황금비를 활용한 학제적 융합 미술수업 방안과 구현가능성에 관한 연구

투고일_2018.02.10 심사기간_2018.03.01.-14 게재확정일_2018.03.29

황금비를 활용한 학제적 융합 미술수업 방안과 구현가능성에 관한 연구

A Study on Model and Implementation Possibility of Art Class Utilizing Golden Ratio through Interdisciplinary Integration

신현용, 한국교원대학교 수학교육과 / 신실라(교신저자), 한국교원대학교 대학원

Shin, Hyunyong_Department of Mathematics Education, Korea National University of Education / Sheen, Shilla_Graduate School of Korea National University of Education

차례 ^{1. 서론}

1.1. 연구의 필요성 및 목적 1.2. 선행 연구

1.3. 연구문제 1.4. 연구 방법 및 절차

2. 본론 2.1. 초안 검토 2.2. 수정안 도출 2.2.1. 1차시 2.2.2. 2차시 2.2.3. 3차시

2.3. 수업방안의 구현가능성에 관한 전문가 의견

3. 논의

3.1. 수업의 의의

3.2. 다른 교과 수업에의 활용 가능성

4. 결론 및 제언

참고문헌

황금비를 활용한 학제적 융합 미술수업 방안과 구현가능성에 관한 연구

A Study on Model and Implementation Possibility of Art Class Utilizing Golden Ratio through Interdisciplinary Integration

신현용, 한국교원대학교 수학교육과 / 신실라(교신저자), 한국교원대학교 대학원

Shin, Hyunyong_Department of Mathematics Education, Korea National University of Education / Sheen, Shilla_Graduate School of Korea National University of Education

요약 급변하는 사회 상황은 기존의 수업과는 다른 형식의 수업을 학교에 요구한다. 이러한 요구에 여러 교과의 융합(통 합) 교수학습은 고려할 수 있는 한 가지 방안이 될 수 있다. 그러나 여러 학제를 융합하는 수업을 구상하고 실현하 는 것은 교사에게 용이한 과정은 아니다. 관련된 학제 모두가 균형을 이루며 자연스럽게 연계되어 소기의 교육 목 표를 달성하여야하고, 이는 교사로 하여금 수업내용과 관련된 각 학제에 대한 심도 있는 이해를 요구하기 때문이 다. 이 연구는 미술, 음악, 수학은 각각의 영역에서 아름다움을 추구하는 학문 또는 예술적 행위라고 할 수 있으므 로 이 세 개 학제를 아우르는 수업 방안을 구상할 수 있음에 유념하고, 미술 수업에서 활용할 수 있는 수학과 음악 소재로서 비(比, ratio)에 주목하며, 황금비(⿈⾦比, golden ratio)를 주제로 하는 세 개 차시 6시간 분량의 수업 방안을 제안한다. 이 수업은 중학교 영재수업이나 고등학교(특히 과학고등학교)에서 구현할 수 있도록 구성하되, 앞의 두 개 차시 4시간 수업은 수학교사와 음악교사 각각에 의해 실시되고 마지막 차시 2시간 수업을 미술교사가 실시하도록 한다. 이 글에 소개되는 수업 방안은 개발 초기단계부터 미술, 음악, 수학교육 각 분야의 전문가와 함께 하였다. 내용의 수준이나 수업의 절차 등을 섬세하게 구성하여 구현이 가능하게하기 위함이었다. 이 글에 소개된 수업 방안은 연구자에 의해 제안된 수업 모형 시안을 전문가 7인의 검토를 거쳐 수정 보완한 것이다. 마지막으로, 제시된 최종 수업 방안에 관해, 개발 과정을 자문한 동일한 전문가가 학제간의 균형, 연계성, 수업 진행의 흐름, 그 리고 수업의 구현가능성을 긍정적으로 점검하였다.

중심어 비 황금비 르 꼬르뷔지에 음악

수학

ABSTRACT Social circumstances that is rapidly changing requires schools to consider and design a new paradigm of teaching in classrooms. An integrated teaching/learning model could be a probable answer to the needs. Designing and implementation, however, of such a model of teaching / learning does not seem to be trivial. It is because all the related subjects should be well-balanced, logically-organized, and smoothly connected for the purpose of the education.

Furthermore, such features of model require that teachers have quite deep understanding about interdisciplinary contents. This research notes that art, music, and mathematics pursues beauty in their own area, and it is reasonable to propose a model for art class through interdisciplinary integration. In this article, we propose 6-hour class program for it. The model is based on ratio(golden ratio, in particular) and is for gifted education in middle schools and high schools(Science High School, in particular). The first 2-hour is by mathematics, the second two-hour class is by music, and the last 2-hour class is by art teacher. The proposed model has been developed with help of professionals on each subject. The 7 in-service teachers of art, music, and mathematics reviewed, commented, and suggested for revision of the first proposal.

The possibility of implementations has also been discussed by the same 7 reviewers. The model could be implemented successfully.

Keyword ratio golden ratio Le Corbusier music mathematics

1. 서론

1.1. 연구의 필요성 및 목적

미술과 수학의 연계성은 실생활에서 쉽게 찾아 볼 수 있다. 그림에 나타나는 다양한 비례, 황금 비를 활용한 다수의 제품 디자인, 그리고 대칭성을 보이는 문양 디자인 등이 그 예다. 미술과 수학의 연계는 미술의 주관적이고 직관적인 조형표현이나 사고를 수학이 갖고 있는 분석적이고 객관적인 사고를 적용함으로써 한 쪽에 편중된 조형표현 및 사고를 보완할 수 있게 하므로¹⁾미술 과 수학의 융합은 의의를 가질 수 있다. 미술과 수학의 이러한 연계로부터 음악과 수학의 연계도 동일한 맥락으로 말할 수 있다.

미술과 음악은 예술표현의 수단으로서 두 영역간의 접목을 시도하여 다양한 예술 작품을 작업 하는데 영감을 줄 수 있다. 이는 인간의 근원적인 인식 영역인 청각적 능력과 시각적 능력을 조화시킨다.²⁾미술과 음악은 각각 시각적 또는 청각적 아름다움을 추구하고 수학은 정신적 아름 다움을 추구하는 행위라고 볼 수 있으므로 수학이나 음악 소재를 디자인에 접목하려는 시도는 어색하지 않다.

교육부는 2009개정교육과정을 통해 융합인재교육을 장려하였고, 2015개정교육과정은 핵심 역량 6가지 중에서 융합교육과 관련 된 창의적 사고 역량을 제시한다.³⁾이는 다양한 전문 분야의 지식, 기술, 경험을 융합적으로 활용하여 새로운 것을 창출하려는 의도로 이해할 수 있다. 이러 한 취지에서 수학과 음악 소재를 활용하는 미술 수업을 구상하는 것은 유의미한 시도라고 할 수 있을 것이다.

레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1452-1519)와 함께 황금비(De Divina Proportio ne) 를 저술한 파치올리(L. Pacioli, 1447-1517)는 ‘수학 없이는 예술도 없다. Without mathematics, there is no art.’고 생각했고,⁴⁾레오나르도 다빈치도 회화론(On Paintings) 을 저술하고 ‘수학을 모르는 사람은 내 책을 읽지 마라’고 말한 것으로 전해진다.⁵⁾

건축가 르 꼬르뷔지에(Le Corbusier, 1887-1965)는 자신은 ‘마음으로는 수학자(mathemati cian at heart)’ 또는 ‘마음으로는 음악가(musician at heart)’라고 말한 바 있다.⁶⁾그는 비례 (proportion)에 관한 연구로 철학과 수학(philosophy and mathematics) 전공으로 박사학 위를 받았다. 그는 ‘화가와 건축가로서의 나의 과거 30년 이상, 수학의 정신은 내 작품의 혈관을 흘렀습니다. 음악이 항상 나와 함께 했기 때문입니다. More than these thirty years past, the sap of mathematics has flown through the veins of my work, both as an architecture and painter; for music is always present within me.’⁷⁾라고 말한 바 있다. 르 꼬르뷔지에의 예술에서 건축, 수학, 음악은 다름이 아니었던 것이다. 그의 이런 입장을 대변하는 것이 ‘조화척 도(Modulor)’이다.

이 연구에서는 르 꼬르뷔지에의 조화척도를 주제로 하는 미술 수업에서 활용할 수 있는 수학과 음악 소재를 찾고 그들을 아우르는 학제적 융합 미술 수업을 구상하며, 그 수업 방안의 타당성 이나 효용성을 몇 명의 전문가 의견을 들어 개략적으로 검증한다. 여기서 ‘학제적 융합 (interdisciplinary convergence) 수업’은 여러 학제(교과)를 아우르는 융합적인 수업을 뜻 한다.

1) 하봉수, 「기초디자인 교육에 있어 수학적 조형의 가치 제고」, 기초조형학연구, 2013, p.432

2) 유금화, 임진숙, 「음악의 시각화에 의한 의상디자인 연구-리듬감의 표현을 중심으로-」, 한국의상디자인학회지, 2006, p.112 3) http://ncic.go.kr/mobile.index2.do

4) 신현용, 『수학: 학제적 대화코드』, 매디자인, 2018, p.77

5) 신현용, 신실라, 「문양에 관한 수학적 접근: 군론에 의한 한국 전통문양의 분류」, Archives of Design Research, Vol.27 (3), 한국디 자인학회, 2014, p.296 재인용

6) C.G. Gonçalves, M.J. Soares, 「Le Corbusier: architecture, music, mathematics: longing for classicism?」, Le Corbusier 50 years later International Congress, 2015, p.2

7) lbid.

1.2. 선행 연구

미술 또는 미술교육을 다른 학제와 연계하려는 시도는 있었다. 예를 들어, 신현용과 신실라 (2014)는 수학적 접근에 의한 띠(frieze) 문양의 디자인 방안을 제안하였고, Shin, Kwon, Sheen, & Mun(2018)은 벽지(wallpaper) 문양을 수학 기법으로 분류하고 한국고유 문양의 문양을 디자인한 예를 제시하며 문양을 피아노 또는 한국 전통 악기(거문고와 가야금)로 표현 하는 방안을 소개한다. 또한 가시와기 히로시(2014)는 예술, 건축, 디자인에서 피보나치수열 이나 황금비와 같은 수학적 단서를 찾을 수 있고 더 나아가 기타와 같은 현악기를 통해 비례관계 를 확인할 수 있으며 이러한 관계가 황금비와 가까우며 소리의 조화가 색채의 조화와 일치한다 고 말한다⁸⁾. 이는 곧 예술과 수학간의 관계가 결코 분절적이지 않음을 시사한다.

1.3. 연구 문제

다음과 같은 두 개의 연구문제를 설정한다. 첫째, 조화척도를 주제로 하는 미술 수업을 위해 수학교과와 음악교과에서 어떠한 협조를 어떻게 받을 수 있을까? 둘째, 개발된 학제적 융합 수 업 방안은 미술 수업으로서 구현이 가능할까?

1.4. 연구 방법 및 절차

먼저, 수학과 음악에서 관련 소재를 추출한다. 비(比, ratio)는 미술, 음악, 수학이 아름다움을 표현하기 위해 사용하는 공통 언어이다. 비와 관련하여 다양한 소재가 있을 것이나 여기에서는 미술, 음악, 수학의 교과 과정에 적절한 것으로서 황금비(黃金比, golden ratio)에 주목한다.

특히, 황금비에 기반을 두는 조화척도를 주제로 하는 미술 수업에서 활용할 수 있는 수학과 음악 소재를 각각 도출한다. 수학 소재로서는 비, 황금비, 조화척도, 피보나치수열 등을 주목하고 음악 소재로서는 테트락티스, 평균, 진동수와 현의 길이의 비를 주목한다.

소재가 추출되면 미술 수업 방안을 구상한다. 도출한 소재를 활용하는 미술 수업을 3차시 분량 의 수업으로서 1차시는 수학교사, 2차시는 음악교사가 각각 담당하여 3차시에 구현될 미술 수 업을 돕는다. 수업 주제는 ‘르 꼬르뷔지에의 조화척도의 구성과 적용’이다.

수업 방안이 구안되면 미술, 음악, 수학교육 전문가(교사) 7인에게 검토를 의뢰하고 검토 의견 을 들어 개발된 수업 구상을 보완하여 최종안을 도출한다. 이 논문에서 제시하는 수업방안은 그러한 과정을 거쳐 개발된 최종안이다. 마지막으로, 제안된 최종 수업안의 적용가능성과 효용 성 또는 교육적 의의 등에 관하여 개략적으로 가늠한다.

2. 본론

2.1. 초안 검토

학교에서의 미술 수업은 전적으로 미술교사에 의해 이루어지는 것이 관례이다. 음악과 수학 소재를 ‘융합’적으로 활용하는 이 연구에서도 원래에는 3차시 모두를 미술교사가 실시하는 방 안으로 구안하여 전문가 검토를 의뢰하였으나 ‘현실적으로 구현되기 어렵다’는 의견이 대부분 이었다. 검토 의견 중에서 연구자가 수용한 예는 다음과 같다.

의견1

해당 수업의 내용은 학생들로 하여금 감상하기에 막연했던 작품들 속에 숨은 황금비를 발견하 게 하고 수학교과와 연계한 학습의 유도 부분에서 매우 훌륭하다. 작품 속에 숨은 황금비율은 단순히 작품에서 더 나아가 미술 이외의 여러 분야들과 일상생활에서도 다양하게 쓰이고 있음 을 인식할 수 있는 기회로 학생과 주변 환경 및 삶과 연계된 학습으로 이끌어내기에 충분하다.

그러나 현재 중학교 3학년을 가르치고 있는 미술교사의 입장에서 해당 수업의 실제 운영은 당장 적용해보기에는 무리가 있을 것으로 예상된다. (중략) 이 연구에서의 수업 구성의 경우 수학내 용을 제대로 이해하지 못한 학생들이 제대로 미술수업에 참여할 수 있을지 우려된다.

8)柏木博, 이지은, 『디자인의 단서들』, 안그라픽스, 2014, p.45

의견2

융합인재를 양성하고자 하는 시대의 흐름은 있지만 실재로 교과서에서 이를 구현하는 정도가 매우 미미하고 특정 교과 중심이기 때문에 이 연구의 필요성에 매우 공감한다. (중략) 융합수업 이 한 교과의 교사에 의해서 진행되는 것은 많은 한계를 가지고 있는 것 같다. 그 이유는 우선 현재 수업을 진행하는 교사들이 대학교이상의 과정에서 특정 주제와 관련한 전문적인 지식을 융합된 형태로 교육받지 못했기 때문이다.

의견3

2015 개정 교육과정에 융합 인재 교육을 장려하고 있으므로 현 학교수업에서는 미술 융합 수업 에 좋은 모델이 될 것으로 생각된다. 본 수업에 들어가기 전에 다양한 미술 작품 속에 숨겨진 비의 의미를 제시함으로 학생의 흥미를 유발하였고, 비(ratio)의 아름다움이 수학과 음악에 존 재하고 있음을 보여 줌으로 여러 학제를 아우를 수 있을 것으로 생각된다. 그러나 이 수업은 수학적 내용과 음악의 이론을 고려해 볼 때 영재학교 및 고등학교를 대상으로 할 때 더욱 의미 있는 수업이 될 것으로 여겨진다.

의견4

음악 소재로 실시되는 수업에서도 간단한 산출물이 있으면 좋겠다. 그 시간이 미술수업을 위해 잠깐 스쳐가는 분위기일 수 있기 때문이다.

2.2. 수정안 도출

이상의 검토의견에 따라 원래의 수업 방안에 수정 보완 과정을 통해 수업 방안을 다음과 같이 제안한다. 가장 큰 수정 사항은 세 개 차시 각각을 다른 교사가 실시하고 수업 환경으로서 중학교 영재수업이나 과학고등학교 미술 수업을 염두에 둔 것이다.

2.2.1. 1차시

수학교사에 의해 실시되는 수업으로서 다루는 내용은 다음과 같다.

⦁ 비트루비우스 인간

고대 로마의 건축가 비트루비우스(Vitruvius, c.80-c.15BC)는 신전 건축에 인간 육체에서의 비례를 사용하여야 한다고 생각할 정도로 육체 비례를 중시한 사람이다. 레오나르도 다빈치는 그의 유명한 그림 ‘비트루비우스 인간(Vitruvian Man)’에서 인간 육체의 여러 비례를 표현하였 다. 다음 과제를 제시한다.

과제: 검색창에 ‘leonardo davinci, vitruvian man, image’를 입력하여 위 사실을 확인하여라.

⦁ 비와 황금비

‘비(ratio)’는 균형, 조화, 또는 공평 등을 측정하고 표현하기 위한 개념이다. 균형과 조화는 ‘아름 다움’과 통하는 개념으로서 수학에서는 물론이거니와 음악이나 미술에서도 중요한 개념이다.

신용카드, 주민등록증, 운전면허증 등은 물론이 거니와 여러 가지 상표나 로고에서도 쉽게 발견 되는 비는 황금비이다. <그림 1>에서 보는바와 같이 짧은 변의 길이와 긴 변의 길이가 각각 1과

(  )인데 이 직사각형에서 한 변의 길이가

인 정사각형을 한 쪽에서 제거하여도 짧은 변 의 길이와 긴 변의 길이가   의 비율을 유지할 때 를 황금비(golden ratio)라고 한다.

이때 다음 비례식         이 성립한 다. 이로부터      , 즉 ^     이

<그림 1> 황금비가 발견되는 직사각형

성립하므로   

 ^

임을 알 수 있다. 황금비 는 무리수(irrational number)이지만 실제 에서는 유리수 근삿값 을 사용한다. 황금비가 ‘아름다운 비례’를 나타낸다면 황금비의 역 수인 

   ^

 도 아름다운 비례를 나타낸다고 할 수 있다. 황금비 역수 

의 유리수 근삿 값으로서 을 사용한다. 수학에서는 황금비를 주로 그리스 문자인 기호 ‘(phi)’로 나타내 지만 이 연구에서는 학교교육과정을 유념하여 기호 ‘’로 나타내기로 한다.

ž 조화척도

다음은 인체비례를 황금비로 설명하는 르 꼬르뷔지에(Le Corbusier, 1887-1965)의 ‘조화척 도(Modulor)’이다. 조화척도는 르 꼬르뷔지에가 영국 도량형과 프랑스 도량형을 중재할 척도 로서 황금비를 활용하여 개발한 것이다. 또한 적색계열과 청색계열 두 가지 관점을 통해 인체스 케일과 황금비의 관계를 르 꼬르뷔지에 자신만의 척도로 도출하였다. 여기서 어떤 비를 나타내 고자 할 때 기본이 되는 단위 길이는 주어진다. 단위 길이는 기준이 되는 값이다. 르 꼬르뷔지에 는 가장 이상적인 사람의 키는 약 183cm라 생각하였고 이 길이를 기준으로 삼았기 때문에 조화 척도에 그려진 사람의 키는 약 183cm이다.

<그림 2>의 사람이 팔을 들었을 때의 길이는 2260m m이다. 지금부터의 계산은 조화척도를 이해하기 위해 근삿값으로 한다. 배꼽은 전체 길이의 반인 1130mm 인 곳에 위치한다. 윗부분의 길이 을 황금비 (golden ratio)로 나누면 머리의 끝 지점이다.

 × 은 로서 와 의 비가   

인 것이다. 여기서 

 은 임을 기억한다. 마찬 가지로, 아랫부분의 길이 을 황금비로 나누면 

와 을 얻는다. 여기서 주목할 것은  × 은

라는 것이다. 보다 작은 수들도 이러한 원리로 얻는다. 예를 들어,  × 은 ,  × 은

, ⋯ 의 과정을 무한히 반복하여 황금비에 의한 수 열을 얻을 수 있다. 이렇게 얻은 수열을 적색계열(red series)이라고 한다.

한편, 전체 길이 2260mm를 처음부터 황금비로 나누 어 1397mm를 얻고( × 은 ), 이 길이 를 다시 황금비로 나누어 863mm를 얻으며 이 과정을 무한히 반복하여 황금비에 의한 새로운 수열을 얻을 수 있다. 이렇게 얻은 수열을 청색계열(blue series)이라고 한다. <표 1>을 통해 적색계열과 청색 계열에서 나타내고자 하는 각각의 비를 알 수 있다.

청색계열에서는 _부터 황금비의 역수인 

, 즉 약 의 곱으로 _ _ ⋯를 얻는다. 다시 말하면, ∞에서 까지의 높이는 ∞에서 까지 높이의 배이고, ∞에서 까지의 높이 는 _∞에서 _까지 높이의 배이다. 이와 같은 과정을 반복하여 ___ ⋯를 얻는다.

적색계열에서는 부터 황금비의 역수인 

, 즉 약 의 곱으로  _ ⋯를 얻는다. 다시 말하면, _∞에서 _까지의 높이는 _∞에서 _까지 높이의 배이고, _∞에서 _까지의 높이는 ∞에서 까지 높이의 배이다. 이와 같은 과정을 반복하여  _ ⋯를 얻는다.

<그림 2> 조화척도 적색계열

432:698=1:1.618 698:1130=1:1.618

432:698=1:1.618

… 청색계열 1397:2260=1:1.618

863:1397=1:1.618 534:863=1:1.618

…

<표 1> 적색계열과 청색계열

⦁ 산술평균과의 관계

_, _, _ 높이는 각각 _과 _, _와 _, _과 _의 중점의 높이와 같다. 이는 _, _,

_높이는 각각 과 , 와 , 과 의 높이의 산술평균이라는 말이다. 이 관계는 와 그 다음에도 동일한 방식으로 성립한다.

⦁ 피보나치수열

수열        ⋯의 특징은 앞 선 두 항의 합이 다음 항인 것이다. 이 수열을 피보나 치수열(Fibonacci sequence)이라고 한다. 이 수열에서 앞 항 

뒤 항 

로 얻어지는 수열



 

 

 

 

 

 ⋯은 황금비에 수렴한다. 따라서 이 수열에 나타나는 분수들은 황금 비 대신 ‘아름다움을 나타내는 비’로 사용될 수 있다.

2.2.2. 2차시

음악교사가 실시하며 내용은 다음과 같다.

⦁ 테트락티스

레오나르도 다빈치와 미켈란젤로(Michelangelo di Lodovico Buonarroti Simoni, 1475-1564)와 함께 16세기 르네상스 미술을 주도한 라파엘로(Raffaello Sanzio da Urbino, 1483-1520)는 ‘아테네 학당(School of Athens)’이라는 작품을 남겼다. 그 그림에는 수학자, 철학자, 천문학자 등 다양한 사람이 등장한다. 수학자 피타고라스는 그 그림에 등장하는 핵심 인물 중 하나이다. 라파엘로는 수학자 피타고라스(Pythagoras, 기원전 5세기)를 상징하는 그 림으로서 앞에서 소개한 테트락티스(tetractys)를 그렸다.

<그림 3>은 완전4도, 완전5도, 완전8도 등 아름다운 화음을 얻는 원리를 나타낸다. 다음 과제를 제시한다.

과제: 검색창에 ‘Raffaello, school of athens, pythagoras, tetractys, image’를 입력하여 위 사실을 확인하여라.

<그림 3>에는 다음과 같은 두 쌍의 네 수가 있다.

Ⅵ, Ⅷ, ⅤⅡⅡ, Ⅻ (6, 8, 9, 12)

Ⅰ, ⅠⅠ, ⅠⅠⅠ, ⅠⅠⅠⅠ (1, 2, 3, 4)

<그림 3>에서 Ⅵ과 ⅤⅡⅡ의 비는 Ⅷ과 Ⅻ의 비이며 이는 

 

 로서 

이다. 음악에서 이

비 또는 이의 역수 

을 ‘디아펜테(diapente, ΔΙΑΠΕΝΤΕ)’라고 하며 이는 아름다운 화

음을 이루는 ‘완전5도’ 음정을 나타낸다. 실제로 음악에서 중요한 비례는 완전8도를 나타내는



과 완전4도를 나타내는 

 등인데 이들 모두는 6, 8, 9, 12 또는 1, 2, 3, 4 네 수로 나타낼 수 있다.

과제: 검색창에 ‘삼분손익’을 입력하여 동양에서 소리를 얻는 과정에서 

가 어떠한 역할을 하 였는지 조사하여라.

ž 음악에서의 평균

주어진 여러 개의 수로부터 새로운 수를 얻는 방법으로서 대표적인 예는 평균(mean)이다. 수 학에서는 여러 가지 평균을 생각할 수 있지만 이 수업에서의 평균은 산술평균(arithmetic mean)을 뜻한다. 두 수  의 평균은 

  

이다. 예를 들어, 6과 12의 평균은 

  

 이고

<그림 3> 테트락티스

1과 2의 평균은 

  

 

이다. 한편, 네 수 6, 8, 9, 12 모두를 12로 나누면 

 

 

 을 얻을 수 있다. 다음 과제를 제시한다.

과제: 유리수와 산술평균을 사용하는 ‘피타고라스 음계(Pythagorean scale)’는 ‘피타고라스 콤마(Pythagorean comma)’라는 이론적 문제를 발생시키지만 무리수와 기하평균을 사용하 면 ‘평균율(equal temperament)’를 얻어 모든 문제를 해소할 수 있다. 평균율과 관련하여 바 흐(J. S. Bach, 1685-1750)에 대해 조사하여라.

⦁ 진동수와 현의 길이

주어진 소리의 주파수를 1이라고 할 때, 완전5도 높은 음의 주파수는 

이다. 주어진 소리를

내는 현의 길이가 1이라고 할 때, 완전5도 높은 음을 내는 현의 길이는 

의 역수인  이다.

동일한 재질과 두께를 가지는 현에 대하여 주파수는 현의 길이에 반비례하기 때문이다. 황금비

와 그의 역수 

가 시각적 아름다움을 나타내고, 디아펜테 

와 그의 역수 

은 청각적 아름다 움을 나타낸다.

과제: 검색창에 ‘배음현상’을 입력하여 소리에서 진동수와 주파수의 관계를 조사하여라.

⦁ 피타고라스 음계

완전5도 높은 음의 주파수는 

라는 전제에 의한 피타고라스음계에서 각각의 음과 현의 길이 관계는 다음과 같다.

도 레 미 파 솔 라 시 도

       



<그림 4> 피타고라스 음계

⦁ 플루트 제작과 연주

학생 전원이 빨대를 이용하여 플루트를 만든 후 화음을 연주할 세 모둠 각각을 6명으로 구성한다.

C-화음 연주 모둠: 길이가 1, 

, 

인 빨대 각각을 두 명씩 연주하여 C-장화음을 이룬다.

F-화음 연주 모둠: 길이가 1, 

, 

 인 빨대 각각을 두 명씩 연주하여 F-장화음을 이룬다.

G-화음 연주 모둠: 길이가 

, 

, 

인 빨대 각각을 두 명씩 연주하여 G-장화음을 이룬다.

다음 음악을 부르며 연주한다. 여기서 _ _ 화음은 각각 C-화음 연주 모둠과 G-화음 연주 모둠이 C, G 화음으로 연주한다. 연주하는 음악은 학생들의 취향에 따라      코드로 연 주되는 다른 것으로 바꿀 수 있다.

화음 연주 모둠에 속하지 않은 학생은 멜로디를 연주하거나 노래하도록 한다.

오빠 생각

최순애 작사 박태준 작곡

<그림 5> 오빠 생각 악보

2.2.3. 3차시

본 연구의 핵심 수업으로 미술교사가 실시한다. 세 번째 차시 수업 내용과 절차는 수업지도안으 로 제시한다.

제목 르 꼬르뷔지에의 조화척도의 구성과 적용

학습목표 황금비를 이용하여 그림을 그릴 수 있다.

준비물 크레용, 자(ruler), 컴퍼스, 계산기(휴대전화)

구분 학습과정 교수 학습 활동

도입 복습 비, 황금비, 평균, 피보나치수열 등은 모두 관련된 것으로서

아름다움을 나타내는 개념으로서 수학과 음악 등에서 중요하게 다뤄진다.

동기 부여 나만의 디자인을 할 수 있다.

전개

비 또는 황금비와

디자인

⦁ 빨강, 파랑, 노랑의 구성 II

몬드리안(P. Mondrian, 1872-1944)은 ‘빨강, 파랑, 노랑의 구성 II (Composition II in Red, Blue, and Yellow)’ 등 여러 개의 직사각형으로 이루어진 그림을 여럿 그렸다. 몬드리안은 한국의 전통 색인 ‘오 방색(파랑색, 흰색, 빨강색, 검정색, 노란색)’을 즐겨 사용하였다. 다음 작품에는 정사각형과 황금비가 자주 발견된다. 아래 작품에서 사각형ABCD, 사각형AEFG, 사각형BHIJ는 정사각형 모습이다. 이때 사각형 사이 에 있는 두꺼운 선을 감안한다.

<표 2> 미술 수업지도안

제목 르 꼬르뷔지에의 조화척도의 구성과 적용

한편, 선분AB의 길이와 선분AG의 길이의 비는 대략 황금비(약 )이다. 따라서 선분DG의 길이와 선분 GH의 길이의 비도 대략 황금비라고 할 수 있다.

⦁ 비트루비우스, 레오나르도 다빈치, 르 꼬르뷔지에는 인체비례에서 아름다움을 나타내는 비를 찾았다.

다음 두 그림은 르 꼬르뷔지에가 레오나르도 다빈치의 ‘비트루비우스 인간’에 근거하여 인체비례와 황금비 를 살피는 그림이다(Gonçalves & Soares, 2015).

⦁ 조화척도는 르 꼬르뷔지에가 비트루비우스나 레오나르도 다빈치의 입장에 동의하여 이상적인 인체비 례는 황금비로 구성되어 있다고 전제하고 인체비례를 디자인이나 건축의 모범적인 비로 사용하고자 한 것 이다. 예를 들어, 르 꼬르뷔지가 설계에 주도적으로 동참한 유엔사무국건물(UN Secretariat Building, 미 국 뉴욕 소재)에는 황금비가 다양한 방식으로 활용된 것으로 알려져 있다.

⦁ 르 꼬르뷔지에의 조화척도에 표시된 사람의 키는 1,829mm이다. 다음 그림과 같이 길이를 _



 으로 축소한 실제 길이로 조화척도를 만들 수 있다. 계산에서 소수점 이하를 반올림하면 사람의 키는 91mm이 고 다음을 얻는다.

전개

비 또는 황금비와

디자인

제목 르 꼬르뷔지에의 조화척도의 구성과 적용

⦁ 작품 제작

앞에서 얻은 조화척도와 색을 적절히 활용하여 몬드리안 꼴의 자신만의 그림을 그린다. 음악 ‘오빠 생각’의 화음이 비(ratio)에 의하듯이 비를 이용한 그림을 그리는 것이다. 다음과 같은 산출물을 기대할 수 있다.

전개

비 또는 황금비와

디자인

2.3. 수업방안의 구현가능성에 관한 전문가 의견

이 수업을 중학교 영재수업 또는 과학고등학교 등에서 수학, 음악, 미술을 가르치는 세 교사에 의해 실시하고자 할 경우, 그 가능성에 대한 전문가 의견은 다음과 같이 대체적으로 긍정적이 었다.

의견 A

이 수업 안은 산출물을 낳는 프로젝트 형태의 수업으로 현장구현이 충분히 가능하다고 생각한 다. 1, 2차시에서 충분한 활동을 통한 각 교과에 맞는 중간 산출물이 있고, 3차시 미술작품이 최종 산출물이 되는 수업으로 진행할 수 있을 거라고 생각한다. 다만 음악에서 기초화성을 다루 고 수학내용 중 근호(radicals)가 등장한다는 것을 감안한다면 중학교에서는 영재학급이나 3 학년 이상을 대상으로 하는 것이 적절할 것이다. 고등학교에서 다룬다면 학교형태에 상관없이 가능하다고 생각한다.

의견 B

성공적인 팀티칭 형태의 융합 수업을 위해 수업의 기획단계 즉 교육과정을 계획하여 연간계획 에 포함시키고 수학, 음악, 미술 교사 간의 충분한 의견 교환과 사전 조율이 매우 중요할 것이다.

이러한 수업을 통해 수학, 음악, 미술 선생님들의 담당 교과에 대한 관점이 변화될 수 있을 것이 다. 이를 위해 일회적으로 끝나지 않고 지속가능한 수업으로 개발되어야 할 것이다. 수업의 진행 은 학생들의 반응과 피드백을 통해 얼마든지 보완해 갈 수 있으리라 생각된다. 또한 최종 산출물 로서 실제 사람 크기의 조화척도를 제작하는 실습을 해 보는 것도 시도할 수 있을 것으로 본다.

의견 C

화면 분할을 통한 몬드리안의 콤포지션 형태의 작품을 학생들과 수학과 디자인의 융합수업으로 진행할 수 있는 좋은 아이디어이며 황금분할의 수학적 이론을 설명하고 수업을 시작한다면 학 생들이 좀 더 황금비율을 쉽게 이해하고 적용할 수 있을 것 같다. 연계수업으로 비례, 대칭, 대비, 균형 등을 수업주제로 선택적으로 운영할 수도 있다. 그러나 일반 학교에서는 학생들이 수학적 이론에 대한 어려움과 거부감이 크게 작용하여 적용하기 힘들 것 같다. 영재학교 학생들도 수업 에 적극적인 활용하기 보다는 융합단원에서 차가운 추상(기하학적 추상)표현이라는 주제로

“음악감상후 감상 느낌을 기하학적으로 나타내보기”라는 주제로 적용해 보고 싶은 아이디어가 떠오른다.

의견 D

구현이 가능한 수업이다. 플래시 애니메이션, 동영상자료 등 그래픽 또는 비주얼 자료를 제시하 여 좀 더 재미있게 접근(적용)할 수 있으면 학생들 반응이 좋을 것 같다.

의견 E

소기의 수업 목표를 달성하기 위해서는 수업을 실시하는 세 명의 교사가 사전에 세심하게 조율 하여야 할 것이다.

제목 르 꼬르뷔지에의 조화척도의 구성과 적용

정리 마무리

이 수업에서 알아보았듯이 황금비 또는 평균 등 비(ratio)는 여러 가지 방식으로 그림이나 건축에 활용될 수 있다. 비는 수학과 음악에서도 중요한 개념이다. 비뿐만이 아니라 수학이나 음악의 여러 주제는 미술에 활용될 수 있다. 더 나아가 수학과 음악뿐만이 아니라 학교에서 배우는 모든 과목도 미술과 무관하지 않다.

다음과 같은 과제를 제시한다.

⦁ 검색창에 ‘Mondrian, image’를 입력하여 여러 개의 직사각형으로 이루어진 작품들을 감상하여라.

⦁ 검색창에 ‘UN building, image’를 입력하여 유엔건물을 감상하여라.

의견 F

이차방정식의 풀이를 배운 중학교 3학년에서 구현이 가능할 것으로 생각된다. 각 차시 수업에 수업을 하지 않는 두 교사도 참여하여 필요한 경우 수업에 도움을 주는 방안도 고려할만하다.

예를 들어, 2차시 음악수업에 수학교사와 미술교사가 참관하는 것이다.

의견 G

황금비에 관한 융합수업은 정말 중요하고 필요한 수업이라고 생각한다. 음악에서   의 비례 (완전5도)는 서양음악뿐만 아니라 동양음악에서도 근간이 되고 있다는 생각을 많이 한다. 이 수업은 완전 5도, 즉 황금분할에 가까운 소리로 피타고라스가 음률과 음계를 만들었다는 사실 에 그치지 않고 완전 5도가 음악에서 얼마나 친근하고 기본이 되며 많이 쓰이고 자연스러운 물리적 현상이라는 것을 이해시키는데 보다 주안점이 되도록 할 수 있으면 좋겠다. 수업 중에 삼분손익(三分損益), 배음(倍音)현상, 오도원(五度圓, circle of fifth) 등을 소개하고 사운드 프로그램인 골드웨이브(GoldWave)를 활용하여 소리 현상을 직접 관찰할 수 있게 할 것을 권 한다.

3. 논의

3.1. 수업의 의의

이 수업에서 다음은 유의미하다고 사료된다. 먼저, 수업에서 학생들로 하여금 여러 개의 유명한 미술 작품을 통하여 수학적 개념인 비(ratio)가 사용된다는 사실과 완전5도 등 아름다운 화음도 비로 표현되고 그 비는 평균으로 구해진 다는 것을 안다.

3.2. 다른 교과 수업에의 활용 가능성

이 수업 방안을 다소 보완하면 학제적 융합 수학 또는 음악 수업에 활용할 수 있다. 예를 들어, 수학교과의 경우에는 앞의 ‘조화척도 분석’에서 주목한 사실들을 중학교 수준의 수학으로도 증명할 수 있다. 예를 하나 들자. 황금비 의 유리수 근삿값은 이고 황금비의 역수 

의

유리수 근삿값은 이라고 하였다. 간단한 수학을 통하여 정확히   

 임을 다음과 같 이 보일 수 있다.

황금비의 정의에 의하여 ^     이다. 양 변을 로 나누면     

 이다, 따라서

  

 이다. <그림 2>에서 _는 선분 __을 황금비   로 나누는 점이다. 따라서

_의 높이를 나타내는 수 는  ×   

  , 즉  × 



 로 얻어진다.

이는  ×     , 즉  ×   이다. 실제로,   

    임을 다음과

같이 보일 수 있다.       ^          . 양 변을   로 나누면

  

    를 얻는다.

4. 결론 및 제언

이 연구에서는 평균과 황금비 등 몇몇 수학적 소재와 이와 관련된 완전5도 등 음악적 소재를 사용하여 몬드리안 꼴의 디자인을 시도하는 수업 방안을 구상하였다. 개발된 자료를 활용하는 수업을 미술교사 혼자 실시하기에는 어려움이 따를 것으로 예상되지만 수학교사와 음악교사의 협조를 받는 경우에는 효과적으로 구현될 수 있을 것으로 사료된다.

수학과 예술의 주요 가치는 아름다움의 추구와 표현이기 때문에 미술 수업에서 비와 황금비

외의 수학/음악 소재를 활용할 수 있다. 특히 문양을 분석하고 생산함에 효과적으로 사용할 수 있는 개념인 대칭(symmetry)은 수학의 주요 개념인 동시에 음악의 주요 기법 중 하나이다.⁹⁾ 실제로, 대칭은 불변성(invariance)을 표상하는 개념으로서 이는 균형, 조화와 함께 아름다움 의 주요 요소이다. 대칭이 불변성의 개념이라면 황금비도 대칭이라고 할 수 있다. 모든 과정을 통해 얻어지는 직사각형에서 짧은 변의 길이와 긴 변의 길이의 비는    로서 불변(invariant) 이기 때문이다. 최근 화려한 시각적 디자인을 제공하는 프랙털에서도 근본적으로 대칭이 핵심 이다. 영원히 반복되는 자기상사(self-similarity)성은 불변하기 때문이다. 이렇게 볼 때, 대칭 을 활용하는 학제적 융합 미술 수업 또는 음악 수업 방안을 모색할 수 있을 것으로 사료된다.

대칭을 주제로 하는 미술 수업에서는 판화가 에스허르(M. C. Escher, 1898-1972), 음악 수업 에서는 바흐를 소개할 수 있을 것이다.

본 논문에서 제시한 수업 방안과 구현가능성을 검토한 수학교육 전문가는 ‘이 자료는 수학수업 자료로도 훌륭하다. 창의 수학수업에 사용해보겠다.’라며 논문에서 소개한 자료의 수학수업에 의 활용 가능성을 언급했다. 그러나 본 논문이 제시하는 수업을 실제로 실시한 후, 학생들의 반응과 결과물을 검토하면 수업 모형의 완성도를 한층 더 제고할 수 있을 것으로 사료된다. 한 편, 이 글에서 소개된 자료와 수업 방안을 다소 보완하고 재구성하면 수학은 물론이고 음악 수업 에서도 활용할 수 있을 것으로 사료된다.

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신실라, 「일상용품을 통한 기초 디자인 교육용 애플리케이션 개발 연구」, 한국교원대학교 석사학위논문, 2015 신실라, 최정아, 「기초 디자인 교육을 위한 스마트 폰 애플리케이션 개발 연구 -중학교 기초조형교육을

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9) 신현용, 신혜선, 나준영, 신기철, 『수학 IN 음악』, 교우사, 2014, p.177