5.5 전자가 파동이라면, 무엇이 파동치는가?

5장 물질파

5.1 드브로이의 시험적 파동 5.2 데이비슨-거머 실험

5.3 파군과 분산

5.4 하이젠베르크의 불확정성 원리

5.5 전자가 파동이라면, 무엇이 파동치는가?

5.6 파동-입자의 이중성

5.7 맺음말

5.1 드브로이의 시험적 파동

 보어 이론의 문제점

• 관측된 스펙트럼선의 세기를 예측하는데 실패

• 많은 전자들을 가진 원자에서의 방출과 흡수 파장을 제한적으로만 예측하는데 성공

• 어떤 초기 상태로부터 시작하여 운동하는 원자계의 시계에 의존하는 운동방정식을 만드는 데 실패

• 물질의 입자성을 지나치게 강조

• 최근에 발견된 빛의 파동-입자의 이중성을 설명하지 못함

• 양자화되는 다른 계의 일반적인 구도를 제고하지 못함

• 주기운동을 하지 않는 계에서는 더욱 불가능

드브로이의 물질파

 1923년 드브로이의 학위 논문

• 광자가 파동과 입자의 성질을 가자고 있기 때문에, 모든 형태의 물질은 아마도 입자성뿐만 아니라 파동성도 갖고 있을 것이다

 물질파의 파장과 진동수

• 비상대론 운동량

• 상대론적 운동량 h

  p E

f  h

2 p  mK

1/2

2 2 1

2 p Km K

mc

 

   

양자화에 대한 드브로이의 설명

 보어의 원자모형의 문제점

• 전자가 핵 주위를 회전할 때, 어떻게 특정한 전자의 에너지만 허용되는가?

• 원소 내의 전자들의 속도와 위치가 다양한 데, 어떻게 정확히 같은 물리적 성질을 갖는가?

 드브로이

• 물질의 파동이론에 의한 간섭현상으로 설명

• 튕겨진 기타줄

• 불연속적인 파장들을 갖는 정상파만 남고, 나머지는 상쇄 간섭으로 사라진다

• 원자는 축소된 태양계와 같은 것이 아니라, 불연속적인 진동모드를 갖는 북가죽과 같다

각운동량의 양자화

 파장의 정수배가 원궤도의 둘레와 정확히 같으면

전자의 물질파가 보강간섭을 일으키기 때문에 허용되는 보어 궤도가 생긴다

2 n  r

e

h h

p m v

  

2

e

n h r

m v 

 

  

  2 ^e

n h m vr



  

 

 

m vr n

 

예제 5.1 야구공의 파동성

 간섭이나 회절은 그 파장과 거의 같은 크기의 물체나 구멍에 의해 산란될 때 나타난다

60 mi/h (=96 km/h = 27 m/s)의 속력으로 날아가는 140 g의 야구공에 대한 물질파의 파장은 ?

• 핵의 크기 10^–15 m보다 훨씬 작은 파장

 모든 거시적인 물체는 입자처럼 보인다

-34 34

6.63 10 J s

1.7 10 m (0.14 kg)(27 m/s)

h

  p  ^{ }   ^

보기 5.2 회절현상을 보이는가?

전하 q, 질량 m 인 입자가 정지 상태에서 전위차 V 인 곳으로 가속되고 있을 때

(a) 입자가 비상대론적이라고 가정하면

(b) 50 V 일 때 전자의 드브로이 파장은?

• 원자의 크기나 고체 내의 원자 사이의 거리와 비슷

 저에너지의 전자는 표면의 원자 위치를 결정하기 위한 전자 회절 실험에 사용

2 2 12

2

K mv p qV

  m 

2

h h

p mqV

  

34 10

32 19

6.63 10 J s

1.7 10 m 2(9.11 10 kg)(1.6 10 C)(50 V)

 ^{ }

 

 

  

 

연습문제 1 상대론적인 파장

 정지 상태에서 전위차가 큰 V를 통해 가속되는 전자

• K = eV 이므로

2 2 2 _e2 4 ( _e 2 2)

E  p c  m c  K m c

2

2 ( 2 1)

 _e 2 

e

p Km K

m c

1/2

2 1

2 _e 2 _e

h h K

p Km m c



 

    

 

1/2 9 1/2

1/2 2 1/2 2

1 1.228 10

1 1

2 2

2 _{e e e}

h eV eV

V m c V m c

 em

  

    

       

   

5.2 데이비슨-거머 실험

 1927년 데이비슨과 거머의 회절 실험

• 전자가 λ = h / p 의 파장을 갖는다는 직접적인 실험적 증거

• 다결정의 니켈 표적으로부터 방출되는 느린 속력의 전자 빔을 탄성 산란시켜 니켈 시료표면의 원자 배열을 이해하는 것이 목적

• 실험변수

• 전자의 에너지

• 니켈 표적의 방향 α

• 산란각 ϕ

• 100 eV의 일정한 전자 에너지

산란세기는 ϕ가 증가함에 따라 급격히 감소

• 우연한 사고 후 재실험

데이비슨-거머 시험의 결과

 각도에 따른 산란전자의 세기가 아주 다양하게 관측

• 다결정시료가 단결정 구조로 바뀐 결과

1인 회절의 극대값 90.0°

54.0 50.0°

데이비슨-거머 실험의 해석

 전위차 V 에서 가속되는 비상대론적인 전자의 속도

 니켈 원자를 반사회절 격자로 간주

• 저에너지 전자는 결정 속으로 깊게 침투할 수 없으므로

오직 원자의 표면층만 고려

1.67 10 m10

2 _e

h h

p eVm

     ^

sin 1.65 10 m10

  d    ^

2.15 10 m10

d   ^

예제 5.3 열중성자

 중성자가 결정에서 회절하려면 , 어느 정도의 운동에너지를 가져야 하는가 ?

 중성자의 드브로이 파장이 내부 원자 사이의 거리와 크기가 비숫하면 약간의 회절이 일어나게 된다

• λ = 1.00^×10^–10 m

• 중성자의 정지질량 에너지 940 MeV^{보다 훨씬 작다}  비상대론적

• 실온 (300 K)에서의 중성자의 평균 열에너지

34 24

10

6.63 10 J s

6.63 10 kg m/s 1.00 10 m

p h



 



 

    



2 24 2

20 27

(6.63 10 kg m/s)

1.32 10 J 0.0825 eV 2 _n 2(1.66 10 kg)

K p

m

 



 

    



3 3(8.62 10 eV/K)(300 K) 0.0388 eV5

K  k T   ^ 

5.3 파군과 분산

 운동하는 입자를 발견하는 물질파

• 특정 시간에 작은 영역의 공간에서 입자를 발견할 확률이 매우 크다

 파군 (wave group), 펄스

• 공간의 제한된 영역에 존재하는 파

• 서로 다른 파장을 갖는 많은 사인형 파동의 중첩에 의해 형성

• 고전적인 입자속력과 같은 v_g^{로 운동한다}.

 사인형 물결파

• 움직이면서 무한히 펼쳐져 있고 진폭이 일정하게 진행하는 파

• 공간에 국소적으로 존재하는 작은 입자들을 적절하게 기술하지 못함

• 하나의 정확한 파장을 갖고 진행하는 평면파는 추상적인 개념이다

파군 속력

 관측된 모든 파형은

• 유한한 영역의 공간에 제한

• 물질파의 경우 이들 파동을 펄스, 파군 또는 파동 묶음이라고 한다

• 파군은 작은 공간 영역에서 보강간섭을 일으키는 서로 다른 파장과 진폭, 그리고 위상을 갖는 파들의 중첩으로 구성되어 있다

• 맥놀이 현상

 위상 속력 v

를 갖고 양 (+)의 x 방향으로 진행하는 파동

• v_p : 파동의 위상이 일정한 점의 이동 속력 cos 2 x 2

y A   ft



 

    v^p  f 

k 2

    2 f

 

cos

y A kx t v _ 

파동의 중첩

 진폭은 같지만 파장과 진동수 , 그리고 위상 속도가 약간 다른 양 (+)의 x 방향으로 진행하는 두 파동의 중첩

1 2 1 1 2 2

1 1

2 1 2 1 1 2 1 2

2 2

cos( ) cos( )

2 cos (( ) ( ) ) sin (( ) ( ) )

y y y A k x t A k x t

A k k x t A k k x t

 

   

     

      

1 1

2 2

cosacosb  2cos (a b )cos (a b )

포락선과 포락선 내의 파동

 포락선과 포락선 내의 파동은 서로 다른 속력으로 운동한다

 포락선 내에 있는 파동의 경우

• 고진동수 파동의 경우 이므로

 포락선 또는 군의 속력

⁄2

⁄2

∆

∆

• 제한적인 지속 시간 Δt 와 제한된 공간 범위 Δx^{를 갖는다}

1 2 1

1

1 2 1

( ) / 2 ( ) / 2

vp v

k k k

  

  



중첩된 파동

 천천히 사인 모양으로 변하는 포락선 (envelope)

 포락선 내의 고진동수 파동

Δ Δ 2 cos

2 2 A _ k x _  t_

 

 

1 1

1 2 1 2

2 2

cos (k  k x)  (  )t

Δ Δ 2

k  x  

2

k x 

   

2

 t 

   

Δ Δ

2  t 

군속도와 분산

 군속도

• 연속적인 파동 분포를 갖는 많은 파동을 합해야만 제한된 범위 안에서만 존재하고, 그 밖의 영역에서는 영인 파동 묶음을 만든다

• 파동 묶음의 속도

• v_p : k 또는 λ의 함수인 위상 속도

 분산현상

• 위상 속도가 파장에 따라 변하는 물질은 분산현상을 보인다

0

0

0

g

k

p p k

k

v d

dk

v k dv dk

 

 

kvp

 

예제 5.4 분산 매질의 군속도

특별한 물질에서 파동의 위상 속도는 파장이 반으로 줄 때 두배가 된다 .

이 계에서 파군이 중심 위상 속도의 두 배로 움직임을 보여라

p

v Ak A



   A  2A

0 0

0

0 2 0 2

p

g p k k p

k

v v k dv Ak kA Ak v

  dk    

예제 5.5 깊은 곳에서 수면파

 깊은 곳에서 수면파의 위상속도

1/2 p 2

g g

v k





     

0

0

0

0

1/2 12 3/2 0

12

0 0 0

1 1

2 2

p

g p k

k

k

p k

v v k dv dk

g g

k k k

g g g

k k k v

 

   

    

 

 

     

        

     

물질파 묶음의 위상속도

 물질파의 진동수와 파장

 물질파의 위상속도

f E

 h h

  p

2 2

1 1

p

E mc mc

v f c c

p p k

 ^{   }

         

2 2

h h

p  k

  

  

      

2 2 2 4 2 2

1 m c2

E p c m c pc

    p

물질파 묶음의 군속도

 질량이 m 인 입자를 나타내는 드브로이 파들은

• 빈 공간에서도 분산되며,

• c 보다 크거나 또는 적어도 같은 속력으로 진행한다

• 이들 성분 파동들은 서로 다른 속력으로 진행

• 시간이 지남에 다라 파동 묶음의 폭 Δx 는 퍼지거나 분산된다

0 0

2 2

1 ( / 0)

p

g p

k p k

dv c c

v v k

dk mc k v

 

     

   

2 2

p

E mc c

v p mv v



   

5.4 하이젠베르그의 불확정성 원리

 하이젠베르그

• 행렬역학이라고 하는 양자역학의 완벽한 이론을 만듦 .

• 보어 이론의 문제점을 해결

• 관측할 수 없는 전자 궤도의 가설

• 양자 상태 사이의 전자적 점프에 대한 전이 확률과 같은 측정할 수 있는 양에 근거

• 전이확률은 처음 상태와 마지막 상태에만 의존

• 서로 교환하지 않는 대수의 형태로 이론을 기술

• 보른 – 이 이론이 행렬로 표시될 수 있음을 간파

• 보어 , 하이젠베르그, 보른

• 행렬역학을 창시

불확정성 원리

 만약 위치 측정의 불확정도가 ∆ 이고,

x 방향에서 동시에 측정한 운동량의 불확정도가 ∆ 이라면, 이들 두 불확정도의 곱은 결코 ⁄ 보다 작을 수 없다, 즉 2

2

• 불가피한 불확정도 ∆ 와 ∆ 는 실제 측정 기구의 불완전한 데서 오는 것이 아니다

1

2 → 1

2 2

• 하나의 불확정도가 감소하면, 다른 하나는 증가한다.

• 하나의 불확정도가 0에 접근하면, 다른 하나는 ∞로 증가

에너지-시간 불확정성 원리

 또 다른 중요한 불확정성 관계

• 파동 묶음의 에너지 불확정도 ∆ 와

• 그 에너지를 측정하는 데 걸리는 시간 ∆ 와의 불확정도 1

2

• 이므로

2

• 어떤 계의 에너지를 알 수 있는 정확도

• 그 에너지를 측정하는데 걸리는 가능한 시간에 의해 제한

─ 수명을 직접 측정할 수 없지만

─ 에너지 또는 질량의 불확정도를 측정할 수 있는 수명이 매우 짧은 아원자 입자의 수명을 측정

하이젠베르그의 사고실험

 하나의 광자가 정지해 있는 전자와 산란된 후 , 현미경의 렌즈로 입사

• 산란된 광자는 –θ^에서 +θ ^{범위로 산란}

• 되튀긴 전자

• 전자 운동량의 불확정도

• 현미경의 분해능(전자상의 불확정도) (2 sin ) /

px h  

 

/ (2sin )

x  

  2 sin

x

p x h   h

 

  

      

예제 5.6 거시적인 물체

(a) 한 변이 15 m인 방 안에 있는 100 g의 라켓볼이 x 축 방향 으로 2.0 m/s로 운동

• 속도의 퍼짐

(b) 공이 x 축을 따라 잘 정의된 고전적인 경로에 수직한 y 축을 따라서 갑자기 운동하면 , 1 s동안에 얼마나 멀리 이동하는가?

34

1.05 10 J s 36

3.5 10 kg m/s 2 2(15 m)

px

x

 

 

     





36

3.5 10 kg m/s 35

3.5 10 m/s 0.100 kg

x x

v p

m

 

  

    

35

3.5 10 35

1.8 10 2.0

x x

v v

 

    

3.5 10 m/s34

y x

v v ^

    

예제 5.7 베타붕괴의 전자

 핵 내에 전자가 존재한다면 전자의 운동량

 전자의 에너지

 따라서 전자의 운동에너지

 베타붕괴에서 방출되는 전자의 에너지는 1 MeV 이하이므로 전자는 핵 내에 존재할 수 없다

5.0 10 m15

x ^

  

16 8

7 15

6.58 10 eV s 3.00 10 m/s

2.0 10 eV/c 20 MeV/c 2 2(5.0 10 m)

px

x c





  

      

 



2 2 2 _e2 4 (20 MeV/c)2 2 (0.51 MeV)2 (20 MeV)2

E  p c  m c  c  

2 19.5 MeV K  E mc 

예제 5.8 스펙트럼선의 폭

(a) τ = 1.0 × 10

s의 경우

들뜬 상태의 붕괴에 의해 방출되는 빛의 선폭 Δf

• ΔE : 들뜬 상태가 붕괴할 때 방출되는 광자의 에너지의 불확정도

 (b) 이 과정에서 생기는 스펙트럼선의 파장이 500 nm일 때 확장 정도 (fractional broadening) Δf / f 는?

2 2.0 10 s8

E t ^

  

 

 

E h f 

    

6 8

1 8.0 10 Hz 2 (2.0 10 s)

f  ^

   



8

14

0 9

3.0 10 m/s

6.0 10 Hz 500 10 m

f c

 ^

    



6

8.0 10 Hz 8

1.3 10 Hz

f _

    

5.5 전자가 파동이라면?

 물질파를 표현하는 파동함수 Ψ(x, y, z, t)

• 전파하기 위해 매질을 필요로 하는 측정할 수 있는 것이 아니다

• 파동치는 실체는 매질을 필요로 하지 않는다.

• Ψ는 복소수로 표현된다

• 주어진 시간에 작은 공간에서 입자를 발견할 수 있는 확률을 계산

 입자는 파동함수라고 불리는 함수 Ψ(x, y, z, t)로 기술된다

 Ψ*Ψ = |Ψ|

은 (x, y, z)를 중심으로 한 작은 공간 내에서 시각 t에 입자를 발견할 수 있는 단위 부피당 확률이다

 입자를 발견할 확률은 |Ψ|

에 직접적으로 비례한다 .

5.6 파동-입자의 이중성

 전자의 입자성

• 유한한 질량

• 불연속적인 전하

• 작은 공간 영역에서 전자의 측정

 전자의 파동성

• 저에너지 전자의 금속 결정 산란

 전자는 파동인가 입자인가 ?

• 전자는 아주 섬세하며 융통성이 있다. 그것은 전자를 갖고 수행하는 실험의 종류에 따라 입자도 될 수 있고, 파동도 될 수 있다.

• 어떤 경우든지 입자와 파동의 특성을 동시에 측정할 수 없다

• 보어의 상보성

• 파인만

이중 슬릿 전자 회절 실험

 파동 -입자 패러독스의 신비스런 면을 강조

 파동과 입자성을 동시에 측정하는 것이 불가능하다

 간섭효과를 결정함에 있어 파동 함수 Ψ의 사용을 보여준다

이중 슬릿 전자 회절 실험의 결과

 검출기가 충분히 오랜 시간 동안 여러 위치에서 전자들을

모은다면 , 간섭무늬를 얻을 수 있다.

전자를 검출할 확률

 양쪽 슬릿이 모두 열려 있는 상태에서

스크린의 특정 지점에서 전자를 검출할 확률

• 2|Ψ₁||Ψ₂|cos ϕ : 실제로 관측된 간섭무늬를 예측하는 항

2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 cos

           

사고실험

 분명하게 전자가 어느 슬릿을 통과하는지를 측정하기만 하면 측정행위는 전자의 경로에 충분히 영향을 미쳐서 급격히 간섭무늬를 무너뜨린다

• 불확정도 Δy << D

• 간섭무늬가 왜곡되지 않으려면, 검출되는 입자에 의해 산란되는 전자는 Δp_y << h / 2D의 운동량 불확정도를 갖는다.

• 산란된 전자의 운동량 변화 = 검출 입자의 운동량 변화

tan 2

y

x x

p h

p p D

   

h h

   