제 4 장 지중응력

제 4 장 지중응력

4.1 개설

- 흙의 자중과 지표 구조물의 하중에 의하여 발생하는 지반내의 응력 분포와 크기를 탄성론에 근거하여 설명

4.2 흙의 자중으로 인한 연직방향 응력

(1) 연직응력(vertical stress)

_ 



 

γ: 흙의 단위중량, z: 토층의 깊이, A: 흙요소의 면적

(2) 깊이에 따른 연직응력

_







 

(3) 각 토층의 연직응력

_



Δz: 각 토층의 두께

σ_v

σ_h

z

그림 4-1 지반의 연직응력

(4) 토층이 지하수면 아래에 있는 경우 가. 전응력: _ __ _{ }

나. 부력(간극수압):   __  

다. 유효응력: 전응력 - 부력 (간극수압):

_′  _   __ _   __  

 _ _

 ′

σ_v

h

z

그림 4-2 물에 잠긴 지반의 연직응력

(5) 토층이 지하수면 위에 있는 경우 가. 전응력: _   _  __ 나. 부력(간극수압):   __

다. 유효응력: 전응력 - 부력 (간극수압):

_′  _ 

   _  __ __

 _ _ __ __

   _  _{ } __

   _  ′_

z-h

w

z h

σ_v

그림 4-3 지하수위가 지반내에 있을 때의 연직응력

4.3 흙의 자중으로 인한 수평방향 응력

(1) 수평응력(horizontal stress)

_ _

K: 토압계수(연직응력에 대한 수평응력의 비)

4.4 집중하중(point load) 으로 인한 지중응력의 증가

(1) Boussinesq's equation

가. 균질(homogeneous), 등방성(isotropic), 선형적 탄성 반무한공간(linearly elastic half-space)

_ 







^  

^ ^

 ^^

^ 



 

_ 







^  

^ ^

 ^^

^ 



 

_ 



^

^

 



^ ^^

^

 



^ ^ ^^

^

_ ^



I: 영향계수

_{ }









 ^ ^ ^^

^

z x

y

Q

z

L

r x

y

Δ

P

Δ

P

Δ

P

A

그림 4-4 집중하중 작용으로 인한 응력증가

4.5 선하중(line load) 으로 인한 지중응력의 증가

(1) 토류구조물에서의 수직 및 수평토압 _ 



^ ^^

^

, _

 

_

   ^ ^



_ 

^ ^^

^

, _ 

 ^ ^^

^

z

Δ

P

Δ

P

x

z q

x

y

그림 4-5 선하중 작용

(2) 강성구조물에서의 수평토압

_ 

^ ^^

^

, _ 

 ^ ^^

^

n h

Δ

P

h

m h

q

그림 4-6 선하중으로 인한 수평토압

(3) 구조물에 작용하는 전체 수평토압

_







_우  

^ 



4.6 띠하중으로 인한 지중응력의 증가

4.6.1 등분포 띠하중(strip load)

x/B

z/B

그림 4-7 등분포 띠하중으로 인한 연직응력의 증가

(1) 띠하중으로 인한 A 점에서 작용하는 지중응력

     ^ ^^

^

(2) A 점에서 작용하는 연직응력의 증가량

_











  ^ ^^

^



 





  tan^{ } 

  ^ ^^^^^

 ^ ^^



 

_ 

  sincos   

   라디안 단위 사용



   → ^라면 

 ^

4.6.2 직선적으로 증가하는 띠하중

β α

Δ

P

Δ

P

A R

R

q B

x

z

그림 4-8 선형 증가 띠하중으로 인한 응력증가

- 띠하중으로 인한 A 점에서 작용하는 지중응력 _ 









_ 

 







 









4.7 원형 등분포하중으로 인한 지중응력의 증가

그림 4-9 원형 등분포하중이 작용할 때 연직응력의 증가

(1) A 점에서 작용하는 미소응력(미소면적 qr dr dα)

  

 

^ ^^

^

(2) A 점에서 전면적에 대한 연직응력의 증가량

 





  

  



 



 ^ ^^

^

 

   











4.8 직사각형 등분포하중으로 인한 지중응력의 증가

m=B/z n=L/z

그림 4-10 직사각형 등분포하중의 모퉁이 아래의 연직응력 증가

(1) 미소면적 dx dy 에 작용하는 하중

  __

(2) A 점에서 연직응력의 증가량

   ^ ^ ^^

 __^

(3) A 점에서 전면적에 대한 연직응력의 증가량

 





  





  



 ^ ^ ^^

__^

 

_{ }



 





^ ^ ^^ 











^





  

   



4.9 제방하중으로 인한 지중응력의 증가

a b

q

z

p

그림 4-11 제방하중으로 인한 연직응력의 증가량

(1) 연직응력의 증가량:   

4.10 2 : 1 경사법

(1) 깊이에 따른 응력증가 계산 방법

(2) 가정: 지표면 하중이 분산되는 면적은 2:1 경사에 따라 증가함

2

z

B + z

L+z

L B

Q q=Q

B

L

Q

B

z

1 1

m

z

z

q=Q

B

(a) 직사각형 하중 (b) 띠형 하중 그림 4-12 2:1 경사법에 의한 연직응력의 증가

(2) 직사각형과 띠형 하중이 작용하는 경우 2:1 경사법에 의한 연직응력 증가량 가. 직사각형 하중: _{  }

    



     



나. 띠형 하중: _{  }

   × 

× 

다. 집중 하중: _{  }



^

  ^



4.11 영향원 방법

(1) Newmark의 영향원(influence chart): 임의의 형상의 재하면에 작용하는 등분포하 중으로 인한 임의의 점에서의 연직응력의 증가량 계산으로 Boussinesq이론에 기초함

 _{  }



 

I: 영향계수(=1/200), q: 등분포하중, N: 재하면적으로 둘러싸인 요소의 개수

4.12 Westergaard의 해

(1) 가정: 탄성층이 무한히 얇고 완전히 견고하여 횡방향의 변위는 없고 연직방향으로 만 변위가 일어남 (예, 실트와 점토가 교호된 퇴적수평층)

(2) 집중하중이 작용할 때 연직응력의 증가량

  ^

 





  ^

_, Iw: 영향계수로서 r/z의 함수