AꞏB ≜ AB

염 홍 기

조선대학교 전자공학과

전 기 자 기 학

1

 Vector

 Dot product (Scalar product)

- 한 벡터를 다른 벡터에 projection한 크기와 다른 벡터의 크기의 곱과 같다.

 Cross product (Vector product)

- Cross product의 크기 AB 𝑠𝑖𝑛𝜃 는 평행사변형의 넓이와 같다.

복습

AꞏB ≜ AB 𝑐𝑜𝑠𝜃

A B

𝜃 𝐀 𝐁

AB ^{𝑠𝑖𝑛𝜃} 𝑎

A B

B 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜃

A A B

𝐀 𝐁 ≜ 𝑎 AB 𝑠𝑖𝑛𝜃 A = 𝑎 𝐴

크기 단위벡터

A = A = + AꞏA

Dot product로 크기를 구할 수 있음

 Cartesian coordinate system

- 한 점 P(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )은 𝑥 𝑥 , 𝑦 𝑦 , 𝑧 𝑧 로 정의

복습

39

𝒂_𝒙 𝒂_𝒚 𝒂_𝒛, 𝑎 𝑎 0 𝒂_𝒚 𝒂_𝒛 𝒂_𝒙, 𝑎 𝑎 0 𝒂_𝒛 𝒂_𝒙 𝒂_𝒚, 𝑎 𝑎 0

𝑎 · 𝑎 𝑎 · 𝑎 𝑎 · 𝑎 0 𝒂_𝒙 · 𝒂_𝒙 𝒂_𝒚 · 𝒂_𝒚 𝒂_𝒛 · 𝒂_𝒛 𝟏

• Cartesian coordinates에서의 cross product

• Cartesian coordinates에서의 dot product

𝐀 · 𝐁 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵

𝐀 𝐁

𝑎 𝑎 𝑎

𝐴 𝐴 𝐴

𝐵 𝐵 𝐵

• Cartesian coordinates에서 vector A와 B의 dot product • Cartesian coordinates에서 vector A와 B의 dot product

𝐀 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴

𝐁 𝑎 𝐵 𝑎 𝐵 𝑎 𝐵 ^{일 경우}

Cylindrical Coordinates

Cylindrical Coordinates

 Cylindrical coordinate system에서의 한 점 P(𝑟 , ∅ , 𝑧 )은 𝑟 𝑟 인 원통면과 𝑧축을 기준으로 도는 ∅ ∅ 인 면과 𝑧 𝑧 로 정의되는 3 planes의 교차점에 의해 결정된다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates

41

 Cylindrical coordinate system은 다음과 같은 특징을 갖는다.

 Cylindrical coordinates에서 r, z는 길이이지만 ∅는 각도이기 때문에 differential angle (미소각) 𝑑∅ 로부터 differential length를 구하기 위해서는 계수 r (metric coefficient)을 곱해야 한다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates (con’t)

𝑎 𝑎_∅ 𝑎 𝑎_∅ 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎_∅

(2-28a)

(2-28b)

(2-28c)

 Cylindrical coordinates에서 vector differential length는 다음과 같이 정의된다.

 Differential volume은 다음과 같이 정의된다.

 Cylindrical coordinates에서 vector A는 다음과 같이 표시한다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates (con’t)

43

𝑑𝑙 𝑎 𝑑𝑟 𝑎_∅

𝑟𝑑∅

^(2-29)

𝑑𝑣

𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑧 ^(2-30)

𝐀 𝑎 𝐴 𝑎_∅𝐴_∅ 𝑎 𝐴

^(2-31)

 Cylindrical coordinates의 vector를 Cartesian coordinates로 변환하여 표현할 수 있으며, 반대도 가능하다.

 Cylindrical coordinates의 vector 𝐀 𝑎 𝐴 𝑎_∅𝐴_∅ 𝑎 𝐴 를 Cartesian coordinates의 𝐀 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 로 표현하고자 하는 것이며, 따라서 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 를 구하고자 한다.

 여기서 두 coordinates의 𝐴 는 동일하다.

 먼저 𝐴 를 찾기 위해 A의 두 coordinates표현을 같다고 놓은 후,

 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 =𝑎 𝐴 𝑎_∅𝐴_∅ 𝑎 𝐴 양변에 𝑎 의 dot product를 구하자.

 𝑎 · 𝑎 𝑎 · 𝑎 𝑎 · 𝑎 0, 𝑎 · 𝑎 𝑎 · 𝑎 𝑎 · 𝑎 1에 의해 좌변은 𝐴 가 되고, 우변은 𝐴 𝑎 · 𝑎 𝐴_∅𝑎_∅ · 𝑎 가 된다. (순서는 상관이 없어 책의 순서를 맞춤)

 즉, 𝐴 = 𝐴 𝑎 · 𝑎 𝐴_∅𝑎_∅ · 𝑎 (2-32)가 된다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates (con’t)

 𝐴 = 𝐴 𝑎 · 𝑎 𝐴_∅𝑎_∅ · 𝑎 (2-32)에서 Fig. 2-12의 관계를 고려하면 다음과 같이 계산된다.

 𝑎 · 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅

 𝑎_∅ · 𝑎 cos ∅ 𝑠𝑖𝑛∅

 식 (2-32)에 식 (2-33), (2-34)를 대입하면 𝐴 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠∅ 𝐴_∅𝑠𝑖𝑛∅ (2-35)가 된다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates (con’t)

45

(2-33)

(2-34)

 이번에는 𝐴 를 구하기 위해 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 =𝑎 𝐴 𝑎_∅𝐴_∅ 𝑎 𝐴 양변에 𝑎 의 dot product를 구하자.

 𝐴 = 𝐴 𝑎 · 𝑎 𝐴_∅𝑎_∅ · 𝑎 (2-35.5)가 된다.

 Fig. 2-12의 관계를 고려하면 다음과 같이 계산된다.

 𝑎 · 𝑎 cos ∅ 𝑠𝑖𝑛∅

 𝑎_∅ · 𝑎 𝑐𝑜𝑠∅

 식 (2-35.5)에 식 (2-36), (2-37)를 대입하면 𝐴 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛∅ 𝐴_∅𝑐𝑜𝑠∅ (2-38)가 된다.

 즉, 𝐴 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠∅ 𝐴_∅𝑠𝑖𝑛∅ , 𝐴 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛∅ 𝐴_∅𝑐𝑜𝑠∅ , 𝐴 = 𝐴 가 된다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates (con’t)

(2-36)

(2-37)

 이것을 matrix 형태로 표현하면 더욱 편리하다.

 Fig. 2-12로부터 Cylindrical coordinates의 점 (𝑟, ∅, z)은 Cartesian coordinates의 (𝑥, 𝑦, 𝑧)로 다음과 같이 변환된다.

2-4.2 Cylindrical Coordinates (con’t)

47

𝐴 𝐴 𝐴

𝑐𝑜𝑠∅ 𝑠𝑖𝑛∅ 0 𝑠𝑖𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠∅ 0

0 0 1

𝐴 𝐴

𝐴 (2-39)

𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠∅

𝑦 𝑟𝑠𝑖𝑛∅

𝑧 𝑧

(2-40a)

(2-40b)

(2-40c)

 Cylindrical coordinates에서의 vector field 표현이 A = 𝑎 3𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 2𝑟 𝑎 𝑧일 때 a. 점 𝑃 4, 60°, 5 에서의 field를 구하시오.

b. 점 P에서의 field 𝐴 를 Cartesian coordinates에서 표현하시오.

c. 점 P의 위치를 Cartesian coordinates에서 표현하시오.

Example 2-6

vector field의 예)

 Cylindrical coordinates에서의 vector field 표현이 A = 𝑎 3𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 2𝑟 𝑎 𝑧일 때 a. 점 𝑃 4, 60°, 5 에서의 field를 구하시오.

Example 2-6 풀이

49

 Cylindrical coordinates에서의 vector field 표현이 A = 𝑎 3𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 2𝑟 𝑎 𝑧일 때 b. 점 P에서의 field 𝐴 를 Cartesian coordinates에서 표현하시오.

Example 2-6 풀이

 Cylindrical coordinates에서의 vector field 표현이 A = 𝑎 3𝑐𝑜𝑠∅ 𝑎 2𝑟 𝑎 𝑧일 때 c. 점 P의 위치를 Cartesian coordinates에서 표현하시오.

Example 2-6 풀이

51

Spherical Coordinates

Spherical Coordinates

 Spherical coordinate system에서의 한 점 P(𝑅 ,𝜃 , ∅ )은 원점에서 반지름이 𝑅 𝑅 인 구 표면, z축에서 𝜃 𝜃 으로 이루어진 콘, ∅ ∅ 에 이루어진 xz-plane의 3 planes의 교차점에 의해 결정된다.

2-4.3 Spherical Coordinates

53

𝑅, 𝜃, ∅) 𝑅

∅

 Spherical coordinates는 다음의 특징을 갖는다.

 Vector A는 다음과 같이 표시한다.

 Spherical coordinates에서 𝜃, ∅는 각도 이므로 각각 differential length는 𝑅𝑑𝜃,𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑∅가 된다.

2-4.3 Spherical Coordinates (con’t)

𝑎 𝑎 𝑎_∅ 𝑎 𝑎_∅ 𝑎 𝑎_∅ 𝑎 𝑎

(2-41a) (2-41b) (2-41c)

𝐀 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎_∅𝐴_∅

^(2-42)

 따라서 vector differential length는 다음과 같다.

 Differential volume은 다음과 같다.

2-4.3 Spherical Coordinates (con’t)

55

𝑑𝑙 𝑎 𝑑𝑅 𝑎

𝑅𝑑𝜃

𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑∅

𝑑𝑣

𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑∅

(2-43)

(2-44)

 각 coordinates의 base vectors, metric coefficients, differential volume은 다음과 같다.

2-4.3 Spherical Coordinates (con’t)

 Fig. 2-15는 점 P를 나타내는 (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑟, ∅, z), (𝑅, 𝜃, ∅) 간의 관계를 보여주고 있다.

 Spherical Coordinates의 점 (𝑅, 𝜃, ∅)은 Cartesian coordinates의 (𝑥, 𝑦, 𝑧)로 다음과 같이 변환된다.

2-4.3 Spherical Coordinates (con’t)

57

𝑥 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅

𝑦 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅

𝑧 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

(2-45a)

(2-45b)

(2-45c)

 Unit vector 𝑎 를 spherical coordinates에서 표현하시오.

Example 2-7

 Unit vector 𝑎 를 spherical coordinates에서 표현하시오.

Example 2-7 풀이

59

 Unit vector 𝑎 를 spherical coordinates에서 표현하시오.

Example 2-7 풀이 (con’t)

 반지름이 2cm인 구와 5cm인 구 사이에 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝐶/𝑚 의 charge density로 electron들이 존재한다고 하자. 이 영역에 존재하는 전체 charge양을 구하여라.

Example 2-8

61

 반지름이 2cm인 구와 5cm인 구 사이에 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝐶/𝑚 의 charge density로 electron들이 존재한다고 하자. 이 영역에 존재하는 전체 charge양을 구하여라.

Example 2-8 풀이

𝑅𝑑𝜃

 반지름이 2cm인 구와 5cm인 구 사이에 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝐶/𝑚 의 charge density로 electron들이 존재한다고 하자. 이 영역에 존재하는 전체 charge양을 구하여라.

Example 2-8 풀이 (con’t)

63

 반지름이 2cm인 구와 5cm인 구 사이에 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝐶/𝑚 의 charge density로 electron들이 존재한다고 하자. 이 영역에 존재하는 전체 charge양을 구하여라.

Example 2-8 풀이 (con’t)

 Dot product & Cross product

 Cartesian coordinates

 Cylindrical coordinates

 Spherical coordinates

 Coordinate transformation

복습

65

AꞏB ≜ AB 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐀 𝐁 ≜ 𝑎 AB 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑥 𝑟𝑐𝑜𝑠∅

𝑦 𝑟𝑠𝑖𝑛∅

𝑧 𝑧

𝑥 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠∅

𝑦 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛∅

𝑧 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐀 · 𝐁 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵

𝐀 𝐁

𝑎 𝑎 𝑎

𝐴 𝐴 𝐴

𝐵 𝐵 𝐵

• Cartesian coordinates에서 dot product • Cartesian coordinates에서 dot product

𝐀 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴 𝑎 𝐴

𝐁 𝑎 𝐵 𝑎 𝐵 𝑎 𝐵 ^{일 경우}

참고자료 (관련 공식)