하면 x Ú 0일 때 t Ú 1이므로 limx`Ú0 2x+1

g(x+1)=lim_t`

Ú1 2t-1 g(t) =;6!;

 ⑤

08

^y

O x

-'2 '2

2

-2 y=f(x)

ㄱ. lim

x`Ú0-`f(x)= lim

x`Ú0- (xÛ`-2)=-2 (참)

(3)

정답과 풀이 3 ㄴ. lim

x`Ú0+`f(x)= lim

x`Ú0+ (-xÛ`+2)=2이므로

x`limÚ0+{ f(x)}Û` = lim

x`Ú0+`f(x)_ lim

x`Ú0+`f(x)

=2_2=4

x`limÚ0-{ f(x)}Û` = lim

x`Ú0-`f(x)_ lim

x`Ú0-`f(x)

=(-2)_(-2)=4 lim_x`

Ú0{ f(x)}Û`=4 (참)

ㄷ. x-2=t라 하면 x Ú 0일 때 t Ú -2이므로 limx`Ú0`f(x-2)= lim_t`

Ú-2`f(t)= lim_t`

Ú-2 (tÛ`-2)=2

x`limÚ0+`f(x)f(x-2) = lim_x`

Ú0+`f(x)_ lim_x`

Ú0+`f(x-2)

=2_2=4

x`limÚ0-`f(x)f(x-2) = lim_x`

Ú0-`f(x)_ lim_x`

Ú0-`f(x-2) =(-2)_2=-4

limx`Ú0`f(x)f(x-2)의 값은 존재하지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

 ③

09

상수함수가 아닌 다항함수 g(x)에 대하여 lim_x`_Ú¦| g(x)|=¦이므로

x`limÚ¦ 4 f(x)-3g(x) g(x) =0

x`limÚ¦ 2 f(x)-3g(x) 3g(x) =lim

x`Ú¦ ;2!;{4 f(x)-3g(x)}-;2#; g(x) 3g(x)

=;6!; lim_x`Ú¦ 4 f(x)-3g(x) g(x) -;2!;

=;6!;_0-;2!;

=-;2!;

 ②

다른풀이 lim_x`

Ú¦| g(x)|=¦이므로

x`limÚ¦{4 f(x)-3g(x)}=lim_x`_Ú¦ [g(x)[4 f(x)

g(x) -3]]=2에서

x`limÚ¦[4 f(x)

g(x) -3]=0 따라서 lim

x`Ú¦ f(x)

g(x)=;4#;이므로

x`limÚ¦ 2 f(x)-3g(x)

3g(x) =;3@; lim_x`_Ú¦ f(x) g(x)-1 =;3@;_;4#;-1=-;2!;

10

xÛ`+4x+7<f(x)<xÛ`+4x+8이므로

"ÃxÛ`+4x+7-x+1<"Ãf(x)-x+1<"ÃxÛ`+4x+8-x+1

x`limÚ¦{"ÃxÛ`+4x+7-x+1}=lim_x`_Ú¦ 6x+6

"ÃxÛ`+4x+7+(x-1)

=lim

x`Ú¦ 6+;[^;

®É1+;[$;+x 7xÛ` +1-;[!;

=3

x`limÚ¦{"ÃxÛ`+4x+8-x+1}=lim_x`_Ú¦ 6x+7

"ÃxÛ`+4x+8+(x-1)

=lim

x`Ú¦ 6+;[&;

®É1+;[$;+x 8xÛ` +1-;[!;

=3

이므로

x`limÚ¦ {"Ãf(x)-x+1}=3

 ③

11

^limx`Ú2 "ÃxÛ`-2-'xxÛ`-2x =lim

x`Ú2 xÛ`-2-x x(x-2)("ÃxÛ`-2+'x) =lim

x`Ú2 (x-2)(x+1) x(x-2)("ÃxÛ`-2+'x) =lim_x`

Ú2 x+1 x("ÃxÛ`-2+'x) = 3

2('2+'2) =3'2

8

 ③

12

^limx`Úa (x-1)(x-3)=-1이므로 (a-1)(a-3)=-1, aÛ`-4a+4=0 (a-2)Û`=0, a=2

limx`Ú2 xÜ`-4xxÛ`-x-2=lim_x`

Ú2 x(x-2)(x+2) (x-2)(x+1)

=lim

x`Ú2 x(x+2) x+1

=;3*;

 ②

13

f(x)=(x-a)(x-3a)(px+q) (p, q는 상수, p+0)라 하면 limx`Úa `f(x)

x-a =-2a(ap+q)=2이므로

ap+q=-;a!; yy ㉠

x`limÚ3a `f(x)

x-3a =2a(3ap+q)=2이므로

3ap+q=;a!; yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여 p= 1aÛ`, q=-;a@;

(4)

4

f(x)= 1aÛ`(x-a)(x-3a)(x-2a)이므로

x`limÚ2a `f(x)

x-2a =limx`Ú2a 1aÛ`(x-a)(x-3a) =a_(-a)

aÛ` =-1

 ①

14

;[#;=t라 하면 x Ú ¦일 때 t Ú 0+이므로

x`limÚ¦ (3x-1)[{;[#;}1`0`+{;[#;}9`+y+{;[#;}2`+{;[#;}]

= lim_t`

Ú0+ { 9-tt }(tÚ`â`+tá`+y+tÛ`+t)

= lim

t`Ú0+ (9-t)(tá`+t¡`+y+t+1)

=9

 ③

15

_x`Ú¦^lim"Ã4xÛ`+x+1+"ÃxÛ`-2x-3^4x-3

=limx`Ú¦ 4-;[#;

®É4+;[!;+x 1xÛ` +®É1-;[@;-x 3xÛ`

=;3$;

 ②

16

x=-t라 하면 x Ú -¦일 때 t Ú¦이므로

x`limÚ-¦ 1

"ÃxÛ`-2x+2+(x+1) =lim

t`Ú¦ 1

"ÃtÛ`+2t+2-(t-1) =lim_t`

Ú¦ "ÃtÛ`+2t+2+(t-1)

4t+1

=lim

t`Ú¦ ¾¨1+ 2t +2 tÛ`+1- 1t 4+ 1t =;2!;

 ④

17

^lim_x`_Ú1 xÜ`-axÛ`-b

xÛ`-1 =-;2%; 에서 x Ú 1일 때 (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이어야 한다.

즉, lim_x`

Ú1 (xÜ`-axÛ`-b)=0이므로 1-a-b=0, b=-a+1 limx`Ú1 xÜ`-axÛ`-b

xÛ`-1 =lim

x`Ú1 xÜ`-axÛ`+a-1 xÛ`-1 =lim

x`Ú1 (xÜ`-1)-a(xÛ`-1) xÛ`-1 =lim_x`

Ú1 (x-1)(xÛ`+x+1)-a(x-1)(x+1) (x-1)(x+1)

=lim

x`Ú1 (x-1)(xÛ`+x+1-ax-a) (x-1)(x+1) =lim_x`

Ú1 xÛ`+x+1-ax-ax+1 = 3-2a2

따라서 3-2a2 =-;2%; 이므로 a=4, b=-3

aÛ`+bÛ`=25

 ③

18

x`^limÚ-1

"ÃxÛ`-x+2-ax

x+1 =b에서 x Ú -1일 때 (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이어야 한다.

즉, lim_x`

Ú-1 ("ÃxÛ`-x+2-ax)=0이므로 'Ä1+1+2+a=0, a=-2

x`limÚ-1 "ÃxÛ`-x+2+2xx+1 = lim_x`

Ú-1 -3xÛ`-x+2 (x+1)("ÃxÛ`-x+2-2x) = lim_x`

Ú-1 -(x+1)(3x-2) (x+1)("ÃxÛ`-x+2-2x) = lim_x`

Ú-1 -(3x-2)

"ÃxÛ`-x+2-2x=;4%;

b=;4%; 이므로 a+b=(-2)+;4%;=-;4#;

 ⑤

19

조건 (가)에 의하여 f(x)-xÜ`=ax+b ( a, b는 상수)로 놓으면 f(x)=xÜ`+ax+b

조건 (나)에서 limx`Ú1 `f(x)

x-1 =limx`Ú1 xÜ`+ax+bx-1 =5

x`Ú 1일 때 (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이어야 한다.

즉, lim

x`Ú1 (xÜ`+ax+b)=1+a+b=0이므로 b=-a-1

limx`Ú1 xÜ`+ax+bx-1 =lim_x`

Ú1 xÜ`+ax-a-1x-1 =lim_x`

Ú1 (xÜ`-1)+a(x-1)x-1 =lim_x`

Ú1 (x-1)(xÛ`+x+1)+a(x-1) x-1

=lim

x`Ú1 (x-1)(xÛ`+x+1+a) x-1

=lim

x`Ú1 (xÛ`+x+1+a) =3+a

=5 따라서 a=2, b=-3이므로 f(x)=xÜ`+2x-3

f(2)=8+4-3=9

 ④

(5)

정답과 풀이 5

20

1 2 2 5 4 y

O x

y=2x+5

(x-1)Û`+(y-2)Û`=5

y=2x-5

원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=5의 중심의 좌표는 (1, 2), 반지름의 길이는 '5 이다.

원의 중심 (1, 2)와 직선 y=2x+a, 즉 2x-y+a=0 사이의 거리를 d라 하면

d= |2_1+(-1)_2+a|

"Ã2Û`+(-1)Û` = |a|

'5 따라서 |a|

'5 ='5, 즉 a=Ñ5일 때 직선 y=2x+a와

원 (x-1)Û`+(y-2)Û`=5가 접하므로 함수 y=f(a)의 그래프는 다음 과 같다.

y

O a 1 2

-5 5

y=f(a)

a`limÚ5-`f(a)+ lim

a`Ú-5+`f(a)=2+2=4

 ⑤

21

^y

O x A

B

y=x y=;;Á;;x

P{t, ;;Á;;}t

점 A의 좌표는 (1, 1)이므로 PÕAÓ=¾¨(t-1)Û`+{;t!;-1}2`

PBÓ는 점 P {t, ;t!;}과 직선 x-y=0 사이의 거리이고, t `Ú ¦일 때 t>;t!; 이므로

PBÓ= \|t-;t!;|

"Ã1Û`+(-1)Û``= 1 '2 {t-;t!;}

limt`Ú¦ (PAÓ-'2 PBÓ)=lim_t`_Ú¦ [¾¨(t-1)Û`+{;t!;-1}2`-{t-;t!;}]

=lim

t`Ú¦ [¾¨tÛ`-2t+ 1tÛ`-;t@;+2-{t-;t!;}]

=lim_t`

Ú¦ -2t- 2t +4

®ÉtÛ`-2t+ 1tÛ`- 2t +2+{t-1 t }

=lim_t`

Ú¦ -2- 2

tÛ`+ 4t

®É1- 2t +1 tÝ`- 2

tÜ`+ 2

tÛ`+{1- 1tÛ` } =-1

 ②

22

조건 (가)에서 g(x)=(x-1)(x-c) ( c는 상수)로 놓으면 조건 (나)에서 lim_x`

Ú1 f(x)

g(x)=0이므로

limx`Ú1 xÜ`+axÛ`+bx+1(x-1)(x-c) =0` yy ㉠

㉠에서 x Ú 1일 때 (분모) Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자) Ú 0이 어야 한다. 즉, 이차식 Q(x)에 대하여

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+1=(x-1)Q(x) 의 꼴로 나타낼 수 있다.

limx`Ú1 (x-1)Q(x) (x-1)(x-c)=lim

x`Ú1 Q(x) x-c =0에서 Q(1)=0

(가)

f(x)의 최고차항의 계수가 1이므로 Q(x)=(x-1)(x-k) (단, k는 상수) 따라서 f(x)는 (x-1)Û`으로 나누어떨어진다.

이때 상수항이 1이므로

f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+1=(x-1)Û`(x+1)

(나)

limx`Ú2 g(x) f(x)=lim

x`Ú2 (x-1)(x-c) (x-1)Û`(x+1)=lim

x`Ú2 x-c

(x-1)(x+1)=2 x Ú 2일 때 극한값이 2이므로 c+2이고

2-c3 =2, c=-4

따라서 g(x)=(x-1)(x+4)=xÛ`+3x-4

(다)

 g(x)=xÛ`+3x-4

단계 채점 기준 비율

(가) Q(1)의 값을 구한 경우 30`%

(나) f(x)를 구한 경우 40`%

(다) g(x)를 구한 경우 30`%

23

^y=®;a{; +1의 역함수는 (y-1)Û`=;a{;, x=a(y-1)Û`에서 y=a(x-1)Û` (x¾1)이므로

g(x)=a(x-1)Û` (x¾1)

(가)

두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점 P는 직선 y=x와 이차함수 y=a(x-1)Û` (x¾1)의 그래프의 교점과 같다.

(6)

6

ㄷ. lim_x`

Ú0+`f(x+1)g(1-x)= lim_x`_Ú0+`f(x+1)_ lim

x`Ú0+ g(1-x) = lim_t`

Ú1+`f(t)_ lim_t`

Ú1- g(t)

=(-1)_(-1)=1

x`limÚ0-`f(x+1)g(1-x)= lim_x`_Ú0-`f(x+1)_ lim

x`Ú0- g(1-x) = lim_t`

Ú1-`f(t)_ lim_t`

Ú1+ g(t)

=1_1=1

limx`Ú0`f(x+1)g(1-x)=1 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.

 ①

25

함수 y=| f(x)|의 그래프는 다음과 같다.

y

O x

-1 1 3 4 5 6

-3 -4 -5 -6

1 y=|`f(x)|

따라서 -6<n<6인 정수 n에 대하여 lim_x`

Ún| f(x)|의 값이 존재하기 위 해서는 lim_x`

Ún+| f(x)|= lim_x`

Ún-| f(x)|가 성립해야 한다.

그런데 n=-1, n=1일 때는

x`Ú-1+lim | f(x)|=0, lim

x`Ú-1-| f(x)|=1,

x`limÚ1+| f(x)|=1, lim_x`

Ú1-| f(x)|=0이므로

x`limÚn+| f(x)|+ lim_x`

Ún-| f(x)|

따라서 lim_x`

Ún| f(x)|의 값이 존재하는 n의 값은 -5, -4, -3, -2, 0, 2, 3, 4, 5의 9개이다.

 ④

26

f(x+4)=f(x)이므로 -5ÉxÉ5일 때, 함수 y=f(x)의 그래 프는 그림과 같다.

y

O x

-1 1 2 3 4 5

-2 -4-3 -5

-1 1 2

따라서 lim

x`Ú-3-`f(x)=2, lim

x`Ú4-`f(x)=1이므로

x`Ú-3-lim `f(x)+ lim

x`Ú4-`f(x)=2+1=3`

 ⑤

27

함수 y=f(x)의 그래프에서

x`Ú1+lim`f(x)=1, lim

x`Ú1-`f(x)=2

x`limÚ2+`f(x)=2, lim

x`Ú2-`f(x)=0

이차함수 g(x)의 최고차항의 계수가 1이므로

내신 고득점 문항

24

^①

25

^④

26

^⑤

27

^④

28

^⑤

29

^④

30

^④

31

^④

32

^④

33

^⑤

34

^③

35

^①

36

^③

37

^②

38

^④

39

^①

40

^②

41

^②

42

^①

43

^②

44

^②

45

^①

46

³²

47

^⑤

48

²²

49

⁶¹

본문 12~16쪽 7%상위

24

^{ㄱ. lim}x`Ú1+`f(x)=-1, lim_x`

Ú1+ g(x)=1

x`limÚ1+`f(x)g(x)= lim_x`_Ú1+`f(x)_ lim_x`

Ú1+ g(x)

=(-1)_1

=-1 (참) ㄴ. lim

x`Ú1-`f(x)=1`

x`limÚ1- g(-x)= lim_t`_Ú-1+ g(t)=1

x`Ú1-lim{ f(x)+g(-x)}= lim_x`Ú1-`f(x)+ lim

x`Ú1- g(-x) `

=1+1`

=2 (거짓)

교점의 x좌표는 x=a(x-1)Û`에서 axÛ`-(2a+1)x+a=0

x= 2a+1Ñ"Ã(2a+1)Û`-4aÛ`

2a = 2a+1Ñ"Ã4a+12a 그런데 x¾1이므로 t= 2a+1+"Ã4a+12a

(나)

교점의 y좌표는 x좌표와 같으므로

a`limÚ¦{t+f(t)}=lim_a`

Ú¦ 2t=lim_a`

Ú¦ (2a+1)+"Ã4a+1a

=lim_a`

Ú¦ {2+;a!;}+®É;a$;+ 1aÛ`

1 =2

(다)

 2

(가) g(x)를 구한 경우 30`%

(나) t를 구한 경우 40`%

(다) 극한값을 구한 경우 30`%

(7)

정답과 풀이 7 g(x)=xÛ`+ax+b ( a, b는 상수)

로 놓을 수 있다.

limx`Ú1 g(x)=lim_x`Ú1 (xÛ`+ax+b) =1+a+b

limx`Ú2 g(x)=lim_x`_Ú2 (xÛ`+ax+b) =4+2a+b

limx`Ú1`f(x)g(x)의 값이 존재하므로

x`limÚ1+`f(x)g(x)= lim_x`_Ú1-`f(x)g(x)

x`limÚ1+`f(x)g(x)=1_(1+a+b) =1+a+b

x`limÚ1-`f(x)g(x)=2_(1+a+b) =2+2a+2b 에서 1+a+b=2+2a+2b

a+b=-1 yy ㉠

마찬가지로 lim

x`Ú2`f(x)g(x)의 값이 존재하므로

x`limÚ2+`f(x)g(x)= lim_x`_Ú2-`f(x)g(x)

x`limÚ2+`f(x)g(x)=2_(4+2a+b) =8+4a+2b

x`limÚ2-`f(x)g(x)=0_(4+2a+b) =0

에서 8+4a+2b=0

2a+b=-4 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=2 따라서 g(x)=xÛ`-3x+2이므로 g(3)=3Û`-3_3+2=2

 ④

28

x-1=t, 2-x=s라 하면 x Ú 1일 때 t Ú 0, s Ú 1이므로 limx`Ú1 f(x-1)+g(2-x)

xÛ`-1

=lim_x`

Ú1 f(x-1)

(x-1)(x+1)+lim_x`

Ú1 g(2-x) (x-1)(x+1)

=limt`Ú0 f(t) t(t+2)+lim

s`Ú1 g(s)

(1-s)(3-s)

=;2$;+ -22 =1

 ⑤

29

^limx`Ú2 g(x)-2

x-2 =a ( a는 상수)이므로 limx`Ú2 f(x)g(x)-2 f(x)-3g(x)+6

(x-2)Û`

=limx`Ú2 { f(x)-3}{ g(x)-2}

(x-2)Û`

=lim_x`

Ú2 f(x)-3

x-2 _lim^x`Ú2 g(x)-2 x-2

=3_a=12 따라서 lim_x`

Ú2 g(x)-2 x-2 =a=4

 ④

30

^x=;t!; 이라 하면 x Ú 0+일 때 t Ú ¦이므로

x`limÚ0+ (xÜ`-2xÛ`) f {;[!;}-2 3xÛ`-x =lim_t`

Ú¦ { 1tÜ`- 2

tÛ` } f(t)-2 x 3tÛ`-;t!;

=lim

t`Ú¦ (1-2t) f(t)-2tÜ`

3t-tÛ` =5 따라서 f(t)는 이차식이고 최고차항의 계수가 -1이므로 f(t)=-tÛ`+at+b ( a, b는 상수)로 놓으면

t`limÚ¦ (1-2t)f(t)-2tÜ`

3t-tÛ`

=limt`Ú¦ (1-2t)(-tÛ`+at+b)-2tÜ`

3t-tÛ`

=limt`Ú¦ -(2a+1)tÛ`+(a-2b)t+b

3t-tÛ`

에서 2a+1=5, a=2 limx`Ú0 `f(x)-3

x =a에서 x Ú 0일 때 (분모) Ú 0이므로 (분자) Ú 0이어 야 한다.

즉, lim_x`

Ú0 { f(x)-3}=0이므로 f(0)=b=3

따라서 f(x)=-xÛ`+2x+3이므로 limx`Ú0 f(x)-3

x =lim_x`

Ú0 -xÛ`+2x+3-3x =lim

x`Ú0 -xÛ`+2xx =lim_x`

Ú0 (-x+2)=2 따라서 a=2

 ④

31

-1É f(x)É1이므로 -xÛ`ÉxÛ` f(x)ÉxÛ`이다.

따라서 -xÛ`+ xÛ`+4x2xÜ`+xÉxÛ` f(x)+ xÛ`+4x2xÜ`+xÉxÛ`+ xÛ`+4x2xÜ`+x에서 limx`Ú0 {-xÛ`+ xÛ`+4x2xÜ`+x }=lim

x`Ú0 {-xÛ`+ x+42xÛ`+1 }=4, limx`Ú0 {xÛ`+ xÛ`+4x2xÜ`+x }=lim

x`Ú0 {xÛ`+ x+42xÛ`+1 }=4이므로 limx`Ú0 [xÛ` f(x)+ xÛ`+4x2xÜ`+x ]=4

 ④

32

^limx`Ú1 `f(x)-3x

x-1 =2에서 x Ú 1일 때 (분모) Ú 0이므로

(8)

8

(분자) Ú 0이어야 한다.

즉, lim

x`Ú1 { f(x)-3x}=0이므로 f(1)=3

따라서 다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(1)=3이므로 f(x)=(x-1)g(x)+3

limx`Ú1 f(x)-3x x-1 =lim

x`Ú1 (x-1)g(x)+3-3x

x-1

=lim_x`

Ú1 (x-1)g(x)-3(x-1)

x-1

=lim

x`Ú1 {g(x)-3}=2 따라서 g(1)=5

limx`Ú1 { f(x)-3}g(x) xÛ`-1 =lim

x`Ú1 (x-1)g(x)_g(x) (x-1)(x+1) =lim

x`Ú1 { g(x)}Û`

x+1 ={ g(1)}Û`

2 =;;ª2°;;

 ④

33

x-f(x)=g(x)라 하면 f(x)=x-g(x)이고

x`Ú¦lim g(x)=3, lim_x`Ú¦ g(x)

x =0이므로

x`limÚ¦ 'Äx+1-"f(x) 'x-"f(x) =lim_x`

Ú¦ 'Äx+1-"Ãx-g(x) 'x-"Ãx-g(x) =lim_x`

Ú¦ {1+g(x)}{'x+"Ãx-g(x)}

g(x){'Äx+1+"Ãx-g(x)}

=lim_x`

Ú¦ {1+g(x)}['1+¾¨1-g(x) x ] g(x)[®É1+;[!;+¾¨1-gx g(x)

x ]

=;3$;

 ⑤

다른풀이 lim_x`

Ú¦{x-f(x)}=lim_x`

Ú¦ x[1-f(x)

x ]=3이므로

x`limÚ¦ f(x) x =1

x`limÚ¦ 'Äx+1-"Ãf(x) '§x-"Ãf(x) =lim

x`Ú¦ {'§x+"Ãf(x)}{(x+1)-f(x)}

{'Äx+1+"Ãf(x)}{x-f(x)}

=lim

x`Ú¦ ['1+¾¨ f(x)

x ]{x-f(x)+1}

[®É1+;[!;+¾¨gxf(x)

x ]{x-f(x)}

= 2_42_3 =;3$;

34

^f(x)+g(x)_f(x)-g(x)=h(x)라 하면 lim_x`

Ú¦ h(x)=3이고

{h(x)-1} f(x)={h(x)+1} g(x)이므로

x`limÚ¦ g(x) f(x)=lim_x`

Ú¦ h(x)-1

h(x)+1=;4@;=;2!;

x`limÚ¦ 2f(x)-g(x) f(x)+2g(x)=lim_x`

Ú¦

2- g(x) f(x) 1+2_gx g(x)

f(x)

=;4#; 이므로

p=4, q=3

따라서 p+q=4+3=7

 ③

35

f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+2 yy ㉠

㉠의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0)+2

f(0)=-2

㉠의 양변에 x=1, y=1을 대입하면 f(2)=f(1)+f(1)+1+2

=2 f(1)+3=-1

limx`Ú2`f(x)에서 x-2=h라 하면 x`Ú 2일 때 h`Ú 0이므로 lim_x`

Ú2`f(x)=lim_h`

Ú0`f(2+h)

=limh`Ú0 { f(2)+f(h)+2h+2}

=f(2)+lim

h`Ú0`f(h)+0+2

=(-1)+(-2)+0+2

=-1

 ①

36

^limx`Úa { g(x)}Û`

{ f(x)}Ü`=lim

x`Úa[ g(x) f(x) ]Û`_lim_x`

Úa 1 f(x)

=lim

x`Úa[ g(x) f(x) ]Û`_;9!;

=64

이므로 lim

x`Úa[ g(x) f(x) ]Û`=24Û`

따라서 lim_x`

Úa g(x)

f(x)=k=24

 ③

37

^limx`Úa "Ãg(x)

f(x) =;2!; 이므로 limx`Úa g(x)

{ f(x)}Û`=;4!;

limx`Úa { f(x)}Û`

g(x) =lim

x`Úa 1

g+ g(x) { f(x)}Û`

= 1

limx`Úa g+ g(x) { f(x)}Û`

= 1

;4!;=4

(9)

정답과 풀이 9 따라서 lim

x`Úa { f(x)}Û`-2 g(x)

g(x) =4-2=2

 ②

38

-x=t라 하면 x`Ú -¦일 때 t`Ú ¦이므로

x`limÚ-¦ x {®É x+1x-1 -1}=limt`Ú¦ [-t{®É t-1t+1 -1}]

=lim

t`Ú¦ -t{¾¨ t-1t+1 -1}{¾¨t-1 t+1 +1}

¾¨gx t-1t+1 +1

=lim

t`Ú¦ -t{ t-1t+1 -1}

¾¨1-gx 2t+1 +1 =lim_t`

Ú¦ 2t

{¾¨1-gx 2t+1 +1}(t+1) =1

 ④

39

a, b가 방정식 f(x)=xÛ`-2x-1=0의 서로 다른 두 실근이므로 f(x)=(x-a)(x-b)

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-1

limx`Úa f(x)f(-x) x-a =lim

x`Úa (x-a)(x-b)(-x-a)(-x-b)

x-a

=lim

x`Úa (x-b)(-x-a)(-x-b) =2a(aÛ`-bÛ`)

lim_x`

Úb f(x)f(-x) x-b =lim_x`

Úb (x-a)(x-b)(-x-a)(-x-b) x-b

=lim

x`Úb (x-a)(-x-a)(-x-b) =2b(bÛ`-aÛ`)

limx`Úa f(x)f(-x) x-a +lim

x`Úb f(x)f(-x) x-b

=2a(aÛ`-bÛ`)+2b(bÛ`-aÛ`)

=2(a-b)(aÛ`-bÛ`)

=2(a-b)Û`(a+b)

=2{(a+b)Û`-4ab}(a+b)

=2_8_2=32

 ①

40

x`^limÚ¦ xÇ` ("ÃxÝ`+1-xÛ`)

"ÃxÛ`+x-x =lim_x`

Ú¦ xÇ` ("ÃxÛ`+x+x) x("ÃxÝ`+1+xÛ`) =lim

x`Ú¦ xÇ` ÑÚ`("ÃxÛ`+x+x)

"ÃxÝ`+1+xÛ`

=lim_x`

Ú¦ xÇ` ÑÛ` {®É1+;[!;+1}

¾¨1+gx 1xÝ`+1

이므로

Ú n=1일 때, 0에 수렴 Û n=2일 때, 1에 수렴

Ü n¾3일 때, 양의 무한대로 발산 따라서 n=2, a=1이므로 n+a=3

 ②

41

ㄱ. -x=t라 하면 x Ú -¦일 때 t Ú ¦이므로

x`limÚ-¦`f(x)= lim

x`Ú-¦ |xÜ`|-3x-4 2xÜ`+|x|+1

=limt`Ú¦ tÜ`+3t-4 -2tÜ`+t+1

=-;2!; (참)

ㄴ. 주어진 함수 f(x)는 x=1에서 분모, 분자가 각각 수렴하므로

limx`Ú1`f(x)=

limx`Ú1 (|xÜ`|-3x-4) limx`Ú1 (2xÜ`+|x|+1)

=lim

x`Ú1 (xÜ`-3x-4) limx`Ú1 (2xÜ`+x+1) = 1-3-42+1+1 =-;2#;` (참) ㄷ. lim_x`

Ú-1`f(x)= lim

x`Ú-1 -xÜ`-3x-4 2xÜ`-x+1 = lim

x`Ú-1 -(x+1)(xÛ`-x+4) (x+1)(2xÛ`-2x+1) = lim

x`Ú-1 -(xÛ`-x+4) 2xÛ`-2x+1 =-;5^; (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

 ②

42

xÛ`-4x-3=0의 두 실근이 a, b (a>b)이므로 a+b=4, ab=-3

따라서 a-b="Ã(a+b)Û`-4ab='Ä16+12=2'7

x`limÚ¦ '§x('Äx+a-'Äx+b)=lim_x`_Ú¦ (a-b)'§x 'Äx+a+'Äx+b

=limx`Ú¦ (a-b)'1

¾¨1+g+ ax +¾¨1+g+b x

=a-b 2

=2'7 2 ='7

 ①

(10)

10

43

^limx`Ú0 "ÃaÛ`+2xÛ`+xÜ`-b

xÇ` =1에서 x`Ú 0일 때 (분모)`Ú 0이므로 (분자)`Ú 0이어야 한다.

즉, lim

x`Ú0 ("ÃaÛ`+2xÛ`+xÜ`-b)=0이므로

"aÛ`=b, a=b

limx`Ú0 "ÃaÛ`+2xÛ`+xÜ`-bxÇ` =lim_x`

Ú0 "ÃaÛ`+2xÛ`+xÜ`-axÇ`

=lim_x`

Ú0 xÛ`(2+x)

xÇ` ("ÃaÛ`+2xÛ`+xÜ`+a)=1 이므로 n=2, 2a+a =1

따라서 a=b=1, n=2이므로 a+b+n=1+1+2=4

 ②

44

다항함수 f(x)가 lim_x`

Ú¦ f(x)

xÜ` =2를 만족시키므로 f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx+c ( a, b, c는 상수)

로 놓을 수 있다.

또한 lim_x`

Ú1 f(x-1)

x-1 =4에서 x-1=t라 하면 x`Ú1일 때 t`Ú 0이므로 limx`Ú1 f(x-1)

x-1 =limt`Ú0 f(t) t =4

이고 t`Ú 0일 때 (분모)`Ú 0이므로 (분자)`Ú 0이어야 한다.

즉, lim_t`

Ú0 f(t)=f(0)=0에서 c=0이므로 f(x)=2xÜ`+axÛ`+bx

이때 limt`Ú0 f(t)

t =lim^t`Ú0 2tÜ`+atÛ`+btt =lim

t`Ú0 (2tÛ`+at+b) =b=4

따라서 f(x)=2xÜ`+axÛ`+4x이므로 방정식 f(x)=0에서 2xÜ`+axÛ`+4x=0

x(2xÛ`+ax+4)=0 yy ㉠

㉠의 한 근은 0이고 나머지 두 근을 a, b라 하면 a, b는 방정식 2xÛ`+ax+4=0의 근이다.

그런데 방정식 f(x)=0의 서로 다른 모든 실근의 합이 -3이므로 이차 방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-;2A;=-3 a=6

따라서 f(x)=2xÜ`+6xÛ`+4x이므로 f(1)=2+6+4=12

 ②

45

조건 (가)에 의하여 f(x)=(x-1)(x+1)(4x+p)`(p는 상수) 로 놓으면

limx`Ú1 f(x)

x-1 _ limx`Ú-1 f(x) x+1

=limx`Ú1 (x+1)(4x+p)_ lim

x`Ú-1 (x-1)(4x+p)

={2(4+p)}_{(-2)(-4+p)}

=4(16-pÛ`)

이므로 4(16-pÛ`)=28 16-pÛ`=7, pÛ`=9 p=Ñ3

조건 (나)에서 ;[!;=t라 하면 x Ú ¦일 때 t Ú 0+이므로

x`limÚ¦ [ f {;[!;}-3]= lim_t`_Ú0+ { f(t)-3}=0에서 f(0)=3

따라서 p=-3이므로

f(x)=(x-1)(x+1)(4x-3) f(2)=15

 ①

46

^접점 P{t, ;2!; tÛ`+4}에서의 접선 l의 기울기를 m이라 하면 접선 l 의 방정식은

y-{;2!; tÛ`+4}=m(x-t)

y=mx-mt+;2!; tÛ`+4

방정식 ;2!;xÛ`+4=mx-mt+;2!; tÛ`+4, 즉 ;2!;xÛ`-mx+mt-;2!;tÛ`=0 은 중근을 가지므로 판별식을 D라 하면

D=mÛ`-4_;2!;_{mt-;2!; tÛ`}=0 (m-t)Û`=0, m=t

따라서 접선의 방정식은 y=tx-;2!; tÛ`+4이다.

한편, 접선 y=tx-;2!; tÛ`+4는 포물선 y=axÛ`+ 1aÛ`과 접하므로 방정식 axÛ`-tx+;2!; tÛ`+ 1aÛ`-4=0은 중근을 갖는다.

판별식을 D'이라 하면

D'=tÛ`-4a {;2!; tÛ`+ 1aÛ`-4}=0 (1-2a)tÛ`=;a$;-16a

따라서 tÛ`=4(1-4aÛ`)

a(1-2a)=4(1+2a) a 이므로 lim

a`Ú;2!;+ tÛ`=16

또한 직선 l의 기울기 m=t는 양수이므로 lim

a`Ú;2!;+ t=4 lim

a`Ú;2!;+ (tÛ`+2t+8)=16+8+8=32

 32

(11)

정답과 풀이 11

47

^y

O x CÁ

Cª y=x+1

(t, t+1)

d

원점 O와 직선 y=x+1, 즉 x-y+1=0 사이의 거리를 d라 하면 d= |0-0+1|

"Ã1Û`+(-1)Û`= '22

이므로 원 CÁ의 반지름의 길이는 '22 이다.

원 Cª의 중심 (t, t+1)과 원점 사이의 거리는

"ÃtÛ`+(t+1)Û` ="Ã2tÛ`+2t+1`

원 Cª의 반지름의 길이가 '2 t이고 t>0에서

¾¨2 {tÛ`+t+;2!;}>¾¨2 {tÛ`+t+;4!;}

"Ã2tÛ`+2t+1>"2 {t+;2!;}

"Ã2tÛ`+2t+1>'2 t+ '22

이므로 두 원 CÁ, Cª는 만나지 않는다.

따라서 f(t)="Ã2tÛ`+2t+1-'2 t- '22 , g(t)="Ã2tÛ`+2t+1+'2 t+ '2

2 이므로

limt`Ú¦ g(t)+'2 t f(t)+'2 t=lim

t`Ú¦ "Ã2tÛ`+2t+1+2'2 t+ '2 2

"Ã2tÛ`+2t+1- '2 2

=lim

t`Ú¦ ®É2+ 2t +1

tÛ`+2'2+ '22t

®É2+ 2t +1 tÛ`- '22t

=3

 ⑤

48

^limx`Ú1 f(x)

x-1 =a에서 f(x)=(x-1)(x+p)`(p는 상수)라 하면 limx`Ú1 (x-1)(x+p)

x-1 =lim

x`Ú1 (x+p)=a 1+p=a

(가)

x`limÚ¦ {"Ãf(x)-"Ãf(-x)}

=lim_x`

Ú¦ {"Ã(x-1)(x+p)-"Ã(x+1)(x-p)}

=limx`Ú¦ 2(p-1)x

"Ã(x-1)(x+p)+"Ã(x+1)(x-p)

=limx`Ú¦ 2(p-1)

¾¨{1-;[!;gx}{1+;[P;gx}+¾¨{1+;[!;gx}{1-;[P;gx}

=p-1

이므로 p-1=4, p=5

(나)

따라서 f(x)=(x-1)(x+5)이므로 f(3)=16이고 a=6 f(3)+a=16+6=22

(다)

 22

(가) a와 p 사이의 관계식을 구한 경우 30`%

(나) p의 값을 구한 경우 40`%

(다) f(3)+a의 값을 구한 경우 30`%

49

조건 (가)에 의하여 f(x)=(x-a)(x-b) 조건 (나)의 lim

x`Úa f(x)

g(x)= 1b 에서 x`Ú a일 때 (분자)`Ú 0이므로 (분모)`Ú 0이어야 한다.

limx`Úa g(x)=g(a)=0 yy ㉠

또한 lim

x`Úb g(x)

f(x)=a-2에서 x`Úb일 때 (분모)`Ú 0이므로 (분자)`Ú 0 이어야 한다.

limx`Úb g(x)=g(b)=0 yy ㉡

(가)

조건 (다)의 lim_x`

Ú1 g(x)

x-1 =20에서 x`Ú1일 때 (분모)`Ú 0이므로 (분자) `Ú 0이어야 한다.

lim_x`

Ú1 g(x)=g(1)=0 yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여

g(x)=(x-a)(x-b)(x-1) 조건 (나)에서

limx`Úa f(x) g(x)=lim_x`

Úa (x-a)(x-b) (x-a)(x-b)(x-1) =lim

x`Úa 1x-1 = 1a-1 =1

b

따라서 a-1=b yy ㉣

(나)

조건 (다)에서 limx`Ú1 g(x)

x-1 =limx`Ú1 (x-a)(x-b)(x-1) x-1 =lim_x`

Ú1 (x-a)(x-b)

=(1-a)(1-b)=20 yy ㉤

㉣을 ㉤에 대입하면 (1-a)(2-a)=20

(12)

12

x`Ú-1-lim `f(x)=-1

x Ú 1-일 때, f(x) Ú -1이므로

x`limÚ1-`f(x)=-1 따라서 lim_x`

Ú---1-`f(x)= lim

x`Ú1-`f(x)=-1 (참) x-1x =t, - xx+1 =s로 치환하여 극한값을 구한다.

ㄴ. x-1x =1-;[!;

1-;[!;=t라 하면 x Ú ¦일 때, ;[!; Ú 0+이므로 t Ú 1-

x`limÚ¦`f { x-1x }= limt`Ú1-`f(t)=-1 - xx+1 =-(x+1)+1

x+1 =-1+ 1x+1 -1+ 1x+1 =s라 하면 x Ú ¦일 때, 1

x+1 Ú 0+이므로 s Ú -1+

x`limÚ¦`f {- xx+1 }= lims`Ú-1+`f(s)=1 따라서 lim

x`Ú¦`f { x-1x } f {- x

x+1 }=(-1)_1=-1 (거짓) 역함수의 그래프를 그린 후 극한값을 구한다.

ㄷ. 함수 y=f(x)의 역함수 y=f ÑÚ`(x)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 그래프와 같다.

y

O x 1 2 1

2 -1

-2 -1

-2

y=x y=f ÑÚ`(x)

이때 lim_x`

Úa+`f ÑÚ`(x)+f ÑÚ`(a)를 만족시키는 실수 a는 0으로 1개이 다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ④

51

구간 [1, ¦)에서 정의된 함수 f(x)는 모든 자연수 k에 대하여 f(x)=2k (kÛ`Éx<(k+1)Û`)

를 만족시킨다. lim_x`

Ú¦ `f(x)

'x 의 값은?

① ;2!; ② 1 ③ ;2#;

④ 2 ⑤ ;2%;

k와 f(x) 사이의 관계를 이용하여 f(x)를 구한다.

t

t=-x-1 x``

O x 1

s s=--x+1 x ` O x

-1 -1

불연속이면서 좌극한과 함숫값이 같거나 극한값과 함숫값이 같지 않은 점을 찾는 다.

풀이전략

aÛ`-3a-18=0 (a+3)(a-6)=0 따라서 a=6, b=5이므로

(다)

aÛ`+bÛ`=6Û`+5Û`=61

(라)

 61

(가) g(a), g(b)의 값을 구한 경우 20`%

(나) a, b 사이의 관계를 구한 경우 30`%

(다) a, b의 값을 구한 경우 30`%

(라) aÛ`+bÛ`의 값을 구한 경우 20`%

내신 변별력 문항

50

^④

51

^④

52

^③

53

^⑤

54

^①

55

2'2

본문 17~18쪽 4%상위

50

그림은 닫힌구간 [-2, 2]에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프를 나타낸 것이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

y

O x

y=f(x)

-2 1 2

2 -1 1

-1 -2

보기 ㄱ. lim

x`Ú-1- f(x)= lim

x`Ú1- f(x) ㄴ. lim_x`Ú¦ f { x-1x } f {- x

x+1 }=2 ㄷ. -2<a<2일 때, lim

x`Úa+ f ÑÚ`(x)+f ÑÚ`(a)를 만족시키는 실수

a의 개수는 1이다.

x-1x =t, - x x+1 =s로

치환하여 함수의 그래프를 그려 본다.

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1-;[!;=t로 치환하고 y=f ÑÚ`(x)의 그래프를 그린다.

좌극한, 우극한을 확인한다.

ㄱ. x Ú -1-일 때, f(x) Ú -1이므로

풀이전략

문제풀이

(13)

정답과 풀이 13

`f(x)

'§x 의 범위를 구한다.

kÛ`Éx<(k+1)Û`, 즉 kÉ'§x <k+1일 때 f(x)=2k에서 f(x)

2 É'§x < f(x)

2 +1이므로 2'x-2< f(x)É2'§x 각 변을 '§x 로 나누면

2'x-2 '§x < f(x)

'§x É2

함수의 극한의 대소 관계를 이용하여 극한값을 구한다.

이때 lim

x`Ú¦ 2'§x-2

'§x =2, lim

x`Ú¦ 2=2이므로

x`limÚ¦ f(x) '§x =2

 ④

다른풀이

kÛ`Éx<(k+1)Û`에서 kÉ'§x <k+1

k+1 <1 1 '§xÉ 1k

각 변에 2k를 곱하면 2kk+1 <2k '§xÉ2 이때 2k

'§x= f(x)

'§x 이고 x`Ú¦일 때 k`Ú¦이므로

k`limÚ¦ 2kk+1 =2, limk`Ú¦ 2`=2

k`limÚ¦ f(x) '§x =2

52

두 양수 a, b와 음수 c에 대하여 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 0 이 아닌 서로 다른 두 실근을 a, b라 하자. <보기>에서 옳은 것만 을 있는 대로 고른 것은? (단, a>b )

보기 ㄱ. lim

a`Ú0+ a=-;bC;

ㄴ. lim

a`Ú0+ b=;cB;

ㄷ. lim

a`Ú¦ 'a a='¶-c

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

근의 공식을 이용하여 a, b의 값을 구한다.

근의 공식을 이용하여 a, b를 구한다.

axÛ`+bx+c=0 (a>0, b>0, c<0)의 두 실근 a, b에 대하여

문제풀이

`f(x)

2 É'§x 이고 '§x <`f(x) 2 +1

x`Ú¦

lim {2-

2

'§x }

a>0, b>0에 대하여 a<b이면 'a <'b 이다.

k`Ú¦

lim

2 1+;k!;

풀이전략

문제풀이

근의 공식 x=

-bÑ"ÃbÛ`-4ac 2a

ab=;aC; <0이므로 a는 양수, b는 음수이다.

따라서 a= -b+"ÃbÛ`-4ac2a , b= -b-"ÃbÛ`-4ac2a 유리화하여 극한값을 구한다.

ㄱ. lim_a`

Ú0+ a= lim_a`

Ú0+ -b+"ÃbÛ`-4ac2a

= lim

a`Ú0+ (-b+"ÃbÛ`-4ac)(-b-"ÃbÛ`-4ac) 2a(-b-"ÃbÛ`-4ac)

= lim

a`Ú0+ 4ac

2a(-b-"ÃbÛ`-4ac)

= 2c-2b =-c b (참) ㄴ. lim_a`

Ú0+ b= lim_a`

Ú0+ -b-"ÃbÛ`-4ac2a =-¦ (거짓) ㄷ. lim

a`Ú¦ 'a a=lim_a`_Ú¦ -'ab+"ÃabÛ`-4aÛ`c2a

=lima`Ú¦

- b'a+¾¨ bÛ`a -4c`

2

='Ä-c (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ③

53

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 f(0)=f(1)=a, limx`Ú2 f(x)-a

x-2 =b를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, a, b, c는 실수이다.)

ㄱ. f(b)=a ㄴ. lim

x`Úb f(x)-a

xÛ`-bÛ` =;b!; (단, b+0) ㄷ. lim

x`Úc f(x-b)-a

x-c =2를 만족시키는 모든 c의 값의 합은 6이다.

f(b)-a=0

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

미정계수법을 이용하여 f(x)를 구한다.

미정계수법을 이용하여 b의 값을 구한다.

limx`Ú2 f(x)-a

x-2 =b에서 x`Ú 2일 때 (분모)`Ú 0이므로 (분자)`Ú 0이어 야 하므로 f(2)=a이다.

따라서 f(0)=f(1)=f(2)=a이므로 f(x)-a=x(x-1)(x-2) lim_x`

Ú2 f(x)-a

x-2 =lim^x`Ú2 x(x-1)=2=b

a

Ú 0+이면 ;a!; Ú ¦

풀이전략

문제풀이

f(0)-a=f(1)-a=f(2)-a=0 g(a)=0이면 g(x)는 x-a로

나누어떨어진다.

(14)

14

원의 접선을 이용하여 점 A의 좌표를 구하고 직각삼각형의 넓이를 이용하여 AMÓ_OPÓ의 값을 구한다.

선분 AB의 길이를 구한다.

점 A는 원 xÛ`+yÛ`=2와 직선 x+y=2의 교점이므로 점 A의 좌표는 (1, 1)이다.

PBÓ=PAÓ ="Ã(t-1)Û`+(-t+1)Û`

="Ã2(t-1)Û`

AÕMÓ_OPÓ의 길이를 구한다.

AÕMÓ_OPÓ=OAÓ_PAÓ='2_"Ã2(t-1)Û`=2(t-1)이므로

t`limÚ1+ AÕMÓ_OPÓt-1 = lim_t`

Ú1+ 2(t-1)t-1 =2

 ①

55

그림과 같이 선분 AB를 지름으로 하는 원에 내접하는 사각형 ABCD가 있다. ABÓ=2, ADÓ=CDÓ=x일 때, lim

x`Ú'2- BCÓ '2-x의

값을 구하시오. 2'2

A B

D C

점 D를 지나고 선분 AB에 평행한 직선과 수직인 직선을 그은 후 교점을 이용 하여 선분 BC의 길이를 구한다.

삼각형 CBD와 삼각형 EDB가 합동임을 보인다.

ABÓ가 원의 지름이므로 ABÓ의 중점을 O라

A B

D C

F O

E 하면 점 O는 원의 중심이다.

직선 AB에 평행하고 점 D를 지나는 직선이 원과 만나는 점을 E라 하면

∠EDB=∠ABD

ADÓ=CDÓ이므로 ∠ABD=∠CBD

∠CBD=∠EDB

∠CDE=∠EBC이므로

∠CDB=∠CDE+∠EDB=∠EBC+∠DBC=∠EBD DBÓ는 공통

따라서 △CBDª△EDB ( ASA 합동)

풀이전략

문제풀이

직각삼각형 OPA의 넓이는

;2!;_OÕAÓ_PÕAÓ

=;2!;_AÕMÓ_OPÓ

풀이전략

문제풀이

직선 DE와 직선 AB가 평행 하므로 엇각의 크기는 서로 같다.

현의 길이가 같으면 원주각의 크기가 같다.

미정계수법을 이용하여 극한값을 구하고 c의 값에 따른 극한값을 구한 다.

ㄱ. f(x)-a=x(x-1)(x-2)에서 f(x)=x(x-1)(x-2)+a이 므로 f(b)=f(2)=a (참)

ㄴ. lim_x`

Úb f(x)-a xÛ`-bÛ` =lim

x`Ú2 x(x-1)(x-2) (x-2)(x+2)

=limx`Ú2 x(x-1) x+2

=;2!;=;b!; (참)

ㄷ. f(x-b)-a=f(x-2)-a=(x-2)(x-3)(x-4) lim_x`

Úc f(x-b)-a

x-c =2에서 x`Ú c일 때 (분모)`Ú 0이므로 (분자)`Ú 0이어야 하므로

lim_x`

Úc{ f(x-b)-a}=0 (c-2)(c-3)(c-4)=0 Ú c=2일 때

lim

x`Úc f(x-b)-a x-c =lim_x`

Ú2 (x-2)(x-3)(x-4)

x-2 =2

Û c=3일 때 lim

x`Úc f(x-b)-a x-c =lim

x`Ú3 (x-2)(x-3)(x-4)

x-3 =-1

Ü c=4일 때 lim

x`Úc f(x-b)-a x-c =lim

x`Ú4 (x-2)(x-3)(x-4)

x-4 =2

Ú, Û, Ü에서 c=2 또는 c=4이므로 모든 c의 값의 합은 2+4=6 (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

54

그림과 같이 직선 x+y=2 위의 점 P(t, 2-t)에서 원 xÛ`+yÛ`=2에 그은 두 접선이 두 원과 만나는 점을 각각 A, B라 하 자. 선분 AB의 중점을 M이라 할 때, lim

t`Ú1+ AÕMÓ_OPÓt-1 의 값은?

(단, t>1이고, 점 A의 y좌표는 점 B의 y좌표보다 크다.)

y

O x xÛ`+yÛ`=2 A

B P '2

-'2 -'2

'2

x+y=2

① 2 ② 4 ③ 6

④ 8 ⑤ 10

정답 과 풀이

올 림 포 스 고 난 도 수학 Ⅱ