정역학

기계공학과

신기훈 교수님 벡터(Vector)

정역학

[ 1강 ]

학습목표

벡터의 정의와 연산에 대해서 살펴본다.

벡터에 의해 표현되는 공학분야의 물리량을 살펴본다.

벡터의 2차원 및 3차원 벡터 성분으로의 표현 방법을

살펴본다.

스칼라 와 벡터

스칼라 : 크기만을 갖는 물리량(시갂, 길이, 온도, 질량 등)

1. 벡터의 정의 및 연산

벡터 : 크기와 방향을 갖는 물리량(상대위치,속도, 가속도, 힘, 모멘트 등)

크랭크기구의 두 점 A 와 B

점 A로부터 B 를 연결하는 위치벡터 r_AB

탑에 작용하는 케이블 AB의 작용력의 벡터 표현 F

벡터의 합

1. 벡터의 정의 및 연산

(a) 두 개의 벡터 U와 V (b) 벡터U의 끝점에 놓인 벡터 V의 시작점

(c) 벡터 U와 V의 합을 구하는 삼각형 법칙

벡터의 합

1. 벡터의 정의 및 연산

(a) 벡터의 합은 더해지는 벡터들의 순서와는 무관하다

(b) 벡터 U와 V의 합을 구하는 평행사변형 법칙

세 벡터 U, V, W의 합

교환 법칙 : 결합 법칙 :

U V

V

U   

) (

)

(U  V  W  U  V  W

스칼라와 벡터의 곱

실수

1. 벡터의 정의 및 연산

U a

결합 법칙 :a(bU)  (ab)U

분배 법칙 :(a  b)U  aU  bU V U

V

U a a

a(  )  

스칼라와 벡터의 곱

벡터의 뺄셈 :

1. 벡터의 정의 및 연산

V U

V

U   (1)

단위벡터(e) :

x, y축에 평행인 두 벡터의 합으로의 벡터 표현 2. 2차원 벡터 성분

(U

: 벡터 U의 x축 방향 벡터 성분, U

: 벡터 U의 y축 방향 벡터 성분)

y

x U

U U  

(

: 벡터 U의 x축 방향 스칼라 성분,

: 벡터 U의 y축 방향 스칼라 성분)

2 2

y

x U

U 

 U

벡터 성분 U_x , U_y 벡터 U

j i

U  U_x  U_y

x, y축 벡터 성분으로의 벡터합 표현 2. 2차원 벡터 성분

(a) 벡터 U와 V의 합

j i

j i

j i

V U

) (

) (

) (

) (

y y

x x

y x

y x

V U

V U

V V

U U



















(b) 벡터 U와 V의 성분 (c) 각 좌표 방향 성분들의 합은 합 벡터 U + V의 성분과 동일

j i

j i

U a U_x U_y aU_x aU_y

a  (  )  

성분으로 나타낸 위치 벡터 2. 2차원 벡터 성분

(a) 두 점 A와 B 및 A 점에서 B점까지의 위치벡터 r_AB

(b) 위치벡터 r_AB의 성분은 A점과 B점의 좌표로부터 구할 수 있음

j i

r

 ( x

 x

)  ( y

 y

)

3차원 위치 벡터 3. 3차원 벡터 성분

A점에서 B점을 연결하는 위치 벡터 r_AB

3차원 위치 벡터 3. 3차원 벡터 성분

A점과 B점의 좌표 값으로부터 구할 수 있는 위치벡터 r_AB의 좌표

k j

i

r

 ( x

 x

)  ( y

 y

)  ( z

 z

)

2 2

2 ( ) ( )

)

( _{B A B A B A}

AB  x  x  y  y  z  z

r

주어진 직선에 평행인 벡터 성분 3. 3차원 벡터 성분

벡터 U에 평행인 직선상의 두 점 A와 B A점에서 B점을 연결하는 위치벡터 r_AB

주어진 직선에 평행인 벡터 성분 3. 3차원 벡터 성분

A점에서 B점을 향하는 단위벡터 e_AB

) / (

U V V

e U U





벡터 U에 평행인 벡터 V를 알 때

학습정리

벡터는 크기와 방향을 갖는 물리량으로, 공갂상에서의 상대위치, 속도, 가속도, 힘, 모멘트 등이 대표적인 벡터량이다.

두 벡터의 합은 삼각형 법칙이나 평행사변형 법칙으로 계산한다.

벡터 U를 직교 성분으로 나타내면 다음과 같다.

3차원 위치벡터 r_AB의 성분은 A점과 B점의 좌표로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

2차원 : 3차원 :

j i

U  U_x  U_y U  U_x²  U_y² k

j i

U U_x U_y U_z U  U_x² U_y² U_z²

k j

i

r

 ( x

 x

)  ( y

 y

)  ( z

 z

)

2 2

2 ( ) ( )

)

( _{B A B A B A}

AB  x x  y  y  z  z

r