3. 유리수와 순환소수 3.1. 이론적 배경
(1) 분수의 역사
(가) 단위 분수
분수 중에서는 12이나 13 과 같이 분자가 1인 단위 분수의 개념이 최초로 등장했으며, 단위 분수를 체 계적으로 다룬 것은 이집트 사람들이 처음이었다.
이집트 사람들은 ‘열린 입’을 나타내는 기호 를 사용해서 단위 분수를 다음과 같이 나타냈다.
그리고 몇 개의 분수는 다음과 같이 특별한 기호로 나타내었다.
아메스 파피루스(기원전 1650년경)에서는 5부터 101까지의 모든 홀수 n에 대하여 n 꼴의 분수를 단위2 분수의 합으로 나타낸 수표가 있다. 예를 들면, 다음과 같다.
13 =2 1 8 + 1
52 + 1 104 , 43 =2 1
42 + 1 86 + 1
129 + 1 301 ,
분수를 단위 분수의 합으로 나타내는 전통은 유럽에서 오랫동안 유지되었는데, 그리스의 헤론(Heron;
130?∼75? B.C.)은 다음과 같은 기록을 남겼다.
2513 = 1+1 2 +1
3 + 1 13 + 1
78
그리고 피보나치(Fibonacci; 1180?∼1250?)는 ‘산반서’(1202년)에 분수를 단위 분수로 변환하기 위한 표를 실 었는데, 다음과 같은 계산도 있다.
100 =98 1 2 +1
4 +1 5 + 1
50 + 1 100 , 100 =99 1
2 +1 4 +1
5 + 1 25
중국 수학에서도 단위 분수가 사용된 흔적을 찾아볼 수 있다. 다음은 ‘구장산술’ 제4장(소광)의 4번 문제
와 답 및 풀이이다.
[문제] 지금 가로가 1보 반에 13 보, 14 보, 15 보가 덧붙여진 밭이 있는데, 넓이가 1무가 되게 하려고 한 다. 세로는 얼마인가?
[답] 105 15137 보
[풀이] 풀이법에 따라서, 아래에 15이 있는데, 1을 60으로 하면 반은 30이 되고, 13 은 20, 14은 15, 15은 12가 된다. 모두 합하면 137이 되는데, 나눗수로 삼는다. 밭 (1무를) 240보2로 놓고, 역시 60배 하여 나뉨수 로 삼는다. 나뉨수를 나눗수로 나누면 새로의 보수를 얻는다.
위의 풀이 과정을 보면 나눗셈을 하기 전에 분모 2, 3, 4, 5의 공배수 60을 나눗수와 나뉨수에 먼저 곱한 다음에 나누고 있음을 알 수 있다.
(2) 일반적인 분수
분자가 1보다 큰 일반적인 분수는 바빌로니아에서 처음으로 등장한 것으로 보이는데, 기원전 2000년경으 로 추정되는 점토판에는 23, 182 , 184 , 56 등을 나타내는 특별한 기호가 나타난다. 그렇지만 아메스 파 피루스와 같이 분수를 정교하게 다루지는 못했다.
현재와 같이 분자를 위에 적고 분모는 아래에 적은 분수 표기법은 인도에서 유래한 것으로 보인다. 그렇 지만 브라마굽타(Brahmagupta; 588∼660?)과 바스카라(Bhaskara, A.; 1114∼1185)의 경우에서 알 수 있듯 이, 23를 23와 같이 분모와 분자 사이에 선을 넣지 않고 나타냈다.
그 뒤 아라비아 사람들이 분모와 분자 사이에 선을 넣었지만, 누구나 그와 같이 나타내지는 않았다. 활자 인쇄술이 발견된 뒤에도 인쇄상의 어려움 때문에 분모와 분자 사이의 선을 생략하는 경우가 많았다. (2/3과 같이 사선으로 분수를 나타내는 방법은 드 모르간(De Morgan, A.; 1806∼1871)이 인쇄의 편의를 위하여 제 안했다.)
중세 유럽에 분수가 도입된 초기에, 분수의 덧셈과 뺄셈을 할 때는 주어진 분수의 분모의 곱을 새로운 분모로 삼고 계산한 다음에 약분했다. 이렇게 하면 공통 분모가 클 수 있기 때문에, 단지 두 개의 분수만을 더하고 뺐다. 분모의 최소공배수를 공통 분모로 삼아 계산하는 방법은 15세기와 16세기에 때때로 이용되었 지만, 17세기에 이르러서야 일반적으로 받아들여졌다.
현재 분수의 곱셈을 분모는 분모끼리 분자는 분자끼리 곱해서 계산하고 있다. 그러나 단위 분수를 사용 하던 시절에는 분수의 곱셈은 매우 어려운 연산이었다. 예를 들면, 다음과 같은 계산 과정을 거쳤다.
(
61 13 19
)
2=(
61+ 13 +1 9)
2= 612+2×61×
(
13 +19
)
+(
13 +1 9)
2가장 어려운 분수의 연산은 물론 나눗셈이었다. 나누는 분수의 역수를 취하여 곱하는 방법은 중세 인도
와 아랍에서 사용했지만, 일반화된 것은 매우 최근의 일이었다.
초기에 인쇄된 수학 책에서는 두 가지 방법이 주로 사용되었는데, 첫째 방법은 다음과 같이 분수들을 공 통 분모로 바꾸고 분자의 몫을 구하는 것이었다.
23 ÷3 4 = 8
12 ÷ 9 12 =8
9
둘째 방법은 다음과 같이 분모와 분자를 교차해서 곱하는 것이었다.
한편 동아시아의 산학에서는 서양보다 훨씬 전에 분수의 계산이 나타났는데, 중국의“구장산술”제1권(방 전)에 제시된 5번부터 24번까지의 문제가 분수의 약분, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 관한 것이다. 또“산학계 몽”하권의 지분제동문(之分齊同門)에서도 분수의 계산과 그 방법인 약분술(분수의 약분법), 합분술(분수의 덧셈법), 감분술(분수의 뺄셈법), 승분술(분수의 곱셈법), 경분술(분수의 나눗셈법), 평분술(평균 구하는 법), 과분술(분수의 대소 비교법), 대광전술(대분수끼리의 곱셈법) 등을 다루고 있다.
2. 소수의 역사
(1) 육십진 소수
고대 바빌로니아 사람들은 육십진법으로 소수를 나타냈다. 오른쪽의 사진은 당 시의 점토판인데, 여기에는 정사각형과 대각선이 그려져 있고 세 개의 수가 육십 진법으로 적혀 있다.
대각선 위에 적혀 있는 수는 다음과 같다.
1; 24, 51, 10 = 1+ 2460 + 51 602 + 10603
≒1.414212̇96̇
이것은 2에 대한 근사값으로, 단위 정사각형의 대각선의 길이를 나타낸다.
나머지 두 수는 30과 42; 25, 35인데, 그 값은 다음과 같다.
42; 25, 35 = 42+ 2560 + 35
602
≒
42.42638̇이 수는 한 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선의 길이는 나타낸다.
육십진 소수는 그리스를 거쳐서 중세 유럽까지 과학적인 목적으로 사용되었다. 현재 시간과 각도의 측정 에 사용되는 육십분법은 이런 전통을 따르고 있다.
(2) 십진 소수
스테빈(Simon Stevin, 1548∼1620)은 소수의 중요성을 인식하고 소수의 연산 규칙을 명확하고 체계적 으로 설명하였다. 그는 1585년 이에 대한 연구 결과를 이라는 책으로 발표했는데, 이 책에서 그는 현재 34.567로 나타내는 수를 다음과 같이 두 가지로 나타냈다.
, 또, 소수의 곱셈 0.000378 × 0.54을 다음과 같이 나타냈다.
소수를 나타낼 때 오늘날과 같은 소수점을 도입한 인물은 네이피어(John Napier)였다. 네이피어는 로그에 대한 연구서의 머리말에서 “한가운데에 있는 마침표로 구분된 수에서 마침표 뒤에 쓰인 것은 비정수이다.”
라고 하였다. 스테빈의 소책자가 발간되고 50년이 되지 않아서 십진 소수는 유럽 전체에서 널리 채택됐다.
우리나라에서도 오래 전부터 이미 십진 소수법이 사용되었다. 다음은 19세기 말까지 사용된 소수와 그 명칭을 나타내고 있는데, 19세기 중엽까지는 ①을, 개화기(19세기 말) 이후는 ②를 사용하였다.
수사 數詞 ① ② 비고
분 分 10-1 10-1
이 釐/厘 10-2 10-2 리
호 毫 10-3 10-3
사 絲 10-4 10-4
홀 忽 10-5 10-5
미 微 10-6 10-6
섬 纖 10-7 10-7
사 沙 10-8 10-8
진 塵 10-16 10-9
애 埃 10-24 10-10 묘 渺 10-32 10-11 막 漠 10-40 10-12
모호 糢糊 10-48 10-13 模糊
준순 逡巡 10-56 10-14 수유 須臾 10-64 10-15 순식 瞬息 10-72 10-16 탄지 彈指 10-80 10-17 찰나 刹那 10-88 10-18 육덕 六德 10-96 10-19
허 虛 10-104 -
허공 虛空 - 10-20
공 空 10-112 -
청 淸 10-120 -
청정 淸淨 - 10-21
정 淨 10-128 -
※ 에 대한 수사는 두음법칙(頭音法則)에 의하여 ‘이’가 되나, 1釐, 2釐, …는 1리, 2리, …로 씀.
3.2. 교육과정 및 교과서 내용
유리수와 순환소수
탐구활동 순환하는 현상을 살펴보자.
자연 현상 중에는 아래 그림과 같이 어떤 현상이 반복되는 것이 많다.
그림을 보고, 다음 물음에 답하여라.
위의 각 그림에서 어떤 현상이 반복되고 있는지 말해 보자.
다음 수 중에서 몇 개의 숫자들이 계속 반복되어 나타나는 수를 찾아보고, 어떤 숫자 가 계속 반복되는지 말해 보자.
⋯ ⋯ ⋯
소수 중에서 숫자들이 계속 반복되어 나타나는 수 3개를 찾아보자.
① 순환소수의 의미를 이해한다.
◦ 유한소수, 무한소수, 순환소수의 의미를 이해하게 한다.
주어진 분수에서 분자를 분모로 나누어보면 계산 결과가 정수이거나 소수점 이하에 0이 아닌 숫자가 유한 개만 나타나는 경우와 그렇지 않은 경우가 있다. 간단한 예를 통해 이러한 경우를 확인하고 각각을 유한소수 와 무한소수라 함을 이해하게 한다. 또 주어진 분수를 소수로 고쳤을 때 무한소수가 되는 경우에는 일정한 숫 자가 반복해서 한없이 나타나는데, 이것이 순환소수임을 알게 한다. 무한소수 중에는 ⋯,
⋯등과 같이 수의 나열 규칙은 있지만 순환하지 않는 소수가 있음을 예로 보이고, π도 순환 하지 않는 무한 소수로 알려져 있음을 알게 한다.
<유한소수, 무한소수란 무엇일까?>
계산기를 이용하여 다음 안을 채워 보자.
수 계산기의 결과 (계산기의 결과)×(분모)
① ①×5=
② ②×3=
➊ ①의 결과는
를 정확히 나타낸 것인가? 그 이유를 말해 보자.
➋ ② 의 결과는
를 정확히 나타낸 것인가? 그 이유를 말해 보자.
<순환소수란 무엇일까?>
오른쪽 각 분수에 대하여 다음을 알아보자.
➊ 유한소수로 나타낼 수 있는지 말하여라.
➋ 나눗셈을 하여 소수로 나타내어 보자.
➌ 위 ➋의 결과가 무한소수인 경우 그 표현에 어떤 규칙이 있는지 토론해 보자.
,
,
◦ 순환소수의 표현 방법을 알게 한다.
순환소수에서 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 부분을 순환마디라고 함을 알게 하고, 이를 이용하 여 순환소수를 표현하게 한다. 예를 들어, … .
② 유리수와 순환소수의 관계를 이해한다.
◦ 유리수의 뜻을 재음미하고, 유리수를 소수로 나타낼 수 있게 한다.
가 정수이고, ≠ 일 때, 분수 를 유리수라고 함을 알고,
÷ 라는 사실을 통하여 모든 유리 수는 분자를 분모로 나눔으로써 소수로 나타낼 수 있음을 이해하게 한다.
◦ 유한소수, 무한소수, 순환소수의 뜻을 이해하게 하고, 유리수는 정수나 유한소수 또는 무한소수 로 나타낼 수 있으며, 이 때 무한소수는 모두 순환소수임을 알게 한다.
주어진 분수의 분자를 분모로 나누어보면 정수이거나 소수점 이하에 0이 아닌 숫자가 유한개만 나타나는 경우와 그렇지 않은 경우가 있다. 실제 계산을 통하여 이러한 경우를 확인하고 유한소수와 무한소수의 뜻을 이해하게 하고, 정수는 유한소수임을 알게 한다. 또, 주어진 분수를 소수로 고쳤을 때, 무한소수가 되는 경우에 는 일정한 숫자가 반복해서 한없이 나타남을 통하여 순환소수의 뜻을 알게 한다. 유리수를 소수로 고쳤을 때, 무한소수인 경우에는 그 무한소수가 항상 순환소수임을 알게 한다.
◦ 유한소수와 순환소수는 유리수임을 알게 한다.
유한소수는
는 정수 ≠ 인 분수로 나타낼 수 있음을 구체적인 예를 통하여 알아봄으로써 유
한소수는 유리수임을 알게 한다. 또한 순환소수를
는 정수 ≠ 인 분수로 나타내는 방법을 이해 함으로써 순환소수도 유리수임을 알게 한다. 순환소수를 분수로 고칠 때 공식화하는 것은 강조하지 않는다.
또, 유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 강조하지 않는다. 예를 들어, 유한소수 를 순환소수 로 나 타내는 것은 강조하여 다루지 않는다. 순환소수의 대수 관계와 순환소수끼리의 사칙계산은 다루지 않는다.
◦ 주어진 분수를 유한소수로 나타낼 수 있는지를 판별하게 한다.
분수를 기약분수로 고쳐서 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있고 그렇지 않으면 유한소 수로 나타낼 수 없음을 이해하여, 주어진 분수를 유한소수로 나타낼 수 있는지의 여부를 판단하게 한다.
2 9 4
7 5 3
6 1 8
분수의 마방진 만들기
자연수 1, 2, …, 9를 정사각형 모양으로 중복없이 나열하여 가로, 세로, 대각선의 수의 합이 모두 같아지도록 만든 것을 마방진이라고 한다.
오른쪽 정사각형 모양의 표는 가로, 세로, 대각선의 수의 합이 모두 15인 마방진이다.
아래의 왼쪽 표의 빈칸에 정수 -3, -2, -1, 0, …, 5를 중복없이 나열하여 가로, 세로, 대 각선의 수의 합이 모두 3인 마방진을 완성하여라. 또 아래의 오른쪽 표의 빈칸에 유리 수
을 중복없이 나열하여 가로, 세로, 대각선의 수의 합이
모두
인 마방진을 완성하여라.
-2 1
2 4
0
세계 주요 도시의 시차
[문제해결력]다음 표는 서울 시각을 기준으로 세계 주요 도시의 시차와 시각을 나타낸 것이다. 예를 들어 서 울 시각이 정오 12시이면 시드니 시각은 13시이다. 다음 물음에 답하여라.
도시 시차 시각
웰링턴 15
시드니 +1 13
서울 0 12
베이징 -1
런던 3
뉴욕 -14
1. 위의 표의 빈칸을 알맞게 채워라.
2. 혜민이가 한국 시각으로 5월 1일 오전 10시에 런던에 출장가신 삼촌과 뉴욕에 사는 이모에게 각각 전화를 건다면 삼촌과 이모가 전화를 받는 시간은 그 도시의 시각으로 각각 몇 시인 가?
100 만들기
[추론]다음은 1, 2, …, 9의 숫자를 순서대로 나열하고 그 사이에 다음과 같이 기호 × ÷를 넣어서 그 계산 결과가 100이 되도록 만든 것이다. 다음 물음에 답하여라.
÷ × × × ÷
1. 다음 빈칸에 알맞은 기호를 써넣어라.
(1) □
(2) × □ × □ ×
(3) □ × □
2. 1에서의 배열과 다른 배열로 계산 결과가 100이 되는 식을 만들어라.
실생활에서는 수를 계산할 때 계산기를 사용하는 경우가 많이 있다. 이때 계산기의 여러 가지 기능 을 잘 사용하면 계산이 훨씬 편리하다.
다음은 계산기의 주요 키의 기능이다.
… 표시창의 값을 0으로 만든다.
… 메모리와 표시창의 값을 0으로 만든다.
… 수의 부호를 바꾼다.
… 메모리에 있는 수를 더하여 저장한다.
… 메모리에 있는 수를 빼서 저장한다.
… 메모리에 저장된 수를 불러온다.
… 메모리에 저장된 수를 지운다.
계산기를 사용하여 다음을 계산하여 보자.
사칙계산식 키조작 표시창(답)
덧셈과 뺄셈
3 23 237 263
12.1 6 8.6 14.7
곱셈과 나눗셈
× ÷ 37 8 12 24.666666
× × 12.1 6.6 4.7 -375.342
÷ ÷ 636 8 20 -3.975
혼합 계산
× ÷ 30 75 52 16 20 42.4
× ÷ × 6 12.5 24 8 13 5
13
× ÷ 17 22 35 15
105
계산기를 사용하여 다음을 계산하여라.
(1) 35×4-96÷4+58+27
(2) (-28)×12÷(34+78)
3.3. 교수학습 참고자료
실수의 소수 표현
를 임의의 양의 실수라고 하면, 다음을 만족시키는 최대 정수 이 존재한다.
≤
실수 에 대해 마찬가지로 다음을 만족시키는 최대 정수 ( ≤ ≤ )이 존재한다.
≤ , 즉
≤
마찬가지로 다음을 만족시키는 최대 정수 ( ≤ ≤ )가 존재한다.
≤
즉,
≤
이런 식으로 계속하면 0 이상의 임의의 정수 에 대하여 다음을 만족시키는 최대 정수 ( ≤ ≤ )가 존 재한다.
⋯
≤ 이런 식으로 만들어진 수들의 집합을 S라 하자.
⋯ ⋯
⋯
그러면 집합 S는 에 의해 위로 유계이므로 상한이 존재하는데, 집합 S의 상한이 바로 실수 이다. 즉, 는 다 음과 같은 무한급수의 합이다.
⋯
⋯
이때 실수 롤 다음과 같이 나타내고, 이를 의 (십진) 소수 표현이라 한다.
⋯ ⋯
이때, 적당한 양의 정수 에 대하여 인 모든 정수 이 0이면 는 유한소수 ⋯ 으로 나타 난다.
진법에 따른 소수 표현의 차이
소수 ⋯ ⋯로 표현된 실수 는 특별한 언급이 없으면 다음과 같이 의 거듭제곱을 사용하여 나타낸 무한급 수의 합을 의미한다.
⋯
⋯ ( ≤ ≤ )
한편, 실수 를 다음과 같이 3의 거듭제곱을 사용한 무한급수의 합으로 나타낼 수도 있다.
⋯
⋯ ( )
이때 를 ⋯ ⋯와 같이 0, 1, 2로만 이루어진 소수로 나타낼 수 있는데, 이를 십진 소수와 구분하기 위해
의 삼진 소수 표현이라 하고 ⋯ ⋯ 과 같이 나타내기도 한다.
이와 같이 진법을 달리하면 하나의 유리수가 서로 다른 소수로 표현될 수 있다. 예를 들어 유리수
은 십진 소수로는 순
환소수 ⋯이지만, 삼진 소수로는 유한소수 로 나타낼 수 있다.
순환소수와 순환마디
순환소수와 순환마디의 개념을 설명하고, 주어진 순환소수를 점을 찍어 간단히 나타내는 방법을 예를 들어 설명한다.
순환마디가 한 개의 숫자인 경우 그 숫자 위에 점을 찍어 나타내고, 숫자가 2개 이상인 경우 양끝의 숫자 위에 점을 찍어 나타낸다.
이때 ‘소수점 아래’ 일정한 숫자의 배열이 ‘처음으로’ 되풀이되는 ‘한’ 부분을 순환마디로 간주하고 순환소수를 점을 찍 어 나타낼 때도 이 점에 유의하도록 지도한다. 예를 들어 ⋯는 이나 으로 나타내지 않고 으로 나타내며, ⋯은 나 로 나타내지 않고 으로 나타내도록 지도한다.
무한소수는 모두 순환소수일까?
무한소주 중에는 ⋯이나 ⋯과 같이 숫자의 배열 규칙은 있지만 순환소수가 아닌 무한소수가 있다. 또, 원주율 ⋯와 같이 숫자의 배열 규칙이 없거나 숫자의 배열 규칙이 있는지 없는지 조차 모르는 무한소수도 있으며, 이런 소수 역시 순환소수가 아니다. 유한소수나 순환소수로 표현될 수 있는 수는 모두 유리수이고, 유리수 전체의 집합과 자연수 전체의 집합 사이에는 일대일 대응이 존재하므로 유한소수나 순환소수로 표현될 수 있는 수 전체의 집합의 기수는 자연수 전체 집합의 기수와 같다. 한편, 순환소수가 아닌 무한소 수로 표현되는 수는 무리수이고, 무리수 전체의 집합의 기수는 유리수 전체 집합의 기수보다 크다. 즉, 순환소수가 아닌 무한소수가 순환소수보다 더 많다.
유한소수로 나타낼 수 없는 분수의 소수 표현
분모와 분자가 모두 자연수인 기약분수
( )의 분자를 분모로 나눌 때 나머지로 나올 수 있는 수는 0, 1, 2, …
, 이다. 이 중 나머지로 이 나오는 경우는 의 소인수가 2 또는 5뿐인 것으로 유한소수로 표현된다. 나머지로 0 이 나오지 않는 경우 즉, 유한소수로 나타낼 수 없는 경우는 나올 수 있는 나머지가 1, 2, 3, …, 이므로 많아야 ( )번의 나눗셈을 하면 같은 나머지가 반드시 나타나고, 그 이후는 앞의 계산 과정이 되풀이된다. 따라서 유한소수 로 나타낼 수 없는 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.
순환마디를 이루는 숫자의 개수가 ( )인 분수
분수
을 소수로 나타내면 순환마디가 142857인 순환소수가 된다. 또, 분수
,
,
,
,
을 순환소수로 나타내면,
다음과 같이
의 순환마디 142857이 앞쪽으로 한 자리 또는 그 이상씩 이동된 상태로 똑같이 되풀이된다.
,
,
,
,
,
이와 같이 분모가 소수 인 분수 증에서 소수로 나타냈을 때 순환마디를 이루는 숫자의 개수가 ( )이고,
,
, ⋯,
을 순환소수로 나타내면
의 순환마디가 단순히 이동되는 성질을 가진 다른 예로 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97 등이
있다. 그러나 이런 수가 얼마나 많이 있는지는 아직도 밝혀지지 않았다.
유한소수로도 순환소수로도 나타낼 수 있는 수
기약분수로 표현된 유리수를 소수로 나타냈을 때 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있으면 그 수는 순환소수로만 표현된다. 그 러나 분모의 소인수가 2 또는 5뿐인 기약분수는 유한소수로도 나타낼 수 있고, 순환소수로도 나타낼 수 있다. 실제로 을 분수로 고치면
이므로
은 순환소수 로 나타낼 수도 있고, 유한소수 0.5로도 나타낼 수 있다. 이와 같이 순환마디
가 9뿐인 순환소수는 정수 또는 유한소수로 나타낼 수 있다. 즉, 0이 아닌 정수와 분모의 소인수가 2 또는 5뿐인 기약분수는 유한소수로 나타낼 수도 있고 순환소수로 나타낼 수도 있다.
이로부터 하나의 유리수가 분수 또는 소수의 형태로 표현될 수 있고, 소수로 표현된 경우에도 유한소수 또는 무한소수로 표 현되는 경우가 있음을 확인함으로써 분수나 소수는 수의 표현 방법임을 알 수 있다. 그러나 유한소수를 순환소수로 나타내는 것은 중학교 학생들이 이해하기 어려운 극한의 개념을 포함하므로 이를 별도로 다루지 않도록 유의한다.
순환소수의 분수 표현
주어진 순환소수에 10의 거듭제곱을 적당히 곱하여 소수 첫째 자리부터 순환마디가 서로 같게 만든 후 두 순환소수 의 차를 이용하여 순환하는 부분을 없애면 순환소수를 분수로 나타낼 수 있다. 이때 순환소수에 10의 거듭제곱을 곱하 는 것은 수렴하는 무한등비급수의 각 항에 10의 거듭제곱을 곱한 항을 일반항으로 하는 무한등비급수의 합을 구하는 것이다.
∞
∞
또, 소수 부분이 같은 두 순환소수의 차를 구하는 것은 수렴하는 두 무한등비급수의 각 항의 차를 일반항으로 하는 무한등비급수의 합을 구하는 것이다.
∞
∞
∞
이와 같이 순환소수를 분수로 표현하려면 순환소수의 사칙 계산이 필요하지만, 이런 계산은 직관적으로 다루도록 하고 순환소수의 사칙 계산 자체는 다루지 않도록 유의한다. 또, 순환소수의 대소 관계도 다루지 않는다.
순순환소수(純循環小數)와 혼순환소수(混循環小數)
순환소수 중에서 이나 과 같이 소수점 아래 첫째 자리에서부터 순환마디가 시작되는 순환소수를 순순환 소수(純循環小數)라 하고, 이나 과 같이 소수점 아래에 순환하지 않는 부분이 있는 순환소수를 혼순환소 수(混循環小數)라 하기도 한다.
순순환소수 ⋯ 은 분수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
⋯ ⋯
⋯
한편, 혼순환소수 ⋯ ⋯ 은 분수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
그러나 순환소수를 분수로 고치는 것은 순환소수로 표현된 수가 유리수임을 이해할 수 있는 정도로만 다루고, 위와 같 이 공식화하여 다루지 않도록 유의한다.
리틀우드의 문제
자연수 11의 첫째 자리 숫자 1을 끝자리로 이동시키면 원래 수와 같은 수 11을 얻고, 자연수 12의 첫째 자 리 숫자 1을 끝자리로 이동시키면 원래 수의 인 21을 얻는다. 다음은 영국의 수학자 리틀우드 (D.E.Littlewood)가 제시한 것으로 알려진 문제이다.
첫째 자리의 숫자를 끝자리로 이동시켜 얻은 수가 원래 수의 인 수 중에서 가장 작은 수는 무엇인가?
이 문제에서 구하려는 자연수를 ⋯ 라 놓고, 다음과 같은 순환소수 를 생각하자.
⋯
그러면
⋯ ,
⋯
이고, 주어진 조건 ⋯
× ⋯ 에 의해서 다음 방정식을 얻는다.
×
,
가능한 한 가장 작은 을 찾고 있으므로 역시 가능한 한 가장 작은 수이어야 한다. 그러므로 이 고,
이다. 따라서 이다.
실제로
× 임을 확인할 수 있다.
1. 두 자리 이상의 자연수 중에서 첫째 자리의 숫자를 끝자리로 이동시켜 얻은 수가 원래 수의 2배가 되는 수가 있는가? 있다면 그 중에서 가장 작은 수를 찾고, 없다면 그 이유를 설명하여라.
2. 두 자리 이상의 자연수 중에서 첫째 자리의 숫자를 끝자리로 이동시켜 얻은 수가 원래 수의 3배가 되는 수가 있는가? 있다면 그 중에서 가장 작은 수를 찾고, 없다면 그 이유를 설명하여라.
3. 첫째 자리의 숫자를 끝자리로 이동시켜 얻은 수가 원래 수의 인 수 중에서 가장 작은 수는 무엇인가?
고대 이집트인들의 분수 표현
고대의 이집트인들은 분모가 자연수이고 분자가 1인 분수 즉, 단위 분수를 분모에 해당하는 숫자 위에 타 원 기호를 써서 나타냈고, 단위 분수가 아닌 분수 중 에 대해서는 예외적으로 특별한 기호를 사용하였
고, 에 대해서도 종종 또 다른 기호를 사용하기도 하였지만, 를 제외한 다른 분수는 서로 다른 단위 분수의 합으로 나타냈다.
예를 들어 는
로 나타냈고, 는
로 나타냈다. 모스크바 파피루스와 함께 고대
이집트 수학을 연구하는데 가장 중요한 자료 중 하나인 아메스(린드) 파피루스에는 5부터 101까지의 모든 홀수 에 대하여 를 서로 다른 두 단위 분수의 합으로 나타낸 표가 실려 있다.
1. 와 를 각각 서로 다른 두 단위 분수의 합으로 나타내 보아라.
2. 모든 홀수 에 대하여 를 서로 다른 두 단위 분수의 합으로 나타낼 수 있을지 생각해보고, 가능하다 면 그 방법을 찾고 불가능하다면 그 이유를 설명하여라.
