Lecture Note: Kinematics of Particles
- Rectilinear Motion
노하기를 더디 하는 자는 용사보다 낫고 자기 마음을 다스리는 자는 성을 빼앗는 자보다 나으니라.
(잠언 16 장 32 절)
질점 운동학 (Kinematics of Particles)
서론
1) Kinematics 라는 용어는 종종 ‘기구학’이라 번역되기도 하는데, 여기서는 운동학이라 부르기로 한다. 운동학은 주어진 동역학 계에 대해 변위 또는 위치, 속도, 가속도와 같은 운동관련 정보를 구하거나 그들 상호관계를 규명하는 학문분야이다.
2) 운동학에 대한 이해는 동역학 학습의 가장 핵심적인 요소이다.
3) 질점 운동학에서 다루는 운동관련 물리량인 변위 또는 위치, 속도, 가속도는 크기와 방향을 갖고 있으므로 벡터로 표기할 수 있다.
벡터는 결합법칙, 배분법칙, 교환법칙 등 14 가지 수학적 법칙들이 성립하는 성질을 갖는다.
예를 들어서, 벡터의 교환법칙은 아래와 같은 형태로 기술되는데, 언뜻 당연하게 보이지만 이 법칙을 모든 운동관련 물리량들이 다 만족하지 않으며 (나중에 강체의 자세를 다룰 때, 자세가 벡터가 아님을 보게 될 것임) 이 식이 당연해 보이는 것은 우리가 스칼라의 성질에 익숙해져 있기 때문이다. 벡터는 크기만 갖는 스칼라와 다르며 보다 제한적 성질을 갖는다.
a b b
a
(벡터의 교환법칙)(예)
다음은 벡터인 변위가 교환법칙을 만족하는 것을 나타내는 그림이다.
1 점에서 2 점으로 위치이동
자세, 각속도, 그리고 각가속도와 같은 운동학 관련 내용들은 질점 동역학에서는 등장하지 않으며 15 장 이후 강체 동역학에서 소개된다.
질점운동은 하나의 변수로 표현이 가능한 1 차원운동인 단선운동(Rectilinear motion)과 두 개 이상의 변수로 표현이 가능한 2 차원 이상의 운동인 복선운동(Curvilinear motion)으로 분류할 수 있다. 본 장은 이들에 대한 설명을 그 주요 내용으로 담고 있다.
단선운동 (Rectilinear Motion)
단선운동이란 운동이 두 방향으로만 일어나는 경우를 말하며 직선운동이 대표적인 경우이나 직선 운동이 아니라 할지라도 (하단 우측 그림) 단선운동이 될 수 있다.
단선운동의 경우 운동관련 물리량들을 벡터가 아닌 스칼라로도 표시할 수 있는데 이는 운동 방향을 스칼라의 부호로 나타낼 수 있기 때문이다. 이 경우, 스칼라로 표시된 운동관련 물리 량은 운동변수라 부르기도 한다.
운동변수들은 시간의 함수로 나타낼 수 있다. 예를 들어 위치는 아래의 예와 같이 시간의 함수로 나타낼 수 있다.
(예)
x
3t
2
2t
의 함수관계가 주어질 때 시간에 따른 변위를 몇 개 구해보자. 0
t
일 때x 0
1
t
일 때x 1
2
t
일 때x 8
3
t
일 때x 21
위치의 시간에 따른 변화율을 속도(Velocity)라고 부른다. 속도 역시 크기와 방향을 가지며 위치와 동일하게 벡터의 성질을 갖는다. 속도에는 평균속도와 순간속도의 두 가지 정의가 존재하며 1 차원 단선운동 시 그들은 각각 다음과 같다.
평균속도 (시간구간에 대해 정의됨)
t v x
주어진 두 시각의 위치 변화를 두 시각의 차로 나눈 값순간속도 (매 순간 정의됨)
dt
v dx
특정한 한 시각에서의 순간 위치 변화율
아래 그림에서 질점이 A 와 B 두 점 사이를 움직일 때 그 구간에서의 평균속도는 일정하나 순간속도는 지속적으로 변하는 것을 알 수 있다. 평균속도는 어떤 시간구간이 정해지면 그 구간에서 평균 값으로 일정하게 결정되지만 순간속도는 매 순간마다 변화한다. 통상적으로 속도라는 표현은 순간속도의 의미로 사용된다.
x
B
x
A
t
t
가속도(Acceleration)란 속도의 변화율을 의미하며 역시 벡터의 성질을 갖고 있다. 가속도도 평균가속도와 순간가속도의 두 가지의 정의를 가지며 그 정의하는 방식은 속도에서와 동일 하다. 단선운동 시,
평균가속도 (시간구간에 대해 정의됨)
t a v
순간가속도 (매 순간 정의됨)
dt
a dv
따라서 22
dt x a d
(예) 위치
x 3 t
2 2 t
일 때 속도와 가속도를 구하라.
v 6 t 2
a 6
한 운동변수가 시간의 함수로 주어질 때, 다른 운동변수들을 구하는 방법은 다음과 같다.
) (t f
x
이면2 2
,
dt f a d dt
v df
) (t g
v
이면dt a dg x
dt t g
x
t( ) ,
0 0
) (t h
a
이면0 0
0 ( ) 0, ( )
v
th t dt v x
tv t dt x
(예) 속도
v 2 t 2 , x ( 0 ) 1
일 때 변위x
를 구하라.1 2
1 ) 2 2 (
2 0
t t
dt t
x
t(예) 가속도
a 2 , v ( 0 ) 2
일 때 속도를 구하라.2 2 2
02
dt t
v
t이상에서 보듯이 한 운동변수가 시간의 함수로 주어질 때, 다른 운동변수를 구하는 방법은 매우 쉽고 단순하다.
한 운동변수가 다른 운동변수의 함수로 주어지는 경우, 운동변수들을 구하는 방법은 다음과 같다.
) 0
0 ( ),
(
x x x
f
v
로 주어질 때dx x x df dx f
v dv
dt dx dx dv dt a dv
) ) (
(
체인 룰을 사용
) ( ) (
x f dt dx
dt x dx f v
따라서
t
0xf dx
(x
) 변수분리법 사용(예)
1 , x( 0 ) 1
v x
일 때, 가속도와 변위를 구하라.
1 2 )
1 2(
1
1 1 1
2 3 2
0
x dx x x t
t
x x
x dx v dv a
x x
0 0, (0) )
0 ( ),
(
x v v x x
f
a
로 주어질 때,) 2(
) 1
( 2 02
0 0
v v vdv dx
x f
vdv adx
dx v dv dt dx dx dv dt a dv
x x
v
v
체인 룰과 변수분리법 사용
여기서
v
를x
의 함수로 구하면 바로 앞의 방법을 이용해x
(t)를 구할 수 있다.0 0, (0) )
0 ( ),
(
v v v x x
f
a
로 주어질 때,
v v
f v t dv
v f dt dv
dt v dv dt f
a dv
0 ( )
) (
) (
변수분리법 사용
이상에서 관찰되는 바와 같이 이러한 형태의 문제는 체인룰과 변수분리 방법을 이용해 모두 해결할 수 있다.
Case 1
Case 2
Case 3
<예제>
40 15 6 )
(
t t
3 t
2 t
x
로 주어지는 양방향 질점 운동에서 다음 질문에 답하라.(a)
v 0
가 되는 시간은 언제인가?5 0
0 ) 1 )(
5 ( 3 15 12 3
2
t t
t t t
dt t v dx
(b) t = 5 일 때의 위치와 이 때까지 움직인 거리는 얼마인가?
5 0
when 0
) 1 )(
5 ( 3
60 ) 5 (
t t
t v x
따라서 움직인 거리는
40 ) 0 (
x
이므로 총 움직인 거리 = 40+60=100(c) t = 5 일 때의 가속도는?
18 ) 5 ( 12
6
t a
dt
a dv
(d) t = 4 에서 t = 6 사이에 움직인 거리는?
. 50 ) 6 ( , 60 ) 5 ( , 52 ) 4 (
0 6
5
0 5
4
x x
x
v t
v t
에서 에서
5
4 t
사이는 8 움직이고,5 t 6
사이는 10 움직였으므로 총 움직인 거리는 18 이다. 위 문제 (d)에서의 내용을 그림으로 나타내면 아래와 같다.
4 t
5 t
6 t m
8
m 10
<예제>
가속도
a 9. 81
인 중력장에서 공이 다음 초기조건을 가지고 운동을 시작하였다.20 0 10
0 ) , y ( ) (
v
이 때 다음 질문들에 답하라.
(a) 공의 속도
v
와 위치y
를 시간의 함수로 구하라.20 10 905 . 4
10 81 . 9
2 0 0
0 0
t t y
vdt y
t v
adt v
t t
(b) 공의 최고높이
y
max를 구하라.공이 최고 높이에 도달하면
v 0
이므로1 25 019 1
019 1
0 10 81 9
. ) . ( y y
. t t
. v
max
(c) 공이 지면에 떨어지는 시간과 그때의 속도를 구하라.
2 . 22 ) 28 . 3 (
28 . 3 ,
0
0 20 10 905 .
4 2
v
t t
t t y
아래 그래프들은 공의 운동을 이해하는데 도움을 줄 수 있다.
) (
y 0
Ball)
(
v 0
<예제>
위 그림에 보이는 질량과 스프링만으로 이루어진 진동계는 식
a
2x
의 지배를 받으며 운동을 한다. 질량의 초기 조건이v
(0) v
0,x
(0)
0라 할 때 다음을 구하라.(a) 속도
v
의 값을 위치x
의 함수로 구하라.
2 2 2 0
2 2 2
0 2
0
2 ) 1 2(
1
0
x v
v
x v
v
adx
v
vdv
v
x
(b) 속도
v
와 위치x
를 시간t
의 함수로 나타내라.v t v x
t x
x v
t dx x
v dt dx
x v
dt v dx
x
sin )
(
1 sin
00 1
0 2 2 2
0 2
2 2 0
2 2 2 0
<예제>
잔잔한 물 위로 배가
v
0의 일정 속도로 항해하던 중에 갑자기 엔진이 꺼졌다. 물의 저항에 의한 배의 가속도가 속도의 제곱에 비례하여 감속된다는 것을 알고 있다면 (즉,a kv
2) 다음 질문에 답하라.(a) 배의 속도를 시간의 함수로 나타내라.
kt v v v
v kt v
v kdt dv
dt kv dv a
v v
t
0 0 0
2 0 2
1 1 1
0
(b) 엔진이 꺼진 지점으로부터 배가 움직인 거리를 구하라.
) 1 1ln(
1 1
0 0
0 0 0
0 0
kt k v
x
kt v
dt dx v
kt v v v dt dx
t x
유체 내에서 운동하는 물체는 그 속도의 제곱에 비례해 운동반대 방향으로 저항력을 받 는다. 예를 들어 공기 속을 자유낙하 하는 빗방울도 저항력을 받으며 운동하므로 그 속도가 계속 증가하지 않고 일정 속도로 수렴하게 된다. 유체저항력은 엄격하게는 레이놀즈 수와 관련이 있으며 그 값이 1 이하가 되면 저항력이 속도에 근사적으로 비례한다.
등속 운동 (uniform rectilinear motion)
대표적인 예로 에스컬레이터의 운동이 있다.
vt x x
vt vdt dx
dt v dx
a const
v
t x x
0
0 0
0
등가속 운동 (Uniformly accelerated rectilinear motion)
이러한 운동의 대표적 예로는 중력장에서 자유 낙하하는 (공기저항 무시) 물체가 있다.
2 1 ) (
2 0
0
0 0
0 0 0
0 0
at t v x x
dt at v dx
at v dt v
dx
at v v
adt dv
dt a dv
const a
t x
x
t v
v
질점 간 상대 운동 (Relative motion of two particles)
질점 B 의 A 에 대한 상대 위치
x
B/A x
B x
A질점 B 의 A 에 대한 상대위치
A B A
B
x x
x
/
질점 B 의 A 에 대한 상대속도
dt v dx
v v v
A B A
B A
B A B
/ /
/
질점 B 의 A 에 대한 상대가속도
dt a dv
a a a
A B A
B A
B A B
/ /
/
(예)
x
B 1 2 t
의 운동을 하고x
A 3t
2의 운동을 한다 할 때, 질점 A 의 B 에 대한 상대 속도를 시간의 함수로 구하라.2 6
1 2 3
/
2 /
t v
t t x x x
B A
B A B A
x
Ax
B<예제>
엘리베이터가 초기 위치
x
E(0)
5에서 출발하여v
E 2
로 등속운동을 한다.이 때, 공이 초기위치
x
B(0)
12이고 초기속도v
B(0)
18로a
B 9 . 81
의 중력장에서 운동을 한다면, 다음 질문에 답하라.(a) 공과 엘리베이터가 만나는 시간 언제인가?
12 18 905
. 4
) 0 ( )
0 2 (
1 2 5
) 0 (
2 2
t t
x t v t a x
t
t v x
x
B B
B B
E E
E
E
B
x
x
의 방정식을 풀면,65 3.
t
(b) 만나는 시간, 엘리베이터에 대한 공의 상대속도는 얼마인가?
16 81 . 9 2
18 81 . 9 ) 0 (
/ /
t v
v
t v
t a v
v v v
E B E
B B B
E B E B
65 .
3
t
를 대입하면,81 .
/E
19v
B81 .
9
a
Bconstant
v
E종속 운동 (Dependent motions)
한 질점의 운동이 다른 질점의 운동에 영향을 미치는 경우에 질점간 종속운동이 발생한다.
줄이 연관된 문제의 경우 “한 줄의 총 길이는 일정하다”는 사실을 이용하여 풀이한다.
. )
( )
( )
(
x
A h
1 r x
B h
1 h
2 r x
B h
2 const
h
1,r
,h
2가 모두 일정하므로2 .
A B
x x const
(1) ⇒ 위치 관계식A 와 B 가 움직인 변위를 각각
x
A와 x
B라 하면 (1)식은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.2 0
A B
x x
(1)* ⇒ 변위 관계식 이 식을 시간에 대해 한 번과 두 번 미분하면2 0
A B
v v
(2) ⇒ 속도 관계식2 0
A B
a a
(3) ⇒ 가속도 관계식문제풀이 시에는, (1) * 식을 (1) 식 대신 사용하는 경우가 더 많다.
어떤 종속운동 질점계는 두 개의 줄을 가지고 있는 경우도 있으므로, 그러한 경우에는 위 식과 같은 구속조건 식들이 2 Set 얻어진다.
x
Ax
B<예제>
D
는 75m/s 등속운동을 하고A
는 정지상태에서 출발 하여 등가속운동을 할 때, 주어진 추가적인 조건들을 이용하여 미지수들을 구하라.우선, 도르래의 운동법칙에 의하면,
const x
x
x
A
B 2
D
즉,
0 2
0 2
0 2
D B A
D B A
D B
A
a a a
v v v
x x
x
관계식
그런데
D
는 등속운동을 하므로 (v
D
75)t x
a
D
0
D
75또한 주어진 조건에서 (
v
A(0)
0)t v t
a x
t a
v
A A A A A2 1 2
1
2
<추가조건>
300v
A 일 때 x
A
200이다.2 200
1 v
At
이므로3
4
t
이다. 따라서a
A
225이고 x
D
100 이다.관계식에서 미지수는 총 9 개, 그리고 밑줄 친 내용은 6 개
따라서 식이 3 개이고 아직 모르는 미지수가 3 개이므로 모든 미지수가 결정될 수 있다.
그 값들을 구하면
D
x
Bx
A<예제>
아래 시스템에서
v
A
4,a
B
4의 조건이 주어진다면B
의 속도와A
의 가속도를 각각 구하라.도르래 식으로부터
constant
2
BA
x
x
8 0
2
2 0
2
A B
A
B B
A
a a
a
v v
v
x
Ax
B<예제>
아래 시스템에서
B
가 우측으로 450mm/s 로 이동한다 할 때, 다음 질문들에 답하라.(a) 블록
A
의 속도를 구하라.실의 길이는 일정하다는 조건에서 다음 식이 유도된다.
constant )
2(
A BB
x x
x
따라서
2 675 3
2
3
v
B v
A v
A v
B
(b) 실의 한 점
D
의 속도를 구하라.B
*점에서D
점까지의 실의 길이가 일정하다는 조건에서 다음식이 유도된다.constant )
( ) (
A D AB
x x x
x
따라서
900 2
0
2
A D D A BB
v v v v v
v
(c) 블록
B
에 대한 블록A
의 상대속도를 구하라.225
/
/B
A
B
A B
A
v v v
v
(d) 점
D
에 대한 점C
의 상대속도를 구하라.x
Ax
Dx
B<예제>
아래 시스템에서
B
가 아래 쪽 방향으로 3 m/s 로 이동한다 할 때, 다음 질문들에 답하라.(a) 블록
A
의 속도를 구하라.0 2
constant )
( 2
B A
A B B A
v v
x x x x
따라서
6 v
A(b) 실 위의 점
C
의 속도를 구하라.0 2
constant 2
C A
C A
v v
x x
따라서
12v
C(c) 블록
B
에 대한 점C
의 상대속도를 구하라.B C B
C
v v
v
/
따라서
/B
9v
Cx
Ax
B그래프를 이용한 운동변수간 기하학적 관계의 설명
변위의 slope 는(미분량) 속도를 의미한다.
속도의 slope 는(미분량) 가속도를 의미한다.
속도의 면적은(적분량) 변위를 의미한다.
