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경제 물리학과 시계열 분석
김경식․김수용
저 자 약력
김경식 교수는 고려대학교 대학원 물리학과 PhD(1988)로서 NIFS 컴퓨 터센타 연구교수(1992), Kyushu 대학 물리학과 연구교수(2001, 2003), Kyushu 대학 물리학과 교환교수(2005), KAIST 물리학과 초빙교수(2005) 를 역임하였고, 현재 부경대학교 물리학과 교수(1980년-현재)로 재직 중이다. ([email protected])
김수용 교수는 Columbia University 물리학과 PhD(1985)로서 프린스턴 대학 연구원(1986), 나고야대학 방문교수(1987), 막스플랑크 연구소 방문 연구원(1988), Johns Hopkins University 방문교수(1996)를 역임하였고, 현재 KAIST 교수(1986년-현재)로 재직 중이다.
참고 문 헌
[1] http://www.unifr.ch/econophysics.
서 론
최근 세계적으로 상당한 각광을 받고 있는, 물리학과 경제 학을 접목시킨 학제 간 연구분야가 경제물리학(econophysics) 이다. 경제물리학은 1995년 인도의 캘커타에서 열린 복잡계 의 국제학술대회에서 처음 태동되어 매년 수백여 편의 연구 논문이 국제적인 경제물리학 홈페이지[1]에 등재되고 있는 상 황이다. 특히 경제물리학은 물리학, 경제학, 경영학, 사회학, 수학, 통계학, 공학, 의학 등 국가의 경제와 산업 발전을 위한 학문적인 근간에서 학제 간 연구의 축으로 명명되었으며, 통 계물리, 금융수학, 금융공학 등과 더불어 경쟁적인 경제적 지 표를 내놓고 있다. 현재 경제물리학 이외에 인터넷의 도미노 현상, 통신망의 네트워크, 소수-다수의 게임이론, 교통혼잡모 형, 카오스의 동시화현상, DNA 서열과 유전자구조의 정보학 등에서 복잡계에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다.
최근 경제 물리학이 봉착한 난제 중의 하나는 국가들의 자 본력과 경쟁력을 키우는 주식, 선물, 외환시장에서 개인 및 기관투자가들의 수익을 최대화시키는 ‘매매의 타이밍’의 결정 이다. 미래의 금융시장에서 주가변동의 투자 위험을 최소화하 고 주가를 정확하게 예측하여 금융시장을 안정시키는 문제는 무엇보다 과학적 예측모형과 기술력 개발의 밑바탕 위에서 풀어헤쳐 나가야한다.
넓고 다양한 경제물리학 분야에서 시계열 분석과 더불어 이 논고는 그동안 본 연구팀에서 진행되어온 몇 가지 논제를 주로 다루려고 한다. 특히 시계열 분석을 중심으로 연속시간 막걷기, 금융시장의 무리거동, 막행렬이론, 게임이론, 시계열
분석법, 지진활동도 및 심장박동수변화성 등의 분야에 초점을 맞추려 한다.
막걷기에 대한 금융 시계열 고찰
과거 막걷기의 논의는 1827년 Brown에 의해서 물 위의 꽃가루 입자의 움직이는 운동으로부터 시작되었다. 즉 단순 하게 제멋대로 움직이는 입자가 같은 시간에 정해진 거리를 움직인다면 각 거리마다 확률 값을 주어서 입자의 분포형태 는 가우스 함수로 주어짐을 알 수 있었다. 20세기 초에 Bachelier는 주식시장의 증권들이 전체 가격에 규격화되어 있다면 주식가격에 대한 분산은 시간에 비례함을 나타내었으 나, 현재 주식가격분포는 거의 대부분 레비분포로 알려져 있 다. 이 모형은 과거 몇십 년 동안 주식시장을 지배해 온 이론 의 기준이 되었지만, 1965년 Montroll과 Weiss는 임의의 거 리를 일정하지 않은 시간에 움직이는 막걷는 자에 대한 확률 과정 연구로부터 새로운 연속시간 막걷기이론을 탄생시키는 데 많은 공헌을 하였다. 그 후 이 이론이 주식시장에 적용된 것은 십여 년 전에 Scalas에 의해 새로운 연속시간 막걷기이 론의 연구가 주식시장을 모형으로 진행되었다. 그는 주식가격 을 거리에 대한 전이확률로, 주식거래량을 시간에 대한 머무 를 확률로 도입하여 연속시간 막걷기이론의 새로운 전기를 마련하였다.
연속시간 막걷기이론을 도입하여 금융시장에서 거래되는 거 래량과 가격의 틱자료에 의해 시간에 따라 변화되는 동역학 거동을 살펴보자. 우선 주어진 거래량이 일어나는 시간의 지체 시간확률인 와 가격에 의존하는 전이확률 를 도입하 면 결합확률은 와 같다. 가장 흥미 있는 통 계량은 선물의 거래가 일어나는 시간 동안의 거래량으로 주 어지는 생존확률이며, 즉
′
′ 으로 표 현된다. 따라서 거래시간이 작은 영역에서 생존확률은 늘어난
그림 1. 국채선물 KTB112에 대한 생존확률. 늘어난 지수함수(가는 실선) 로 표현되며, KTB112의 거래날짜는 2001년 7월부터 2001년 12월까지 이다.
그림 2. Yen-Dollar 외환율의 분 틱데이타에서 a= 0.1, 0.3, 0.5에 대한 수익률의 확률분포이며, 기울기는 축척지수 3.11이다.
참고 문 헌
[2] K. Kim and S. M. Yoon, Fractals 11, 131 (2003).
[3] E. Scalas, Physica A 253, 394 (1998); E. Scalas, R. Corenflo and F. Mainardi, Physica A 284, 376 (2000).
[4] F. Mainardi, M. Raberto, R. Gorenflo and E. Scalas, Physica A 287, 468 (2000).
[5] K. Kim, S.-M. Yoon and Y. Kim, Physica A 341, 526 (2004);
V.M. Eguiluz and M.G. Zimmermann. Phys. Rev. Lett. 85, 5659 (2000).
지수함수형태인 으로 감소한다. 그리고 긴 시간 극 한에서 틱자료의 거래량으로부터 생존확률은 멱법칙인 을 따른다. 그림 1에서 보듯이 국채선물 KTB112의 거래량을 밝 히는 데는 연속시간 막걷기이론의 생존확률과 관련되며, 거래 시간이 짧은(긴) 영역에서 생존확률은 늘어난 지수함수(멱법칙) 로 됨을 알 수 있다.[2]
최근에 Scalas[3]는 LIFFE에서 거래된 국채선물과 BTP의 시계열로부터 막걷기의 상관함수를 논의하였다. 또한 Scalas 는 연속시간 막걷기이론을 도입하여 금융시장에서 틱자료에 의해 주어지는 동역학 거동을 연구하였으며, Mainardi[4]는 LIFFE에서 거래된 채권선물가격에서 지체시간분포를 관찰하 였다. 지금까지 움직이는 입자의 수송현상에서 반응운동학, 변칙운동학 및 분수확산방정식들은 자연과학에서 폭넓게 연 구되어온 분야들이다.
금융시장의 무리 거동
1997년 IMF위기 이후 주식, 채권, 환율, 선물 등 한국의 여러 금융시장에서는 수익률의 변동이 현저히 증대하고 있다.
현재 한국주식시장에서의 수익률 변동성 증대는 투자 위험을 증대시키고 금융시장을 불안하게 만들고 있다. 금융시장에서 수익률의 급격한 변동이 발생하는 원인에 대해서는 많은 연구 가 있지만, 주목을 받고 있는 요인은 투자 참가자들의 무리거 동이다. 무리거동이란 개별 투자자가 독립적으로 투자 의사결 정을 하는 것이 아니라, 동일한 투자정보를 공유하는 어떤 집 단에 소속되어 그 집단 공동의 투자결정을 따르는 현상이다.
그러면 투자자 집단의 형성과 정보 확산을 설명하기 위해서 다음과 같은 모형을 도입하자. 먼저 금융시장 내에는 한정된 투자자에 대해서 임의의 때에 투자자들이 금융상품을 사고팔
거나 거래가 없든, 이 세 가지 상태의 하나를 선택한다고 가정 하면 ()는 금융상품을 사(파)는 투자자들의 무리에 대한 확률이며, 나머지 무리들은 의 확률로 거 래를 않는 관망상태를 유지하게 된다. 이러한 변화가 반복되면 서 투자자들은 집단을 형성하여 무리거동을 하고, 금융시장의 수익률에는 급격한 변화가 발생하게 된다. 따라서 사고파는 무 리에 대한 확률이 작은 값을 가질수록, 즉 정보가 부족하고 정 보전달이 불완전하여 거래가 줄어들며, 무리행동이 나타나서 금융시장에서 거품 혹은 붕괴가 발생할 가능성이 높아질 것이 라고 예상된다. 그림 2는 가격 틱시계열로부터 수익률을 계산 하여 Yen-Dollar 외환율의 경우에 무리거동을 나타냈으며, 확
률 일 때 무리거동이 나타날 가능성이 크다는 것을 알
수 있다.[5]
최근에 경제물리학 분야의 무리거동을 해명하려고 시도한 연 구들이 있다. 관심을 모으고 있는 다양한 미시적 동역학모형들 은 스며들기모형, 민주주의-독재모형, 자기조직화 동역학모형, 이질적 기대모형 등이다. 이들은 금융시장에서 나타나는 수익 률의 급격한 변동에 대한 투자자들의 무리거동의 결과와 유사 한 형태를 갖는다. 따라서 앞으로 국내외의 더 많은 모형 및 현실 금융자료를 이용하여 검증해야 한다. 이에 국내외의 금융 시장에서 틱자료를 이용한 전산 시늉내기를 통해서 무리거동은 다양한 모형들에서 광범위하게 연구할 필요성이 제기된다.
참고 문 헌
[6] V. Plerou, P. Gopikrishnan, B. Rosenow, L. A. N. Amaral, T. Guhr, and H. E. Stanley, Phys. Rev. E 65, 066126 (2002).
[7] W.-J. Ma and C.-K. Hu, Phys. Rev. E 70, 026101 (2004).
막행렬이론
경제물리학에서 과거 10여 년 전부터 금융상품에 대한 금 융그룹간의 연관성은 막행렬이론[6]으로부터 연구해오고 있으 며, 아직 뇌과학, 심장학, 대기학 및 해양학에서 연구가 전무 한 상태이다. 기존의 연구방법은 막행렬의 분석에서 노이즈의 분리방법을 추구하였으나, 앞으로의 연구는 한국주식시장의 시계열 데이터로부터 막행렬의 고유상태에 대용방법을 도입 할 수 있다. 이러한 경우에 전산시늉내기로부터 회사들 간의 근본적인 연관성상태는 새로운 방법을 제시하여 규명할 수 있을 것으로 사료된다.
금융상품의 멀티시계열 {}에서 시간에 대 해서 관찰된 N 개의 변수 {}를 고려해 보자. 멀 티변수 데이터로 만들어지는 행렬 M에 대한 행렬성분은
이 되며, 와 는 멀티변수 시계열의 성분에 대한 표준편차이다. 막행렬인 M = N T 는 독립적으로 동 등하게 분포된 멀티변수 시계열이다. 따라서 막행렬이론을 금융 시장에 적용해 보면 기존의 시계열에 대한 상관행렬의 성분은 수익률에 대해서
으로 표현되며, -번째 상품의 수익률은 ≡ (=시간간격)으 로 정의된 통계적인 양이다. 그러므로 주어진 시계열 데이터 로부터 상관행렬을 구성하면 수치적으로 고유치 밀도분포가 얻어진다. 이는 Wishart 행렬에 대한 경험적 분포를 분석하 는 과정이 된다.
실제 회사 간의 상호관계의 성질을 파악하기 위해 그룹모 형을 도입하면 같은 분야에 속하는 회사들의 주식가격 변화 는 강한 상관관계가 있음을 보인다. 그룹 모형의 특징은 다음 과 같은 두 변수로 구체화된다. 즉
이며,
는 한 회사 가 속하는 그룹, 는 그룹 의 동기적 편 차이다. 따라서 상관그룹의 정보를 알기 위해서는 참여한 회 사들에 대한 고유벡터와 고유치로부터 그룹의 고유상태를 알 아야 한다. 상관관계는 다음과 같은 결합막걷기로 나타낼 수 있다. 즉
∈
(∈,∈,≤ )으로 주어진다. 과 는 각각 주식 시장과 그룹에 대한 결합상수이며, G는 N 개의 주식회사들에 대한 한 그룹세트이다. 따라서 결합막걷기의 상관관계를 통해 서 금융회사 사이의 연관성 형태가 알려지면 막행렬과 연결 시켜서 고유치 값을 구할 수 있다.[7]
마지막으로 그룹 간의 상관성을 보다 엄밀하게 나타내기 위해 역관여율과 대용방법을 논의해 보자. 고유벡터 성분의
역수와 관계되는 역관여율은
으로 정의되는 양이 며, k는 고유상태이고, 은 규격화 고유벡터의 n번째 성분 이다. 따라서 고유치의 문턱 값에서 여러 개의 고유상태가 나 타나며, 스펙트럼의 양쪽 끝에서 고유상태는 역관여율의 큰 값을 갖는다. 그리고 대용 방법의 시계열 데이터를 구성하는 다음과 같이 세 가지 방법이 존재한다. 즉 위상 막되게함방법 (기존의 시계열 데이터를 변화시켜서 선형항의 상관관계를 보 존하는 방법), 비선형 막되게함방법 (기존의 시계열 데이터를 보존하여 비선형항의 상관관계를 없애는 방법) 및 혼합방법 (기존의 시계열 데이터의 변화 없이 모든 항의 상관관계를 없 애는 방법)이다. 따라서 역관여율과 대용방법을 결합시킨다면 시계열 데이터로부터 막행렬이론을 사용하여, 선형항과 비선 형항의 상관관계는 분리시킬 수 있다. 엄밀히 더 나은 회사들 간 상관성의 방법을 연구 중이며, 새로운 방법이 곧 제시되리 라 기대된다.
더욱이 막행렬이론의 결과로 얻어지는 작은세계 네트워크와 축척자유 네트워크 모형들은 과거 십여 년 동안 물리학, 생물 학, 경제학, 경영학, 사회학, 공학 및 의학 분야에 놀랄만한 성 과의 연구업적들이 쌓여져왔다. 이들 모형들은 복잡계 현상의 연구에 수치해석적으로 중요한 역할을 하고 있으며, 현재까지 막행렬이론과 연관시킨 네트워크 이론연구는 서로 집단을 이 루는 회사들끼리의 상호 연관성을 주로 논의하여 왔다.
소수-다수 게임과 Parrondo 게임
복잡적응계의 현상에서 다음과 같은 경험적인 두 가지 예 를 들어보자. 아침에 교통의 혼잡 속에서 직장에 출근하는 한 회사원은 도로1과 도로2 중에 한 도로를 운전한다. 이 회사 원이 도로1로 출근을 하여 교통의 혼잡을 피하고, 시간이 단 축되어 직장에 도착하였다고 가정하자. 그러다가 며칠 동안 도로2를 택하여 운전한 경우에 교통 혼잡을 피할 수 있었다 면 이 회사원은 계속 운 좋은 소수집단에 속할 것이다. 또한 여러 차례 도로2를 택해서 교통 혼잡을 피할 수 없었던 다른 회사원은 그 다음 날에는 더 유리하게 교통 혼잡을 피할 것 으로 추정하여 도로1을 택하려 하나 교통 혼잡을 피할 수 있 을지를 추정하기는 어렵다. 한편 한 사냥꾼은 소수의 사냥꾼 들이 밀집한 사냥터에서 동물을 더 많이 잡을 수 있으므로 이러한 사냥터를 택하여 사냥하기를 원하며, 선술집을 출입하
그림 3. 전략이 두 가지인 경우에 Won-Dollar와 Yen-Dollar 외환율의 경우 라운드 m에 대한 표준편차 σ.
그림 4. 체스 게임에서 Parrondo 게임.
참고 문 헌
[8] S.-M. Yoon, K. Kim and T. Odagaki, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 015003 (2006).
[9] G. P. Harmer and D. Abbott, Nature 402, 23 (1999).
는 손님들은 혼잡하지 않은 저녁시간대에서 개인적으로 술을 마시고 음악을 즐기려 한다. 이처럼 모든 경제계에서는 개인 은 소수가 되어 자신의 이익을 높이거나 자신이 가장 만족감 을 느끼려고 하며, 반대그룹과 경쟁하여 보다 더 우월한 결과 를 얻으려고 노력한다. 따라서 소수의 집단이 이득을 보고, 자신이 우월한 소수무리에 속하려는 연구가 소수-다수의 게임 이론이다. 경제물리학자들에 의해 금융상품에서 정확한 과거 의 정보로부터 현재와 미래에 대한 예측 연구가 ‘소수-다수게 임이론’과 ‘복잡계 모형’을 적용하여 현재 진행 중에 있다. 진 화게임이론을 적용하면 외국 금융상품의 경우는 소수게임의 결과로 주로 나타나는 반면, 한국국채, KOSPI, Won-Dollar와 Yen-Dollar 외환율 (그림 3)들은 특이하게 다수게임의 결과로 주어진다.[8]
한편 Parrondo 게임은 브라운 톱니바퀴의 연구로부터 비 롯되었으며, Parrondo에 의해서 게임 이론을 발전시킨 새로 운 논제이다. 과거 물리학자들은 복잡계에서 결합된 두 가지 불안정한 상태가 역설적으로 안정한 상태로 된다는 것을 논 의해 왔다. 지는 두 가지의 게임방법을 갖는 도박게임은 서로 다른 순서에 의해서 두 게임방법을 진행하면 이기는 게임으 로 결론이 난다.[9] 여러 가지 방법으로 게임을 행할 수 있지 만 다음과 같은 체스게임의 그림 4(a)를 도입하자. 게임 A에 서 동전1이 이길(질) 확률은 ( )으로, 게임 B에서 동전 2와 3이 이길(질) 확률은 각각 ( )와 ( ) (ε = 0.005)으로 구성하자. 따 라서 이길(질) 때에 자본은 1(0)을 얻는다고 가정하여 게임 A(B)은 a(b)번 섞어서 [a,b]순서로 체스게임을 진행한다. 결과 적으로 그림 4(b)에서 게임 A와 B는 지는 게임이지만 주기적 상태([a=2,b=2])와 막걷기 게임은 이기는 게임이 된다. 이 게 임은 지고 있는 두 게임 이상을 잘 섞어서 게임을 진행하면 이기는 게임으로 되는 결과로부터 Parrondo 역설이라 부르 며, 현재 이러한 게임이론을 한국의 금융상품에 적용하여 본
연구팀에서 연구가 진행 중에 있다.
시계열 분석법
시계열 분석으로부터 재축척 범위분석법, 상호정보, 두 위 상 거동분석을 제한해서 살펴보자.
(1) 재축척 범위분석법: 1950년 Hurst은 나일강의 홍수수 위를 측정하는 데 재축척 범위분석법을 사용하였다. 이 분석 법은 금융시장의 가격변동거동, 날씨변화, 해양수위, 심장박 동의 불규칙성 등에 적용할 수 있다. 금융시장의 틱 데이터로 부터 멀티프랙탈 거동을 살펴보면, 허스트지수를 정량화하기 위한 수익률은 으로 도입한다. 시 간간격 인 수익률 세트가
이 면 세트의 분석값은 ∝으로 되며, 는 허스트 지수이다. 허스트 지수로부터 1/2이면 지속(끊임)과정이고, =1/2이면 막걷기 과정으로 알려져 있다. 따라서 이 분석법은 금융시장에서 수익률의 흐름을 밝 히는 중요하고 흥미로운 분석법이다.
(2) 상호정보: 리아프노프 지수와 유사하게 카오스 상태를 정량적으로 기술할 수 있는 양은 계량엔트로피와 위상엔트로 피이다. Kolmogorov와 Sinai에 의해 정의된 계량엔트로피는 K-S 엔트로피라고도 부르며, 카오스 궤도가 진행함에 따라
그림 5. Euro-Dollar 외환율의 두 위상 현상.
참고 문 헌
[10] D. Ruelle, V. Baladi and J. P. Eckmann, Nonlinearity 2, 119 (1989).
[11] R. L. Adler, A. C. Honheim, and M, H. McAndrew, Trans. Amer.
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[12] C. E. Shannon, Bell Sys. Tech. J. 27, 379 (1948).
[13] G. Lim, S.-Y. Kim, K. Kim, D.-I. Lee and S.-B. Park, Physica A.
386, 253 (2007).
[14] B. B. Mandelbrot, Int. Econ. Rev. 1, 79 (1960).
[15] E. W. Montroll and M.F. Schlesinger, J. Stat. Phys. 32, 209 (1983).
정보를 만들어 내는 비율을 말한다. 카오스 궤도는 초기조건 에 민감성을 갖고 있다. 만약 두 가지 초기조건이 측정 정확 도로는 구별할 수 없다면 시간이 흐름에 따라서 서로 다르게 진행한 변화율은 두 가지 초기조건을 보다 정밀한 정확도로 구별해 낼 수 있게 된다. 즉 시간이 흐름에 따라 카오스 궤도 의 진행과정은 새로운 정보를 얻어 낼 수 있게 되는데, 이는 비선형 카오스계에서만 가능하다. 따라서 계량엔트로피가 양 수값을 가지면 카오스계라 할 수 있고, 0을 가지면 안정계라 할 수 있다.
계량엔트로피는 양수의 리아프노프 지수의 합보다 클 수 없다는 사실이 Rulle[10]에 의해 증명되었다. 위상엔트로피는 Adler와 그의 동료들[11]에 의해 도입되었으며, 계량엔트로피 와 같은 원리에 의해 정의된다. 계량엔트로피가 불변측정의 개념을 도입하여 정의된 데 반해, 위상엔트로피는 본뜨기 자 체에 대해 분할해서 이해할 수 있는 개념으로 기하학적인 측 면이 강조되었다고 할 수 있다. 계량엔트로피와 위상엔트로피 는 계를 연속적이고 뒤바뀐 본뜨기에 의해 변환을 시켜도 그 값이 변하지 않으므로 계의 성질을 잘 나타내어 주는 맺음변 수라 할 수 있다. 따라서 두 계의 동형사상을 이해하는데 중 요한 척도로 두 엔트로피를 사용할 수 있다.
Shannon[12]이 상호정보를 도입한 후, 과거 50여 년 동안 상호 정보는 정보이론에서 많은 주목을 받고 논의가 되어왔다. 이 이 론의 수학적 단순함과 완결성에도 불구하고 계에서 실제로 정보 를 전달하는 신호의 조건에 의해서 전체적 응용에 많은 제약이 있어 왔다. 정보이론의 한 도구로서 상호정보를 뇌 구조연구에 이용이 가능하며, 두 계의 신호는 상호 의존성을 정의한 양으로 나타난다. 두 개의 계 , 가 있을 때 상호정보는
으로 주워지며, 을 측정했을 때 에 관해서도 예측 가능한 결과를 얻을 수 있다.
따라서 상관함수를 통해 선형의존성을 보여줄 수 있었으나 상호정보는 일반적 의존성을 나타낸다. 시계열데이터는 한계 가 있는 띄엄띄엄한 분포를 가지고 있는 유한한 값들이기에 가장 근접하게 평가받는 알고리즘이 나타나기가 쉽지 않았으 며, 실제 계에서 지연된 시간을 계속 바꾸어 가면 정보가 이 동해 간 방향성과 걸리는 시간을 알아낼 수 있다. 이것은 실 제 계에서의 정보 이동시간에 해당하며, 이 과정을 시간지연 상호정보라 불린다. 시간지연으로 얻어진 상호정보를 통해 한 시계열 데이터의 복잡도를 측정할 수 있고, 서로 다른 두 시 계열 데이터의 유사성도 측정할 수도 있다. 그러므로 임의의 시간지연 영역대에서 뇌의 한 부분 상태를 측정하는 것은 물 론, 뇌의 서로 다른 영역간의 정보량 전달을 관찰해 볼 수 있 다.
(3) 두 위상 거동분석: 금융시계열의 통계적인 분석에 대한 경험적인 사실 가운데 수익률의 멱법칙 분포와 군집 변동성은 주요한 과제이며, 이들은 두 위상 거동과 연관이 된다. 두 위상 의 변동성은 으로 정 의되며, 수익률은 , 는
사이에 시간간격이다. 금융시장에서 두 위상 현상을 분석하는 데 수익률의 분포가 한 피크분포에서 두 피크로 갈라질 때의 값이 임계변동성이다. 그림 5는 Euro-Dollar 외환율이 두 위 상현상으로 나타나며, 임계변동성의 값은 × 을 갖는다.
따라서 임계변동성의 값보다 큰(작은) 값에서는 수익률이 파 열됨(층이룸)을 알 수 있다.[13]
Zipf 법칙, 지진 활동도 및 심장 박동수 변화성
100여 년 전 Pareto는 국가의 특성을 나타내는 국민 소득 과 부의 형태가 멱법칙으로 나타냄을 찾아냈다. 그 후 Gini 는 국민소득이 멱법칙이지만 축척지수는 비보편성을 따른다 고 논의하였으며, 이를 Mandelbrot[14]에 의해서 확인되었다.
Montroll과 Schlesinger[15]는 고소득자들은 멱법칙을, 저소득 자들은 로그정규 분포를 보이는 차이를 나타냈다. 최근에 Okuyama와 Takayasu[16]는 일본회사의 연소득 분포가 Zipf
그림 6. 축척지수(기울기) -1.00을 갖는 KSE에서 거래된 주식의 가격분포.
참고 문 헌
[16] K. Okuyama, H. Takayasu and M. Takayasu, Physica A 269, 125 (1999).
[17] S.-M. Yoon and K. Kim, J. Korean Phys. Soc. 46, 1037 (2005).
[18] M. H. R. Stanley, L. A. N. Amaral, S. V. Buldyrev, S. Havlin, H.
Leschhorn, P. Maass, M. A. Salinger, and H. E. Stanley, Nature 379, 804 (1996).
[19] S. Abe and N. Suzuki, Physica A 350, 588 (2005).
[20] 김두철, 상전이와 임계현상 (민음사, 1983).
법칙에 일치함을 보였으며, 미국회사의 크기분포는 로그정규 분포를 따른다는 것을 찾아냈다. 2005년 Yoon과 Kim[17]은 한국가정의 수입, KOSPI 등이 멱법칙을 따른다는 것을 찾아 냈다(그림 6). 더욱이 박차를 가하여 투표과정, 회사도산, 투 자정책, 날씨, 지진, 유전자와 같은 여러 분야에서도 많은 과 학자들은 그동안 분포함수에서 보편적 축척지수를 찾는 연구 를 해왔다.[18]
지질학자들이 지진의 발생을 예측하기 어려운 이유는 지진 의 충격도가 혼돈한 복잡계 현상학으로 혼돈스럽고 복잡한 특 징으로 나타나기 때문이다. 지진학의 중요한 목적은 처음 지진 의 충격 후에 다음 지진의 충격이 오는 시기와 장소를 어떻게 예언할 수 있느냐 하는 것이다. 이러한 목적과는 현재 지진에 대한 연구가 멀리 있는 것 같지만 이미 나타난 지진 현상의 특별한 성질에서 몇 가지 연구가 시도되고 있다. 최근에는 복 잡계 관점에서 경험론적인 여진 패턴은 멱법칙을 따른 Omori 법칙, 지진의 주기와 크기에 대해서는 Gutenberg-Richter 법 칙으로 된다고 보고되어 왔다. 또한 연속적으로 발생하는 지진 의 삼차원거리가 q-지수분포를 갖는 통계적 성질을 연구해 왔 고, 축척자유 네트워크도 연구개발 되어왔다.[19] 더욱이 지진의 연속적인 시간차에 대한 분포는 Zipf-Mandelbrot 형태의 멱 법칙을 갖는다.
혼돈 동역학을 포함한 통계물리학에서 다루는 많은 방법 중에 넓은 범주의 자연과 인류가 만들어 놓은 복잡한 현상을
갖는 계들에서 주로 시계열 분석을 하는 데 사용해 왔다. 이 들 현상들에서 시계열의 특징을 나타내는 상관함수와 멀티프 랙탈 축척성질은 데이터 분석과 현상학적인 측면에서 실제 계의 복잡성을 밝히는데 원천이 된다. 그러나 아직도 복잡한 요동의 성질에 대한 통찰력이나 보편성을 갖지 못하고 있다.
따라서 그동안 인간의 정상인과 환자의 심장박동수 변화성은 와류현상의 폭포모형이 적용하여 상관함수과 멀티프랙탈 축 척성질의 보편성을 밝히는 데 현재 주력해오고 있다.
맺음말
우리가 다루어 왔던 주식, 선물, 외환율이나 뇌파, 심장 박동 수, 날씨변화, 바람의 속도, 대기온도 및 습도, 해류의 흐름 등 도 모두 시계열로 주어진다. 이들은 거대한 시계열 데이터들이 며, 가까운 미래에 서로 다른 분야들 사이에 적절하고 유용한 정보를 얻도록 새로운 연구방법으로 분석 고찰되어져야 한다.
앞으로 경제 물리학자들은 현재에 실제로 다양하고 복잡한 구조의 금융시장에서 나타나는 복잡계의 현상을 풀어야 하는 사명감을 지니고 있다고 보며, 이에 보다 현실적인 경제현상에 근접하는 보편타당한 법칙과 원리를 발견해야 한다. 이러한 문 제를 해결하기 위해서는 경제물리학의 핵심적인 접근방법은 물리학에서 나타나는 법칙과 원리를 어떻게 경제학과 광범위 한 복잡계의 다른 분야에 접목시키느냐 하는 것인데 이는 상 전이와 임계현상, 재규격화 이론,[20] 자체 조절화분리현상, 비 평형 반응확산모형, 복잡계 네트워크이론, 복잡계의 신경망, 진화론 등을 통해서 사회과학, 자연과학, 응용과학 등과도 포 괄적으로 연관되어 미래에 연구가 이루어질 것으로 본다.
현재 미국의 금융시장인 뉴욕의 월가, 아시아권 월가들뿐만 아니라 전 세계 금융시장에서 종사하는 경제물리학, 금융수 학, 금융공학 전공자는 점점 늘어 가고 있다. 앞으로 나날이 발전되어가고 있는 국제 금융시장 속에서 한국의 금융시장이 위상을 제대로 찾아야 한다. 한국의 금융시장은 금융상황의 현재와 미래를 예측하여 투자자들의 수익을 창출할 수 있는 세계화 전문기관으로 성장되어야 한다고 본다. 더욱이 앞으로 코스피지수가 2000포인트를 넘어서는 한국의 주식시장은 가 까운 시일 내에 한국금융업계를 짊어질 미래의 애널리스트, 펀드매니저, 펀더멘탈리스트 등을 키워야 할 시점에 서 있다.
끝으로 정부와 민간기업, 한국금융시장 관계자들은 취약한 한 국 금융시장을 보다 경쟁력이 있는 세계화 금융시장을 만드 는 데 앞장서야 한다. 특히 현재 이 분야의 국제적인 전문가 들이 거의 전무한 상태이며, 한국의 금융시장은 고도의 학문 적이고 기술적인 경제물리학의 전문교육을 받은 우수한 인재 들을 시급하게 고용 확대시켜야 한다.
