226
⑴ aø+bø=(2, -3)+(-3, 2)=(-1, -1)이므로 |aø+bø|=|(-1, -1)|=¿¹(-1)Û`+(-1)Û`='2
⑵ -aø-2bø=-(2, -3)-2(-3, 2)=(4, -1)이므로 |-aø-2bø|=|(4, -1)|=¿¹4Û`+(-1)Û`='¶17
⑶ 3aø+2bø=3(2, -3)+2(-3, 2)=(0, -5)이므로 |3aø+2bø|=|(0, -5)|=¿¹0Û`+(-5)Û`=5
답 ⑴ aø+bø=(-1, -1), |aø+bø|='2
⑵ -aø-2bø=(4, -1), |-aø-2bø|='¶17
⑶ 3aø+2bø=(0, -5), |3aø+2bø|=5
227
aø=3eÁ²+2eª², bø=eÁ²+2eª²에서 aø=(3, 2), bø=(1, 2)이므로
⑴ 2aø-5bø=2(3, 2)-5(1, 2)=(1, -6)
⑵ 3(aø+bø)-2(aø-bø) =aø+5bø
=(3, 2)+5(1, 2)
=(8, 12)
답 ⑴ (1, -6) ⑵ (8, 12) 본문 p.47~48
콕콕
개념
정답과 풀이
06
228
⑴ AB³=(7-(-5), -1-4)=(12, -5)이고, |AB³|=|(12, -5)|="Ã12Û`+(-5)Û`=13
⑵ AB³=(2-(-1), 1-5)=(3, -4)이고, |AB³|=|(3, -4)|="Ã3Û`+(-4)Û`=5
답 ⑴ AB³=(12, -5), |AB³|=13
⑵ AB³=(3, -4), |AB³|=5
229
⑴ aø•bø=|aø||bø|cos 60ù=2_3_;2!;=3
⑵ aø•bø=|aø||bø|cos 90ù=2_3_0=0
⑶ aø•bø =-|aø||bø|cos (180ù-150ù)=-|aø||bø|cos 30ù
=-2_3_ '3 2 =-3'3
답 ⑴ 3 ⑵ 0 ⑶ -3'3
230
⑴ aø=(1, 2), bø=(-4, 3)에서 aø•bø=1_(-4)+2_3=2
⑵ aø=(-1, 3), bø=(4, -2)에서 aø•bø=-1_4+3_(-2)=-10
답 ⑴ 2 ⑵ -10
231
⑴ |aø-bø|Û` =(aø-bø )•(aø-bø )
=(aø-bø )•aø-(aø-bø )•bø
=aø•aø-bø•aø-aø•bø+bø•bø
⑴ |a-b|Û`=|aø|Û`-2aø•bø +|bø|Û`
⑵ (aø+bø)•(aø-bø)=(aø+bø )•aø-(aø+bø )•bø
⑵ (a+b)•(a-b)=aø•aø+bø•aø-aø•bø-bø•bø
⑵ (a+b)•(a-b)=|aø|Û`-|bø|Û`
답 풀이 참조
232
|aø|='3, |bø|='5, aø•bø=-1에서
⑴ |aø+bø|Û`=|aø|Û`+2aø•bø+|bø|Û`
=('3)Û`+2_(-1)+('5)Û`
|aø+bø|Û`=3-2+5=6 ∴ |aø+bø|='6
⑵ (aø-2bø)•(2aø+bø)=2|aø|Û`+aø•bø-4bø•aø-2|bø|Û`
⑵ (aø-2bø)•(2aø+bø)=2|aø|Û`-3aø•bø -2|bø|Û`
⑵ (aø-2bø)•(2aø+bø)=2_3-3_(-1)-2_5=-1
답 ⑴ '6 ⑵ -1
233
⑴ aø=(1, 2), bø=(4, 2)에서 cos h= 1_4+2_2
"Ã1Û`+2Û`"Ã4Û`+2Û`= 8 '5_2'5=;5$;
⑵ aø=(3, -4), bø=(4, -3)에서 cos h= 3_4+(-4)_(-3)
"Ã3Û`+(-4)Û`"Ã4Û`+(-3)Û`= 24 5_5 =;2@5$;
답 ⑴ ;5$; ⑵ ;2@5$;
234
⑴ aø=(-2, 1), bø=(1, -3)에서
aø•bø=(-2)_1+1_(-3)=-5<0이므로
두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h (90ù<hÉ180ù)라 하면 cos (180ù-h)=- (-2)_1+1_(-3)
"Ã(-2)Û`+1Û`"Ã1Û`+(-3)Û`= 5 '5'¶10= '2
2 180ù-h=45ù ∴ h=135ù
⑵ aø=(2, 4), bø=(6, -3)에서 aø•bø=2_6+4_(-3)=0¾0이므로
두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h (0ùÉhÉ90ù)라 하면 cos h= 2_6+4_(-3)
"Ã2Û`+4Û`"Ã6Û`+(-3)Û`= 0 2'5_3'5=0 ∴ h=90ù
답 ⑴ 135ù ⑵ 90ù
235
⑴ 두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로 aø•bø=0 aø=(3, 2), bø=(x, 3)에서
3_x+2_3=0이므로 3x=-6 ∴ x=-2
⑵ 두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로 aø•bø=0 aø=(2x, 3), bø=(-1, 1)에서 2x_(-1)+3_1=0이므로 2x=3
∴ x= ;2#;
답 ⑴ -2 ⑵ ;2#;
236
⑴ 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하므로 bø=kaø (k+0인 실수)라 하면 aø=(1, 2), bø=(2, x+1)에서
(2, x+1)=k(1, 2) 2=k, x+1=2k ∴ k=2, x=3
⑵ 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하므로 bø=kaø (k+0인 실수)라 하면 aø=(3, -1), bø=(x-1, x+3)에서
(x-1, x+3)=k(3, -1) x-1=3k, x+3=-k 두 식을 연립하여 풀면 k=-1, x=-2
보충 설명
두 벡터 aø, bø가 서로 평행하면 aø•bø=Ñ|aø||bø|
이므로 이를 이용하여 해결할 수도 있다.
⑴을 이를 이용하여 해결해 보면
(1, 2)•(2, x+1)=Ñ"Ã1Û`+2Û` "Ã2Û`+(x+1)Û` 에서 2x+4=Ñ'5 "ÃxÛ`+2x+5
양변을 제곱하면
4xÛ`+16x+16=5xÛ`+10x+25 xÛ`-6x+9=0, (x-3)Û`=0
∴ x=3
답 ⑴ 3 ⑵ -2
본문 p. 49~53
콕콕
유형
237
④238
④239
'22240
⑤241
①242
①243
②244
⑤245
'2246
①247
6p248
②249
⑤250
9251
9252
③253
③254
bø=(0, -1), bø={- '32 , 12 }
255
②256
②257
3258
①259
④260
120ù261
⑤262
③263
135264
④265
②266
⑤237
5aø-2xø=3bø에서 2xø=5aø-3bø
2xø=5(2, -3)-3(2, -1) 2xø=(4, -12)
∴ xø=(2, -6)
∴ |xø|=¿¹2Û`+(-6)Û`=2'¶10 답 ④
238
aø-2bø-cø=(1, 0)-2(2, 1)-(-1, -2) aø-2bø-cø=(-2, 0)
∴ |aø-2bø-cø|=¿¹(-2)Û`+0Û`=2 답 ④
239
xø=taø+bø=t(1, -1)+(2, -1) xø=(t+2, -t-1)
가
∴ |xø|=¿¹(t+2)Û`+(-t-1)Û`
∴ |xø|=¿¹2tÛ`+6t+5
∴ |xø|=¾¨2{t+;2#;}Û`+;2!;
나
따라서 벡터 xø의 크기의 최솟값은 t=-;2#;일 때 ¾;2!;= '22 이다.
다
단계 채점 요소 비율
가 xø의 성분을 t로 나타내기 40 %
나 |xø|를 t에 대한 식으로 나타내기 40 %
다 |xø|의 최솟값 구하기 20 %
답 '2 2
240
aø=bø-2cø에서
(2, 5) =(x+2, 3)-2(3, 2y-1)
=(x-4, 5-4y) 두 벡터가 서로 같을 조건에서 x-4=2, 5-4y=5
∴ x=6, y=0
∴ x+y=6+0=6 답 ⑤
241
xaø-cø=ybø에서 xaø-ybø=cø xaø-ybø=x(2, 3)-y(2, -1) xa-yb=(2x-2y, 3x+y) xa-yb=(6, 1)
두 벡터가 서로 같을 조건에서 2x-2y=6, 3x+y=1 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=-2
∴ xy=1_(-2)=-2 답 ①
242
aø+bø=2cø이므로
(1, x)+(y, -1)=2(2, 1-y) (y+1, x-1)=(4, 2-2y) 두 벡터가 서로 같을 조건에서 y+1=4, x-1=2-2y
∴ y=3, x=-3
따라서 aø=(1, -3), bø=(3, -1), cø=(2, -2)이므로 aø-bø-cø =(1, -3)-(3, -1)-(2, -2)
=(-4, 0)
따라서 벡터 aø-bø-cø 의 모든 성분의 합은 -4이다. 답 ①
243
AB³=(-5-2, 1-x)=(-7, 1-x) CD³=(-1-y, 2-(-3))=(-1-y, 5) 이때, AB³=CD³이므로
-7=-1-y, 1-x=5 따라서 x=-4, y=6이므로
x+y=-4+6=2 답 ②
244
PA
³
=(2-a, 3-b), PB³=(-1-a, -2-b), PC³=(1-a, 3-b)이므로 PA³
+PB³+PC³=(2-a, 3-b)+(-1-a, -2-b)+(1-a, 3-b)
=(2-3a, 4-3b)
이때, 3AB³=3(-1-2, -2-3)=(-9, -15)이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에서
2-3a=-9, 4-3b=-15
∴ a=;;Á3Á;;, b=;;Á3»;;
∴ a+b=;;Á3Á;;+;;Á3»;;=10 답 ⑤
245
직선 y=x+1 위의 점 P의 좌표를 (x, x+1)이라 하면 AP³-PB³=AP³+BP³
AP³-PB³=(x-1, x-2)+(x-2, x-3) AP³-PB³=(2x-3, 2x-5)
∴ |AP³-PB³|=¿¹(2x-3)Û`+(2x-5)Û`
∴ |AP³-PB³|=¿¹8(x-2)Û`+2
따라서 |AP³-PB³|는 x=2일 때 최솟값 '2를 갖는다. 답
'2
246
점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면 AP³=(x, y)-(0, 1)=(x, y-1) BP³=(x, y)-(1, 2)=(x-1, y-2)
|AP³|=|BP³|이므로
¿¹xÛ`+(y-1)Û`=¿¹(x-1)Û`+(y-2)Û`
양변을 제곱하면
xÛ`+(y-1)Û`=(x-1)Û`+(y-2)Û`
xÛ`+yÛ`-2y+1=xÛ`-2x+1+yÛ`-4y+4
∴ x+y-2=0
즉, 점 P가 나타내는 도형은 직선 x+y-2=0이다.
이 직선이 점 C(1, a)를 지나므로 1+a-2=0 ∴ a=1
다른풀이
두 점 A(0, 1), B(1, 2)에 대하여 |AP³|=|BP³|를 만족시키는 점 P가 나타내는 도형은 선분 AB의 수직이등분선이다.
선분 AB의 중점 M의 좌표는 M{ 0+12 , 1+2
2 }, 즉 M{1 2 , 3
2 }
이고, 직선 AB의 기울기가 2-11-0 =1이므로 직선 AB와 수직인 직선의 기울기는 -1이다.
따라서 선분 AB의 수직이등분선의 방정식은 y- 32 =-{x-1
2 } ∴ x+y-2=0 이 직선이 점 C(1, a)를 지나므로
1+a-2=0 ∴ a=1 답 ①
247
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 PB³-AP³=PB³+PA³
PB³-AP³=(3-x, 1-y)+(1-x, 5-y) PB³-AP³=(4-2x, 6-2y)
가
|PB³-AP³|=6에서 ¿¹(4-2x)Û`+(6-2y)Û`=6 (4-2x)Û`+(6-2y)Û`=36
∴ (x-2)Û`+(y-3)Û`=9
나
따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (2, 3)이고 반지름의 길 이가 3인 원이므로 구하는 도형의 길이는
2p_3=6p
다
단계 채점 요소 비율
가 점 P의 좌표를 (x, y)라 하고 PB³-AP³를 성분으로 나타내기 30 % 나 |PB³-AP³|=6임을 이용하여 x, y 사이의 관계식 구하기 40 %
다 점 P가 나타내는 도형의 길이 구하기 30 %
답 6p
248
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면
AP³=(x-2, y-3), BP³=(x+3, y-4) 2|AP³|=|BP³|에서
2¿¹(x-2)Û`+(y-3)Û`=¿¹(x+3)Û`+(y-4)Û`
양변을 제곱하면
4(x-2)Û`+4(y-3)Û`=(x+3)Û`+(y-4)Û`
∴ 3xÛ`+3yÛ`-22x-16y+27=0 답 ②
249
오른쪽 그림에서
AB³=FO³이고, ∠OFE=60ù이므로 AB³•FE³=FO³•FE³
AB³•FE³=|FO³||FE³|cos 60ù
=2_2_;2!;=2 답 ⑤
250
BCÓ가 반원의 지름이고 반원에 대한 원주각의 크기는 90ù이므로
∠BAC=90ù
즉, 삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 5Û`=ABÓ Û`+4Û` ∴ ABÓ=3
이때, 두 벡터 BA
³
, BC³가 이루는 각의 크기를 h라 하면 0ùÉhÉ90ù이고 cos h=;5#;∴ BA
³
•BC³=|BA³
||BC³|cos h∴ BA³•BC³=3_5_;5#;=9 답
9
251
직각이등변삼각형 ABC에서 ABÓ=3'2이므로 ACÓ=BCÓ=3, BDÓ=1, DCÓ=2
또, 직각삼각형 ADC에서 ADÓ="Ã2Û`+3Û`='13
이때, 두 벡터 AC³, AD³가 이루는 각의 크기를 h라 하면 0ùÉhÉ90ù이고 cos h= 3
'¶13
∴ AC³•AD³ =|AC³||AD³|cos h
=3_'¶13_ 3'¶13=9 답 9
252
aø•bø=5에서 (1, k+1)•(-k, k-1)=5 -k+(k+1)(k-1)=5
kÛ`-k-1=5, kÛ`-k-6=0
(k+2)(k-3)=0 ∴ k=3`(∵ k>0) 답 ③
253
aø•bø=-5에서 (x, y)•(1, -4)=-5
∴ x-4y=-5 yy ㉠
|aø|='¶13에서 "ÃxÛ`+yÛ`='¶13
∴ xÛ`+yÛ`=13 yy ㉡
A
E B
60ù
C O
F
D
A h
B D C
312
㉠에서 x=4y-5이므로 ㉡에 대입하면 (4y-5)Û`+yÛ`=13, 17yÛ`-40y+12=0 (17y-6)(y-2)=0 ∴ y=2`(∵ y는 정수) y=2를 ㉠에 대입하면 x=3
∴ x-y=3-2=1 답 ③
254
bø=(x, y)라 하면 |bø|=1이므로
xÛ`+yÛ`=1 yy ㉠
|aø|=¿¹('3)Û`+1Û`=2이고, aø•bø=-|aø||bø|cos (180ù-120ù)에서 '3 x+y=-2_1_ 12
∴ '3 x+y=-1 yy ㉡
㉡에서 y=-'3x-1이므로 ㉠에 대입하면 xÛ`+(-'3x-1)Û`=1, 4xÛ`+2'3x=0 2x(2x+'3 )=0 ∴ x=0 또는 x=- '32 이것을 ㉡에 대입하면
x=0, y=-1 또는 x=- '32 , y=1 2
∴ bø=(0, -1) 또는 bø={- '32 , 1 2 }
답 bø=(0, -1), bø={- '32 , 1 2 }
255
(3aø+bø)•(-3aø+2bø)=-9|aø|Û`+3aø•bø+2|bø|Û`
(3aø+bø)•(-3aø+2bø)=-9_2+3_2
3 +2_4=-8 답 ②
256
(aø-bø )•(aø-bø )=4에서
|aø|Û`-2aø•bø+|bø|Û`=4, 1Û`-2aø•bø+3Û`=4
∴ aø•bø=3
∴ (aø-2bø )•(2aø-bø ) =2|aø|Û`-5aø•bø +2|bø|Û`
=2_1Û`-5_3+2_3Û`=5 답 ②
257
AO³=(-a, 0), AÕBdz=(-a, n)이므로 AO³•AÕBdz =(-a, 0)•(-a, n)
=(-a)_(-a)+0_n
=aÛ`
이때,
AO³•(AÕBÁ³+AÕBª³+y+AÕB»³)
= AO³•AÕBÁ³+AO³•AÕBª³+y+AO³•AÕB»³=81 이므로
aÛ`+aÛ`+y+aÛ`=9aÛ`=81
aÛ`=9 ∴ a=3`(∵ a>0) 답
3
258
|aø+bø|='¶13의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø•bø +|bø|Û`=13 yy ㉠
( | { | 99개
|aø-bø|=1의 양변을 제곱하면
|aø|Û`-2aø•bø +|bø|Û`=1 yy ㉡
㉠-㉡을 하면 4aø•bø=12 ∴ aø•bø=3
|bø|=2, aø•bø=3을 ㉠에 대입하면
|aø|Û`+2_3+2Û`=13
|aø|Û`=3 ∴ |aø|='3
이때, aø•bø =3¾0이므로 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
cos h= aø•bø
|aø||bø|= 3 '3_2= '3
2
∴ h=30ù 답 ①
259
|aø+bø|=4의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø•bø +|bø|Û`=16 yy ㉠
|aø-bø|=2의 양변을 제곱하면
|aø|Û`-2aø•bø +|bø|Û`=4 yy ㉡
㉠+㉡을 하면
2|aø|Û`+2|bø|Û`=20 ∴ |aø|Û`+|bø|Û`=10 yy ㉢
㉢을 ㉠에 대입하면 2aø•bø =6 ∴ aø•bø=3
한편, 두 벡터 aø+bø, aø-bø가 이루는 각의 크기가 60ù이므로 (aø+bø )•(aø-bø )=|aø+bø||aø-bø|cos 60ù=4_2_;2!;=4 이때, (aø+bø )•(aø-bø )=|aø|Û`-|bø|Û`이므로
|aø|Û`-|bø|Û`=4 yy ㉣
㉢, ㉣에서 |aø|Û`=7, |bø|Û`=3 ∴ |aø|='7, |bø|='3 aø•bø =3¾0이므로
cos h= aø•bø
|aø||bø|= 3 '7'3= '¶21
7 답 ④
260
aø+bø+cø=0ø에서 aø+bø=-cø
즉, |aø+bø|=|-cø|이므로 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø•bø +|bø|Û`=|cø|Û`
|aø|=1, |bø|=2, |cø|='3이므로 1Û`+2 aø•bø +2Û`=('3)Û`
∴ aø•bø =-1
가
이때, aø•bø =-1<0이므로 두 벡터 aø , bø 가 이루는 각의 크기를 h (90ù<hÉ180ù)라 하면
cos (180ù-h)=- aø•bø
|aø||bø|=- -11_2=1 2
나
180ù-h=60ù ∴ h=120ù
다
단계 채점 요소 비율
가 aø+bø=-cø 의 양변을 제곱하여 aø•bø의 값 구하기 40 % 나 두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기 h가 90ù<hÉ180ù임을 알
고 cos(180ù-h)의 값 구하기 40 %
다 h의 크기 구하기 20 %
답 120ù
261
두 벡터 aø, bø가 서로 수직이므로 aø•bø=0 (2t-3, -t)•{1, 1
t }=0, 2t-3-1=0
∴ t=2
따라서 aø=(1, -2), bø={1, ;2!;}이므로
aø+2bø=(1, -2)+2{1, ;2!;}=(3, -1)
∴ |aø+2bø|=¿¹3Û`+(-1)Û`='¶10 답 ⑤
262
두 벡터 pø, qø가 서로 수직이므로 pø•qø=0 (a-2, 1)•(2, b)=0, 2a-4+b=0
∴ 2a+b=4 yy ㉠
또한 두 벡터 qø, rø가 평행하므로 qø=krø`(k+0)라 하면 (2, b)=k(-2, 4)
두 벡터가 서로 같을 조건에서 2=-2k, b=4k
∴ k=-1, b=-4
b=-4를 ㉠에 대입하면 a=4
∴ a+b=4+(-4)=0 답 ③
263
|aø+bø|=6의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø•bø +|bø|Û`=36
5Û`+2aø•bø +3Û`=36 ∴ aø•bø=1 또한 aø+bø와 aø-kbø가 서로 수직이므로 (aø+bø )•(aø-kbø )=0
|aø|Û`+(1-k)aø•bø-k|bø|Û`=0 5Û`+(1-k)_1-k_3Û`=0
-10k+26=0 ∴ k= 135 답 13
5
264
OA³•OB³=(2, 4)•(4, 2)=16¾0이므로 두 벡터 OA³, OB³가 이루는 각의 크기를 h (0ùÉhÉ90ù)라 하면
cos h= OA³•OB³
|OA³||OB³|= 16 '¶20'¶20= 45 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형에서 sin h= 35
따라서 삼각형 OAB의 넓이는 12 _OAÓ_OBÓ_sin h=1
2 _'¶20_'¶20_3 5 =6
다른풀이1
OA³=(2, 4), OB³=(4, 2)이므로 OA³•OB³=(2, 4)•(4, 2)=16
|OA³|Û`=2Û`+4Û`=20, |OB³|Û`=4Û`+2Û`=20 따라서 삼각형 OAB의 넓이는
12 ¿¹|OA³|Û`|OB³|Û`-(OA³•OB³)Û` =1
2 "Ã20_20-16Û`
= 12 _12=6
h
5 3
4
다른 풀이2
삼각형 OAB의 넓이는 12 |2_2-4_4|=1
2 _12=6 답 ④
265
AB³•AC³=10'2¾0이므로 두 벡터 AB³, AC³가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
cos h= AB³•AC³
|AB³||AC³|=10'2 5_4 ='2
2
∴ h=45ù`
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
;2!;_5_4_sin 45ù=10_ '2 2 =5'2
다른 풀이
삼각형 ABC의 넓이는
12
¿¹
|AB³|Û`|AC³|Û`-(AB³•AC³)Û` = 12 ¿¹¹5Û`_4Û`-(10'2 )Û`= 12 _10'2=5'2 답 ②
266
∠BCD=120ù이므로 두 벡터 BA³, BC³가 이루는 각의 크기는 180ù-120ù=60ù
또한 CD³=BA
³
이므로BC³•CD³=BC³•BA
³
=|BC³||BA³
|cos 60ù 즉, 15=6_|BA³
|_;2!; ∴ |BA³
|=5 따라서 평행사변형 ABCD의 넓이는 5_6_sin 60ù=15'3다른 풀이
사각형 ABCD의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이의 2배이므로 2_;2!;
¿¹
|BA³|Û`|BC³|Û`-(BA³•BC³)Û` ="Ã5Û`_6Û`-15Û`='Ä675=15'3 답 ⑤
본문 p. 54~55
콕콕
실력
267
③268
③269
p270
②271
⑤272
③273
④274
⑤275
⑤276
②277
45278
③279
④280
'¶21281
12282
26267
xø=cos h aø+(1-sin h)bø에서 xø=cos h aø+(1-sin h)bø
xø=cos h(2, 1)+(1-sin h)(1, -2) xø=(2 cos h, cos h)+(1-sin h, -2+2 sin h) xø=(1-sin h+2 cos h, -2+2 sin h+cos h) 이므로
이때, ∠CPQ=h`(0ù<h<90ù)라 하면 cos h=;5#;이고
PBÓ=PCÓ+CÕBÓ=5+4=9이므로 PB³•PQ³ =|PB³||PQ³|cos h
=9_3_;5#;=;;¥5Á;; 답 ⑤
272
점 P가 원점, 두 선분 BC와 RP를 각각 x축, y축이 되도록 정사각형을 좌표평면에 놓으면
B(-1, 0), Q(1, 1), R(0, 2)
∴ BR³=(1, 2), PQ³=(1, 1)
∴ BR³•PQ³ =(1, 2)•(1, 1)
=1+2=3
보충설명
직사각형이나 직각삼각형과 같은 도형에서 평면벡터의 내적은 좌표평면 을 설정하여 벡터의 성분을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다.
다른풀이1
미적분에서 배우는 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 다음과 같이 풀 수 있다.
오른쪽 그림에서 BR³=PD³이므로 두 벡터 BR³, PQ³가 이루는 각의 크기를 h라 하면 PD³와 PQ³ 가 이루는 각의 크기도 h이다.
∠DPC=a, ∠QPC=b라 하면 h=a-b
직각삼각형 DPC에서 PDÓ="Ã1Û`+2Û`='5이고 직각삼각형 QPC에서 PQÓ="Ã1Û`+1Û`='2이므로
cos a= 1
'5= '55 , sin a= 2
'5= 2'55 , cos b= 1
'2= '22 , sin b= 1 '2= '22
∴ cos h=cos(a-b)
∴ cos h=cos a cos b+sin a sin b
∴ cos h= '55 _'2 2 +2'5
5 _'2 2 =3'¶10
10
∴ BR³•PQ³=PD³•PQ³
∴ BR³•PQ³=|PD³||PQ³|cos h
∴ BR³•PQ³='5_'2_ 3'¶1010 =3
다른풀이2
미적분을 배우지 않았더라도 점 Q에서 PDÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면
△DPC»△DQH이므로 닮음비를 이용하여 cos h를 구할 수 있다.
답 ③
273
|xø|=2,|yø|=2이고 ∠A=60ù이므로 xø•yø=|xø||yø|cos 60ù=2_2_;2!;=2
∴ |2xø-3yø|Û`=4|xø|Û`-12xø•yø +9|yø|Û`
∴ |2xø-3yø|Û`=4_2Û`-12_2+9_2Û`=28
∴ |2xø-3yø|=2'7 답 ④
A D
B 2
C R
P Q ha b xø-bø=(1-sin h+2 cos h, -2+2 sin h+cos h)-(1, -2)
xø-bø=(-sin h+2 cos h, 2 sin h+cos h)
∴ |xø-bø|=¿¹(-sin h+2 cos h)Û`+(2 sin h+cos h)Û`
=¿¹5 sinÛ` h+5 cosÛ` h='5
보충설명
오른쪽 그림과 같이 빗변의 길이가 1인 직각삼각형 ABC에서
ABÓ=cos`h, BCÓ=sin`h 이므로 피타고라스 정리에 의하여
sinÛ``h+cosÛ``h=1 답 ③
268
이등변삼각형 ABC에서 ∠ACB의 크기를 h`(0ù<h<90ù)라 하면
BCÓ=2 CAÓ cos h이므로 4=2 CAÓ cos h에서 CAÓ cos h=2
∴ CA³•CB³ =|CA³||CB³|cos h
=2_4=8 답 ③
269
점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 PO³-AP³+PB³
=(-x, -y)-(x-3, y-1)+(-1-x, 2-y)
=(2-3x, 3-3y)
|PO³-AP³+PB³|=3에서 "Ã(2-3x)Û`+(3-3y)Û`=3 (2-3x)Û`+(3-3y)Û`=9
∴ {x-;3@;}Û`+(y-1)Û`=1
따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가{;3@;, 1}이고 반지름의 길 이가 1인 원이므로 구하는 도형의 넓이는
p_1Û`=p 답p
270
두 점 P, Q가 포물선 yÛ`=2x 위의 점이므로 P{pÛ`
2 , p}, Q{qÛ`
2 , q}라 하면 OP³={pÛ`
2 , p}, OQ³={qÛ`
2 , q}
∴ OP³•OQ³=pÛ`qÛ`
4 +pq
∴ OP³•OQ³=;4!;(pq+2)Û`-1
따라서 OP³•OQ³ 는 pq=-2일 때, 최솟값 -1을 갖는다. 답 ②
271
PQÓ가 원 C의 접선이므로 PQÓ⊥CQÓ
즉, 삼각형 CPQ는 ∠PQC=90ù인 직각삼각형 이므로
PCÓ Û`=PQÓ Û`+CQÓ Û`=3Û`+4Û`=25
∴ PCÓ=5 (∵ PCÓ>0)
h 1
A B
C
B 4 C
A
h
4
4
3 A
P Q
B
C C
h
274
|aø+2bø|=4의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+4aø•bø +4|bø|Û`=16 yy ㉠
|2aø-bø|=3의 양변을 제곱하면
4|aø|Û`-4aø•bø +|bø|Û`=9 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 5|aø|Û`+5|bø|Û`=25
∴ |aø|Û`+|bø|Û`=5
∴ |aø+bø|Û`+|aø-bø|Û` =|aø|Û`+2aø•bø +|bø|Û`+|aø|Û`-2aø•bø +|bø|Û`
=2(|aø|Û`+|bø|Û`)=2_5=10 답 ⑤
275
두 벡터 aø, bø가 이루는 각의 크기가 30ù이므로 aø•bø=|aø||bø|cos 30ù=2_|bø|_ '32 ='3|bø|
|2aø-bø|=4의 양변을 제곱하면 4|aø|Û`-4aø•bø +|bø|Û`=16 4_2Û`-4_'3|bø|+|bø|Û`=16
|bø|Û`-4'3|bø|=0, |bø|(|bø|-4'3)=0
∴ |bø|=4'3`(∵ bø+0ø ) 답 ⑤
276
aø+bø+cø=0ø에서 aø+cø=-bø
즉, |aø+cø|=|-bø|이므로 양변을 제곱하면
|aø|Û`+2aø•cø +|cø|Û`=|bø|Û`
이때, aø=(-1, '3)에서 |aø|=¿¹(-1)Û`+('3 )Û`=2이고,
|bø|='7, |cø|=1이므로
2Û`+2aø•cø +1Û`=('7 )Û` ∴ aø•cø =1
aø•cø =1¾0이므로 두 벡터 aø, cø가 이루는 각의 크기를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
cos h= aø•cø
|aø||cø|= 12_1=1 2
∴ h=60ù 답 ②
277
aø-bø=(x, -2x-2)이므로 |aø-bø|=13에서
¿¹xÛ`+(-2x-2)Û`=13, 5xÛ`+8x+4=169 5xÛ`+8x-165=0, (5x+33)(x-5)=0
∴ x=5 (∵ x는 정수)
따라서 aø=(14, 0), bø=(9, 12)이고 aø•bø=14_9=126¾0이므로 cos h= aø•bø
|aø||bø|= 126
14"Ã9Û`+12Û`= 12614_15 =3 5 따라서 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형에서
sin h= 45 답 45
278
aø=(-1, 2), bø=(x, -1)에서
aø+3bø=(-1, 2)+3(x, -1)=(3x-1, -1) 2aø-bø=2(-1, 2)-(x, -1)=(-x-2, 5)
h 5
3 4
aø+3bø와 2aø-bø가 평행하므로 aø+3bø=k(2aø-bø )(k+0)라 하면 (3x-1, -1)=k(-x-2, 5) 3x-1=-kx-2k, -1=5k
∴ k=-;5!;, x=;2!; 답 ③
279
|aø+2bø|=2'3의 양변을 제곱하면
|aø|Û`+4aø•bø +4|bø|Û`=12
|aø|Û`+4aø•bø +8=12
∴ |aø|Û`+4aø•bø =4 yy ㉠
또한 두 벡터 aø-bø와 2aø+bø가 서로 수직이므로 (aø-bø )•(2aø+bø )=0
(aø-bø )•(2aø+bø ) =2|aø|Û`-aø•bø-|bø|Û`
(aø-bø )•(2aø+bø ) =2|aø|Û`-aø•bø-2=0
∴ 2|aø|Û`-aø•bø=2 yy ㉡
㉠, ㉡에서
|aø|Û`=;3$;, aø•bø=;3@;
aø•bø= 23 ¾0이므로 cos h= aø•bø
|aø||bø|= 23 '32 _'2= '6
6 답 ④
280
평행사변형 ABCD에서 AB³+AD³=AC³이므로 AB³•AC³=7에서
AB³•(AB³+AD³)=7
|AB³|Û`+AB³•AD³=7 AB³•AD³=2이므로 |AB³|Û`=5
∴ |AB³|='5 AC³•AD³=7에서 (AB³+AD³)•AD³=7 AB³•AD³+|AD³|Û`=7 AB³•AD³=2이므로 |AD³|Û`=5
∴ |AD³|='5
이때, AB³•AD³=2¾0이므로 두 벡터 AB³와 AD³가 이루는 각의 크기 를 h`(0ùÉhÉ90ù)라 하면
AB³•AD³=|AB³||AD³|cos h AB³•AD³='5_'5_cos h=2
즉, cos h= 25 이므로 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 에서
sin h= '215
따라서 평행사변형 ABCD의 넓이는
|AB³||AD³|sin h='5_'5_ '21
5 ='21 답'21
A
B C
D h
2 5
h 1221
281
aø=(1, -'3)에서 |aø|=¿¹1Û`+(-'3)Û`=2이고, |pø|=1이므로 aø•pø=|aø||pø|cos 60ù=2_1_;2!;=1
가
|aø+2pø|Û`=|aø|Û`+4aø•pø +4|pø|Û`
|aø+2p `=2Û`+4_1+4_1Û`=12
∴ |aø+2pø|=2'3
나
|aø-pø|Û`=|aø|Û`-2aø•pø +|pø|Û`
|aø-pø|Û`=2Û`-2_1+1Û`=3
∴ |aø-pø|='3
다
(aø+2pø)•(aø-pø )=|aø|Û`+aø•pø-2|pø|Û`
(a+2pø)•(a-pø )=2Û`+1-2_1Û`=3 (aø+2pø )•(aø-pø )=3¾0이므로 cos h=(aø+2pø )•(aø-pø )
|aø+2pø||aø-pø| = 3 2'3 '3=;2!;
라
단계 채점 요소 비율
가 aø•pø의 값 구하기 20 %
나 벡터 aø+2pø의 크기 구하기 25 %
다 벡터 aø-pø의 크기 구하기 25 %
라 cos h의 값 구하기 30 %
답 1 2
282
AB³=aø, AC³=bø라 하면
점 P는 BCÓ를 1`:`2로 내분하는 점이므로 AP³= bø+2aø1+2 =;3!;(2aø+bø)
점 Q는 BCÓ를 2`:`1로 내분하는 점이므로 AQ³= 2bø+aø2+1 =;3!;(aø+2bø)
가 또, |aø|=|bø|=6, ∠BAC=60ù이므로
aø•bø=|aø||bø|cos 60ù=6_6_;2!;=18
나
∴ AP³•AQ³ =;9!;(2aø+bø)•(aø+2bø)
=;9!;(2|aø|Û`+5aø•bø+2|bø|Û`)
=;9!;(2_6Û`+5_18+2_6Û`) `
=26
다
단계 채점 요소 비율
가 AP³, AQ³를 AB³, AC³로 나타내기 40 %
나 AB³•AC³ 의 값 구하기 30 %
다 AP³•AQ³ 의 값 구하기 30 %
답 26
II. 평면벡터
07 직선과 원의 방정식
283
답 ⑴ x-12 =y+1
3 ⑵ x+4 6 =y-5
-1
284
답
⑴ x=1 ⑵ y=-2
285
⑴ 두 점 A(-2, -1), B(2, -4)를 지나는 직선의 방정식은 x-(-2)
2-(-2) = y-(-1) -4-(-1)
∴ x+24 =y+1 -3
⑵ 두 점 A(3, 2), B(-1, 2)를 지나는 직선의 방향벡터는 AB³=(-1, 2)-(3, 2)=(-4, 0)
이므로 구하는 직선의 방정식은 y=2
⑶ 두 점 A(-4, 2), B(-4, 7)을 지나는 직선의 방향벡터는 AB³=(-4, 7)-(-4, 2)=(0, 5)
이므로 구하는 직선의 방정식은 x=-4
답 ⑴ x+24 =y+1
-3 ⑵ y=2 ⑶ x=-4
286
⑴ 점 (2, 1)을 지나고 벡터 nø=(-1, 2)에 수직인 직선의 방정식은 -(x-2)+2(y-1)=0
∴ x-2y=0
⑵ 점 (-1, -2)를 지나고 법선벡터가 nø=(2, -3)인 직선의 방정식은 2(x+1)-3(y+2)=0
∴ 2x-3y-4=0
답 ⑴ x-2y=0 ⑵ 2x-3y-4=0 ⑶ x=2 ⑷ y=-3
287
⑴ 두 직선 l, m의 방향벡터를 각각 uÁ², uª²라 하면 uÁ²=(2, -3), uª²=(-3, 2)
두 직선 l, m이 이루는 각의 크기 h (0ùÉhÉ90ù)에 대하여 cos h= |uÁ²•uª²|
|uÁ²||uª²|
cos h=|2_(-3)+(-3)_2|
"Ã2Û`+(-3)Û``"Ã(-3)Û`+2Û`
cos h= 12 '¶13 '¶13=;1!3@;
⑵ 두 직선 l, m의 법선벡터를 각각 nÁ², nª²라 하면 nÁ²=(1, -1), nª²=(-1, 7)
두 직선 l, m이 이루는 각의 크기 h (0ùÉhÉ90ù)에 대하여 본문 p.57