3.1 헤르츠의 실험 – 전자기파로서의 빛 3.2 흑체 복사

3장 빛의 양자론

3.1 헤르츠의 실험 – 전자기파로서의 빛 3.2 흑체 복사

3.3 레일리-진스 법칙과 플랑크의 법칙 3.4 빛의 양자화와 광전 효과

3.5 콤프턴 효과와 X-선 3.6 입자-파동의 상보성

3.7 중력이 빛에 영향을 주는가?

3.1 헤르츠의 실험

 맥스웰

• 교류전류는 주위에 진동하는 전기장과 자기장을 형성

• 파동의 진동수는 전류 진동들의 진동수와 동일함을 예측

• 복사 파동원이 빛과 같이 행동함을 예측

• 전자기파는 금속 거울에 반사

• 유리와 같은 유전체에 의해 굴절

• 편광, 간섭현상

• 도선으로부터 바깥쪽의 진공을 3×10⁸ m/s의 속력으로 진행

 빛

• 물질에서 매우 높은 진동수의 전기 진동자에 의해 생긴

맥스웰 파동 또는 전자기파이다 .

헤르츠의 실험의 결과

 헤르츠

• 맥스웰의 이론이 맞고

• 진동하는 전류는 빛의 모든 특성을 갖는 전자기파를 방 출함을 보였다

• 1cm 정도 떨어진 작은 구형 금속으로 만든 작은 스파크 갭 진동자에 고전압 펄스를 가함

• 5×10⁸ Hz의 고주파 발생

• 작은 스파크 갭을 가진 간단한 수신기 제작

• 수백 미터 떨어진 곳에서 전자기 복사를 감지

• 검출된 복사선이 약 60cm의 파장을 가진다

• 이들 전자기파가 반사되고 , 굴절되고, 집광 시킬 수 있고 , 편광을 만들 수 있음을 보임

 헤르츠의 파동과 광파가 동일한 것이다

3.2 흑체복사

 흑체문제

• 특정온도에서 뜨거운 고체로부터 방출된 파장에 따른 복사세기를 예측하는 것

 1792년 웨지우드

• 오븐에 있는 모든 물체가 화학적인 성질 , 크기, 또는 모양에 관계없이 같은 온도에서 빨강색으로 변함을 관찰

 1800 중반

• 빛을 내는 고체는 연속 스펙트럼을 방출한다

흑체

 1959년 키르히호프

• 열역학에 기초하여

• 복사와 열적 평형인 물체의 방출 일률 은

• 흡수 일률에 비례한다 ,

─ :가열 물체에서 나오는 단위 진동수당 단위 면적당의 방출 일률

─ , : 빛의 진동수 와 절대온도 에만 의존하는 우주 함수



─ : 흡수일률



흑체

 흑체

• 자신에 도달하는 모든 전자기 복사를 흡수하여 검게 보 이는 물체에 대하여 1이므로

• 흑체에 대한 키르히호프의 법칙 ,

• 흡수와 방출이 키르히호프의 법칙으로 연결되므로

• 흑체 또는 완전 흡수체가 이상 복사체이다

• 오븐에서의 작은 구멍과 같이

어떤 가열된 공동에서의 작은 구멍은 흑체처럼 행동한다

스테판의 법칙

 1879년 스테판의 법칙

• 뜨거운 고체에서 방출된 단위 면적당의 전체 일률

• 전체 온도의 네제곱에 비례함을 실험적으로 발견

─ : 모든 진동수에 대해 흑체 표면에서 방출된 단위 면적 당의 일률

─ : 스테판-볼츠만 상수

5.67 10 W · m · K

• 이상 복사체가 아닌 물체

1

예제 3.1 스테판의 법칙

 태양의 표면 온도는 ?

•

R

• 지구-태양 사이의 평균거리 R = 1.5×10¹¹ m

• 지구 표면에서 태양으로부터 오는 단위 면적당의 일률

e

• 태양을 흑체로 가정

 태양 표면에서 단위 면적당 전체 일률 e

( ) R

  T

2 2

total

( ) 4

( ) 4 e R   R  e R   R

2 total

( )

( )

e R e R R

 R

2 1/4 total

4

( ) 5800 K

e R R

T  T

  

   

 

빈의 변위 법칙

 빈의 변위법칙

• 흑체가 뜨거울수록 최대 일률 방출을 나타내는 파장인 λ

가 단파장으로 이동한다

• λ_max : 흑체의 최대 세기에 해당하는 파장

•

T : 복사선을 방출하는 물체 표면의

• 사람 눈의 최대 감도가 태양 (흑체) 에서의 λ

와 일치한다고 가정하면

3

max

T 2.898 10 m K

  



3 9

2.898 10

5800 K 500 10

T





  



흑체 스펙트럼의 에너지 밀도

 벽과 평형을 이루고 있는 빛의 경우

• 구멍의 제곱미터당 방출되는 일률은

공동 내 빛의 에너지 밀도에 단순 비례한다

 1983년 빈의 추축

 파센

• 1~4 μm의 적외선영역과 400~600 K의 온도에서 빈의 추측을 확인

• 1500 K까지 가열한 물체도 빈의 추측과 잘 일치

 1900년 루머와 프링스하임

 루벤스와 쿨하임

• 양팀은 모두 빈의 법칙이 높은 λ 영역에서 성립하지 않는다고 결론

3 /

( , ) ^{f T}

u f T

Af e

( , ) ( , ) / 4

J f T  u f T c

플랑크의 흑체 법칙

 1900년 10월 플랑크

• 고진동수

• 저진동수

• 스펙트럼 에너지 밀도가 저진동수에서 온도에 비례 (루벤스)

3

/ 3

8 1

( , )

1

hf k TB

u f T hf

c e

 _{ }

     

( hf k T /

1)

( hf k T /

1)

3 3

/ /

3 3

8 1 8

( , )

1

B B

hf k T hf k T

hf hf

u f T e

c e c





    

3 2

/

3 3

8 1 8

( , )

1

B B

hf k T

hf f

u f T k T

c e c

 _{ } 

      

에너지의 양자

 플랑크의 가정

• 흑체 복사가 공명자라고 부르는 진동하는 미시 전기 전하에 의해 발생

• 뜨거운 공동의 벽은 서로 다른 진동수로 진동하는 많은 공명자로 이루어졌다

• 역학적 진동수가

f

hf

• 공명자가 다음의 낮은 에너지 상태로

떨어질 때 진동수

f

• 공명자는 임의의 에너지를 잃거나 얻을 수 있는 것이 아니라 오직 유한한 값

hf

resonator

1,2,3, E  nhf n  

 E hf 

예제 3.2 양자 진동자 (1)

540 nm의 녹색을 방출하는 원자 진동자의 최소 에너지 변화는?

700 nm의 빨강 빛을 방출하는 원자 진동자의 최소 에너지 변화

green

34 8

19 19

(6.63 10 )(3 10 )

3.68 10 J 540 10

2.30 eV

E hf

hc





 





 

   





red

34 8

19 19

(6.63 10 )(3 10 )

2.84 10 J 700 10

1.77 eV

E hf

hc





 





 

   





34 15

6.602 10 J s 4.136 10 eV s

h  

  



1.204 10 eV m 1240 eV m6

hc

예제 3.2 고전 진동자 (2)

 진자의 진동수

 진자의 전체에너지

• 큰 진동계의 에너지 양자화는 원자 진동자의 고진동수에 비해 저진동수이므로 측정이 불가능하다

1 0.50 Hz 2

f g







1 m



m



E mg



 E hf

0.015 J

E 

2.2 10

E E

  

스펙트럼 에너지 밀도

 스펙트럼 에너지 밀도

• 와 사이의 진동수를 가진 진동자의 수 와 진동자당 방출하는 평균 에너지 의 곱으로 표현

,

 길이가 인 정육면제 공동에 갇힌 와 의 진동수를 갖는 정상파의 수

• 어떤 모양을 가진

,

• 실험적으로 같은 값을 갖는 것으로 알려져 있다

• 가장 간단한 모형인 정육면체를 사용

• 경계에서 파가 사라지는 경계조건을 적용

공동 내의 진동수 계산 (1)

 맥스웰 방정식 , ,

• 시간에 무관한 방정식

• 변수분리

cos sin

• 경계조건

0 0 0 sin ,

공동 내의 진동수 계산 (2)

 k와 k + dk 의 파수를 가지는 정상파의 수

 전자기파는 각 모드에서 두 개의 수직된 편광을 가지므로

 이므로

( , , ) sin( )sin( )sin( )

x x y z

E x y z  A k x k y k z

2

2 2 2 2

2

(

)

k n n n

L

   

2 2

18

3 2

(4 )

( ) ( / ) 2

k dk Vk dk N k dk

L



 

 

2 2

( )

N k dk k dk

V ^ 

2 / k   f c

2 3

( ) 8 f

N f df _  df

공동 내의 진동수 계산 (3)

 단위 부피당 모드의 수 – 모드의 밀도

 스펙트럼 밀도 ,

 → 0 (고진동수) 일 때 발산

• 자외선 영역에서 무제한의 에너지를 방출한다

(

)

2 3

( ) 8 f

N f df df

c

 

4

( ) 8

N   d  d 

 

2 3

( , ) 8 f

u f T df k Tdf

c

 

4

( , ) 8

u  T d   k Td 

 

3.3 레일리-진스와 플랑크 법칙

 플랑크

• 공동 벽 내에서 진동하는 전기 전하를 가진 공동 복사의 열적 평형에 관심을 가짐

 레일리

• 공동 내의 전자기파에 대하여 직접적으로 관심을 가짐

 레일리 -진스

• 공동 내에서 정상 전자기파가 온도

T

• 이들이 벽과 계속해서 에너지를 교환해서 공동 내의 온도계가 벽과 같은 온도를 유지

• 정상 편광된 전자기파  일차원 진동자와 같다고 고려

( , ) ( )

u f T df  EN f df

레일리-진스 법칙

 온도 T인 큰 계에서 어떤 최소 에너지 E

보다 큰 에너지를 가진 개별적인 계를 발견할 확률

 불연속적인 허용 에너지 집합에서의 평균 에너지

 레일리는 진동자가 연속적인 에너지 값을 가질 수 있다고 가정하였으므로

( 0)/

( )

P E  P e

( ) ( ) E P E

E P E

  



/ 0

/ 0

B

B

E k T E k T B

Ee dE

E k T

e dE

 

 







플랑크의 평균에너지 유도

 플랑크

• 공동 벽 내에서 공명자의 에너지 상태에 관심을 가짐

• 복사의 스펙트럼 양을 결정하기 위해서

공명자와 공동 복사가 열적 평형상태에 있다는 조건을 이용

/ 0

/ 0

( ) ( )

( )

B

B

nhf k T nhf k T

EP E nhf P e

E P E P e



   

  ^

/ /

(1

)

E hf   e

 ne

0

1 1

n n

r r





 



/ /

/ 2

(1 )

B B

B

hf k T nhf k T

hf k T

ne e

e

 

 



/

/ /

1 1

B

B B

hf k T

hf k T hf k T

hfe hf

E e e







 

2

1

1 (1 )

n d n d e

ne e

d d e e

  

 

 

  

 

 

       

 

플랑크의 법칙

 평균에너지

 스펙트럼밀도

/ ^B

1

hf k T

E hf

 e



2

/ 3

( , ) ( ) 8

1

hf k TB

f hf

u f T df EN f df df

c e

 _{ }

      

( ) ( ) df c

( )

N N f N f

 d

 

 

/

2 3

8 ( / ) ( / ) ( , )

1

hc k TB

c c h c

u T d d

c e

  

  





 

     

/ 5

8 1

( , )

1

hc k TB

u T d hc d

e

   



 

     

예제 3.3 스테판의 법칙

 모든 파장에서 복사된 단위 면적당 전체 일률

2

total 0 0 5 /

( , ) 2

4 (

1)

c hc

e u T d d

e

   



 

 

  

/ _B

x hc k T  0 x   x 0

   

2 B

dx hc d

k T 

  ^{2 2}

2

B B

B

k T k T hc dx

d dx

hc hc k T x

    ^ ^

 

5 5

2

total 2 0 2

1

B

x B

k T hc x dx

e hc

hc k T e x



    



4 4 3 5 4

4 4

2 3 0 2 3

2 2

1 15

B B

x

k T x k

dx T T

c h e c h



 

  



5 4 5 23

8 2 4

2 3 8 34

2 2 (1.381 10 )

5.67 10 Wm K 15 15(3 10 )(6.626 10 )

k

c h

 



 

3 4

0 ^x 1 15

x dx e



 



3.4 빛의 양자화와 광전 효과

 1905년 아인슈타인의 중요한 논문들

1. “빛의 생성과 변화에 관한 혁명적인 관점”

• 빛의 양자론을 수식화

• 광전효과를 설명

2. “열의 분자 운동에서 필요한 액체에 매달린 입자 의 운동에 관해서 ”

• 브라운 운동을 설명

• 원자의 실재성을 강하게 증명

3. “운동하는 물질의 전기 동력학에 관해서”

• 특수 상대론

빛의 양자에 관한 논문

 아인슈타인은 맥스웰과 대립

• 빛의 고전적인 파동론에 대해서 검증되지 않는 성공에 도전하였다

 플랑크의 주장이 일관성이 없다고 인식

• 흑체의 벽 내에 있는 진동자를 플랑크가 양자화

• 고전적인 전자기파로 이루어진 공동 복사가 고전적인 전자기파를 이룬다

 흑체 복사의 엔트로피 변화가

• 서로 독립적인 입자로 이루어진 이상 기체의 엔트로피의 변화와 유사함을 보임

 빛 자체가 유한한 크기의 덩어리 또는 에너지의 양자로 이 루어졌다고 결론

• 물질과 상호작용하는 빛이 양자로 이루어졌다

광전효과

 헤르츠

• 깨끗한 금속 표면에 자외선 빛을 쪼일 때 전하가 방출

 할박스 (1888)

• 방출전하의 전하가 음(–)임을 보임

 톰슨 (1899)

• 방출 전하가 전자임을 보임  광전자

• 자외선 빛에 의해 생성된 입자의 전하 대 질량비를 측정

 레나르트

• 매우 강한 아크 광원으로 광전효과에 대해 연구

• 금속으로부터 방출된 전자의 속도는 다양

• 광전자의 최대 운동에너지 가 입사 빛의 세기와 무관

• 가 빛의 진동수에 따라 증가

광전효과 실험 장치

 광전자의 최대 운동에너지

• 전압을 서서히 증가시켜 전류가 0이 되도록 함으로써 측정

• 나 가 빛의 세기

I에 무관

• 빛의 세기가 증가

 전류가 증가

고전적으로 설명 가능

• 가 빛의 세기와 무관

 고전적으로 설명불가

1 2

max 2 e max s

K

m v

eV

광전효과

 고전적으로 설명이 되지 않는 광전효과의 결과

• 빛의 진동수에 따른 의 선형 의존성

• 광전자가 방출되지 않는 임계 진동수 ₀가 존재

• 일함수 라고 부르는 임계 에너지

• 금속 내에서 전자의 결합에너지와 관련

• 고전적으로 예측이 가능

─ 고체에서 전자를 잡아두는 장벽이 있다는 것

─ 전자가 진공에서 금속으로부터 자발적으로 방출되지 않는 사실로부터 명백

─ 방출을 위해서는 고온 또는 높은 입사 에너지가 필요하다

• 빛이 조사되는 순간 광전자가 방출

• 만약 시간지연이 있다면

─ 10 s 이하임이 실험적으로 확인

예제 3.4

(a) 가 입사 빛의 세기 에 의존

• 고전적인 이론에 의하면

• 광파에서 에너지는 파면 전체에 걸쳐 균일하고 연속적으로 퍼진다

• 각각의 전자가 시간

t 동안 흡수하는 에너지

• 에너지가 가장 큰 전자의 운동에너지

• 일 때, 에너지를 흡수하는 시간 t 동안 전자 방출이 없음

• 일 때, 빛이 세면 셀수록 더 많은 전자를 방출

(b) 가 입사 빛의 진동수와 무관

∝

(c) 시간지연

• 전자는 일함수를 극복하기 위해서 충분한 에너지를 축적해야 한다 1.2 10 s 130

2

ave rms

0

I S 1 E

c 

 

0

S 1 E B

  

   E

B  c

아인슈타인의 광전효과

 맥스웰의 설명

 아인슈타인의 설명

• 광에너지가 균일하게 분포하는 것이 아니라, 양자 또는 에너지

hf

0

S 1 E B

  

  

E B

x t

   

 

B E

x   t

   

 

2

ave rms

0

I S 1 E

c 

 

광전효과

 방출전자의 최대 운동에너지

• : 금속의 일함수,

전자가 금속에 구속되어 있는 최소 에너지

 진동수 가 일정한 경우

• 가 변하지 않더라도

빛의 세기가 증가하면 더 많은 빛 방출

 임계진동수

를 갖는 빛

• 방출 전자의 운동에너지가 0이다

⁄

• 인 빛  광전자를 방출하지 않는다

K

 hf  

3.5 컴프턴 효과와 x-선

 x-선

• 1895년 독일의 물리학자 뢴트겐이 발견

• 금속 표면을 때리는 빠른 속력의 전자빔이 새롭고 침투 성이 강한 빛을 발생함을 발견

• 10

m의 파장

브래그 반사

 브래그

• 1912년 삼차원 격자로 방해석과 같은 단결정을 사용

 브래그 방정식

2 sin

n   d 

브래그반사의 결과

 브렘스트랄룽 (bremsstrahlung)

• 넓고 연속적인 x-선 스펙트럼

• 금속 원자로부터 전자의 빗겨감 또는 직접적인 산란

• 이러한 충돌에서 일부만이 복사로 전환

• 대전입자가 감속할 때 나오는 복사

 λ

: 연속적인 x-선의 최소 파장

• 표적성분과 무관

• 튜브 전압

V 에만 의존

• 정면충돌하는 전자-원자 충돌의 경우로 설명

 K

,K

: 표적성분에 의존

min

eV hf hc

 



컴프턴 효과

 고전적인 모형

• 진동수 f

인 입사 복사는

입사 복사의 진행 방향으로 전자를 가속시킴

• 전자를 강제 진동시켜 진동수 으로 재복사

•

• 산란된 복사의 진동수 또는 파장

• 입사 복사의 세기뿐만 아니라

• 전자가 입사 복사에 노출된 시간에 의존한다

f   f

f 

컴프턴 효과

 양자 모형

• 파장에 따른 산란된 x-선의 세기를

3개의 다른 각도에서 측정

(1 cos )

e

h

 

m c



컴프턴 산란의 정석적 분석

 에너지 보존

 운동량 보존

2

e e

E m c   E   E

cos cos p  p

  p ^  0  p

sin   p ^ sin 

2 2 2

2 cos

p

 p  p ^  pp ^  ^p

^{ E} _c ^{ hf} _c

2 2 4 2 2

e e e

E  m c  p c

(1 cos )

e

h

     m c  

2

(( )

)

( )

2

( )

e e e e e e

E  E E    m c  h f  f   m c h f  f   m c  m c  p c ( f  f m c ^ )

 hff ^ (1 cos )  

2

(1 cos )

e

c c c c

m c h 

   

       

      

    

3.6 입자-파동의 상보성

 컴프턴 효과

• 빛이 물질과 상호작용할 때

• 에너지가 hf 이고, 운동량이 h/λ인 입자들로 이루어진 것처럼 행동을 보인다

 의문점

• 만약 광자가 입자라면 입자의 진동수와 파장은 무슨 의미 ?

• 어떤 의미에서 빛은 파동과 입자성을 동시에 갖는가 ?

• 광자의 질량이 0이라도 중력질량을 가질 수 있는가?

• 광자의 공간 퍼짐은 ?

• 전자는 광자를 어떻게 흡수하고 산란시키는가 ?

3.7 중력이 빛에 영향을 주는가?

 광자의 유효 관성 질량 m

• 광자 에너지 E의 동등한 질량으로 정의

• 광자 운동량을 광속 c로 나누어서 정의

• 유효 관성 질량은

• 전자와 충돌하는 동안 광자에 작용하는 것과 같은 외부 힘에 어떻게 반응하는지를 결정

2 2

i

E hf m  c  c

i 2

p hf

m  c  c

광자의 중력질량

 물체의 중력질량

• 물체와 다른 물체의 중력에 의한 인력으로 결정

 광자 또한 관성질량을 갖는다고 가정

• 진동수의 변화

• H = 50 m

B B A A

KE  PE  KE  PE 1 gH

f f

c

 

    

 

2

Δf f f gH

f f c

   

5.4 10

f f

 _

중력 적색 이동

 중력 적색 이동

• 무한대의 밖으로 탈출하는 광장의 경우 진동수가 감소

• 방출된 광자가 스펙트럼의 빨강색 쪽으로 이동

   

R R Rs

KE PE 

 KE PE 

( ) GMm

PE R   R

0

s

GM hf hf hf

R c

 

       

1

s

f f GM

R c

 

    

 

예제 3.9 백색왜성

 백색왜성

• 태양의 질량을 갖는 지구 크기의 무거운 별

•

•

•

1.99 10 kg30

M

6.37 10 m6

R

11 2 2

6.67 10 N m /kg

G

4 2

Δ 2.31 10

s

f GM f R c

  

f c

  c

f

df d  d 

 

    Δf df d

f f



 Δ

Δ f (300 nm)(2.31 10 ) 0.0695 nm

   ^  f ^   



 

블랙홀

 별의 밀도가 매우 높아 인 경우

•

• 탈출하려면 광자가 처음에 가지고 있던 에너지보다 더 큰 에너지가 필요하다

 블랙홀을 관측하는 간접적인 방법

• 블랙홀이 정상적인 빛을 내는 별과 쌍성계를 형성할 때 이 별에 작용하는 중력 인력을 통해

• 정상적인 별은 질량중심에 대해 공정하므로

• 블랙홀에 빨려 들어가는 물질에서 나오는 x-선을 관측 /

1

GM R c 

f   f