Bi-partitioning Algorithm for Information-theoretic Measures of Aesthetics

Vol. 63, No. 6, June 2013, pp. 655∼660

Bi-partitioning Algorithm for Information-theoretic Measures of Aesthetics

In-Seob Shin · Seung Kee Han ^∗

Department of Physics, Chungbuk National University, Cheongju 361-763, Korea

Keon Myung Lee

Department of Computer Science, Chungbuk National University, Cheongju 361-763, Korea

Seungbok Lee · Woo Hyun Jung

Department of Psychology, Chungbuk National University, Cheongju 361-763, Korea (Received 1 April 2013 : revised 9 April 2013 : accepted 4 June 2013)

The composition of colors in an artistic painting has a strong influence on the aesthetic prefer- ence for the painting. Therefore, information-theoretic measures of compositional complexity can be used for an aesthetic analysis of artistic paintings. The compositional information can be measured as the amount of information gain as the painting is bi-partitioned consecutively into two parts of more homogeneous blocks. In this paper, we propose an effective method of computing the compo- sitional information by using a line-updating bi-partitioning (LUB) algorithm. Compared with the conventional block-computing bi-partitioning (BCB) algorithm, we show that the computation time using the LUB algorithm is significantly reduced. As a consequence, compositional information in many artistic paintings can be computed for a the complexity analysis of aesthetics.

PACS numbers: 05.10.-a, 89.70.+c

Keywords: Measure, Information theory, Compositional complexity, Bi-partitioning algorithm

X N

Ë| ºT  ] ØX ì Ä Q X ì Ä U • ¤õ u §  ü” X ¢ T ú n ÞÄ Z ض  £ °  ow ŠP ” Ö ¨

,

>

- > ) כ ·  6 Ҋ û BM  ^∗

Ø 

æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763

T

Z Ì ' å 

Ø

 æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § „  l „   † < Æ Ò, ' õ AÅ Ò 361-763

T

Š û B õ i ; · + ä ­ £g ` @

Ø 

æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § d ” o † < Æõ , ' õ AÅ Ò 361-763

(2013¸   4 Z 4 1{ 9  ~ à Î6 £ §, 2013¸   4 Z 4 9{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2013¸   6 Z 4 4{ 9  > F  S X ‰& ñ )

p

Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \ 
 
  H Ò  o © œ_  / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í “ É r  Œ •¾ ¡ § _  p & h  ‚    ñ• ¸\  ´ ú §“ É r % ò † ¾ Ó`  ¦ ï  r  . Ò  o © œ ì  r Ÿ í _

 / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ & ñ ˜ Ðs  : r& h Ü ¼– Ð 8 £ ¤& ñ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § _  p & h  ì  r$ 3 \   6   x| ¨ c à º e ”  . / B N ç

ß –& h  ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í “ É r p Õ ü t  Œ •¾ ¡ §`  ¦ ç  H{ 9 ô  Ç Ò  o © œ`  ¦ t   H › ¸y Œ •Ü ¼– Ð & h   s ×  æì  r ½ + ÉK 
y Œ ™\    " f % 3 

>

 ÷ &  H & ñ ˜ Ð_  € ª œÜ ¼– Ð > í ß –½ + É Ã º e ”  . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H þ j& h _  s ×  æì  r ½ + É_  0 Au \  ¦   & ñ l  0 AK  € 9  כ

¹ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó > í ß –`  ¦ ‚   é ß –0 A\ " f > í ß –   H LUB · ú ˜“ ¦o 7 £ §`  ¦ ] jr ô  Ç . Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó`  ¦ › ¸y Œ • é ß –0 A

655

–

Ð > í ß –   H l ” > r _  BCB · ú ˜“ ¦o 7 £ § õ  q “ § % i `  ¦ M :, LUB · ú ˜“ ¦o 7 £ §`  ¦  6   x €   / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í _

 > í ß – r ç ß –s  S \ ‰ l & h Ü ¼– Ð y Œ ™™ è   H   õ \  ¦ % 3 % 3  .   " f s  · ú ˜“ ¦o 7 £ §`  ¦ s 6   x # Œ # Œ Q t  p  Õ

ü

t  Œ •¾ ¡ § _  p & h  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í ì  r$ 3 \  € 9 כ ¹ô  Ç / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í > í ß –s  0 p x ½ + É  כ s  .

PACS numbers: 05.10.-a, 89.70.+c

Keywords: p & h  t à º, & ñ ˜ Ðs  : r, ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í , s ×  æì  r ½ + É · ú ˜“ ¦o 7 £ §

I. " e  ] Ø

p

Õ ü t  Œ •¾ ¡ § _  ‚    ñ• ¸  H p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \ 
 
  H Ò  o © œ_  ½ ¨

$ í

\  ß ¼>  % ò † ¾ Ó`  ¦ ~ à ΍  H  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § s  é ß – í

 H ô  Ç  כ ˜ Ð   H 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í s  7 £ x † < Ê\    " f p & h  ‚    ñ• ¸

 7 £ x  t ë ß – { 9 & ñ ô  Ç # 3 0 A\  ¦  Å # Q" f  H 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í \ " f  H p

& h  ‚    ñ• ¸  r  y Œ ™™ èô  Ç “ ¦ ô  Ç  [1]. p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \ " f Ò 

o © œ_  ½ ¨$ í Ü ¼– РÒ'  p & h t à º\  ¦ % ƒ6 £ § Ü ¼– Ð • ¸{ 9 ô  Ç  כ “ É r G. D. Birkhoff s   [2]. Õ ª  H p & h  t à º\  ¦ | 9 " f• ¸ü <4 Ÿ ¤

¸ ú

š• ¸_ q Ö  ¦ – Ð& ñ _  “ ¦, # Œ Q t  ç ß –é ß –ô  Ç • ¸+ þ A\  @ /ô  Ç

| 9

" f• ¸ü < 4 Ÿ ¤ ¸ ú š• ¸\  ¦ Æ Ò& ñ   H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jî ß – % i  . s Ê ê

\

 & ñ ˜ Ðs  : r`  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð ^ ‰> & h Ü ¼– Ð p & h  t à º\  ¦ & ñ | ¾ Ó



o “ ¦    H r • ¸[ þ t s  ] jî ß –÷ &% 3   [3]. J. Rigau  H p  Õ

ü

t  Œ •¾ ¡ §`  ¦ Ò  o © œs  ç  H{ 9 ô  Ç › ¸y Œ • (block)Ü ¼– Ð ì  r ½ + É % i `  ¦ M

: % 3 >  ÷ &  H Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó`  ¦ / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í (compo- sitional complexity) Ü ¼– Ð ] jî ß – % i   [4]. Õ ª  H s  ~ ½ ÓZ O 

`

 ¦ s 6   x # Œ # Œ Q t  p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \  @ /ô  Ç 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í ì  r$ 3 `  ¦ r

• ¸ % i   [5]. Õ ª Q
 / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í _  > í ß –“ É r  Œ •

¾

¡

§ _  ß ¼l  7 £ x † < Ê\    " f > í ß – r ç ß –• ¸ ß ¼>  7 £ x ô  Ç



.   " f q “ §& h   H p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \  @ /ô  Ç ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í ì  r$ 3 

\

  H ´ ú §“ É r ] j€  •s  e ”  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H › ¸y Œ • é ß –0 A– Ð ½ ¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ > í ß –   H l 

”

> r _  ~ ½ Ód ” `  ¦ ‚   (line) é ß –0 A_  > í ß –Ü ¼– Ð @ /^ ‰ # Œ > í ß – r  ç

ß –`  ¦ S \ ‰ l & h Ü ¼– Ð ×  ¦{ 9  à º e ”   H D h– Ðî  r > í ß – õ & ñ `  ¦ • ¸{ 9  ô

 Ç . s \  ¦ : Ÿ x # Œ # Œ Q t  @ /½ ©— ¸ z  ´] j  Œ •¾ ¡ § \ " f• ¸ ½ ¨

$ í

4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ > í ß –½ + É Ã º e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ғ ¦  ô  Ç .

II.  ŒV R Ë ‘  ×±  qV R Ë (compositional complexity)

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § _  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í “ É r  6   x   H Ò  o © œ_   

€

ª œ$ í \  ß ¼>  _ ” > r ô  Ç . 
_  p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \ " f  6   x   H Ò 

o © œ_  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó (palette information)Ü ¼– Ð

&

ñ | ¾ Ó o½ + É Ã º e ”  . ô  Ç  Œ •¾ ¡ § \ " f  6   x   H „  ^ ‰ Ò  o  à º C \ " f : £ ¤& ñ ô  Ç Ò  o © œ c\  ¦  6   x   H S X ‰Ò  ¦ s  P (c) “ ¦ €  , Ò 

o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   ) a  .

∗

E-mail: [email protected]

Fig. 1. (Color online) (a) Composition with Red, Blue, Black, Yellow, and Gray, Piet Mondrian, 1921, (b) A position-shuffled random image of (a).

H(C) = X

cC

P (c) log ₂ P (c) (1)

S X

‰Ò  ¦ì  r Ÿ í P (c)  H  Œ •¾ ¡ § _  „  ^ ‰  o™ èà º Ss “ ¦ e ” _ _  Ò 

o © œ c\  ¦ ° ú   H  o™ èà º N(c){ 9  M : P (c) = N(c)/S– Ð Å Ò

#

Q”   . Õ ª  X < z  ´] j– Ð Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r 
_  p Õ ü t  Œ •¾ ¡ §

\

" f  6   x   H Ò  o © œ_  / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ѝ  H „  ) €Å Òt  3 l w ô

 Ç . Fig. 1(a)_   7 H × ¼o î ß – (Piet Mondrian)_   Œ •¾ ¡ § õ  s 



Œ

•¾ ¡ § \ " f  6   x   H Ò  o © œ“ É r Õ ª@ /– Ð  6   x €  " f Ò  o © œ_  0 A u

\  ¦ Á º Œ •0 A– Ð   + þ Ar †  , Fig. 1(b)  H Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r { 9 u 

t ë ß – / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í \   H ´ ú §“ É r s  e ”  .

z 

´] j  Œ •¾ ¡ § \ " f  6   x   H Ò  o © œ_  / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ѝ  H „  

^

‰ s p t \  ¦ / B N ç ß – ì  r ½ + É`  ¦ ½ + É M : % 3 >  ÷ &  H & ñ ˜ Ð_  € ª œÜ ¼

–

Ð & ñ _ ½ + É Ã º e ”  . \ V\  ¦ [ þ t€  , Fig. 2\ " f  7 H × ¼o î ß –_  Õ ª a Ë

>`  ¦ ì  r ½ + É R\  _ K " f ¿ º % ò % i Ü ¼– Ð r 1 õ  r 2 – Ð
¾ º% 3  .

s

  â Ä º\  : £ ¤& ñ ô  Ç Ò  o © œs  ô  ÇA á ¤ \  u Ä º5 g ì  r Ÿ í # Œ y Œ • Â Ò ì

 r \  @ /ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r " é ¶ A  „  ^ ‰  Œ •¾ ¡ § s  t “ ¦ e ”   H Ò 

o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ә Ð   H y Œ ™™ èô  Ç .   " f s  ì  r ½ + É õ & ñ `  ¦ : Ÿ x K

" f Ò  o © œ_  / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð\  ¦ % 3 % 3  “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . ì ø Í

€

 , Fig. 1(b)_  Á º Œ •0 A  7 H × ¼o î ß – Õ ªa Ë >\  @ /K " f ° ú  “ É r / B N ç

ß – ì  r ½ + É`  ¦ & h 6   xÙ þ ¡`  ¦ M :  H y Œ • % ò % i \  @ /ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r

"

é

¶ A  Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Óõ   _  s  \ O  .   " f s   â Ä º\ 



 H / B N ç ß – ì  r ½ + É\  _ K " f % 3 >  ÷ &  H / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð_  € ª œ

“ É

r  Å Ò  Œ • “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð Ò  o  à º C\  ¦  6   x   H 2 " é ¶ s p t \  /

B

N ç ß – ì  r ½ + É R`  ¦ • ¸{ 9  % i `  ¦ M :, % 3 > ÷ &  H ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó

Fig. 2. (Color online) (a) Bi-partitioning of Mondrian’s image in Fig. 1(a) into two blocks r 1 and r 2 . Color dis- tribution in RGB color space of the (b) original block, (c) block r 1 , and (d) block r 2 .

(compositional information) I(C, R)“ É r " é ¶ A  s p t _  Ò  o



© œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C)ü < ì  r ½ + É R\  _ ô  Ç conditional entropy H(C|R) _  s – Ð Å Ò# Q”    [4].

I(C, R) = H(C) − H(C|R) H(C|R) = − X

cC,i=1,2

P (c, r _i ) log ₂ P (C|r _i ) (2)

#

Œl " f conditional probability P (c|r i )  H % ò % i  r _i \ " f Ò 

o © œ c_  S X ‰Ò  ¦ s “ ¦, joint probability P (c, r i )  H P (c, r i ) = P (c|r i ) · P (r i ) – Ð Å Ò# Q”   . s M : P (r ⁱ ) = π i = s i /S s “ ¦, S  H „  ^ ‰ s p t _   o™ èà º, Õ ªo “ ¦ s ⁱ   H ì  r ½ + ɝ ) a › ¸y Œ • r ⁱ _ 



o™ èà ºs  .   " f ì  r ½ + É R\  _ ô  Ç ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð I(C, R)“ É r I(C, R) = H(C) − [π 1 H(C, r 1 ) + π 2 H(C, r 2 )] (3) s

 Qô  Ç ì  r ½ + É`  ¦ n   ì ø Í4 Ÿ ¤ ô  Ç ì  r ½ + É {R ₁ , R 2 , · · · , R n } \  _  K

" f n + 1> h_  › ¸y Œ •[ þ t {r 1 , r 2 , · · · , r n+1 } Ü ¼– Ð
¾ º# Q& ’ 

`

 ¦ M : ì  r ½ + É\  _ K " f % 3 > ÷ &  H ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó_  8 ú x ½ + ˓ É r I(C, {R ₁ , R ₂ , · · · , R _n }) = H(C) −

n+1

X

i=1

π _i H(C, r _i ) (4)

ü

< ° ú   .   " f ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó_  8 ú x ½ + Ë I(C, {R ₁ , R ₂ , · · · , R _n })“ É r „  ^ ‰  Œ •¾ ¡ § _  Ò  o © œ& ñ ˜ Ð H(C)\ " f ì  r ½ + É R _n  t  s

À Ò# Q t €  " f
¾ º# Q”   › ¸y Œ •[ þ t \  z Œ ™ e ”   H Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r i )\  ¦ „  ^ ‰\  @ /ô  Ç › ¸y Œ •_   o™ èà º q  π ⁱ \  ¦ ×  æ u 

–

Ð ô  Ç ° ú כ[ þ t _  s ü < ° ú   . s  Qô  Ç / B N ç ß –ì  r ½ + É`  ¦ > 5 Å q # Œ n f   ë ß –\  — ¸Ž  H › ¸y Œ •[ þ t s  é ß –{ 9 Ò  oÜ ¼– Ð ÷ &% 3  €   z Œ ™ e ”   H

›

¸y Œ •_  Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r % ò s   ) a  .   " f s  M : % 3 >  ÷ &



 H ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó I(C, {R 1 , R ₂ , · · · , R _n

_f

})  H „  ^ ‰ Œ •¾ ¡ § \ @ / ô

 Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C)– Ð ] X   H ô  Ç .

III. : X ì Ä8 ý T ú n ÞÄ Z ض  £ Å U Ø" e


_  p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \ 
 
  H Ò  o © œ_  / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð



 H n f   _  / B N ç ß – ì  r ½ + É`  ¦ : Ÿ x # Œ
 ± ú ˜  כ s  . { 9 ì ø Í& h Ü ¼

–

Ð œ íl _  ì  r ½ + É\ " f  H  H ß ¼l  (scale)\ " f_  / B N ç ß – & ñ ˜ Ð


 
“ ¦, ì  r ½ + És  ”  ' Ÿ H † d \    " f p [ jô  Ç ß ¼l \ " f _

 / B N ç ß – & ñ ˜ Ð
 ± ú ˜  כ s  . 7 £ ¤ ì  r ½ + Éõ & ñ \    " f % 3 

>

 ÷ &  H ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r  Œ •¾ ¡ § _  : £ ¤$ í `  ¦ s K    H X < ×  æ כ ¹

 .   " f „  ^ ‰ n ^f   _  / B N ç ß – ì  r ½ + É í  H " f\  ¦ ^ ‰> & h Ü ¼– Ð

 

& ñ   H  כ s  € 9 כ ¹  .

„

 ^ ‰ s p t  n − 1> h_  ì  r ½ + É {R 1 , R 2 , · · · , R n−1 } \  _

K " f › ¸y Œ • {r ¹ , r 2 , · · · , r n } Ü ¼– Ð
¾ º# Q4 R e ” `  ¦ M :, ì

 r ½ + É R _n `  ¦ Æ Ò # Œ m  P : › ¸y Œ • r m `  ¦ › ¸y Œ • r m ⁰ , r _n+1 Ü ¼– Ð
¾ º# Q Å Ò% 3 `  ¦ M :, Æ Ò– Ð % 3 >  ÷ &  H % 3 > 

÷

&  H ½ ¨$ í & ñ ˜ Ё   o| ¾ Ó ∆I(C, R ⁿ )“ É r s „  _  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð

|

¾ Ó I(C, {R ¹ , R 2 , · · · , R n−1 }) õ  D h– Ð % 3 # Q”   ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó I(C, {R 1 , R 2 , · · · , R n }) _  s – Ð+ ‹  6 £ § õ  ° ú  s  ½ ¨½ + É Ã º e ”

 .

∆I(C, R n ) = π m × ∆H(C, R n )

∆H(C, R n ) = H(C, r m ) −

 s ⁰ _m

s _m H(C, r ⁰ _m ) + s n+1

s _m H(C, r _n+1 )

 (5) 7

£ ¤, ì  r ½ + É R n s  s À Ò# Qt   H › ¸y Œ •\ " f_  Ò  o © œ& ñ ˜ Ð_    



o| ¾ Ó ∆H(C, R ⁿ )`  ¦ ½ ¨ “ ¦,  6 £ § Ü ¼– Ð „  ^ ‰  o™ è à º S\ 

@

/ô  Ç ‚  × þ ˜ ) a › ¸y Œ • r m _   o™ èà º q  π m `  ¦ ×  æ u – Ð Y  L 

€

  ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð_     o| ¾ Ó ∆I(C, R n )`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  . s  õ 

&

ñ `  ¦ ì ø Í4 Ÿ ¤ # Œ þ j7 á x& h Ü ¼– Ѝ  H é ß –{ 9 ô  Ç Ò  o © œ`  ¦ t   H › ¸ y

Œ

•[ þ t ë ß – z Œ ™`  ¦ M : t  > 5 Å q ÷ &“ ¦, „  ^ ‰ ì  r ½ + Éõ & ñ “ É r  6 £ § ¿ º

t  é ß –> – Ð & ñ _   ) a  .

í

5 N  1: ‚  × þ ˜ ) a 
_  › ¸y Œ •\  @ /ô  Ç s ×  æì  r ½ + É (bi- partitioning): – Ð_  ß ¼l  L ^x Õ ªo “ ¦ [ j– Ð_  ß ¼l 

 L ^y “   @ / © œ › ¸y Œ •`  ¦ e ” _ _  t & h \ " f à º¨ î , à ºf ”  ~ ½ ӆ ¾ Ó Ü

¼– Ð ì  r ½ + É # Œ Õ ª ×  æ \ " f ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð    o| ¾ Ós  þ j@ / ÷ &



 H 0 Au \  ¦ ì  r ½ + Ét & h Ü ¼– Ð ‚  × þ ˜ô  Ç .

í

5 N  2: s p 
¾ º# Q”   n> h_  › ¸y Œ • {r 1 , r 2 , · · · , r n } ×  æ

\

" f n   P : ì  r ½ + É R n `  ¦ Æ Ò½ + É › ¸y Œ • r <sup>m</sup> `  ¦ ‚  × þ ˜ l : y Œ • y

Œ

•_  › ¸y Œ •\  @ /K " f é ß –>  1`  ¦ & h 6   x # Œ % 3 >  ÷ &  H n > h _

  Œ ™& ñ & h  ì  r ½ + É ×  æ \ " f ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð_     o| ¾ Ós  þ j@ / ÷ &



 H › ¸y Œ •`  ¦ r m Ü ¼– Ð G × þ ˜ô  Ç .

IV. Line-updating bi-partitioning (LUB)

° 

ow ŠP ” Ö ¨

0

A_  é ß –>  1\ " f & ñ _   ) a s ×  æì  r ½ + É õ & ñ “ É r Å Ò# Q”   
 _

 › ¸y Œ •`  ¦ — ¸Ž  H 0 p x ô  Ç 0 Au \ " f à º¨ î , à ºf ”  ì  r ½ + É`  ¦ r 

Fig. 3. (Color online) (a) Horizontal bi-partitioning at position y = k with two blocks r ₁ = {1 ≤ y ≤ k} and r ₂ = {k < y ≤ L _y }. Cr 1 and Cr ₂ are the color space of r ₁ and r ₂ , respectively. (b) New bi-partitioning at position y = k + 1. Block r ⁰ ₁ (r ⁰ ₂ ) is composed of block r 1 (r 2 ) with line k + 1 added (deleted).

'

Ÿ  “ ¦ y Œ •y Œ •_  ì  r ½ + É\  @ /K " f d ”  (5)ü < ° ú  s  Ò  o © œ& ñ ˜ Ð   



o| ¾ Ó ∆Hü < ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó_     o| ¾ Ó ∆I\  ¦ > í ß –ô  Ç . s  ~ ½ Ó Z O

, BCB (block-computing bi-partitioning)\ " f  H, y Œ •y Œ • _

 0 Au \ " f ì  r ½ + ɽ + É M : Ò q tl   H ¿ º > h_  › ¸y Œ •\  @ /ô  Ç Ò  o © œ

&

ñ ˜ Ð| ¾ ӓ É r — ¸¿ º > í ß – >   ) a  . Õ ª Q
 z  ´] j– Ð s  Qô  Ç >  í

ß –“ É r  6 £ § 0 Au \ " f ì  r ½ + ɽ + É M : Ò q tl   H ¿ º > h_  › ¸y Œ •\  @ / ô

 Ç > í ß –õ  ´ ú §s    u >   ) a  . s M : ×  æ4 Ÿ ¤ ) a > í ß –`  ¦ þ j@ /ô  Ç ]

j  “ ¦ ì  r ½ + É 0 Au \  ¦ s 1 l x † < Ê\    " f Æ Ò/] j ÷ &  H


_  ‚  \  @ /ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó ë ß –Ü ¼– Ð  6 £ § ì  r ½ + É 0 Au \ 

"

f Ò q tl   H ¿ º > h_  › ¸y Œ •\  @ /ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó`  ¦ > í ß –½ + É Ã º e ”

 . s  ~ ½ ÓZ O `  ¦ LUB (line-updating bi-partitioning) s 



“ ¦  9, Fig. 3õ  ° ú  s  ½ ¨½ + É Ã º e ”  .

Figure 3 õ  ° ú  s  ì  r ½ + É t & h `  ¦ y = k \ " f y = k + 1 – Ð s 1 l x ½ + ÉM : s „  % ò % i  r 1 \ " f > í ß –  ) a Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r ₁ ) Ü ¼– РÒ'  S X ‰  © œ  ) a % ò % i  r ₁ ⁰ \ " f > í ß –  ) a Ò  o © œ& ñ ˜ Ð

|

¾ Ó H(C, r ⁰ 1 )`  ¦ ½ ¨ l  0 AK " f € 9 כ ¹ô  Ç S X ‰  © œ  ) a % ò % i _  Ò  o



 à º Cr ⁰ 1 `  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  3t % ò % i Ü ¼– Ð ½ ¨ì  r # Œ ˜ Ð .

Cr ₁ \ ë ß – Ÿ í† < Ê÷ &  H Ò  o  à º C 0 , Cr ₁ õ  C line — ¸¿ º\  5 Å q 



 H Ò  o  à º C ^m , Õ ªo “ ¦ C ^line \ ë ß – Ÿ í† < Ê÷ &  H Ò  o  à º C ^a – Ð

½

¨$ í  ) a  . s „  % ò % i  r ₁ _  Ò  o  à º Cr ¹ \  Ÿ í† < ʝ ) a : £ ¤& ñ Ò  o



© œ c_   o™ èà º  H N (c) – Ð, Æ Ò  ) a % ò % i ‚   k + 1_  Ò  o  à º C line \  Ÿ í† < ʝ ) a : £ ¤& ñ Ò  o © œ c_   o™ èà º  H n(c) – Ð Å Ò# Q| 9 M : y

Œ

• Ò  o  à º% ò % i  C 0 , C m , C a \ " f S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í  H y Œ •y Œ •  6 £ § õ 

° ú

 s  Å Ò# Q”   .

• Ò  o  à º C ⁰ _  % ò % i \ " f P (C|r ⁰ 1 ) = _L ^{N (c)}

x

(k+1)

• Ò  o  à º C m _  % ò % i \ " f P (C|r 1 ⁰ ) = ^{N (c)+n(c)} _L

x

(k+1)

• Ò  o  à º C ^a _  % ò % i \ " f P (C|r ⁰ 1 ) = _L ^n(c)

x

(k+1)

s

M : L x (k + 1)“ É r S X ‰  © œ  ) a % ò % i  r ₁ ⁰ _  8 ú x  o™ èà ºs  . s  ü

< ° ú  “ É r › ' a > \  ¦ s 6   x # Œ H(C, r 1 ⁰ )`  ¦ ½ ¨$ í   H y Œ •y Œ •_  Ò 

o  à º% ò % i  C 0 , C m , C a – Ð
¾ º# Q ³ ð‰ & ³ €    A ü < ° ú   .

H(C, r ⁰ ₁ ) = − X

cC

₀

N (c)

L _x (k + 1) log ₂ N (c) L _x (k + 1)

− X

cC

_m

N (c) + n(c)

L x (k + 1) log ₂ N (c) + n(c) L x (k + 1)

− X

cC

_a

n(c)

L x (k + 1) log ₂ n(c)

L x (k + 1) (6) d ”

 (6)\ " f s „  % ò % i  r 1 \ " f > í ß –ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r 1 )`  ¦ s 6   x # Œ & ñ o  €    6 £ § õ  ° ú   .

H(C, r ⁰ ₁ ) = k

k + 1 H(C, r ₁ ) − k

k + 1 log ₂ k k + 1 +

"

− X

cC

_m

N (c) + n(c)

L _x (k + 1) log ₂ N (c) + n(c) L _x (k + 1) −



− X

cC

_m

N (c)

L _x (k + 1) log ₂ N (c) L _x (k + 1)



− X

cC

_a

n(c)

L _x (k + 1) log ₂ n(c) L _x (k + 1)

#

(7)

0

Ad ” \ " f ' Í   P : † ½ Óõ  ¿ º  P : † ½ ӓ É r s „  % ò % i \ " f >  í

ß –ô  Ç H(C, r 1 )`  ¦  o™ èà º L ^x k \ " f L ^x (k + 1) Ü ¼– Ð S X ‰  © œ

| ¨

c M :
 
  H ß ¼l ´ òõ  (scale factor)s  . @ / F ‹ c   ñ5 Å q \  e ”

  H † ½ Ó[ þ t“ É r D h– Ðî  r % ò % i  ‚   k + 1s  Æ Ò÷ &€  " f % 3 > ÷ &



 H Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ÓÜ ¼– Ð, Ò  o  à º % ò % i  C _m , C a \ " f ½ ¨ô  Ç  כ s 



.



A % ò % i  r ⁰ ₂ \  @ /K " f• ¸ 0 Aü <° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð & ñ o ½ + É Ã º e ”

 . ì  r ½ + Ét & h `  ¦ y = k \ " f y = k + 1Ü ¼– Ð s 1 l x ½ + É M : s

„  % ò % i  r 2 \ " f > í ß –  ) a Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r ² ) – РÒ'  » ¡ ¤

™

è  ) a % ò % i  r ⁰ ₂ \ " f > í ß –  ) a Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r ⁰ 2 )`  ¦ ½ ¨ l  0

AK " f  H » ¡ ¤ ™ è  ) a % ò % i _  Ò  o  à º Cr 2 ⁰ `  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  3

t

 % ò % i Ü ¼– Ð
è  H  . Cr 2 \ ë ß – 5 Å q   H Ò  o  à º C 0 , Cr 2 ü <

C line — ¸¿ º\  5 Å q   H Ò  o  à º C ^m , Õ ªo “ ¦ C ^line \ ë ß – Ÿ í† < Ê

÷

&  H Ò  o  à º C d – Ð ½ ¨$ í  ) a  .

s

„  % ò % i  r ₂ _  Ò  o  à º Cr 2 \  Ÿ í† < ʝ ) a : £ ¤& ñ Ò  o © œ c_   o

™

èà º  H N (c) – Ð, ] jü @  ) a % ò % i ‚   k + 1_  Ò  o  à º C ^line \ 

Ÿ

í† < ʝ ) a : £ ¤& ñ Ò  o © œ c_   o™ èà º  H n(c) – Ð Å Ò# Q| 9 M : y Œ • Ò  o   Ã

º% ò % i  C 0 , C m , C d \ " f S X ‰Ò  ¦ì  r Ÿ í  H y Œ •y Œ •  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò

# Q”   .

• Ò  o  à º C 0 _  % ò % i \ " f P (C|r ⁰ 2 ) = _L ^{N (c)}

x

(L

y

−(k+1))

• Ò  o  à º C ^m _  % ò % i \ " f P (C|r 2 ⁰ ) = _L ^{N (c)−n(c)}

x

(L

_y

−(k+1))

• Ò  o  à º C d _  % ò % i \ " f P (C|r ⁰ 2 ) = _L ^n(c)

x

(L

y

−(k+1))

s

M : L x (L _y − (k + 1))“ É r % ò % i  r ₂ ⁰ _  8 ú x  o™ èà ºs  .  ð ø Í

t – Ð s „  % ò % i  r ₂ \ " f > í ß –ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r 2 ) – Ð

&

ñ o  €    6 £ § õ ° ú   .

H(C, r ⁰ ₂ ) = L y − k

L _y − (k + 1) H(C, r 2 ) − L y − k

L _y − (k + 1) log ₂ L y − k L _y − (k + 1)

−

"

− X

cC

m

N (c) − n(c)

L x (L y − (k + 1)) log ₂ N (c) − n(c) L x (L y − (k + 1)) −



− X

cC

m

N (c)

L x (L y − (k + 1)) log ₂ N (c) L x (L y − (k + 1))



− X

cC

a

n(c)

L x (L y − (k + 1)) log ₂ n(c) L x (L y − (k + 1))

#

(8)

0

Ad ” \ " f ' Í   P :† ½ Óõ  ¿ º  P :† ½ ӓ É r s „  % ò % i \ " f > í ß – ô

 Ç H(C, r 2 )\  ¦  o™ èà º L ^x (L y − k) \ " f L ^x (L y − (k + 1)) Ü ¼– Ð » ¡ ¤ ™ è | ¨ c M :
 
  H ß ¼l ´ òõ s  . @ / F ‹ c   ñ5 Å q \  e ”

  H † ½ Ó[ þ t“ É r ‚   k + 1% ò % i s  ] jü @÷ &€  " f { 9 > ÷ &  H Ò  o © œ

&

ñ ˜ Ð| ¾ ÓÜ ¼– Ð Ò  o  à º % ò % i  C m , C d \ " f ½ ¨ô  Ç כ s  .

s

 Qô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð Ã º¨ î ~ ½ ӆ ¾ Ó\ " f  Ø Ô  H 0 Au  k + 1\ 

"

f › ¸y Œ • r ⁰ \  ¦ y Œ •y Œ • › ¸y Œ • r ⁰ 1 , r ₂ ⁰ Ü ¼– Ð
Ð ü t M : s „   ì  r ½ + É 0 A u

 k\ " f % 3 # Qt   H Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r ¹ ), H(C, r 2 )\  ¦ s  6

 

x # Œ, D h– Ð Æ Ò  ) a % ò % i ‚   k + 1_     oë ß –`  ¦ > í ß – # Œ Ò 

o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó H(C, r 1 ⁰ ), H(C, r ₂ ⁰ )`  ¦ % 3   H  כ s  LUB· ú ˜“ ¦o  7

£

§ s  . s  ~ ½ ÓZ O \ " f  H › ¸y Œ •\  @ /ô  Ç > í ß –`  ¦ 
_  ‚  \ 

@

/ô  Ç > í ß –Ü ¼– РÒ'  ½ ¨½ + É Ã º e ”    H s & h s  e ”  .

V. Ž ì ŏ Œ + s ÇÊ Ý

€

 $  LUB\  _ ô  Ç D h– Ðî  r > í ß – ~ ½ Ód ” `  ¦ s „  _  BCB >  í

ß – ~ ½ Ód ” õ  q “ § l  0 A # Œ ¿ º t  s p t \  ¦  6   x ô  Ç .

' Í

  P :  H  7 H × ¼o î ß –_  é ß –í  H s p t – Ð ¸ ú š6 £ §`  ¦ ¢ - a„  y  ] j



ô  Ç  Å Ò é ß –í  H ô  Ç s p t \  ¦ # Œ Q t  ß ¼l  Z > – Ð  Ø Ô 

 s # Q · ¡ ­ # Œ  6   x ô  Ç  כ s  9,  6   x ô  Ç Ò  o © œ_  7 á x À Ó Ä » ô

 Çô  Ç Ã º– Ð ] jô  ǝ ) a  כ s  . ¿ º   P :  H y Œ •  o™ è   ¢ - a„   y

 Á º Œ •0 A– Ð 24q à Ô RGBÒ  o © œ`  ¦  Ò# Œô  Ç Á º Œ •0 A s p t 

\

 ¦  6   x % i  . s   â Ä º\   H  6   x ô  Ç Ò  o © œ_  7 á x À Ó  o™ è Ã

º\  q Y Vô  Ç “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

Table 1 \  & ñ o ô  Ç  ü < ° ú  s  ¿ º t  s p t \  @ /K " f LUB > í ß – r ç ß –“ É r BCB > í ß – r ç ß –\  q K " f B Ä º y Œ ™™ èô  Ç

 כ

`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . ] j{ 9   Œ •“ É r ß ¼l \ " f  H LUB > í ß – r ç ß – s

BCB > í ß – r ç ß –_  1/16& ñ • ¸– Ð y Œ ™™ è÷ &t ë ß – ß ¼l  9 þ t

Table 1. Performance tests of BCB and LUB algorithms using random and simple test images of various image sizes. Computing time is in seconds using an Apple com- puter iMac 27 ⁰⁰ with Intel CPU i7 (3.4 GHz) and 16 GB RAM.

] of pixel Random Simple

BCB LUB BCB LUB

100×100 2.168×10

¹

1.323×10

⁰

6.700×10

⁻²

2.000×10

⁻³

150×150 1.780×10

²

6.843×10

⁰

3.280×10

⁻¹

8.000×10

⁻³

250×250 2.263×10

³

5.401×10

¹

1.589×10

⁰

1.900×10

⁻²

350×350 1.239×10

⁴

2.146×10

²

6.223×10

⁰

5.100×10

⁻²

450×450 4.591×10

⁴

6.750×10

²

1.524×10

¹

9.100×10

⁻²

750×750 6.300×10

⁵

6.363×10

³

8.835×10

¹

3.100×10

⁻¹

1,000×1,000 2.700×10

⁶

2.065×10

⁴

2.760×10

²

7.000×10

⁻¹

Table 2. Performance tests of BCB and LUB algorithms using artistic paintings in Fig. 5.

ID ] of pixel ] of division BCB LUB M2 309×450 71,005 9.210×10

²

1.654×10

¹

S3 750×501 368,311 1.370×10

⁵

1.262×10

³

G1 1,013×834 826,085 4.000×10

⁵

4.312×10

³

P2 1,370×583 795,220 3.700×10

⁵

3.950×10

³

Ã

º2 Ÿ ¤ > í ß – r ç ß – y Œ ™™ èÖ  ¦“ É r  8 & 4 R" f ] j{ 9   H ß ¼l \ " f  H 1/100 s  – Ð » ¡ ¤ ™ è÷ &  H  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  .

Figure 4 \ " f  H z  ´] j \ VÕ ü t  Œ •¾ ¡ § \  @ /ô  Ç LUB~ ½ ÓZ O `  ¦ & h  6

 

x % i `  ¦ M : ì  r ½ + É ÷ &  H õ & ñ `  ¦ — ¸_ þ v`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .  7 H × ¼o  î

ß –  Œ •¾ ¡ § \ " f  H 5  P : ì  r ½ + É\ " f s p  „  ^ ‰ Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ Ó_ 

20%  % 3 # Qt  9, 119   P : ì  r ½ + É\ " f  H  _  50%_  Ò  o © œ

Fig. 4. (Color online) The results of bi-partitioning. (a) 20% and (b) 50% of the palette information in Mon- drian’s painting was recovered with n = 5 and n = 119 bi- partitioning, respectively. (c) 20% and (d) 50% of palette information in Gogh’s painting was recovered with n = 38 and n = 1,973 bi-partitioning, respectively.

&

ñ ˜ Ð| ¾ Ós  ì  r ½ + É\  _ K " f % 3 # Q”   . ì ø ̀   “ ¦â ì (Vincent van Gogh) _   Œ •¾ ¡ § \ " f  H 38   P :_  ì  r ½ + É\ " f 20%_  Ò  o



© œ& ñ ˜ Ð % 3 # Qt “ ¦, 50%_  Ò  o © œ& ñ ˜ Ð\  ¦ % 3 l  0 AK " f  H 1,973  _  ì  r ½ + És  t 5 Å q ÷ &# Q  ô  Ç . s  כ “ É r “ ¦â ì_   Œ •¾ ¡ § s

  8 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç / B N ç ß – : £ ¤$ í `  ¦ t “ ¦ e ”   H  כ `  ¦ ì ø Í% ò ô  Ç .

Table 2 \ " f  H Fig. 5 _  # Œ Q t  p Õ ü t  Œ •¾ ¡ §[ þ t \  @ /ô  Ç s

×  æì  r ½ + É`  ¦ ¢ - a„  y  = å QÍ Ç x`  ¦ M : % 3 # Q”   ì  r ½ + É_  à ºü < Õ ª M : _

 > í ß – r ç ß –`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . LUB > í ß –   õ   H BCB > í ß –

 

õ ˜ Ð  > í ß – r ç ß –s   © œ{ © œy  y Œ ™™ è÷ &# Q" f, BCB > í ß –Ü ¼

–

Ѝ  H à º { 9  m ”    o   H  Œ •\ O s  1r ç ß – s ? /\  = å Qè ­ q à º e ”  6

£

§`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  . > í ß –   õ – Ð % 3 # Q”   þ j7 á x& h “   ì  r ½ + É_  à º



 H  7 H × ¼o î ß –\ " f  H  Å Ò & h t ë ß –,
 Qt   Œ •¾ ¡ § \ " f  H   Å

Ò ´ ú §“ É r  כ `  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s  כ “ É r s [ þ t  Œ •¾ ¡ § s  t “ ¦ e ” 



 H / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í _  4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í `  ¦ ¸ ú ˜ ì ø Í% ò ô  Ç “ ¦ ½ + É Ã º e ”  .

VI. + s Ç Â ] Ø

p

Õ ü t  Œ •¾ ¡ § \ " f
 
  H Ò  o © œ_  / B N ç ß –& h  ½ ¨$ í : £ ¤$ í `  ¦ & ñ

˜

Ðs  : r& h  ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð & ñ | ¾ Ó o l  0 A # Œ,  Œ •¾ ¡ § _  s ×  æì  r ½ + É

`

 ¦ : Ÿ x # Œ % 3 > ÷ &  H Ò  o © œ& ñ ˜ Ð| ¾ ÓÜ ¼– Ð ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó`  ¦ > í ß –

  H ~ ½ ÓZ O `  ¦ ] jr  % i  . ] jî ß –ô  Ç LUB · ú ˜“ ¦o 7 £ § \ " f  H B

 ì  r ½ + Ét & h     D h\  v >  Æ Ò÷ &  H ‚  \  @ /ô  Ç Ò  o © œ& ñ ˜ Ð

|

¾ Ó > í ß – ë ß –Ü ¼– Ð" f ½ ¨$ í & ñ ˜ Ð| ¾ Ó`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”   H ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð B

 ì  r ½ + Ét & h    
¾ º# Qt   H — ¸Ž  H › ¸y Œ •\  @ /ô  Ç Ò  o © œ & ñ

˜

Ð| ¾ Ó`  ¦ > í ß –K     H l ” > r _  BCB · ú ˜“ ¦o 7 £ § ˜ Ð  > í ß – r

ç ß –\ " f „ à Ì Z 4ô  Ç ´ òõ  e ” 6 £ §`  ¦ ˜ Ѐ Œ ¤ . z  ´] j– Ð s  > í ß –

~

½ Ód ” “ É r  o™ è_  à º 10 ⁵ ∼ 10 ⁶ “   z  ´] j  Œ •¾ ¡ §[ þ t \ " f 50C  s

 © œ_  r ç ß – é ß –» ¡ ¤ ´ òõ \  ¦ Šҍ  H  כ `  ¦ S X ‰ “   % i  . Õ ª  X <

s

 s   H  o™ è_  à º  8 ´ ú §`  ¦ à º2 Ÿ ¤  8  H s \  ¦ Å Ò> ÷ &

Fig. 5. (Color online) Artistic paintings used in the test.

(a) Composition with Red, Blue, Black, Yellow, and Gray (M2), Piet Mondrian, 1921. (b)Sunday Afternoon on the Island of La Grande Jatte (S3), Georges-Pierre Seurat, 1884 - 1886. (c) The Starry Night (G1), Vin- cent van Gogh, 1889. (d)Blue poles (Number 11) (P2), Jackson Pollok, 1952.

#

Q þ j   H \  ] j/ B N ÷ &“ ¦ e ”   H œ í“ ¦ o| 9  (hi-res) p Õ ü t  Œ •¾ ¡ § _ 

½

¨$ í 4 Ÿ ¤ ¸ ú š$ í ì  r$ 3 \   6   x| ¨ c à º e ” `  ¦  כ s  . Õ ªo “ ¦ s  Q ô

 Ç $ í õ   H · ú ¡Ü ¼– Ð \ VÕ ü t  Œ •¾ ¡ §`  ¦  | ¾ ÓÜ ¼– Ð > í ß – # Œ ½ ¨$ í

&

ñ ˜ Ð_  : £ ¤f ç `  ¦ ƒ  ½ ¨½ + É Ã º e ”   H l ì ø Ís  | ¨ c  כ Ü ¼– Ð l @ /ô  Ç



.

P

c p 8 ý ò k >

2010¸  • ¸ & ñ  ÒF " é ¶ ( “ §¹ ¢ ¤ õ † < Æl Õ ü t Â Ò “  ë  H   rƒ  ½ ¨% i 

|

¾ Óy © œ o \ O q )Ü ¼– Ð ô  Dz D Gƒ  ½ ¨F é ß –_  t " é ¶`  ¦ ~ à Î  ƒ  ½ ¨÷ &

% 3

6 £ § (NRF-2010-371-H00008). ¢ ¸ô  Ç 2012¸   Ø  æ· ¡ ¤ @ /† < Ɠ §

†

< ÆÕ ü tƒ  ½ ¨t " é ¶  \ O _  ƒ  ½ ¨q  t " é ¶`  ¦ ~ à Î  à º' Ÿ ÷ &% 3 _ þ v m 



.

REFERENCES

[1] D. Berlyne, Aesthetics and Psychobiology (Appleton- Century-Crofts, New York, 1971).

[2] G. D. Birkhoff, Aesthetic Measure (Harvard Univer- sity Press, Cambridge, 1933).

[3] A. Moles, Information Theory and Esthetic Percep- tion (Univ. of Illinois Press, IL, 1968).

[4] J. Rigau, M. Feixas and M. Sbert, IEEE Comput.

Graph. 28, 24 (2008).

[5] J. Rigau, M. Feixas and M. Sbert, in Computation

Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging

(Lisbon, Portugal, 2008), p. 115.