제 5 장 1차 공정의 동특성제 5 장 1차 공정의 동특성

제 5 장 1 차 공정의 동특성

ㆍ 1 차 공정

수학적 model : 1 차 미방

전달함수 : 분모는 s 의 1 차식

 



) 1 ) (

( ) (

 

 s

s K s G

X s Y



5.1 1 차 공정의 동특성

(1) 1 차 공정

) (t cx dt by

a dy  

: 출력 변수

 

 x

y

①

b  0

) (t b x

y c dt

dy b

a   

0 )

0

( 

y

1 )

(

) ) (

(   

s K s

X

s s Y

G 

(=τ) (=K)

) (t cx dt by

a dy  

②

b  0

0 )

0 ( ,

)

( 



 x t y

a c dt

dy

s s K

G 

)  (

(=K′)

(2) 교반 공정의 동특성

그림 5-1 : 액체 교반공정

T dt T

T

d   i   



1 1

) (

) ) (

(  



 

s s

T

s s T

G

i 

T

_i

T q

Step change with magnitude A

in

T _i  (t ) :

 







 

0 ,

0 ) ,

( T A t

t t T

T

is is i

) ( )

( t A u t

T _i   

s s A

T _i  ) ( 

) ( )

( )

( s T s G s T   _i  

1 1

 

 s s A

 역 L.T :

T  ( t )  A ( 1  e ^{ t / } )

1 차 공정에서 계단변화 응답

) 1

( )

( t A e ^{t / } T    ^

T dt T

dT

i 

 

T

_i

T q

i) A=1, =1 ii) A=2, =1 iii) A=2, =2

1 차 공정에서 계단변화 응답

) 1

( )

( t A e ^{t / } T    ^

T dt T

dT

i 

 

T

_i

T q

i) A=1, =1 ii) A=2, =1 iii) A=2, =2

Matlab 전산실습

1) Define A1, tau1 & t 2) Calculate T1(t)

3) Plot t vs. T1(t)

Matlab 언어

>> A1=1; tau1=1;

>> t=[0:0.1:10];

>> T1=A1*(1-exp(-t/tau1));

>> plot (t, T1, ‘-o’);

i) A=1, =1

ii) A=2, =1 iii) A=2, =2

1 차 공정에서 계단변화 응답

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

시 간, t

, T온도

step change response

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

시 간, t

, T온도

step change response

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

시 간, t

, T온도

step change response

시간 온도

ㆍ 1 차계의 특징 :

① self-regulating

″ The time constant, τ , of a process is a measure of the time necessary for the process to adjust to a change in its

input.″

②



A dt

t dT

t



0

) (

τ , Rate of initial

response

) 1

( )

( t A e ^{t / }

T   ^

(3) 시간상수 = 체류시간

τ = (storage capacitance)

 (resistance to flow)

[time]

 





 



 

 c V c q

p p

) 1

( < 교반 공정 >

5-2. 1 차 공정의 응답형태

ㆍ전달함수 :

) 1

(  

s s K

G 

(1) 계단 응답

A t

X ( ) 

) 1

( )

( t KA e ^{t / }

Y    ^

시간 입력변수

X(t)

(2) Pulse 응답

X(t)

T t H

0

 ) (t

X     

otherwise T t

H 0

0

) (

)

( t H u t T u

H    



) 1

( )

(

^Ts e ^Ts

s e H

s H s

s H

X

^

^

) ( )

( )

( s G s X s

Y  

) 1

) ( 1 (

e TS

s s

KH   _

 



 

 



 

 



 



 





 

 ^{ TS} e ^{ TS}

e s KH s

s KH s



 1 /

1 1

/ 1 1 1

 ) (t

Y ^{KH ( 1  e  t /  )  KH}  ^{u ( t  T )  e  ( t  T ) /   u ( t  T )} 

{f(t-a) ㆍ u(t-a)}=e ^-as ㆍ

-1 {e F(s) ^-as ㆍ F(s)}=f(t-a) ㆍ u(t-a)

Step change Pulse change

예제

크기 (H)=2, 펄스시간 (T)=10 분 , 시상수 ()=1, 이득상수 (K)=1

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2 2.5

시 간 , t

, T 온 도

pulse change response

시간 온도

Pulse input function

i) tau=1, K=1 ii) tau=2, K=1 iii) tau=1, K=1.2

1 차공정의 펄스입력에 따른 동특성

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2 2.5

시 간, t

, T온도

pulse change response

i) tau=1, K=1 ii) tau=2, K=1 iii) tau=1, K=1.2

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2 2.5

시 간, t

, T온도

pulse change response

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0 0.5 1 1.5 2 2.5

시 간, t

, T온도

pulse change response

(3) unit impulse 입력 :

 







 1 )

( )

( ( )

s X

t

X  t

) 1

(  

s s K

Y 



 ) /

( K e ^t t

Y  ^

시간 입력변수

X(t)

0

(4) 1 차 선형 응답

) ( )

( t At u t X  

) 2

( s

s A

X 

) ( )

( )

( s G s X s

Y  

2

2 ( 1 / )

/

1 s s

KA s

A s

K





  ^{ } _



s D s

D s

C ₁

2 2

/

1  

 





 _  





 Y s s _{ } KA

C ( ) ( 1 / ) _{s 1 /}

s s

D s

D s

C  ²  ₂  (  1 /  )  ₁  (  1 /  ) 

) /

1 ( ]

) /

1 ( [

)

(  ₁  ²  ₂    ₁  ₂  

 C D s D D s D

⇒

 KA / 



 





 







 





 





















KA

D D D

D C

2 2 1

1

0

0 D ₂  KA

 KA D ₁  

 KA C 



 e ^ KA t KA KA

t

Y ( )   ^{ / t}   

 ^{     } 

 KA e ^ t t

Y ( ) ^{t /}

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

시 간 , t

, T 온 도

pulse change response

시간 온도

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

시 간 , t

, T 온 도

pulse change response

시간 온도

1 차공정에서의 1 차선형응답

i) =1, KA=1

선형입력

응답곡선

(t-τ) ㆍ u(t- τ)

A t X ) (

KA t Y ) (

 2

 3



3 t

0 0

( 그림 5-9)

 2





1 차 공정의 응답 요약

) 1

( )

( t KA e ^{t / } Y    ^

(1) 계단 응답

(2) Pulse 응답

(3) unit impulse 입력 : (4) 1 차 선형 응답

 ) (t

Y ^{KH ( 1  e  t /  )  KH}  ^{u ( t  T )  e  ( t  T ) /   u ( t  T )} 

 ^{     } 

 KA e ^ t t

Y ( ) ^{t /}

블럭선도에서의 1 차공정 응답

연습문제 5 장 과제물

주간 : 1, 4, 6, 11, 21

참고사항 :

모든 문제에 대하여 입력함수와 출력함수를 그래프로 그릴 것 .

4. 분자량 (M), 탱크부피 (V), 배출압 (P

2

(1) 유출속도는 변하지 않고 처음과 동일

(2) 유입속도가 0.02  0.1, 유출속도는 처음과 동일 .