● 입자상 물질의 특성화

◌

◌

● 입자상 물질의 특성화

- 입자상오염물질의 특성

* 오염물질의 특성화

- 기체상 대기오염물질: 기체의 조성, 기체의 농도

- 입자상 대기오염물질: 입자의 조성(Complex !), 입자의 평균크기, 입자의 수농도 입자의 부피, 입자의 형태

* 입자상물질의 특성화 (표현법) - 입자의 크기, 입자의 수농도

. 실내공기중 입자의 평균수농도는 ∼ ^ ^이다.

(입자상물질의 특성화에는 입자수☓항목이 필요, 실제적으로 기술 불가능) . 통계적 분포함수의 적용

(입자상 물질의 거동을 단순한 기호 몇 개로 표현)

- 입자상오염물질의 분포함수

* 입자상물질의 일반적 측정자료

특징: Discrete (이산, 離散)분포를 가짐.

(입자크기의 종류가 1,000가지 일 경우 1,000가지 이상의 기술(記述)변수가 필요함) .대기 중 입자의 수농도(= 10⁵ #/cm³)인 경우, 기술 불가능

예) 이산적 측정자료 Size Range

( μm )

Count ( # )

Fraction Percent ( % )

Cumulative Percent ( % )

Count / △d_pi ( #/μm )

Fraction / △d_pi ( /μm ) 0-4 104 0.104 10.4 10.4 26 0.026 4-6 160 0.16 16.0 26.4 80 0.8 6-8 161 0.161 16.1 42.5 80.5 0.805 8-9 75 0.075 7.5 50.0 75 0.075 9-10 67 0.067 6.7 56.7 67 0.067 10-14 186 0.186 18.6 75.3 46.5 0.0465 14-16 61 0.61 6.1 81.4 30.5 0.0305 16-20 79 0.79 7.9 89.3 19.25 0.0197 20-35 103 0.103 10.3 99.6 6.87 0.0069 35-50 4 0.004 0.4 100.0 0.27 0.00027

> 50 0 0 0 100.0 0 0

Total 1000 100.0

* 입자상물질 분포의 함수적 표현

- 이산분포의 입자분포를 Continuous (연속, 連續)분포로 전환하여 표현의 단순화가 필요함.

* 입경 5



인 입자의 개수는 ? 입경 8



까지인 입자의 개수는 ?

◌

◌

학과목 집진공학(集塵工學) 담당교수 장혁상 (810-2547)

단원의 주제 입자상물질의 분포함수(Particle Size Distribution) Page 2

Case Study A) 이산적 측정자료의 표현: 측정구간 vs. 입자개수의 표현 Size Range

(mm)

Count (#) 0-4 104 4-6 160 6-8 161 8-9 75 9-10 67 10-14 186 14-16 61 16-20 79 20-35 103 35-50 4

> 50 0

Total 1000

d

_pi

(mm)

0 10 20 30 40 50

Count

0 50 100 150 200

^



^

Case Study B) 이산적 측정자료의 표현: 측정구간/구간폭 vs. 입자개수의 표현 Size Range

(mm) Count / △dpi (#/mm)

0-4 26

4-6 80

6-8 80.5

8-9 75

9-10 67

10-14 46.5 14-16 30.5 16-20 19.25 20-35 6.87 35-50 0.27

> 50 0 Total

d

_pi

(mm)

0 10 20 30 40 50

Count / Ddp

0 20 40 60 80

^

  구간폭 갯수

 

∆^

^, ^



^

Q: "입경이인 입자의 개수는 몇 개인가 ?"의 질문에 대한 답은 어떻게 구해지는가 ?

◌

◌

학과목 집진공학(集塵工學) 담당교수 장혁상 (810-2547)

단원의 주제 입자상물질의 분포함수(Particle Size Distribution) Page 3

Case Study C) 이산적 측정자료의 표현: 측정구간/구간폭 vs. 입자분율의 표현 Size Range

(mm)

Fraction/size (mm^-1)

0-4 0.026 4-6 0.08 6-8 0.0805 8-9 0.075 9-10 0.067 10-14 0.0465 14-16 0.0305 16-20 0.0197 20-35 0.0069 35-50 0.00027

> 50 0

Total

d

_pi

(mm)

0 10 20 30 40 50

(Count / Total Count) / Ddpi

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

d

_p

(mm)

0 10 20 30 40 50 q(dp) Probability Density Function

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10





^

  lim^→



∆^

∆^

 

^

^, 



^







^

2016-07-13 Environmental Aerosol Engineering Laboratory 1

Microscopic Measurement of Particle Size

Reading: Chap 20

• Equivalent sizes of Irregular Particles

– Martin’s diameter:

– Feret’s diameter:

– Projected area diameter:

distance between the smallest lines is 10 mm.

Moving hair (filar micrometer)

2 / 0 2 ⁿ

n d

d 

2016-07-13 Environmental Aerosol Engineering Laboratory 3

Fractal Dimension

Self-similarity at different levels of magnification

D f

m k k

L     ^{1 }

L: total length

 : step size

D _f : fractal dimension For agglomerates,

D f

pp g

pp d

A R

N  





 



  2

N _pp : Number of primary particles R _g : radius of gyration

d _pp : diameter of primary particles

Fractal Dimension

2016-07-13 Environmental Aerosol Engineering Laboratory 5

Agglomerates formed by different mechanisms

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

1장 에어로졸의 분포특성

1.1 서론

에어로졸은 여러 종류의 입자상 물질로 이루어져 있기 때문에 특별한 방법을 동원하 지 않으면 입자의 특성을 완전히 표현하는 것은 불가능하다. 예를 들어 보통 인간이 호흡하는 공기 중에는 서로 다른 크기의 입자상물질이 약 10⁵ 개/cm³ 정도 존재하는 데, 이 입자상물질의 특성을 완전하게 표현하려면 10⁵개의 개별입자에 대한 정보가 입력된 장황한 표가 필요할 것이다. 기체상 오염물질의 경우 특정온도 및 압력에서 기체가 차지하는 부피가 일정하기 때문에 기체의 종류와 온도 및 압력조건만 나타내 면 이 오염물질의 특성이 모두 표현된다고 볼 수 있다. 하지만 입자상 물질의 경우 개별입자의 특성이 모두 다르기 때문에 개별입자에 대해 모두 설명을 해야만 그 입자 상 물질 집단의 특성이 설명되며, 특히 입자상물질의 화학적 조성이 입자별로 다를 경우 이 에어로졸의 특성을 정확히 표현한다는 것은 거의 불가능하다. 그리고 입자상 물질이 일으키는 현상은 집단적으로 나타나는 현상이기 때문에 집단적 특성을 적절히 표현하는 방법의 사용이 매우 중요하다.

1.2 입자분포의 성질

에어로졸을 이루는 입자상물질은 일반적으로 매우 폭넓은 크기분포를 가진다. 입자 상물질이 넓은 크기영역에 걸쳐 존재하는 경우 복합분포 (polydisperse distribution)를 이룬다고 표현하고 입자상물질이 모두 같은 크기를 가지는 경우 단분포(monodisperse distribution)를 이룬다고 표현한다. 단분포를 이룰 경우 입자상물질의 특성은 입자크 기와 수농도만으로도 표현 가능하지만 공기 중에 존재하는 입자상물질은 복합분포를 이루기 때문에 복합분포에 관련된 표현법을 사용하는 것이 필요하다. 실험적으로 입 자상물질을 크기영역별로 나누어서 측정하는 것이 가능하다. 측정대상의 입자크기영 역이 넓지 않고 입자의 분포특성에 대한 정보가 세밀하게 필요하지 않은 경우는 측정

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 2

된 자료를 그대로 사용가능하나, 대부분의 경우 측정된 입자상물질의 크기영역이 매 우 넓어 측정된 자료를 그대로 사용하는 것은 입자분포의 특성을 한눈에 파악하는데 매우 불편하다. 하지만 측정된 입자상물질의 분포를 몇 개의 특성화된 변수로 나타낼 수 있으면 입자상물질의 특성이 간단히 파악될 수 있으므로 이러한 방법의 선택이 필 요하게 된다. 일반적인 측정장비를 사용하여 측정된 입자상물질은 표 1.1의 형식으로 정리된다.

.

입경범위(㎛) 입자개수 개수분율/㎛ 개수백분율 개수누적백분율

0 - 4 104 0.026 10.4 10.4

4 - 6 160 0.080 16.0 26.4

6 - 8 161 0.0805 16.1 42.5

8 - 9 75 0.075 7.5 50.0

9 - 10 67 0.067 6.7 56.7

10 - 14 186 0.0465 18.6 75.3 14 - 16 61 0.0305 6.1 81.4 16 - 20 79 0.0197 7.9 89.3 20 - 35 90 0.0060 9.0 98.3 35 - 50 17 0.0011 1.7 100.0

> 50 0 0.0 0.0 100.0

합 계 1000

개수평균입경 = 13.2 ㎛ 개수최빈값 = 14.0 ㎛

개수중앙값 = 9.0 ㎛ 기하학적평균입경 = 10.67 ㎛ 표 1.1 측정된 입자상물질의 분포 예 (Hinds, 1982)

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

표 1.1에 나타내진 입자상물질의 분포를 막대그래프로 나타내면 그림 1.1의 형태로 표 현된다.

그림 1.1 입자크기 대비 입자 수분포 (Hinds ,1982)

이 그림은 특정의 입경크기구간

 

_{( =}



_{   }

 

_{ }) 에 포함된 입자의 수



_를 입경 영역별로 구분하여 표현한 것으로, 각 막대의 가로길이는 크기구간을 나타내고 세로길이는 입자의 개수를 나타낸다. 그러므로 이러한 막대그래프에서는 구간별 막대 의 높이는

 

_의 값이 증가함에 따라 증가한다. 이러한 상황은 실제 입자분포와는 매우 다른 입자분포정보를 나타낼 수 있다. 즉 그림 1.1로는 입경이 25 ㎛인 입자의 수나 30 ㎛인 입자의 수가 어느 정도인지는 알 수 없고 단지 그 구간 내에 입자의 개 수가 몇 개라는 식의 정보만을 얻을 수 있다. 이를 달리 표현하면 이 그림에서는 단 지 입경이 20 ㎛에서 35 ㎛인 구간에서 측정된 입자의 수가 103개라는 정보를 나타내

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 4

고 있고 이 구간 내의 입자분포에 대한 정보는 알 수 없게 된다. 그리고 이러한 표현 법은 입자크기 구간 별로 서로 연속성이 없는 것을 나타내는 것이기 때문에 입자의 크기별 수적 분포가 크기별로 연속적으로 이루어져있는 실제상황을 적절히 나타내는 표현법으로는 사용할 수 없다. 만일 그림 1.1의 분포를 세로좌표축이



_

  

_{가 되} 도록 달리 표현하면 분포의 연속성을 확보해 줄 수 있다. 즉 그림 1.2에서 보인 것처 럼 입자크기별 빈도수는 가로 좌표축의 임의의 점에서 그에 해당되는 세로좌표축의 값을 읽으면 관심을 가지는 크기에 대한 분포밀도가 표현된다.

그림 1.2 입자크기 대비 입자빈도/㎛ 분포 (Hinds, 1982)

이러한 표현법에서는 관심을 가지는 구간의 폭에 의해 그 구간 내에 포함되는 입자수 가 분산되는 효과를 가지므로 그 구간에 위치한 입자크기의 성질이 반영된다.

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 그림 1.3 입자크기 대비 입자빈도수/㎛ 분포 (Hinds, 1982)

우리가 입자의 수적분율



_를 단위 기체부피당 입자의 수



_{∞를 사용하여}

로 정의한 뒤 그림 1.2의 세로좌표축을



_

  

_로 바꾸면 그림 1.3과 같이 되는데 분포의 형상은 비례적으로 그림 1.2와 1.3이 일치하게 된다. 그러므로 그림 1.3에 사용 된 기법은 서로 다른 종류의 에어로졸 분포를 상호비교하는 방법으로 활용될 수 있 다. 입자빈도분율



_{는 정의에 의해}



_

  

_∞



_

  

^

^

^



_

(1.1)

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 6

의 관계를 가진다. 그림 1.3에서 만일 입자의 크기구간을 무한히 세분화하면, 즉

 

_

→

되게 하면 막대의 끝점을 연결한 선은 그림 1.4와 같이 나타내어진다. 그러 므로 이 경우 입경구간

 

_에서 발견될 수 있는 입자의 분율



_는 입자분포함수



_



_{와 연계하여}



_

 

_

 

_{   }



_

 

_{ (1.3)}

그림 1.4 빈도분포함수곡선 (Hinds, 1982)

 ^

^

^{ }

^(1.2)

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

로 나타내진다. 그러므로 이러한 과정을 요약하면 입자분포는 입자분포함수



_



_라는 단순한 함수로서 표현 가능해졌기 때문에 입자분포의 특성이 더 이상 표 1.1과 같은 장황한 표현법에 의존하지 않아도 된다는 것이다. 하지만



_



가 어떤 형태로 나타 날 것인가 하는 것은 여전히 숙제로 남게 된다. 입자분포를 나타내는 함수는 경우에 따라 여러 가지 형태의 방정식이 선택된다. 대표적인 함수로는 정규분포함수, 대수정 규분포함수가 있지만 입자분포를 나타내는데 한 개만의 함수가 사용되는 것이 아니고 경우에 따라 취사선택해야 한다. 그러나 분포함수로써 선정되어 사용될 수 있는 방정 식은 가능하면 방정식에 적용되는 변수의 수가 적으면서 그 방정식으로 표현된 입자 분포가 실제 입자분포와 일치되어야 하는 것이다.

1.3 입자분포방정식

특정의 입자분포를 다차방정식(polynomial equation)으로 표현한다고 할 경우 방정식 은

로 나타내지는데 여기서



_,



_, .... ,



_{  },



_등은 분포에 따라 결정되는 상수 값이다.

그러므로 다차방정식 형태로 표현된 입자분포 방정식에서는 상수값



_{가 정확히 결정} 되면 분포방정식은 실제 분포에 접근할 수 있게 된다. 특정분포에 대한 상수값



_는 보통 실험적 자료를 통계처리해서 결정된다. 그러므로 다차방정식 형태의 입자분포특 성은



_ 값들에 전적으로 의존한다. 이러한 방식을 적용한 입자분포의 표현법이 가지 는 문제점은



_ 값을 정확히 결정하는 것이 용이하지 않다는 것이고, 이런 형태로 표 현된 분포는 직접 좌표상에서 도식적으로 그려보지 않고서는 분포의 특성을 한눈에 알 수 없다는 문제점을 가지고 있다. 따라서 입자분포 표현에 사용될 수 있는 적합한



_

  

_



_^

 

_



_^

   

_{  }



_^{  }

 

_



_^ (1.4)

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 8

방정식을 개발 사용할 필요가 있다. 일반적으로 입자분포를 크기별 빈도수를 표시하 면 그림 1.4와 같이 산의 형태를 가진다. 에어로졸의 분포에서는 입자크기별로 산의 형태가 하나 나타나는 경우와 두 개가 나타나는 경우가 있는데 산의 형태가 하나로 나타난 분포를 단분산분포(unimodal distribution)라하고 두 개가 나타나는 경우를 이 산분포(bimodal distribution)라 한다. 단분산 분포와 이산분포는 분포특성상 수식으로 나타내는 방법에 있어 많은 차이점을 가지고 있다. 여기서는 논술을 단순화하기 위해 단분산분포만을 다룬다. 산형태의 입자분포는 통계학적으로 보면 정규분포방정식 (normal distribution equation)으로 나타내어지는 경우가 많다. 어떤 분포가 정규적으 로 나타난다는 것은 분포의 가로좌표축을 측정의 기본단위로 하고 세로축을 측정기본 단위에 대한 사건의 빈도발생율로 표시했을 경우, 특정의 위치에서 정확히 좌우 대칭 인 종(bell)모양의 분포를 나타냄을 의미한다. 즉 그림 1.5와 같은 형태로 나타내진다 는 것을 의미한다. 하지만 표1.1에서의 분포는 그림 1.4와 같은 분포를 가진다.

그림 1.5 정규분포 (Reist, 1983)

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

즉 입자분포가 정규분포방정식을 따르지 않는다는 것을 나타낸다. 그러므로 이 경우 정규분포함수식은 분포함수로 선정되기에는 부적절한 것이다. 만일 그림 1.4의 분포에 서 가로좌표축인 입자크기 값에 상용대수를 취하여 도식적으로 표현하면 그림 1.6과 같이 정확히 종의 형태를 가지는 분포를 나타내는데 이를 대수정규분포(lognormal distribution)라 한다.

그림 1.6 입자의 대수분포(Hinds, 1982)

이러한 대수분포를 만족하는 입자분포의 경우 식(1.3)에서 사용된 입자분포함수



_



는



_

    ^ _{ }

_

_{ln }

_

 exp 

  _{ }

ln

^



_

ln 

_

 ln 

_



^



 

(1.5) 로 나타내진다(Seinfeld, 1986). 이 식에서 주어져야 할 변수는 분포의 기하학적 평균

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 10

입경



_ 와 분포의 기하학적 표준편차



_이다. 이 값들은 실험적으로 측정된 값들로 부터 결정될 수 있는데,



_및



_는

log 

_

 



^

^

^



^

^

^

^log

^ _(1.6)

log 

_





  ^



^

^

^

^{ }



^

^

^

^log

^

^{ log}

^

^

^

^

 

^{ (1.7)}

의 관계로 얻어진다.

1.4 대수확률그래프

임의의 측정장비를 사용하여 측정된 입자분포를 표현하는 함수를 선택하는데 있어 필 요한 작업은 상기한 바와 같이 분포변수에 관련된 매개변수인



_와



_ 값을 정확하 게 결정하는 것이다. 이러한 값들은 식(1.6)과 (1.7)를 적용하여 실험자료로부터 결정 된다. 그러나 이러한 값들은 측정단계별 폭이 넓어질 경우 필연적으로 오차를 수반하 게 되는데, 이러한 문제를 개선하는 한 가지 방법으로 대수확률도표를 사용하는 방법 이 있다.

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 그림 1.7 대수확률 그래프(Hinds, 1982)

이는 그림 1.7에서 처럼 가로축을 확률의 누적률로 표시하고 세로축을 거기에 상응하 는 입자의 크기나 질량 등의 측정변수로 둔 것이다. 만약 어떤 에어로졸 분포에 대한 입경대비 입자수의 분포가 그림 1.6에서 처럼 대수정규분포를 가지게 될 경우, 그 입 자분포를 그림 1.7의 그래프에 나타내면 분포는 통계 이론에 입각하여 직선으로 나타 나야만 한다. 그러므로 만일 입자분포를 측정한 뒤 그것을 그림 1.7에 나타낸 형태의 대수확률그래프에 나타내 분포가 일직선상에 놓이면 이 분포는 대수확률분포를 이룬 다고 볼 수 있다. 대수확률그래프에 그려진 입자분포직선의 기울기는 분포가 넓게 퍼 져 있는 것인지 혹은 좁게 퍼져 있는 것인지를 나타내는 척도가 된다. 즉 입자가 대 수정규분포를 가질 경우 그래프에서 누적율 50 %에 해당되는 입경



_이 그 분포에 서 기하학적 평균값이



_가 되며, 분포의 분산도를 나타내는 척도인 표준편차



_ 의 값은 입경 누적율 50 %에 해당하는 입경



_과 입경 누적율 84 %에 대응되는 입경



_{를 사용하여}

ln 

_

 ln 

_

 ln 

_{ (1.8)}

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 12



_

  

_



_

(1.9)

로 나타내지게 된다. 즉 입자크기별 입자수의 분포가 대수분포를 이룰 경우 이 분포 에 있어 기하학적 평균입경은 대수확률그래프에서 입자수 누적율이 50%가 되는 점에 서의 입경



_이 되고 이 분포의 표준편차



_는



_ 값과 누적율이 84 %에 대응 되는 입경



_를 사용하여 식 (1.9)로 정의된다. 이로서 실험으로 측정된 자료로부터 대수정규분포로 변환하는 일련의 과정이 설명되었다. 이 과정에서 입자의 분포가 그 림 1.7에 보인 대수확률그래프에서 직선으로 나타나지 않으면 다른 분포함수를 선택 하여 입자의 분포를 선택하여야 할 것이다. 그러나 이러한 일련의 과정은 다른 형태 의 입자분포인 경우에도 적용이 가능한데, 예를 들어, 어떤 입경분포가 정규분포를 이룬다면 이 분포는 정규확률그래프에서 직선을 이루어야 한다. 즉 에어로졸이 정규 분포를 이루려면 그림 1.7의 세로좌표축이 대수값이 아닌 정상값으로 표시된 그래프 에서 분포가 직선으로 나타나야 함을 말한다. 그래서 정규분포를 이루는 입자분포에 서는 빈도함수



_



_가



_

    ^  

_

 exp



  _{ }



_^



_

 

_



^



 

(1.10)

로 표현되고 여기에 사용된 변수



_{ 및}



_는 그래프로부터 결정된 값



_{ 및}



_

를 각각 활용하여



_

 

_{ (1.11)}

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006



_

 

_

 

_{ (1.12)}

로 각각 정의된다. 그러므로 임의로 측정된 입경분포가 정규분포를 따르는지 아니면 대수정규분포를 따르는지는 우선 대수확률그래프나 정규확률그래프를 사용하여 판단 하도록 하고 그 결과로부터 입자분포에 맞는 방정식을 사용하여 입자분포를 표현하도 록 하는 것이 좋다. 실제로 많은 경우 입자분포가 정규분포나 대수정규분포에 부합되 지 않는 경우가 많은데, 이 경우는 이에 맞는 다른 분포방정식을 선정하여 활용하는 것이 필요하다. 입자분포를 나타내는데 있어 측정치는 일반적으로 입경을 기준으로 나누어지는 경우가 많다. 하지만 경우에 따라서는 측정기준을 단위 입자가 가지는 부 피별로 나누던가, 아니면 질량별로 나누어야 하는 경우가 발생한다. 이 경우 동일한 입자상물질인 경우라도 측정기준이 다름으로 인해 분포형태는 좌표상에서 달리 표현 된다. 예를 들어 동일한 에어로졸의 입자분포를 개수기준분포와 질량기준분포로 나누 어 표현하면 그림 1.8과 같이 나타난다.

그림 1.8 개수와 질량의 대수분포(Hinds, 1982)

이러한 표현상의 차이는 분포방정식과 그에 사용되는 매개 변수가 각각 달리 표현되

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 14

어야 한다는 것을 의미하므로 측정변수가 다를 경우 그에 상응하는 분포방정식을 각 각 다르게 구성해야 한다. 대수정규분포를 입경단위별 분포로 하였을 경우 입자의 분 포방정식은 식(1.5)로 표현되고 부피기준으로 입자분포를 나타내었을 때는



_

     ^  

_

ln 

_

 exp



  _{ }

ln

^



_

ln 

_

 ln 

_



^



 

(1.13) 로 표현된다. 여기서 사용된 부피매개 변수들은



_

  

 

_^ (1.14)



_

  

 

_^ (1.15)

의 관계를 가지고 분포함수는 식(1,7)에 나타낸 바와

 

_

   



_^

 

_



^(1.16)

의 관계를 가지므로 식(1.5)와 식(1.13)은 식의 형태가 다르더라도 동일한 대상을 대수 정규분포로 나타낸 것이라고 확인할 수 있다. 이에 대한 증명은 독자에게 숙제로 남 겨둔다. 이 밖에 특정의 에어로졸분포를 여러가지 다른 표현법으로 나타낼 수 있는 데 그림 1.9는 이러한 분포상의 특징을 요약하고 있다. 그림 1.9는 입경에 대해 수적 분포가 대수정규분포를 이루는 에어로졸분포를 분포상의 각기 다른 특성변수로 표현 한 것이다.

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 그림 1.9 대수정규분포의 변수별 분포특성도 (Friedlander, 1977)

1.5 대수분포함수의 활용

임의로 측정된 에어로졸의 분포가 대수분포로 표현 가능할 경우 분포에 관련된 다양 한 형태의 변수들이 일정한 관계를 가지고 표현된다. 대수분포함수의 분포특성을 결 정하는 값들은 분포의 표준편차



_와 기하학적 평균입경



_이다. 입자분포에 관련 하여 우리가 알고자하는 변수들은 여러 가지인데 그 중 몇 가지를 요약하면 우선

  



^

^

^



^

^

^

^

^ _(1.17)

로 정의되는 개수평균값



_와

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 16



_

 



^

^

^



^

^

^

^

^ _(1.18)

로 정의되는 질량평균값



_ 그리고



_

 



^

^

^



^

^

^

^

^ _(1.19)

로 정의되는 표면적평균값



_ 이 있다. 여기서



_는



크기구간 내에 존재하는 입 자의 수를 나타내고,



_{는 크기구간}



구간 내에 존재하는 입자들의 질량의 합을 나 타내며,



_{는 크기구간}



구간 내에 존재하는 입자들의 표면적의 합을 나타낸다. 그 리고 분포에 관련된 또 다른 변수는 모멘트 평균값이 있다. 예를 들어 질량평균은

      ^

_(1.20)

로 정의될 수 있는데, 모든 입자가 동일한 밀도를 가질 경우 입자의 질량평균은

    

 

_



_^ (1.21)

의 관계로 정의되는 평균질량직경(diameter of average mass)



으로 표시된다.

이로부터



_는

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006



_

  ^{ }



 

  ^ 

^

^{       }

^

^{  }

^{ (1.22)}

로 정의된다. 표면적 평균에 대해서도 같은 방법이 적용되는데, 이를 일반화하면 모멘 트 평균직경은 모멘트의 중복도가



인 경우에 대해



_

 

 

   ^

^

^

 

^ _(1.23)

로 표현된다. 그러므로 분포특성과 관련하여 정의되는 입경은 매우 복잡한 양상을 가 진다. Hatch와 Choate(1929)는 다음과 같이 각 변수들간의 관계를 정리하였다. 대수분 포를 이루는 입자분포에서 개수중앙입경이 알려져 있을 때 중복도가



_{인 측정치에} 대한 분포의 중앙입경은

 

_



_^

 exp  ^{ ln}

^

^





^(1.24)

의 관계로 정의된다. 그러므로 이 관계에 의하면 질량중앙입경



_^ _{와 개수중앙값}



_

은



_^

 

_

exp  ^ln

^

^





^(1.25)

의 관계를 가지게 된다. 다음으로 개수중앙입경과 중복도가



인 측정치에 대한 평균입 경



_ 은

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 18

 

_



_

 exp  ^  

    

  _ln

^

_





^(1.26)

의 관계를 가지게 된다. 이 관계식에 의하며 앞에서 정의된 질량평균



_은 질량의 길이에 대한 중복도가 3 이므로





 

_

exp  ^ln

^

^





(1.27)

로 정의된다. 다음으로는 입자의 평균질량이나 평균표면적으로부터 결정되는 입경이 있는데, 이는



_

 

_

exp  ^ 

 

^



_



^(1.28)

로 정의되고 분포에 있어 최빈값(Mode)는

   

_

exp  ^{  ln}

^

^





^(1.29)

로 각각 정의된다. 지금까지 다룬 분포상의 용어는 다소 복잡하여 혼동이 따를 수 있 으므로 다음 표 1.2로 내용을 요약한다.

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

용어 기호 정의

(Mode)최빈값 ^ˆ

d

최빈값을 나타내는 입자의 직경

개수중앙직경

(Count Median Diameter)

d

_{p, 50} 입자수 누적율이 50 %되는 지점에서의 입경

질량중앙입경

(Mass Mean Diameter)

d

³_{p, 50} 입자질량 누적율이 50 %되는 지점에서의 입경

산술평균입경

(Count Mean Diaimeter)

d ∑ ⁿ

i

d

_i

∑ ⁿ

i

평균질량직경

(Diameter of Average Mass)

d

_m

( ^∑ ∑ ^{n n}

ⁱ

^d

i ⁱ³

)

^1/3

질량평균입경

(Mass Mean Diameter)

d

_mm

∑ ^m

i

d

_i

∑ ^m

i

(Geometric Mean Diameter)기하평균

d

_p,g

( ^d

1ⁿ¹

d

₂ⁿ²

d

₃ⁿ³

d

₄ⁿ⁴....

)

^1/∑ni

표 1.2 입자분포변수의 정의

1.6 분포함수의 모멘트

에어로졸의 분포특성을 나타내는 입자분포함수



_



는 공간적으로나 시간적으로 활 발히 변형되어 간다. 그러므로 입자분포함수는



_

  

로 일반화하여 표시할 수 있 다. 이러한 입자분포방정식에 대해

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 20



_

    

_^∞

^

^

^{   }

^

^

^{ (1.30)}

로 정의된 일반모멘트 방정식을 정의하면 모멘트방정식은 모멘트의 중복도에 따라 에 어로졸에 관한 정보를 나타내는 값이 된다. 즉 식(1.30)에서 모멘트의 중복도가 0인 경우 즉

  

인 경우는



_

 

_^∞

^

^

^

^{ (1.31)}

가 되므로



_{값은 총입자농도}



_∞ 를 나타내게 된다. 다음으로

  

_{인 경우는}



_

 

_^∞

^

^

^

^

^

^{ (1.32)}

가 되므로



_값은 입자를 모두 일직선으로 나열한 것과 같이 된다. 그러므로 앞에서 정의된 산술평균입경

 

_ 는

 

_

  

_



_

(1.33)

로 정의될 수 있다. 그리고



_{값은 정의에 의해}

 

_

  

_^∞

^

^



_^



_{ (1.34)}

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

의 관계를 가질 수 있으므로 입자가 가지는 전체표면적을 나타내는 값이 된다.



_는

 

 

_

  

 

_^∞

^

^

^

^

^

^{ (1.35)}

로 나타내어지므로 입자상물질의 총부피



와 비례하게 되고 입자의 평균적인 부피

 

_ 는



_와



_로부터

 

_

   

_

 

_

(1.36)

로 정의가 된다. 그러므로 입자분포의 모멘트는 입자가 가지는 특성을 나타내는 유용 한 도구가 된다. 여기서 한 가지 주지해야 할 사항은 각 모멘트 값은 정의에 따라 나 타내는 값이 다른 의미를 가진다는 것이다. 예를 들어, 입자분포함수가 식(1.13)에 정 의된 데로 사용된다면



_

    

_^∞

^

^

^{   }

^

^

^{ (1.37)}

로 정의가 될 것이므로 이 경우



_값은 앞에서 정의된 데로 입자를 일렬로 나열한 총길이를 나타내지 않고 입자의 총부피를 나타내는 값이 된다. 그러므로 모멘트를 사 용하더라도 정의에 따라 사용목적을 달리하여야 한다.

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 22

1.7 분포함수의 혼합

에어로졸은 기체 중에 포함되어 이동하면서 다른 종류의 에어로졸과 혼합하는 경우가 매우 많다. 즉 2개 이상의 에어로졸이 혼합되면 새로운 분포를 가지는 에어로졸이 형 성되는데 새롭게 형성된 에어로졸의 분포를 혼합에 참여한 에어로졸의 성질과 연관시 키는 것은 에어로졸의 실험적 측정시 중요한 개념으로 사용된다. 혼합에 의해 새롭게 형성되는 에어로졸에서 크기 분포함수



_



는 기존의 에어로졸 분포함수



_



_와

 

_

  



^

^

^



^

^

^

^

^

^{⋅ }

^ _(1.38)

의 관계를 가진다. 여기서



_는 각 에어로졸을 함유한 기체의 유량 혹은 부피를 나타 낸다. 일반적으로 에어로졸을 측정하는데 사용되는 측정기기는 최대 수농도를 측정하 는데 한계가 있고, 이 경우 기기의 측정영역을 넓히기 위해 희석기법을 사용하는 경 우가 매우 많다. 즉 측정시 측정대상의 에어로졸의 수농도가 높아 기기의 측정한계 이상일 경우 에어로졸에 여과된 순수한 공기를 혼합시키면 측정기기의 측정가능영역 한계 내에 입자상물질의 수농도가 낮아져 측정이 가능하게 된다. 이렇게 하여 기기에 서 측정된 에어로졸 분포는 실제분포와 다르다. 하지만 상기한 식(1.32)에 의거하여 측정대상 에어로졸의 분포에 대한 교정을 위한 역산(back calculation)이 가능해진다.

단 이러한 방법의 적용은 혼합과정에서 입자들간의 충돌 응집이나 새로운 입자의 형 성이 없는 것을 전제로 한다.

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

연습문제

1. 식(1.5)과 식(1.13)을 사용하여 식(1.16)이 성립함을 증명하라.

2. 미분탄 연소과정에서 석탄은 열적 팽창에 의해 쉽게 잘게 나누어진다. 이 과정에 서 특정 크기의 석탄이

p

개의 새로운 석탄가루로 나누어져 간다면 새롭게 형성되는 입자분포함수

′′

는 원래의 입자분포함수



와 어떤 관계를 가질 것인지 보여라.

석탄이 열적 팽창에 의해 나누어지는 과정에서 부피는



%로 줄어든다.

3. 초기 분포가



_



_



인 에어로졸이 있다.

a) 이 에어로졸의 부피보다

q

배 많은 순수 공기와 혼합된 후 에어로졸의 분포는 어떻게 변할 것인지 설명하라.

b) 초기 에어로졸의 조성은 무게 기준으로 3.5%의 소금과 96.5%의 물로 이루어져 있 었다. 순수 공기와 혼합에 의해 물이 모두 증발되고 소금만 남았다면 새로운 입자분 포함수는 어떻게 표현되겠는가 ?

c) 물의 증발은 에어로졸입자의 표면적에 비례한다. 이 경우 새로운 입자분포방정식을 시간과 입경의 함수로 나타내어라. 필요한 비례상수는 정의해서 사용해도 좋으나 상 수에 대한 정의는 명확히 나타내어라.

4. 특정지역의 대기에서 측정된 입자분포가 표 p1.1과 같다.

a) 개수 평균입경을 ㎛로 나타내어라.

b) 질량중앙입경을 ㎛로 나타내어라.

c) 단위 기체부피당 포함된 에어로졸의 총표면적을 결정하라.

d) 대기중 에어로졸의 분포가



_

   ⋅   

_^ ₍

_K

는 상수)의 함수로 표현 가능하 다면 K값을 자료로부터 결정하라.

에어로졸의 분포특성

_______________________________________________________________________________

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006 24

d

_p ^Δ

V

/Δ

d

_p ^Δ

V

/Δlog

d

_p (㎛) (수/cm³.㎛) (㎛³/cm³)

0.00875 1.57×10⁷ 0.110

0.0125 5.78×10⁶ 0.168

0.0175 2.58×10⁶ 0.289

0.0250 1.15×10⁶ 0.536

0.0350 6.01×10⁵ 1.08

0.0500 2.87×10⁵ 2.14

0.0700 1.39×10⁵ 3.99

0.0900 8.90×10⁴ 7.01

0.112 7.02×10⁴ 13.5

0.137 4.03×10⁴ 17.3

0.175 2.57×10⁴ 28.9

0.250 9.61×10³ 44.7

0.350 2.15×10³ 38.6

0.440 9.33×10² 42.0

0.550 2.66×10² 29.2

0.660 1.08×10² 24.7

0.770 5.17×10¹ 21.9

0.880 2.80×10¹ 16.1

1.05 1.36×10¹ 22.7

1.27 5.82 18.6

1.48 2.88 13.6

1.82 1.25 19.7

2.22 4.80×10^-1 13.4

2.75 2.17×10^-1 15.2

3.30 1.18×10^-1 13.7

4.12 6.27×10^-2 25.3

5.22 3.03×10^-2 26.9

에어로졸 수농도 (Number Concentration) = 1.14×10⁵/cm³ 에어로졸 부피 (Volume Concentration) = 58.1 ㎛³/cm³

표 p1.1 1969년 8월부터 9월까지 미국 Pasadena에서 측정된 대기 중 에어로졸 분포 (Whitby et al., 1972)

환경에어로졸공학/ 영남대학교 환경에어로졸공학연구실/ 장혁상 교수 @2006

참고문헌

Friedlander, S.K.(1977)

Smoke, Dust and Haze

, Chap. 1, John Wiley & Sons, New York.

Hatch, T., and Choate, S.P.(1929) Statistical description of the size properties of non-uniform particulate substances,

J . Franklin. Inst.,

207, 369.

Hinds, W.C.(1982)

Aerosol Technology: Properties, Behavior, and Measurements of Airborne Particles,

Chap. 4, John Wiley & Sons, New York.

Seinfeld, J.H.(1986)

Atmospheric Chemistry and Physics of Air Pollution

, Chap. 7, John Wiley & Sons, New York.

Reist, P.C.(1993)

Aerosol Science and Technology,

Chap. 2, McGraw-Hill, New York.

Whitby, K.T., Husar, R.B., and Liu B.Y.H.(1972) The aerosol size distribution of Los Angels,

J. Colloid Interface Sci.

, 39(1), 177.