정답 과 풀이

수능 기출의 미래

수학영역 ^{수학 Ⅰ}

정답 ^과 풀이

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

Ⅱ. ^삼각함수

Ⅲ. 수열

해_001~027 수Ⅰ-1단원-ok.indd 1 2020-12-16 오후 7:37:12

정답 ^과 풀이

2^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

01

3â`_8<sup>;3@;</sup>=1_(2Ü`)^;3@;=2Û`=4

 ④

02

Ü ''9_3^;3!;=(3Û`)^;3!;_3^;3!;=3^;3@;+;3!;=3

 ③

03

Ü ''2_2^;3@;=2^;3!;_2^;3@;

=2^;3!;+;3@;

=2Ú`

=2

 ②

04

2_27^;3!;‌‌=2_(3Ü`)^{;3!;‌ ‌}

=2_3

=6

 ①

05

8^;3!;+27^;3@;=(2Ü`)<sup>;3!;</sup>+(3Ü`)^;3@;

=2+3Û`

=11

 ④

06

3Ü`Ö81<sup>;2!;</sup>=3Ü`Ö(3Ý`)^;2!;

=3Ü`Ö3^4_;2!;

=3Ü`Ö3Û`

=3Ü`ÑÛ`

=3

 ③

07

Ü '8_4^;2#;=8^;3!;_4^;2#;

=(2Ü`)<sup>;3!;</sup>_(2Û`)^;2#;

=2_2Ü`

=2Ý`

=16

 ⑤

08

5â`_25<sup>;2!;</sup> =1_(5Û`)^;2!;

=5

 ⑤

수능 유형별 기출 문제

01 ④ 02 ③ 03 ② 04 ① 05 ④ 06 ③ 07 ⑤ 08 ⑤ 09 ⑤ 10 ③ 11 ④ 12 ④ 13 ③ 14 ① 15 ④ 16 ② 17 ① 18 ③ 19 ② 20 ③ 21 ④ 22 ② 23 ② 24 ⑤ 25 ③ 26 ① 27 33 28 ③ 29 ② 30 ⑤ 31 ① 32 ⑤ 33 ④ 34 ③ 35 ⑤ 36 17 37 ② 38 ③ 39 ② 40 ② 41 ② 42 ① 43 ① 44 ① 45 ① 46 2 47 2 48 ③ 49 ③ 50 ② 51 ④ 52 6 53 3 54 ① 55 ② 56 ① 57 5 58 ② 59 22 60 ① 61 128 62 ③ 63 48 64 ④ 65 16 66 ⑤ 67 ① 68 ② 69 ② 70 4 71 ① 72 ② 73 ⑤ 74 ④ 75 ② 76 ② 77 ⑤ 78 ③ 79 21 80 ④ 81 ① 82 ② 83 ⑤ 84 8 85 ③ 86 ④ 87 25 88 ③ 89 6 90 ④ 91 ① 92 ③ 93 ④ 94 ⑤ 95 ③ 96 54 97 ⑤ 98 ③ 99 ⑤ 100 ⑤ 101 ② 102 1 103 ② 104 ④ 105 4 106 12 107 ④ 108 40 109 ④ 110 ⑤ 111 ② 112 ② 113 ⑤ 114 ③ 115 ④ 116 6 117 ④ 118 ⑤ 119 ③ 120 3 121 ② 122 ① 123 15 124 ④ 125 12 126 ④ 127 15 128 ④ 129 ② 130 ② 본문 8~34 쪽

지수함수와 로그함수

Ⅰ

지수의 정의와 지수법칙 유형 1

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정답 ^과 풀이

정답과 풀이 ●3

지수함수와로그함수

09 Ⅰ

8^;3!;+9^;2!;=(2Ü`)<sup>;3!;</sup>+(3Û`)^;2!;

=2+3

=5

 ⑤

10

3_27^;3!;=3_(3Ü`)^;3!;

=3_3^3_;3!;

=3_3

=9

 ③

11

8^;3$;_2ÑÛ`=(2Ü`)^;3$;_2ÑÛ`

=2Ý`_2ÑÛ`

=2^4-2=2Û`

=4

 ④

12

6_8^;3!;=6_(2Ü`)^;3!;

=6_2^3_;3!;

=6_2

=12

 ④

13

2â`_9<sup>;2!;</sup>=1_(3Û`)^;2!;

=3

 ③

14

27^;3!;=(3Ü`)^;3!;

=3^3_;3!;

=3

 ①

15

2Û`_8<sup>;3!;</sup>=2Û`_(2Ü`)^;3!;

=2Û`_2=2²⁺¹

=2Ü`

=8

 ④

16

16_2ÑÜ` =2Ý`_2ÑÜ`

=2Ý`ÑÜ`

=2

 ②

17

3ÑÚ`_9=3ÑÚ`_3Û`

=3ÑÚ`±Û`

=3

 ①

다른 풀이 aÑÇ`= 1aÇ` ⁽n은 양의 정수)을 이용한 풀이 3ÑÚ`_9=;3!;_3Û`

=3

18

(ab)ß`=('2_Ü '3)ß`

=(2^;2!;_3^;3!;)ß`

=2Ü`_3Û`

=8_9

=72

 ③

19

2_16^{;4!;‌‌‌}=2_(2Ý`)^{;4!;‌‌‌}

=2_2^4_;4!;

=2_2

=4

 ②

해_001~027 수Ⅰ-1단원-ok.indd 3 2020-12-16 오후 7:37:13

4^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

26

'4_Ü '8 ="½2Û`_Ü "½2Ü`

=2_2

=4

 ①

27

자연수 n에 대하여 Ü "½4Ç`=4^;3N;=2^;;ª3÷;이 정수가 되기 위해서는 ;;ª3÷;;이 자연수이어야 한다.

즉, n은 3의 배수이다.

n은 100 이하의 자연수이고, 100 이하의 자연수 중에서 3의 배수 의 개수는 33이다.

따라서 구하는 n의 개수는 33이다.

 33

28

(

)

a^;3!;의 값이 자연수가 되기 위해서는 자연수 a를 어떤 자연수의 세 제곱 꼴로 나타낼 수 있어야 한다.

1Ü`=1, 2Ü`=8, 3Ü`=27, y이고 a는 10 이하의 자연수이므로 a^;3!;의 값이 자연수가 되는 a의 값은 1, 8이다.

따라서 모든 a의 값의 합은 1+8=9

 ③

29

Ú m>0인 경우

n의 값에 관계없이 m의 n제곱근 중에서 실수인 것이 존재한 다. 그러므로 m>0인 순서쌍 (m, n)의 개수는 Á¼Cª=45 이 다.

Û m<0인 경우

n이 홀수이면 m의 n제곱근 중에서 실수인 것이 항상 존재한 다. 한편, n이 짝수이면 실수인 m의 n제곱근은 존재하지 않는 다. 그러므로 m<0인 순서쌍 (m, n)의 개수는

2+4+6+8=20 이다.

Ú, Û에 의하여 m의 n제곱근 중에서 실수인 것이 존재하도록 하 는 순서쌍 (m, n)의 개수는 45 + 20 이다.

따라서 (가), (나)에 알맞은 수는 각각 45, 20이고 p+q=65

 ②

20

3^;3@;_3^;3!;=3^;3@;+;3!;

=3

 ③

21

(4^;4#;)^;3@;=4^;4#;_;3@;

=4^;2!;

=(2Û`)^;2!;

=2

 ④

22

2ÑÚ`_16<sup>;2!;</sup>=2ÑÚ`_(2Ý`)^;2!;

=2ÑÚ`_2^4_;2!;

=2ÑÚ`_2Û`

=2^-1+2

=2

 ②

23

8_2ÑÛ` =2Ü`_2ÑÛ`

=2^3+(-2)

=2Ú`

=2

 ②

다른 풀이 aÑÇ`= 1aÇ` ⁽n은 양의 정수)을 이용한 풀이 8_2ÑÛ`=2Ü`_ 1

2Û`

=2

24

2^;2%;_2^-;2!;=2^;2%;-;2!;

=2Û`

=4

 ⑤

25

4^;2!;+3â` =(2Û`)^;2!;+3â`

=2+1

=3

 ③

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정답과 풀이 ●5

지수함수와로그함수

30 Ⅰ

Ü '¶2m=(2m)^;3!;이 자연수이므로 m=2Û`_kÜ` (k는 자연수) 꼴이다.

135 이하의 자연수 중 m이 될 수 있는 값은 2Û`_1Ü`, 2Û`_2Ü`, 2Û`_3Ü`이다.

또, "nÜ` =n<sup>;2#;</sup>이 자연수이므로 n=lÛ` (l은 자연수)

꼴이다.

9 이하의 자연수 중 n이 될 수 있는 값은 1Û`, 2Û`, 3Û`이다.

따라서 m+n의 최댓값은 2Û`_3Ü`+3Û`=108+9=117

 ⑤

31

-nÛ`+9n-18=-(n-3)(n-6)

이므로 -nÛ`+9n-18의 n제곱근 중에서 음의 실수가 존재하기 위해서는

Ú -nÛ`+9n-18<0일 때,

즉, 2Én<3 또는 6<nÉ11이고 n이 홀수이어야 하므로 n은 7, 9, 11이다.

Û -nÛ`+9n-18>0일 때,

즉, 3<n<6이고 n이 짝수이어야 하므로 n은 4이다.

Ú, Û에 의하여 조건을 만족시키는 모든 n의 값의 합은 4+7+9+11=31

 ①

32

점 Pª의 y좌표는

정사각형 OQÁAB의 한 변의 길이가 a이므로 b=Ü 'a

점 P£의 y좌표는

정사각형 OQªCD의 한 변의 길이가 b이므로 c='b="Ü 'a=ß 'a

O Q£(ß`1va`, 0)

P£

Pª

PÁ(a, f(a))

Qª(Ü`1va`, 0) QÁ(a, 0) D(0, Ü`1va) C(Ü`1va, Ü`1va)

B(0, a) A(a, a)

x y y=xÜ y=xÛ

bc=Ü 'a`ß 'a

=a^;3!;a^;6!;

=a^;3!;±^;6!;

=a^;2!;=2 에서 a=2Û`=4

따라서 점 PÁ의 y좌표의 값은 f(a)=4Û`=16

 ⑤

33

x에 대한 이차방정식 xÛ`-Ü '¶81x+a=0의 두 근이 Ü ''3 과 b이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

Ü ''3+b=Ü '¶81, Ü ''3 b=a 그러므로

b =Ü '¶81-Ü ''3

=Ü "3Ý`-Ü ''3

=3 Ü '3-Ü ''3

=2 Ü '3 a =Ü ''3 b

=Ü ''3_2 Ü ''3

=2 Ü "3Û`

따라서

ab =2 Ü "3Û`_2 Ü ''3

=4 Ü "3Ü`

=4_3

=12

 ④

34

자연수 n의 값과 상관없이 n(n-4)의 세제곱근 중 실수인 것의 개수는 1이므로

f(n)=1

n(n-4)의 네제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú n(n-4)>0일 때, g(n)=2

Û n(n-4)=0일 때, g(n)=1 Ü n(n-4)<0일 때, g(n)=0

f(n)>g(n)에서 g(n)=0이어야 하므로 n(n-4)<0

즉, 0<n<4이므로 자연수 n의 값은 1, 2, 3이다.

따라서 모든 n의 값의 합은 1+2+3=6

 ③

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6^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

35

ㄱ. A¢는 2Œ`=;b$;에서

4=2Œ`_b인 자연수의 순서쌍 (a, b)를 원소로 갖는 집합이므로 4=2Ú`_2, 4=2Û`_1에서

A¢={(1, 2), (2, 1)} (참) ㄴ. m=2û`일 때, Aµ=Aª<sup>û</sup> Aµ은 2Œ`= 2û`b 에서

2û`=2Œ`_b인 자연수의 순서쌍 (a, b)를 원소로 갖는 집합이므로 Aµ={(1, 2û` ÑÚ`), (2, 2û` ÑÛ`), (3, 2û` ÑÜ`), y, (k, 2â`)}

이다.

따라서 n(Aµ)=k (참) ㄷ. Aµ은 2Œ`= mb 에서

m=2Œ`_b인 자연수의 순서쌍 (a, b)를 원소로 갖는 집합이다.

b가 짝수, 즉 b=2b'(b'은 자연수)라 하면 m =2Œ`_b

=2Œ`_2b'

=2^a+1b'

이므로 (a+1, b')도 원소가 되어 n(Aµ)¾2가 되므로 n(Aµ)=1이 되기 위해서는 b는 홀수이어야 한다.

b= m

2¹`이 자연수가 되도록 하는 자연수 p가 오직 하나만 존재 하므로 p=1이어야 한다. (p¾2이면 n(Aµ)+1이므로) 따라서 m=2Ú`_(홀수)이어야 한다.

두 자리 자연수 중에서 2Ú `_(홀수)인 자연수는 2_5, 2_7, 2_9, y, 2_49

이다.

따라서 n(Aµ)=1이 되도록 하는 두 자리 자연수 m의 개수는 5, 7, 9, y, 49의 23이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

36

2ь`+2Ѻ`= 12Œ`+ 1

2º`= 2Œ`+2º`

2Œ`±º` =;4(; yy ㉠ 그런데 2Œ`+2º`=2이므로 이 값을 ㉠에 대입하면

2 2Œ`±º`=;4(;

2Œ`±º`=2_;9$;=;9*;

따라서 p=9, q=8이므로 p+q=17

 17

37

log3 54+log9 ;3Á6;=log3 54+log3 ;6!;

=log3 9

=2

 ②

38

logª`24-logª`3=logª`:ª3¢:=logª`8

=logª`2Ü`=3`logª`2

=3

 ③

39

log₂`'8=log2`(2Ü`)^;2!;

=log2`2^;2#;

=;2#;`log2`2

=;2#;

 ②

40

logª 5+logª ;5$;=logª {5_;5$;}

=logª 4

=logª 2Û`

=2 logª 2

=2

 ②

41

log¤`4+log¤`9‌‌=log¤`(4_9)‌ ‌

=log¤`36‌ ‌

=log¤`6Û`‌ ‌

=2`log¤`6‌ ‌

=2

 ②

42

logÁ° 3+logÁ° 5 =logÁ° (3_5)

=logÁ° 15

=1

 ①

로그의 정의와 성질 유형 2

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정답과 풀이 ●7

지수함수와로그함수

43 Ⅰ

a>1, b>1, c>1이므로 logŒ`b>0, logº`c>0, log`a>0 양수 t에 대하여

logŒ`b=logº`c

2 =log`a 4 =t 로 놓으면

logŒ`b=t, logº`c=2t, log`a=4t 이때 logŒ`b_logº`c_log`a=1이므로 t_2t_4t=1에서 t=;2!;

따라서

logŒ`b+logº`c+log`a=t+2t+4t

=7t

=7_;2!;

=;2&;

 ①

44

log¤`2+log¤`3‌‌=log¤`(2_3)‌ ‌

=log¤`6‌ ‌

=1

 ①

45

log£ 6-log£ 2=log£ ;2^;

=log£ 3

=1

 ①

46

log£ 72-log£ 8=log£ 9

=2

 2

47

log°`40+log°`;8%;

=log°`{40_;8%;}

=log°`25

=log°`5Û

=2 log°`5

=2

 2

48

두 점 (2, log¢`a), (3, logª`b)를 지나는 직선이 원점을 지나므로 원점과 각각 두 점을 잇는 직선의 기울기는 서로 같아야 한다.

즉, log¢`a

2 =logª`b

3 에서 ;4!;`logª`a=;3!;`logª`b 이므로

logª`a=;3$;`logª`b 따라서

logŒ`b=logª`b

logª`a = logª`b

;3$;`logª`b=;4#;

 ③

49

logª`;4A;=b에서 ;4A;=2º`

즉, a=4_2º`

따라서 <sup>2º`</sup><sub>a</sub>=<sub>4_2º`</sub>^2º` =;4!;

 ③

50

logª`5= 1log°`2‌이므로 log°`2=;a!;

log°`12 =log°`(2Û`_3)

=log°`2Û`+log°`3

=2 log°`2+log°`3

=2_;a!;+b

=;a@;+b

 ②

51

7`log`a=2`log`b에서

;2&;=log`b

log`a =logŒ`b

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8^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

56

2 이상의 자연수 n에 대하여 5 logÇ`2의 값이 자연수가 되려면 logÇ`2=1 또는 logÇ`2=;5!;

이어야 한다.

logÇ`2=1에서 n=2

logÇ`2=;5!;에서 n<sup>;5!;</sup>=2, n=2Þ`=32 따라서 모든 n의 값의 합은

2+32=34

 ①

57

logª`(2Û`_2Ü`) =logª`2Û`±Ü`   

=logª`2Þ`

=5`logª`2

=5`

 5

58

log¢`2=;2!;이므로

원점과 점 {2, ;2!;}을 지나는 직선의 기울기는 ;4!;이다.

이때 원점과 점 (4, logª`a)를 지나는 직선의 기울기도 ;4!;이므로 logª`a

4 =;4!;에서 logª`a=1 따라서 a=2

 ②

59

logŒ`3 =1 log£`a =log£`9Ú`Ú`

=log£`(3Û`)Ú`Ú`

=log£`3Û`Û`

=22

 22 따라서

;2¥1;`logŒ`b=;2¥1;_;2&;

=;3$;

 ④

52

a^;2!;=8이므로

a=(a^;2!;)Û`=8Û`=(2Ü`)Û`=2ß`

따라서

logª`a =logª`2ß`

=6`logª`2

=6

 6

53

log£`;2(;+log£`6=log£ {;2(;_6}

=log£`27

=log£`3Ü`

=3 log£`3

=3

 3

54

두 점 (1, logª`5), (2, logª`10)을 지나는 직선의 기울기는 logª`10-logª`5

2-1 따라서

logª`10-logª`5

2-1 =logª`;;Á5¼;;

1

=logª`2=1

 ①

55

2 log`12 =log`12Û`=log`144

=log`(1.44_100)

=log`1.44+log`100

=log`1.44+log`10Û`

=log`1.44+2 log`10

=a+2

 ②

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정답과 풀이 ●9

지수함수와로그함수

60 Ⅰ

10^0.94=k에서 log`k=0.94

log`kÛ`+log`;1ð0;=2 log`k+log`k-log<sup>`</sup>10

=3 log`k-1

=3_0.94-1

=2.82-1

=1.82

 ①

61

로그의 정의에 의하여 a=4^;2&;

=(2Û`)^;2&;

=2à`

=128

 128

62

log_'3`a=2`log£`a=log£`aÛ`

log»`ab=;2!;`log£`ab=log£`(ab)^;2!;=log£`'¶ab log£`aÛ`=log£`'¶ab에서

aÛ`='¶ab 양변을 제곱하면 aÝ`=ab

a(aÜ`-b)=0에서 a+0이므로 b=aÜ`

따라서

logŒ`b=logŒ aÜ`

=3 logŒ`a

=3

 ③

63

{;4!;}ÑÛ`_logª`8 =16_logª`2Ü`

=16_3 logª`2

=16_3

=48

 48

64

ab=log£`5, b-a=logª`5 이므로

;a!;-;b!;= b-aab = logª`5 log£`5 따라서

;a!;-;b!; = log`5 log`2 log`5 log`3

=log`3 log`2

=logª`3

 ④

65

logŒ`b

2a =;4#;이므로 logŒ`b= 3a2

18`logº`a

b =;4#;이므로 logº`a= b24

logŒ`b_logº`a= 3a2 _ b 24 =1 ab16 =1

따라서 ab=16

 16

66

a ¹`=-p, a^2q=-q이므로

a ¹`_a^2q=(-p)_(-q), a^p+2q=pq 따라서 로그의 정의에 의해

p+2q=logŒ`pq=-8

 ⑤

67

log`;1¢5;=log`;3¥0;

=log`8-log`30

=log`2Ü`-log`(3_10)

=3`log`2-log`3-1

=3a-b-1

 ①

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10^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

68

log¢`18 +1 2

log»`18 =logÁ¥`4+2`logÁ¥`9 =logÁ¥`2Û`+2`logÁ¥`3Û`‌ ‌

=logÁ¥`2Û`+logÁ¥`(3Û`)Û`‌ ‌

=logÁ¥`2Û`+logÁ¥`3Ý`‌ ‌

=logÁ¥`(2Û`_3Ý`)‌‌

=logÁ¥`(2_3Û`)Û`‌‌

=logÁ¥`18Û`‌ ‌

=2`logÁ¥`18   

=2

 ②

69

log`'Ä419=;2!;`log`419

=;2!;`log`(4.19_100)

=;2!; (log`4.19+log`100)

=;2!; (log`4.19+2) 이고

상용로그표에서 log`4.19=0.6222 이므로

log`'Ä419=;2!;(0.6222+2)

=1.3111

 ②

70

logŒ`b=3에서 b=aÜ`

따라서

log`;aB;_logŒ`100=log` aÜ`a _log`100 log`a

=log`aÛ`_ 2log`a

=2`log`a_ 2log`a

=4

 4

71

삼각형 ABC에서

∠A=90ù이므로 S(x)=;2!;_ABÓ_ACÓ

=;2!;_2 logª`x_log¢` 16x

=logª`x_{2-;2!;`logª`x}

=-;2!; (logª`x)Û`+2 logª`x

=-;2!; (logª`x-2)Û`+2 S(x)는 logª`x=2, 즉 x=4일 때 최댓값 2를 가진다.

따라서 a=4, M=2이므로 a+M=4+2=6

 ①

72

열차 B가 지점 P를 통과할 때의 속력을 v라 하면 열차 A가 지점 P를 통과할 때의 속력은 0.9v이고 d=75이므로

L=80+28 log 0.9v

100 -14 log ;2&5%;  yy`㉠

Lõ=80+28 log v

100 -14 log ;2&5%;  yy`㉡

㉠, ㉡에서

Lõ-L=28{log v

100 -log 0.9v100 }

=28`log 100v 0.9v100

=28 log ;;Á9¼;;

=28(log`10-log`9)

=28(1-log`3Û`)

=28(1-2 log 3)

=28-56 log 3

 ②

지수, 로그를 활용한 실생활 문제 유형 3

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정답과 풀이 ●11

지수함수와로그함수

Ⅰ

73

0<a<1이므로 함수  f(x)=aÅ` 은 실수 전체의 집합에서 감소한다.

그러므로 함수  f(x)는 닫힌구간 [-2, 1]에서 x=1일 때 최소 이고, 최솟값이 ;6%;이므로

a=;6%;

 f(x)={;6%;}Å`이고 함수 f(x)는 주어진 구간에서 x=-2일 때 최대이므로 최댓값은

M=f(-2)

={;6%;}ÑÛ`={;5^;}Û`

따라서 a_M=;6%;_{;5^;}Û`=;5^;

 ⑤

74

f(x)=-2Ý`ÑÜ`Å` +k=-{;8!;}^x-;3$;+k

이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 함수 y={;8!;}Å`의 그래프를 x축 에 대하여 대칭이동한 후 x축의 방향으로 ;3$;만큼, y축의 방향으로 k만큼 평행이동시킨 것이다.

한편, 함수 y=f(x)의 그래프가 제 2 사분면을 지나지 않아야 하므 로 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.

O x

y

y=f(x)

y=k

이때 f(0)É0이어야 하므로 -2Ý`+kÉ0

즉, kÉ16

따라서 자연수 k의 최댓값은 16이다.

` ④

75

함수 y=1+{;3!;}^x-1의 그래프는 함수 y={;3!;}^x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

그러므로 닫힌구간 [1, 3]에서 함수  f(x)는 x=1에서 최댓값을 갖는다.

지수함수의 뜻과 그래프

유형 4

 f(1)=1+{;3!;}⁰=2

 ②

76

함수 f(x)={;a#;}Å` 에서 Ú ;a#;>1, 즉 0<a<3일 때,

함수 f(x)는 증가함수이므로 x=2에서 최댓값 4를 갖는다.

f(2)={;a#;}Û`=4에서   aÛ`=;4(;

  a=;2#; 또는 a=-;2#;

그런데 0<a<3이므로 a=;2#;

Û ;a#;=1, 즉 a=3일 때,

 f(x)=1이므로 함수  f(x)의 최댓값이 4가 아니다.

Ü 0<;a#;<1, 즉 a>3일 때,

함수  f(x)는 감소함수이므로 x=-1에서 최댓값 4를 갖는다.

 f(-1)={;a#;}ÑÚ`=;3A;=4 에서 a=12

Ú, Û, Ü에서 모든 양수 a의 값의 곱은

;2#;_12=18

 ②

77

f(0)=2â`+1=2, g(0)=-2ÑÚ`+7=:Á2£:‌이므로 두 점 A,‌B의 좌표는 각각 A(0, 2), B‌{0, :Á2£:}이다.

즉, ABÓ=:Á2£:-2=;2(;

두 식 y=2Å`+1, y=-2Å` ÑÚÚ`+7을 연립하여 풀면 2Å`+1=-2Å` ÑÚ`+7

;2#;_2Å`=6 2Å`=4, x=2

 f(2)=2Û`+1=5이므로 점 C의 좌표는 (2, 5)이다.

따라서 삼각형 ACB의 넓이는

;2!;_2_;2(;=;2(;

` ⑤

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12^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

78

닫힌구간 [-1, 3]에서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다.



0







 Y

Z

ZG Y

즉, 함수 f(x)는 x=3일 때 최댓값 8을 갖고, x=0일 때 최솟값 1을 갖는다.

따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 8+1=9

 ③

79

함수 f(x)={;3!;}^2x-a은 감소함수이므로 닫힌구간 [2, 3]에서 x=2일 때 최댓값을 갖는다.

f(2)={;3!;}^4-a=27 3^a-4=3Ü`

a=7

따라서 f(x)={;3!;}^2x-7이므로 함수 f(x)는 닫힌구간 [2, 3]에서 x=3일 때 최솟값을 갖는다. 즉,

m=f(3)

={;3!;}^6-7

=3

따라서 a_m=7_3=21

` 21

80

곡선 y=aÅ`을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 곡선은 y=logŒ`x

이 곡선이 점 (2, 3)을 지나므로 x=2, y=3을 대입하면 3=logŒ`2

aÜ`=2 따라서 a=Ü '2

 ④

다른 풀이 역함수 관계를 이용한 풀이

직선 y=x에 대하여 대칭이동한 곡선은 함수 y=aÅ` 의 역함수의 그래프이므로 지수함수 y=aÅ` 의 그래프는 점 (3, 2)를 지난다.

따라서 x=3, y=2를 함수의 식에 대입하면 2=aÜ`에서

a=Ü '2

81

점 A의 좌표는 (t, 3^2-t+8), 점 B의 좌표는 (t, 0), 점 C의 좌표는 (t+1, 0), 점 D의 좌표는 (t+1, 3^t) 사각형 ABCD가 직사각형이므로

점 A의 y좌표와 점 D의 y좌표가 같아야 한다.

즉, 3^2-t+8=3^t

(3^t)Û`-8_3^t-9=0, (3^t+1)(3^t-9)=0 그런데 3^t>0이므로 3^t=9에서 t=2

그러므로 직사각형 ABCD의 가로의 길이는 1이고 세로의 길이는 3Û`=9

따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 9

 ①

82

곡선 y=|9Å`-3|과 x축의 교점의 x좌표는

|9Å`-3|=0에서 9Å`=3Û`Å`=3이므로 2x=1, x=;2!;

이때 두 곡선 y=|9Å`-3|, y=2Å` ±û`이 만나는 서로 다른 두 점의 x좌표 xÁ, xª가 xÁ<0, 0<xª<2를 만족시키는 경우는 그림과 같 다.

x xÁ O xª2

2

y y=|9Å -3|

y=2Å ±û

;2!;

x=0일 때

2â`±û`=2û`>2 yy`㉠

x=2일 때

2Û`±û`=4_2û`<|9Û`-3|=78 2û`<19.5 yy`㉡

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정답과 풀이 ●13

지수함수와로그함수

㉠, ㉡에서

Ⅰ

2<2û`<19.5

이므로 이를 만족시키는 자연수 k의 값은 2, 3, 4이다.

따라서 그 합은 2+3+4=9

 ②

오답 피하기 곡선 y=2Å` ±û`에서 미지수 k가 정해져 있지 않으므로 주 어진 부등식 조건을 만족시키는 xÁ, xª일 때의 함숫값을 따져 볼 수 있어야 한다.

83

f(x)=2Å`, g(x)=-2xÛ`+2로 놓으면

두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.

0 Zm

Ym Y

Z

Y„

Z„

ZG Y

ZH Y

ㄱ. f {;2!;}='2, g {;2!;}=;2#;이므로 f {;2!;}<g {;2!;}

0 Zm

Ym Y

Z

Y„

Z„

ZG Y

ZH Y







즉, xª>;2!;이다. (참)

ㄴ. 두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선의 기울기는 yª-yÁ

xª-xÁ

이고, 두 점 (0, 1), (1, 2)를 지나는 직선의 기울기는 1

0 Zm

Ym Y

Z

Y„

Z„ ZH Y ZG Y

두 점 (xÁ, yÁ), (xª, yª)를 지나는 직선의 기울기가 1보다 작 으므로

yª-yÁ

xª-xÁ <1에서 yª-yÁ<xª-xÁ (참) ㄷ. f(-1)=;2!;이므로 yÁ>;2!;

f {;2!;}='2 이므로 yª>'2

즉, yÁ yª>;2!;_'2 = '22 yy ㉠

또, 그림과 같이 이차함수 y=g(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 -xÁ>xª이다.

0



Zm

Ym Y

Z

Y„ Y„

Z„ ZH Y ZG Y







즉, xÁ+xª<0

이때 yÁ=2^xÁ, yª=2^xª이므로 yÁ yª =2^xÁ_2^xª

=2^xÁ+xª<2â`=1 yy ㉡

㉠, ㉡에서 '22 <yÁ yª<1 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

84

곡선 y=2Å` 을 y축에 대하여 대칭이동한 곡선은 y=2ÑÅ` 이고, 곡선 y=2ÑÅ` 은 직선 y=x+1과 점 B(0, 1)에서 만난다.

곡선 y=2ÑÅ` 을 x축의 방향으로 ;4!;만큼, y축의 방향으로 ;4!;만큼 평행이동한 곡선 y= f(x)의 식은 y=2^-x+;4!;+;4!;이다.

직선 y=x+1은 x축의 방향으로 ;4!;만큼, y축의 방향으로 ;4!;만큼

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14^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

평행이동하여도 직선 y=x+1이 된다.

그러므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=x+1이 만나는 점 A는 곡선 y=2ÑÅ` 과 직선 y=x+1이 만나는 점인 B(0, 1)이 x축의 방향으 로 ;4!;만큼, y축의 방향으로 ;4!;만큼 평행이동한 점 A{;4!;, ;4%;}이다.

따라서 k=¾Ð{;4!;}Û`+{;4%;-1}Û``= '24 이므로 1

kÛ`=8

 8

다른 풀이 곡선과 직선의 교점을 이용한 풀이

곡선 y=2Å` 을 y축에 대하여 대칭이동한 후, x축의 방향으로 ;4!;만 큼, y축의 방향으로 ;4!;만큼 평행이동한 곡선은 y= f(x)이므로 f(x)=2^-x+;4!;+;4!;이다.

그러므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=x+1이 만나는 점의 x좌표는 x+1=2^-x+;4!;+;4!;

2^-x+;4!;=x+;4#;에서 x=;4!;

즉, 점 A의 좌표는 {;4!;, ;4%;}이다.

따라서

k=®É{;4!;}Û`+{;4%;-1}Û`= '24 이므로

1 kÛ`=8

85

곡선 y=2Å` +5는 곡선 y=2Å` 을 y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이다.

이때 곡선 y=2Å` 의 점근선은 y=0이므로 곡선 y=2Å` +5의 점근 선은 y=5이다.

O x

y

5

y=2Å +5 y=log£ x+3

그러므로 직선 y=5와 곡선 y=log£`x+3의 교점의 x좌표는 log£`x+3=5에서

log£`x=2 따라서 x=3Û`=9

 ③

86

함수 f(x)=2 log_;2!;`(x+k)의 밑은 1보다 작으므로 함수 f(x)는 x=0에서 최댓값 -4, x=12에서 최솟값 m을 갖는다.

f(0)=2 log;2!;`k=-2 logª`k=-4 logª`k=2

따라서 k=2Û`=4

m=f(12)=2 log;2!;`(12+4)

=2 log;2!;`16=-2 logª`2Ý`

=-2_4=-8 그러므로

k+m=4+(-8)=-4

 ④

87

곡선 y=logª`(x+5)는 곡선 y=logª`x를 x축의 방향으로 -5만 큼 평행이동한 것이다.

이때 곡선 y=logª`x의 점근선은 직선 x=0이므로 곡선 y=logª`(x+5)의 점근선은 직선 x=-5이다.

따라서 k=-5이므로 kÛ`=25

 25

로그함수의 뜻과 그래프 유형 5

해_001~027 수Ⅰ-1단원-ok.indd 14 2020-12-16 오후 7:37:18

정답과 풀이 ●15

지수함수와로그함수

88 Ⅰ

함수 y=2Å` +2의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동한 그 래프를 나타내는 함수의 식은

y=2^x-m+2  yy`㉠

함수 y=logª`8x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

y=logª`8(x-2)  yy`㉡

㉡을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

x=logª`8(y-2)=3+logª`(y-2) x-3=logª`(y-2)

2^x-3=y-2

즉, y=2^x-3+2  yy`㉢

따라서 ㉠과 ㉢이 일치해야 하므로 m=3

` ③

89

A(1, 0), B(k, logª`k), C(k, log;2!;`k)이므로 삼각형 ACB의 무 게중심의 좌표는 { 2k+13 , 0}

2k+13 =3에서 k=4

따라서 B(4, 2), C(4, -2)이므로 삼각형 ACB의 넓이는

;2!;_4_3=6

 6

90

함수 y=log£`x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으 로 2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

y=log£‌(x-a)+2 yy`㉠

이므로

f(x)=log£‌(x-a)+2

함수 f(x)의 역함수를 구하기 위해 ㉠을 x에 대하여 정리하면 log£‌(x-a)=y-2

x-a=3´`ÑÛ`, x=3´`ÑÛ`+a x와 y를 서로 바꾸면 y=3Å`ÑÛ`+a

따라서

‌f‌ÑÚ`(x) =3Å`ÑÛ`+a=3Å`‌ÑÛ`+4 이므로

a=4

 ④

91

두 곡선 y=logŒ`x, y=logº`x와 직선 y=1이 만나는 두 점의 x좌표를 각각 구하면

logŒ`x=1에서 x=a logº`x=1에서 x=b

두 점 AÁ, BÁ의 좌표는 각각 (a, 1), (b, 1)이다.

두 곡선 y=logŒ`x, y=logº`x와 직선 y=2가 만나는 두 점의 x좌표를 각각 구하면

logŒ`x=2에서 x=aÛ`

logº`x=2에서 x=bÛ`

두 점 Aª, Bª의 좌표는 각각 (aÛ`, 2), (bÛ`, 2)이다.

AÁBÁÓ=b-a=1 yy ㉠

선분 AÁBÁ의 중점의 좌표가 (2, 1)이므로 a+b2 =2

즉, a+b=4 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 AªBªÓ‌=bÛ`-aÛ`

=(b-a)(b+a)

=1_4=4

 ①

92

두 함수 y=logª`x, y=logª`(x-2)의 그래프와 x축이 만나는 점 이 각각 A, B이므로 두 점 A, B의 좌표를 구하면

A(1, 0), B(3, 0)

두 함수 y=logª`x, y=logª`(x-2)의 그래프와 직선 x=k가 만 나는 점이 각각 P, Q이므로 두 점 P, Q의 좌표를 구하면 P(k, logª`k), Q(k, logª`(k-2))

이때 R(k, 0)이고 점 Q가 선분 PR의 중점이므로 logª`k

2 =logª`(k-2) logª`k=2 logª`(k-2) logª`k=logª`(k-2)Û`

k=(k-2)Û`, kÛ`-5k+4=0 (k-1)(k-4)=0

그런데 k>3이므로 k=4

따라서 구하는 사각형 ABQP의 넓이는 삼각형 ARP의 넓이에서 삼각형 BRQ의 넓이를 뺀 것과 같으므로

;2!;_(4-1)_logª`4-;2!;_(4-3)_logª`2=3-;2!;=;2%;

` ③

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16^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

93

두 곡선 y=log'2`(x-a)와 y=('2 )^x+a는 직선 y=x에 대하여 대칭이고, 직선 AB는 직선 y=x에 수직이므로 두 점 A, B는 직 선 y=x에 대하여 대칭이다.

점 A의 좌표를 A(2t, t)`(t>0)이라 하면 점 B의 좌표는 B(t, 2t)이므로 ABÓ='2t이다.

선분 AB의 중점을 M이라 하면 M{;2#; t, ;2#; t}이므로 OMÓ= 3'22 t

삼각형 OAB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 삼각형 OAB의 넓이는

6=;2!;_ABÓ_OMÓ

=;2!;_'2t_ 3'22 t

=;2#; tÛ`

tÛ`=4, t=2 즉, A(4, 2)이다.

점 A(4, 2)가 곡선 y=log'2`(x-a) 위의 점이므로 2=log<sub>'2</sub>`(4-a), ('2 )Û`=4-a

따라서 a=2

 ④

94

0 Y

Z

"

# ZMPHf Y

ZMPHf]Y]

$ x<0일 때의 교점 A의 x좌표는 방정식 log£`(-2x)=log£`(x+3)의 근이므로 -2x=x+3, 3x=-3, x=-1 따라서 점 A의 좌표는 A(-1, log£`2) x>0일 때의 교점 B의 x좌표는 방정식 log£`2x=log£`(x+3)의 근이므로 2x=x+3, x=3

따라서 점 B의 좌표는 B(3, log£`6)이다.

두 점 A(-1, log£`2), B(3, log£`6)에 대하여 직선 AB의 기울기는

log£`6-log£`2

3-(-1) =log£`;2^;

4 =;4!;이므로

점 A를 지나고 직선 AB와 수직인 직선의 방정식은 y-log£`2=-4(x+1)

y=-4x-4+log£`2 yy ㉠ 직선 ㉠이 y축과 만나는 점 C의 좌표는 C(0, -4+log£`2)이다. 이때 ABÓ="Ã4Û`+(Ãlog£`6-log£`2)Û` ='1§7 ACÓ="Ã(-1)Û`+4Û` ='1§7

직각삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S=;2!;_ABÓ_ACÓ=;2!;_'1§7_'1§7=:Á2¦:

 ⑤

95

P(p, logŒ`p), Q(q, logŒ`q) (p>q)로 놓으면 선분 PQ의 중점이 원의 중심 {;4%;, 0}이므로

p+q

2 =;4%;‌에서 p+q=;2%;

logŒ`p+logŒ`q

2 =0에서 logŒ`pq=0 pq=aâ`=1

p, q를 두 실근으로 갖는 t에 대한 이차방정식은 tÛ`-;2%; t+1=0, 2tÛ`-5t+2=0

(2t-1)(t-2)=0 t=;2!; 또는 t=2 즉, p=2, q=;2!;

따라서 두 점 P(2, logŒ`2), Q‌{;2!;, -logŒ`2}이고, 선분 PQ의 길이가 원의 지름의 길이 '¶13

2 과 같으므로 PQÓ‌Û`={2-;2!;}Û`+{logŒ`2-(-logŒ`2)}Û`

={ '¶13 2 }Û`

94 +(logŒ`4)Û`=:Á4£:

(logŒ`4)Û`=1

이때 a>1이므로 logŒ`4=1에서 a=4

 ③

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정답과 풀이 ●17

지수함수와로그함수

97 Ⅰ

점 P의 좌표를 P(t, a^t)(t<0)이라 하면 점 P를 직선 y=x에 대 하여 대칭이동시킨 점 Q의 좌표는 (a^t, t)이다. ∠PQR=45ù이고 직선 PQ의 기울기가 -1이므로 두 점 Q, R의 x좌표는 같다.

즉 점 R의 좌표는 (a^t, -t)이다.

직선 PR의 기울기는 ;7!;이므로 a^t+t

t-a^t=;7!;에서 a^t=-;4#;t yy ㉠

PRÓ= 5'22 이므로 "Ã(t-a^t)Û`+(a<sup>t</sup>+t)Û`= 5'22 a^2t+tÛ`=:ª4°: yy ㉡

㉠, ㉡에서 tÛ`=4이고 t<0이므로 t=-2

㉠에 대입하면 1

aÛ`=;2#;이고 a>0이므로 a= '63

 ⑤

98

ㄱ. 점 A의 x좌표는 logŒ`x=1 x=a

이므로 A(a, 1) 또, 점 B의 x좌표는 log¢Œ`x=1

x=4a

이므로 B(4a, 1)

그러므로 선분 AB를 1`:`4로 외분하는 점의 좌표는 { 1_4a-4_a1-4 , 1_1-4_11-4 }

즉,(0, 1)(참)

ㄴ. 사각형 ABCD가 직사각형이면 선분 AD가 y축과 평행하므로 두 점 A, D의 x좌표는 같아야 한다.

한편 점 D의 x좌표는 log¢Œ`x=-1 x= 14a

이므로 D{ 14a , -1}

이때 A(a, 1)이므로 a= 14a , aÛ`=1

4 이때 14 <a<1이므로 a= 12 (참)

96

점 A의 x좌표를 a라 하면 점 A(a, 2)는 곡선 y=logª`4x 위의 점이므로

2=logª`4a, 4a=2Û`

a=1

따라서 점 A의 좌표는 (1, 2)

점 B의 x좌표를 b라 하면 점 B(b, 2)는 곡선 y=logª`x 위의 점 이므로

2=logª`b b=4

따라서 점 B의 좌표는 (4, 2)

점 C의 x좌표를 c라 하면 점 C(c, k)는 곡선 y=logª`4x 위의 점 이므로

k=logª`4c, 4c=2û`

c=2^k-2

따라서 점 C의 좌표는 (2^k-2, k)

점 D의 x좌표를 d라 하면 점 D(d, k)는 곡선 y=logª`x 위의 점 이므로

k=logª`d d=2û`

따라서 점 D의 좌표는 (2û`, k)

점 E의 x좌표는 점 B의 x좌표와 같으므로 4이고, 점 E가 선분 CD를 1 : 2로 내분하므로

4= 1_2û`+2_21+2 ^k-2

= 2_2^k-1+2^k-1 3

= 3_23^k-1

=2^k-1 k-1=2 k=3

따라서 C(2, 3), D(8, 3), E(4, 3)이고 ABÓ=3, CDÓ=6, BEÓ=1

사각형 ABDC의 넓이 S는 S=;2!;_(ABÓ+CDÓ)_BEÓ

=;2!;_(3+6)_1

=;2(;

따라서 12S=12_;2(;=54

` 54

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18^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ ㄷ. ABÓ=4a-a=3a 한편, 점 C의 x좌표는 logŒ`x=-1

x= 1a 이므로 C{ 1a , -1}

그러므로 CDÓ= 1a - 1

4a = 3 4a 한편, ABÓ<CDÓ이면 3a< 34a

aÛ`< 14

이때 14 <a<1이므로 1

4 <a<1 2 (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

 ③

99

y=2^-x, y=|log2 x|, y=x의 그래프는 그림과 같다.

O 12

2 1 2 1

2

12 Ü`12 x 1

y y=2ÑÅ y=x

yÁ

xÁ yª

xª y=|logª`x|

ㄱ. 0<x<1일 때,

두 곡선 y=2^-x, y=-log2 x의 교점은 직선 y=x 위에 있으므로

x1=y1이고 x1<1, y1<1

그림에서 y=2^-x은 감소함수이므로 2^-1<2^-xÁ=y1, 즉 ;2!;<y1=x1

한편, -log2 '22 =;2!;<y¹=-log2 x1이고 y=-log2 x는 감소함수이므로 x1< '22 그러므로 ;2!;<x1< '22 (참)

ㄴ. 2^-Ü'2= 1

2^Ü'2이고 log2 Ü'2=;3!;

그런데 8<9이므로 2^;2#;<3 yy ㉠ Ü'2와 ;2#; 을 각각 세제곱하면

(Ü'2)Ü`<{;2#;}3`이므로 Ü'2<;2#;

즉, 2^Ü'2<2^;2#; yy ㉡ ㉠, ㉡에서 2^Ü'2<2^;2#;<3이므로

log2 Ü'2<2^-Ü'2 그러므로 Ü'2<x2

또, log2 '2=;2!;, 2^-'2= 1 2^'2 ;2!;> 1

2^'2이므로 log₂ '2>2^-'2 그림에서 x2<'2

그러므로 Ü'2<x2<'2 (참) ㄷ. y1=x1이므로 ㄱ에서 ;2!;<y1< '22 y2=log2 x2이고

Ü'2<x2<'2,

log2 Ü'2<log2 x2<log2 '2이므로 ;3!;<y2<;2!;

그러므로 y1-y2< '22 -;3!;=3'2-2 6 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

100

m=3Å` 에서 x=log£`m이므로 Aµ(log£`m, m) m=logª`x에서 x=2µ``이므로 Bµ(2µ``, m) 그러므로 AµÓBµÓ=2µ``-log£`m

AµÓBµÓ이 자연수이기 위해서는 m과 2µ``이 자연수이므로 log£`m이 음이 아닌 정수이다.

그러므로 m=3û` (단, k는 음이 아닌 정수이다.) m=3â`일 때, aÁ=2Ú`-log£`1=2

m=3Ú`일 때, aª=2Ü`-log£`3=7 m=3Û`일 때, a£=2á`-log£`9=510 따라서 a£=510

 ⑤

해_001~027 수Ⅰ-1단원-ok1.indd 18 2020-12-17 오후 6:17:17

정답과 풀이 ●19

지수함수와로그함수

Ⅰ

101

3Å` ±Ú`=27에서 3Å` ±Ú`=3Ü`

x+1=3 따라서 x=2

 ②

102

로그의 진수 조건에서 5x+1>0

즉, x>-;5!;

2 log¢(5x+1)=1에서 logª(5x+1)=1 5x+1=2, 즉 x=;5!;

따라서 a=;5!;이므로 log°`;Œ!;=log°`5=1

 1

103

로그의 진수 조건에 의하여 4+x>0, 4-x>0이므로 -4<x<4 yy`㉠

logª`(4+x)+logª`(4-x)=3에서 logª`(4+x)(4-x)=3

(4+x)(4-x)=2Ü`=8 16-xÛ`=8, xÛ`=8

즉, x=2'2 또는 x=-2'2

이 값은 ㉠의 범위에 포함되므로 주어진 방정식을 만족시키는 모든 실수 x의 값의 곱은

2'2_(-2'2)=-8

 ②

104

2Å`=t`(t>0)이라 하면 주어진 방정식은 tÛ`-2kt+16=0 yy ㉠

근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 양수이므로 방정식 tÛ`-2kt+16=0은 양수인 중근을 갖는다.

방정식에의 활용

유형 6

D4 =(-k)Û`-16=kÛ`-16=(k-4)(k+4)=0 이때 두 근의 합이 양수이므로 k=4

따라서 방정식 ㉠의 근이 4이므로 2^x=4=2Û`에서 a=2

따라서 k+a=6

 ④

105

3ÑÅ` ±Û`=;9!; 에서 3ÑÅ` ±Û`=3ÑÛ`

-x+2=-2 따라서 x=4

 4

106

방정식

logª`x=1+log¢`(2x-3) 에서 진수 조건에 의하여 x>0, 2x-3>0 즉, x>;2#; yy ㉠ 한편

logª`x=1+log¢`(2x-3) 에서

logª`x=1+;2!;`logª`(2x-3) 2 logª`x=2+logª`(2x-3)

logª`xÛ` =logª`4+logª`(2x-3)

=logª`4(2x-3) 이므로

xÛ`=4(2x-3) xÛ`-8x+12=0 (x-2)(x-6)=0 x=2 또는 x=6

이것은 모두 ㉠을 만족시키므로 구하는 모든 실수 x의 값의 곱은 2_6=12

 12

107

{;4!;}ÑÅ`=64, (4ÑÚ`)ÑÅ`=4Ü`, 4Å`=4Ü`이므로 x=3

 ④

해_001~027 수Ⅰ-1단원-ok.indd 19 2020-12-16 오후 7:37:19

20^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ

108

2^;8!;x-1=16에서 2^;8!;x-1=2Ý`

지수를 비교하면

;8!;x-1=4, ;8!;x=5 따라서 x=40

 40

109

두 점 A, B가 직선 y=x 위에 있으므로 A(p, p), B(q, q)`(p<q) 로 놓으면

ABÓ=6'2 이므로

"Ã(q-Ãp)Û`+(q-p)Û` =6'2

q-p=6 yy ㉠

또, 사각형 ACDB의 넓이가 30이므로

;2!;_CDÓ_(ACÓ+DBÓ)=30

;2!;_(q-p)_(p+q)=30

;2!;_6_(p+q)=30

p+q=10 yy ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 p=2, q=8

두 점 A, B가 곡선 y=2^ax+b 위에 있으므로 2^2a+b=2 yy ㉢

2^8a+b=8 yy ㉣

㉣를 ㉢으로 변끼리 나누면 2^6a=4

2^6a=2Û`

6a=2 a=;3!;

이 값을 ㉢에 대입하면 2^;3@;+b=2

;3@;+b=1 b=;3!;

따라서 a+b=;3!;+;3!;=;3@;

 ④

110

두 점 (p, q), (2a-p, a-q)가 곡선 y= f(x) 위의 점이므로 f(p)=q, f(2a-p)=a-q에서

3Û`Œ`ѹ

3Û`Œ`ѹ`+3=a-q=a- 3¹`

3¹`+3 yy ㉠

㉠은 실수 p의 값에 관계없이 항상 성립하므로 p=0일 때, 3Û`Œ`

3Û`Œ`+3=a-;4!; yy ㉡ 이고,

p=1일 때, 3Û`Œ`

3Û`Œ`+`9`=a-;2!; yy ㉢

㉡, ㉢에서 ㉡-㉢을 정리하면 6_3Û`Œ`

(3Û`Œ`+3)(3Û`Œ`+9)=;4!;

(3Û`Œ`+3)(3Û`Œ`+ 9 )=24_3Û`Œ`

3Û`Œ`=X(X>0)이라 하면 (X+3)(X+9)=24X XÛ`-12X+27=0 (X-3)(X-9)=0 X=3 또는 X=9 3Û`Œ`=3 또는 3Û`Œ`=9 2a=1 또는 2a=2 a=;2!; 또는 a= 1

이다. 이때 ㉢에서 좌변이 양수이므로 a>;2!;이다.

따라서 a= 1 이다.

그러므로 g(p)= 3¹`3¹`+3, m=9, n=1이므로 (m-n)_g(2)=(9-1)_ 3Û`

3Û`+3=6

 ⑤

111

a^x='3에서 x=logŒ`'3

이므로 점 A의 좌표는 (logŒ`'3, '3)이다.

직선 OA의 기울기는 '3 logŒ`'3 직선 AB의 기울기는 '3

logŒ`'3-4 직선 OA와 직선 AB가 서로 수직이므로

logŒ`'3'3 _ '3

logŒ`'3-4=-1 (logŒ`'3)Û`-4`logŒ`'3+3=0에서 (logŒ`'3-1)(logŒ`'3-3)=0 logŒ`'3=1 또는 logŒ`'3=3 a='3 또는 aÜ`='3

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정답과 풀이 ●21

지수함수와로그함수

따라서 a=3^;2!; 또는 a=3^;6!;이므로

Ⅰ

모든 a의 값의 곱은 3^;2!;_3^;6!;=3^;2!;+;6!;=3^;3@;

 ②

112

두 점 A(k, logª`k), B(k, -logª (8-k))에 대하여 ABÓ=2이 므로

|logª`k+logª (8-k)|=2

|logª`k (8-k)|=2

logª`k(8-k)=-2 또는 logª`k(8-k)=2 Ú logª`k(8-k)=-2일 때

k(8-k)=;4!;, 4kÛ`-32k+1=0 이때 0<k<8이므로

k=8-3'7‌

2 또는 k=8+3'7‌

2 Û logª`k(8-k)=2일 때

k(8-k)=4, kÛ`-8k+4=0 이때 0<k<8이므로

k=4-2'3 또는 k=4+2'3 Ú, Û에서 모든 실수 k의 값의 곱은

8-3'7‌

2 _8+3'7‌

2 _(4-2'3)_(4+2'3)=;4!;_4=1

 ②

113

{;9!;}^x<3^21-4x에서 3^-2x<3^21-4x -2x<21-4x 2x<21 x<;;ª2Á;;

따라서 자연수 x는 1, 2, y, 10이므로 그 개수는 10이다.

 ⑤

부등식에의 활용 유형 7

114

log2 (xÛ`-7x)-log2 (x+5)É1의 진수 조건에서 -5<x<0 또는 x>7 yy ㉠ log2 (xÛ`-7x)Élog2 2(x+5)이므로

xÛ`-7xÉ2x+10, xÛ`-9x-10É0

(x-10)(x+1)É0, -1ÉxÉ10 yy ㉡

㉠, ㉡에서 -1Éx<0 또는 7<xÉ10 따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 -1, 8, 9, 10이므로 그 합은 26이다.

 ③

115

27 9Å`= 3Ü`

3Û`Å`=3Ü`ÑÛ`Å` 이므로 주어진 부등식은 3Ü`ÑÛ`Å`¾3Å` Ñá`

밑이 1보다 크므로 3-2x¾x-9 3xÉ12, 즉 xÉ4

따라서 부등식을 만족시키는 자연수는 1, 2, 3, 4이므로 모든 자연 수 x의 개수는 4이다.

 ④

116

부등식 {;2!;}^x-5¾4에서

{;2!;}^x-5¾{;2!;}^-2

밑이 0보다 크고 1보다 작으므로 x-5É-2

에서 xÉ3

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 2, 3이므로 그 합은

1+2+3=6

 6

117

로그의 진수 조건에 의하여 x>0 yy ㉠ 부등식 logª`xÉ2에서 logª`xÉlogª`4

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22^●EBS 수능 기출의 미래 수학Ⅰ 밑이 1보다 크므로 xÉ4 yy ㉡

㉠, ㉡에서 0<xÉ4

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 1, 2, 3, 4로 그 개수는 4 이다.

 ④

118

로그의 진수 조건에 의해

nÛ`-9n+18>0, (n-6)(n-3)>0 n<3 또는 n>6 yy ㉠ logÁ¥`(nÛ`-9n+18)<1에서 nÛ`-9n+18<18이므로 nÛ`-9n<0, n(n-9)<0 0<n<9 yy ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 n의 값의 범위는 0<n<3 또는 6<n<9

이를 만족시키는 자연수는 1, 2, 7, 8이므로 구하는 모든 자연수 n의 값의 합은 1+2+7+8=18

 ⑤

119

로그의 진수 조건에서 x-1>0, 4x-7>0

이므로 x>;4&; yy`㉠

부등식 log£`(x-1)+log£`(4x-7)É3에서 log£`(x-1)(4x-7)Élog£`3Ü`

밑이 1보다 크므로 (x-1)(4x-7)É27

4xÛ`-11x-20É0, (x-4)(4x+5)É0 -;4%;‌ÉxÉ4 yy`㉡

㉠, ㉡에서 ;4&;‌<xÉ4

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 2, 3, 4이므로 정수 x의 개 수는 3이다.

 ③

120

부등식 3Å` ÑÝ`É;9!; 에서 3Å` ÑÝ`É3ÑÛ`

밑이 1보다 크므로

x-4É-2 에서 xÉ2

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 2이므로 그 합은 1+2=3

 3

121

2‌logª`|x-1|É1-logª`;2!;

2‌logª`|x-1|É1-(-1) 2‌logª`|x-1|É2 logª`|x-1|É1 logª`|x-1|Élogª`2 0<|x-1|É2

이때 x가 정수이므로 |x-1|도 정수이다. 즉,

|x-1|=1 또는 |x-1|=2 x-1=-1 또는 x-1=1 또는 x-1=-2 또는 x-1=2 따라서 정수 x의 값은 -1, 0, 2, 3

이고 그 개수는 4이다.

 ②

122

로그의 진수 조건에서 x-1>0, ;2!;x+k>0 이므로 x>1 yy ㉠ log°`(x-1)Élog°`{;2!;x+k}에서

x-1É;2!;x+k

;2!;xÉk+1

즉, xÉ2(k+1) yy ㉡

㉠, ㉡에서 1<xÉ2(k+1)이고, 모든 정수 x의 개수가 3이므로 2(k+1)-1=2k+1=3

따라서 k=1

 ①

123

일차함수 f(x)에 대하여 y=f(x)의 그래프의 기울기를 a라 하면 a>0이고 f(-5)=0이므로

 f(x)=a(x+5) (a>0)

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정답과 풀이 ●23

지수함수와로그함수

로 놓을 수 있다.

Ⅰ

2 ^f(x)É8에서 2 ^f(x)É2Ü`

밑이 1보다 크므로  f(x)É3

즉, a(x+5)É3이고 a>0이므로 x+5É;a#;

xÉ;a#;-5

이때 주어진 부등식의 해가 xÉ-4이므로

;a#;-5=-4에서

;a#;=1, a=3

따라서 f(x)=3(x+5)이므로  f(0)=15

 15

124

logª`(xÛ`-1)+logª`3É5에서 로그의 진수 조건에 의하여

xÛ`-1>0, xÛ`>1 yy ㉠ logª`(xÛ`-1)+logª`3É5에서 logª`(xÛ`-1)Élogª`:£3ª:

로그의 밑이 1보다 크므로

xÛ`-1É`:£3ª:, xÛ`É`:£3°: yy ㉡

㉠, ㉡을 만족시키는 정수 x는 -3, -2, 2, 3

이므로 정수 x의 개수는 4이다.

 ④

125

로그의 진수 조건에 의하여 x-2>0, x>2 yy`㉠

부등식 logª`(x-2)<2에서 logª`(x-2)<logª`2Û`

밑이 1보다 크므로

x-2<2Û`, 즉 x<6 yy`㉡

㉠, ㉡에서 2<x<6

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 3, 4, 5이므로 그 합은 3+4+5=12

 12

126

{;2!;} ^f(x)g(x)¾{;8!;} ^g(x)에서

{;2!;} ^f(x)g(x)¾{;2!;} ^3g(x) f(x)g(x)É3g(x) { f(x)-3}g(x)É0

Ú f(x)-3¾0, g(x)É0인 경우 주어진 그래프에서

f(x)¾3이므로 xÉ1 또는 x¾5 yy ㉠ g(x)É0이므로 xÉ3 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 xÉ1

Û f(x)-3É0, g(x)¾0인 경우 주어진 그래프에서

f(x)É3이므로 1ÉxÉ5 yy ㉢ g(x)¾0이므로 x¾3 yy ㉣ ㉢, ㉣에서 3ÉxÉ5

따라서 조건을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 3, 4, 5이므로 구하 는 합은

1+3+4+5=13

 ④

127

로그의 진수 조건에서

f(x)>0이므로 0<x<7 yy ㉠ x-1>0이므로 x>1 yy ㉡

㉠, ㉡에서 1<x<7 yy ㉢ log£` f(x)+log ;3!;`(x-1)É0에서

log£` f(x)-log£ (x-1)É0, log£` f(x)Élog£ (x-1) f(x)Éx-1

그러므로 ㉢과 주어진 그래프에서 4Éx<7

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x의 값은 4, 5, 6이고 그 합은 4+5+6=15

 15

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