EBS 올림포스 고난도 미적분 답지 정답

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(1)올 림 포 스 고 난 도. 미적분. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 1. 2019-02-15 오후 12:59:44.

(2) 정답과 풀이 01. 04 (4n+5)aÇ=bÇ이라 하면. 수열의 극한. aÇ=. 기출. 내신. 우수 문항. 본문 8~11쪽. 따라서 lim (3n-1)aÇ= lim  . 01 ④ 02 ① 03 ③ 04 ⑤ 05 ③ 06 ① 07 ④ 08 ③ 09 ② 10 ⑤ 11 ③ 12 ② 13 ④ 14 ② 15 ③ 16 ① 17 ④ 18 ⑤ 19 ② 20 ② 21 ④ 22 36 23 2. 01. bÇ 이고 lim  bÇ=6이다. 4n+5 n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. = lim   n`Ú¦. = lim   n`Ú¦. . n+1 ]은 1로 수렴한다. n. ㄴ. sin`;2Ò;, sin`p, sin`. 3-;n!; 4+;n%;. _6. =;2(;. 이때 1+;1!;, 1+;2!;, 1+;3!;, 1+;4!;, y이므로 수열 [. 3n-1 _ lim  bÇ 4n+5 n`Ú¦. =;4#;_6. n+1 1 =1+ n n. ㄱ.. (3n-1)bÇ 4n+5. 다른풀이. 3p , sin`2p, y 2. 즉, 1, 0, -1, 0, y이므로 수열 [sin`. np ]는 진동(발산)한다. 2. (4n+5)(3n-1)aÇ lim (3n-1)aÇ= lim   4n+5 n`Ú¦ n`Ú¦. . = lim (4n+5)aÇ_ lim  . . =6_ lim  . . =6_;4#;. . =;2(;. n`Ú¦. n`Ú¦. ㄷ. 0, ;2!;, 0, ;8!;, 0, ;3Á2;, y이므로 수열 [{;2!;}Ç` +{-;2!;}Ç` ]은 0으로 수렴한다. 따라서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다. . n`Ú¦. ⑤. 3n-1 4n+5. 3-;n!; 4+;n%;. ④. 02 lim {(aÇ)Û`+(bÇ)Û`}. 05. n`Ú¦. = lim {(aÇ+bÇ)Û`-2aÇ bÇ}. = lim (aÇ+bÇ) lim (aÇ+bÇ)-2 lim  aÇ bÇ. =4_4-2_(-5). =26. n`Ú¦ n`Ú¦. n`Ú¦. . =. n`Ú¦. 4+7aÇ. 03 2aÇ-1 =bÇ이라 하면. . ③. 06 lim   n`Ú¦. bÇ+4 이고 lim  bÇ=5이다. 2bÇ-7 n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. =. bÇ+4 2bÇ-7. lim  bÇ+ lim  4. n`Ú¦. n`Ú¦. =. n`Ú¦. 2 lim  bÇ-lim  7. = lim  . (nÜ`+3nÛ`+3n+1)-(nÜ`-3nÛ`+3n-1) 2nÛ`+1. = lim  . 6nÛ`+2 2nÛ`+1. 2 nÛ` = lim   1 n`Ú¦ 2+ nÛ`. =. =3. n`Ú¦. 5+4 2_5-7. =3 . ③. 2. (n+1)Ü`-(n-1)Ü` 2nÛ`+1. n`Ú¦. 따라서 lim  aÇ= lim  . 6+0 4-0. =;2#; ①. aÇ=. 1 6+ 6nÛ`+1 nÛ` = lim   lim   3 n`Ú¦ 4nÛ`-3 n`Ú¦ 4nÛ`. . n`Ú¦. 6+. 6+0 2+0 ①. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 2. 2019-02-15 오후 12:59:44.

(3) 07 2Û`+4Û`+6Û`+y+4nÛ`= Á (2k)Û` n. =4 Á kÛ` k=1. k=1. n(n+1)(2n+1) =4_ 6. . =. 2n(n+1)(2n+1) 3. 따라서 lim  . 3nÜ` 9nÜ` = lim   2Û`+4Û`+6Û`+y+4nÛ` n`Ú¦ 2n(n+1)(2n+1). = lim  . =. =;4(;. n`Ú¦. = lim  . 10("ÃnÛ`+an +n) an. n`Ú¦. = lim  . =. a. n`Ú¦. 10('¶1+0 +1) a. =. . ⑤. 11 lim   n`Ú¦. 한다. . ("Ãn`Ü +6n -"Ãn`Ü -6n )("Ãn`Ü +6n +"Ãn`Ü -6n )('Än+2+'Än-2 )  ('¶n+2 -'¶n-2 )('¶n+2 +'¶n-2 )("Ãn`Ü +6n +"Ãn`Ü -6n ). = lim  . 12n('¶n+2 +'¶n-2 ) 4("ÃnÜ`+6n +"ÃnÜ`-6n ). n`Ú¦. = lim  . 즉, a=-2. n`Ú¦. 이때 1 b(a+2)nÛ`+bn-1 n = lim   lim   2 n+2 n`Ú¦ n`Ú¦ 1+ n. "ÃnÜ`+6n -"ÃnÜ`-6n  '¶n+2 -'¶n-2 . = lim   n`Ú¦. (a+2)nÛ`+bn-1 은 발산하므로 a+2=0이어야 a+2+0이면 lim   n+2 n`Ú¦. =. 3{®É1+. 2 ®É 2 + 1- } n n 6 6 ®É1+ +®É1nÛ` nÛ`. 3('Ä1+0+'Ä1-0) 'Ä1+0+'Ä1-0. =3 . =b=5. 따라서. ③. 12 2n-1<naÇ<2n+3에서 각 변을 n으로 나누면. a+b=-2+5=3 . a +1} n. 따라서 a=5. 9 2(1+0)(2+0). (a+2)nÛ`+bn-1 =5에서 n+2. . 10{®É1+. 20 a 20 이므로 =4 a. ④. n`Ú¦. 10("ÃnÛ`+an +n) ("ÃnÛ`+an -n)("ÃnÛ`+an +n). n`Ú¦. 9 1 1 2{1+ }{2+ } n n. . 08 lim  . = lim  . n. . n`Ú¦. ③. 2n-1 2n+3 <aÇ< n n 이때. 09. n`Ú¦. = lim  . 4n = lim   n`Ú¦ "ÃnÛ`+4n +n. = lim  . lim ("ÃnÛ`+4n -n). n`Ú¦. n`Ú¦. 2n-1 = lim   lim   n n`Ú¦ n`Ú¦. ("ÃnÛ`+4n -n)("ÃnÛ`+4n +n) "ÃnÛ`+4n +n. 2n+3 = lim   lim   n n`Ú¦ n`Ú¦. =. =2. . 1. 2+ 1. 1 n 3 n. =2. =2. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. 4 4 ¾¨1+ +1 n. lim  aÇ=2. n`Ú¦. . 4 'Ä1+0+1. 2-. ②. 13 7nÛ`+2n<aÇ<7nÛ`+5n에서 각 변을 nÛ`으로 나누면 ②. 7+. aÇ 2 5 < <7+ n n nÛ`. 이때. 10. 10 lim   n`Ú¦ "ÃnÛ`+an -n. lim {7+. n`Ú¦. 2 5 }=7, lim {7+ }=7 n n n`Ú¦. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 3. 3. 2019-02-15 오후 12:59:45.

(4) 정답과 풀이 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  . n`Ú¦. = lim  . aÇ =7 nÛ`. ;3@;+1-{;3!~;}Ç` 1+{;3!;}Ç`. n`Ú¦. 따라서 aÇ nÛ`+aÇ nÛ` = lim   lim   3 n`Ú¦ 4nÛ`+3n n`Ú¦ 4+ n. =. 1+. =. 1+0. =;3%; . 1+7 4+0. =2 . ④ 3n+1. 2. ;3@;+1-0. +5. 22n+1+3n+1. 17 a=0이면 lim   a_4Ç`-3Ç` n`Ú¦. lim  . 2_8Ç`+5. 14 lim  (2Ç`+1)(4Ç`+1) = lim  (2Ç`+1)(4Ç`+1) n`Ú¦. ①. n`Ú¦. 22n+1+3n+1 2_4Ç`+3_3Ç` = lim   n`Ú¦ a_4Ç`-3Ç` a_4Ç`-3Ç`. n`Ú¦. 5 2+ 8Ç` = lim   n`Ú¦ {1+ 1 }{1+ 1 } 2Ç` 4Ç`. 2+0 (1+0)(1+0). =. =2. . ②. 15 aÇ+bÇ=4. n+1. . n-1. aÇ-3bÇ=3. .  . = lim  .  . =.  . =;a@;. 2+3_{;4#;}Ç`. n`Ú¦. a-{;4#;}Ç`. 2+0 a-0. 이므로 ;a@;=8에서 a=;4!;. yy ㉠. 따라서. yy ㉡. ;2!;_4Ç`+{;4!;} (8a)2n-1+an-1 = lim   lim   -n+1 n`Ú¦ n`Ú¦ 3Ç`+a 3Ç`+4n-1. 3_㉠+㉡을 하면 4aÇ=3_4n+1+3n-1. n-1. n. 3_4n+1+3n-1 aÇ= 4. = lim  . ;2!;+4_{;1Á6;} {;4#;}Ç`+;4!;. n`Ú¦. 또, ㉠-㉡을 하면 4bÇ=4n+1-3n-1 =. 4n+1-3n-1 bÇ= 4 따라서. n`Ú¦. =. 18 f {-;4!;}= lim   n`Ú¦. 12+0 4-0. =3 ③. aÇ=2_3n-1, SÇ=. 2(3Ç`-1) =3Ç`-1 3-1. 따라서 lim  . n`Ú¦. 4. ④. aÇ+SÇ 2_3n-1+(3Ç`-1) = lim   n`Ú¦ 3Ç`+1 3Ç`+1. {-;4!;}. -8_{-;4!;}. n+2. 4-;3!;_{;4#;}Ç`. 16 등비수열 {aÇ}은 첫째항이 2이고 공비가 3이므로. 0+;4!;. . 12+;3!;_{;4#;}Ç`. . ;2!;+0. =2. aÇ 3_4Çn+1+3n-1 lim   = lim   n+1 n-1 n`Ú¦ bÇ n`Ú¦ 4 -3 = lim  . 은 발산하므로 a+0이다.. {-;4!;}Ç`+2. =. 0+2 =1 0+2. 8 9- n-1 3 3n+2-8_3 9-0 f(3)= lim   = lim   2 = 1+0 =9 n`Ú¦ n`Ú¦ 3Ç`+2 1+ 3Ç` 따라서 f {-;4!;}+f(3)=1+9=10 . 19 2. ⑤ n-1. <aÇ<2Ç 에서 각 변을 4Ç 으로 나누면. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 4. 2019-02-15 오후 12:59:45.

(5) aÇ ;2!;_{;2!;}Ç`< <{;2!;}Ç` 4Ç`. 따라서. 이때. lim (3nÛ`+n)bÇ= lim  . lim  [;2!;_{;2!;}Ç` ]=0, lim  {;2!;}Ç`=0. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  . (나). . aÇ =0 4Ç`. 따라서 aÇ +4 aÇ+4n+1 4Ç` = lim   lim   5 n`Ú¦ n`Ú¦ 4Ç`+5 1+ 4Ç` =. 0+4 1+0. = lim  . =. =36. n`Ú¦. 3+0 _8_15 (2+0)(5+0). 채점 기준. 비율. (가) aÇ을 cÇ으로 나타낸 경우. 20`%. (나) bÇ을 cÇ과 dÇ으로 나타낸 경우. 40`%. (다) 주어진 극한값을 구한 경우. 40`%. S¤-S¢ a°+a¤ 4rÝ`(1+r) 4rÝ`+4rÞ` = = =rÜ` = S£-SÁ aª+a£ 4r(1+r) 4r+4rÛ`. 그 합은 -1+0+1+2+3+4+5=14 . ②. rÜ`=8이므로 r=2 (가). . 21 ㄱ. 수열 {r Ç` }이 수렴하므로 -1<rÉ1. 따라서. 수열 {(r+1)Ç` }에서. aÇ=4_2n-1=2n+1. r=1이면 r+1=2이므로 수열 {(r+1)Ç` }은 발산한다. r-1 Ç`  } ]에서 2. SÇ=. 4(2Ç`-1) =2n+2-4 2-1 (나). . r-1 r-1 Ç`  } ]은 수렴한다. É0이므로 수열 [{ 2 2. 이므로. ㄷ. 수열 {r 3n}에서. lim  . -1<r Ü`É1이므로 수열 {r  }은 수렴한다. 3n. n`Ú¦. SÇ 2n+2-4 = lim   n+1 aÇ n`Ú¦ 2. 따라서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다. . ④. = lim  . 4-. n`Ú¦. 22. =. aÇ=. cÇ 이고 lim  cÇ=8이다. 2n+1 n`Ú¦. =2 (가). . (5n+3)bÇ 조건 (나)에서 =dÇ이라 하면 aÇ aÇ dÇ cÇ dÇ 이고 = 5n+3 (2n+1)(5n+3). 1 2n-2 2. 4-0 2. 조건 (가)에서 (2n+1)aÇ=cÇ이라 하면. lim  dÇ=15. n`Ú¦. 23 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면. 따라서 주어진 조건을 만족하는 정수 x는 -1, 0, 1, y, 5이고,. n`Ú¦. _ lim  cÇ_ lim  dÇ.  36. n-1. -2<xÉ5. bÇ=. 1 3 }{5+ } n n. . 수열 [{ 2x-3 } ]이 수렴하려면 7 2x-3 -1< É1이어야 한다. 7 즉, -7<2x-3É7에서. 1 n. (다). ②. -1<. {2+. 단계. . ㄴ. 수열 [{. n`Ú¦. 3+. . =4. 20. (3nÛ`+n)cÇ dÇ (2n+1)(5n+3). . (다). . 2 단계. 채점 기준. 비율. (가) 등비수열 {aÇ}의 공비를 구한 경우. 30`%. (나) aÇ과 SÇ을 구한 경우. 30`%. (다) 주어진 극한값을 구한 경우. 40`%. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 5. 5. 2019-02-15 오후 12:59:46.

(6) 정답과 풀이 내신. 상위. 고득점 문항. 7%. 이므로 두 수열 {aÇ}, {bÇ}은 모두 수렴한다. (참) . a¤=4aª에서 1+5d=4(1+d) d=3. bÇ=;2!;(3aÇ-cÇ). 따라서 aÇ=1+(n-1)_3=3n-2. 또 lim  cÇ=6이므로 조건 (가)에 의하여. SÇ= Á (3k-2)=. n`Ú¦. n. cÇ =0 aÇ. k=1. 4aÇ+5bÇ = lim   aÇ+bÇ n`Ú¦. 3(2n)Û`-2n S2n 2 = lim   lim   n`Ú¦ anan+1 n`Ú¦ (3n-2)(3n+1). 4aÇ+;2%;(3aÇ-cÇ) aÇ+;2!;(3aÇ-cÇ). = lim  . 23aÇ-5cÇ = lim   n`Ú¦ 5aÇ-cÇ. n`Ú¦. 5cÇ 23aÇ = lim   cÇ n`Ú¦ 5aÇ. = lim   n`Ú¦. =. 23-0 = 5-0. . ④. 25 ㄱ. [반례] aÇ=n+1, bÇ=n이면 lim  aÇ=¦, lim  bÇ=¦이지만 n`Ú¦. lim (aÇ-bÇ)= lim  1=1 (거짓). n`Ú¦. n`Ú¦. ㄴ. lim  aÇ=¦이고, lim (aÇ-bÇ)=a이므로 n`Ú¦. n`Ú¦. aÇ-bÇ bÇ =0, 즉 lim {1- }=0이다. lim   aÇ aÇ n`Ú¦ n`Ú¦ 따라서 bÇ bÇ lim   = lim  [1-{1- }]=1-0=1 (참) aÇ n`Ú¦ aÇ n`Ú¦ ㄷ. lim (aÇ+bÇ)=a, lim (aÇ-bÇ)=b(a, b는 상수)라 하면 n`Ú¦. n`Ú¦. lim  aÇ= lim  ;2!;{(aÇ+bÇ)+(aÇ-bÇ)}. n`Ú¦. n`Ú¦. =;2!;[ lim (aÇ+bÇ)+ lim (aÇ-bÇ)] n`Ú¦. n`Ú¦. =;2!;(a+b) lim  bÇ= lim  ;2!;{(aÇ+bÇ)-(aÇ-bÇ)}. n`Ú¦. 6. n`Ú¦. 6nÛ`-n (3n-2)(3n+1) 6{3-. 1 n. 2 1 }{3+ } n n. 6-0 (3-0)(3+0). =;3@;. =:ª5£:. n`Ú¦. 3n(n+1) 3nÛ`-n -2n= 2 2. 이므로. 따라서 lim  . ④. 26 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면. 24 조건 (나)에서 cÇ=3aÇ-2bÇ이라 하면. n`Ú¦. n`Ú¦. 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.. 49 ;4#; 50 2. n`Ú¦. n`Ú¦. =;2!;(a-b). 24 ④ 25 ④ 26 ① 27 ③ 28 ⑤ 29 ② 30 ④ 31 ③ 32 ① 33 ② 34 ② 35 ① 36 ④ 37 ⑤ 38 ④ 39 ② 40 ③ 41 ⑤ 42 ⑤ 43 ④ 44 ① 45 ④ 46 ③ 47 ② 48 ③. lim  . =;2!;[ lim (aÇ+bÇ)- lim (aÇ-bÇ)]. 본문 12~16쪽. . ①. 27 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면 aÇ=aÁ+(n-1)d=dn+aÁ-d 조건 (가)에서. aÁ-d d+ aÇ dn+aÁ-d n =d=2 = lim   lim   = lim   1 n n`Ú¦ n n`Ú¦ n`Ú¦. 조건 (나)에서 Á aÇ= 5. n=1. 5(2aÁ+4_2) =5aÁ+20=45 2. aÁ=5. 따라서 aÇ=5+(n-1)_2=2n+3 이므로 lim. n`Ú¦. (aÇ)Û`-4nÛ` (2n+3)Û`-4nÛ` = lim 2n 2n n`Ú¦ = lim   n`Ú¦. = lim   n`Ú¦. 12n+9 2n 12+ 2. 9 n. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 6. 2019-02-15 오후 12:59:46.

(7) =. 12+0 2. = lim  . . 2bÁ-dª n = lim   aÁ-dÁ n`Ú¦ dÁ+ n. . =. 2dª dÁ. . =. 2dª 4dª. . =;2!;. =6 . ③. 28 Á kÛ`= n. 6 Á kÛ` k=1. n(n+1)(2n+1) 이므로 6. n. n(n+1)(2n+1) = lim   lim   n`Ú¦ nÜ`+1 n`Ú¦ nÜ`+1 k=1. = lim. {1+. n`Ú¦. =. 1 1 }{2+ } n n 1 1+ nÜ`. n`Ú¦. ②. 로 근과 계수의 관계에서 aÇ+bÇ=. 4aÇ-10 =2이므로 aÇ. aÇbÇ=. nÛ`+2n =n+2 n. lim {. n`Ú¦. aÇ+bÇ 1 1 + }= lim   aÇbÇ aÇ bÇ n`Ú¦. 따라서 lim  aÇ= lim   n`Ú¦. ⑤. 29. 두 수열 {aÇ}, {bÇ}의 공차를 각각 dÁ, dª (dÁ+dª)라 하면. SÇ=. n{2aÁ+(n-1)dÁ} , 2. n{2bÁ+(n-1)dª} TÇ= 2 이때. . 2aÁ-dÁ dÁ+ n = lim   2bÁ-dª n`Ú¦ dª+ n. . =. dÁ dª. 이므로 dÁ =4에서 dÁ=4dª dª 따라서 n`Ú¦. 6(nÛ`+1) n = lim   n+2 n`Ú¦. . = lim  . . = lim  . . =. . =6. n`Ú¦. n`Ú¦. 6nÛ`+6 nÛ`+2n 6 nÛ` 2 1+ n. 6+. 6+0 1+0. . n{2aÁ+(n-1)dÁ} SÇ 2 lim   = lim   n`Ú¦ TÇ n`Ú¦ n{2bÁ+(n-1)dª} 2 dÁn+2aÁ-dÁ = lim   n`Ú¦ dªn+2bÁ-dª. lim  . . 10 10 = =5 4-bÇ 4-2. . 6(nÛ`+1) n. 따라서. 10 이고 lim  bÇ=2이다. 4-bÇ n`Ú¦. n`Ú¦. 2dª+. 30 이차방정식 nxÛ`-6(nÛ`+1)x+nÛ`+2n=0의 두 근이 aÇ, bÇ이므. (1+0)(2+0) 1+0. 4aÇ-10 =bÇ이라 하면 aÇ aÇ=. n`Ú¦. . =2 이때 lim  . 2ndª+2bÁ-dª ndÁ+aÁ-dÁ. . bn+bn+1 {bÁ+(n-1)dª}+{bÁ+ndª} = lim   aÇ n`Ú¦ aÁ+(n-1)dÁ. ④. 31 (aÇ+5i)+(3n+2bÇi)=n(n-6i)에서 aÇ+3n+(2bÇ+5)i=nÛ`-6ni 이때 aÇ, bÇ이 모두 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 aÇ+3n=nÛ`, 2bÇ+5=-6n 따라서 aÇ=nÛ`-3n, bÇ=. -6n-5 2. 이므로 lim  . n`Ú¦. aÇbÇ = lim n`Ú¦ nÜ`. (nÛ`-3n)_. -6n-5 2. nÜ`. (n-3)(-6n-5) = lim n`Ú¦ 2nÛ` = lim. n`Ú¦. {1-. 3 5 }{-6- } n n 2. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 7. 7. 2019-02-15 오후 12:59:47.

(8) 정답과 풀이 =. lim  '§n ('¶aÇ -'¶bÇ )= lim  '§n ('¶2n+4 -'¶2n-4 ). (1-0)(-6-0) 2. n`Ú¦. n`Ú¦. = lim  . =-3 . n`Ú¦. ③. = lim   n`Ú¦. 32 곡선 y=5xÝ`+n과 직선 x=2n 및 x축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는. :)2` n` (5xÝ`+n)dx‌=[xÞ`+nx]2)n` = 32nÞ`+2nÛ`. = lim   n`Ú¦. =. yy ㉠ yy ㉡. ㉠, ㉡에서. lim  . . lim  . n`Ú¦. aÇ 16nÜ`+1 = lim   nÜ` n`Ú¦ 2nÜ` = lim  .  . =8. n`Ú¦. ②. 따라서. 16nÜ`+1 2.  . 16+ 2. aÇ bÇ n("ÃnÛ`+2n -n) = lim   "Ã16nÛ`+1 n`Ú¦ "Ã16nÛ`+1. 1 nÜ`. n`Ú¦. 2 'Ä16+0_('Ä1+0+1). . 따라서. . . 6('5 +0) = 'Ä20+0+0. . =. . =3. logª`ab=1, ab=2 조건 (나)에서. 6{'5 +. lim ('Än+a 'Än+b -n)= lim  . n`Ú¦. 6'5 2'5. . ② 이차방정식 xÛ`-4nx+4nÛ`-16=0에서. n`Ú¦. (n+a)(n+b)-nÛ` 'Än+a 'Än+b +n. . = lim  . (a+b)n+ab 'Än+a 'Än+b +n. . = lim  . ab n a b ®É1+ ®É1+ +1 n n. . =. n`Ú¦. n`Ú¦. a+b+. a+b 2. 이므로. {x-(2n-4)}{x-(2n+4)}=0. a+b =;4(;, a+b=;2(; 2. x=2n-4 또는 x=2n+4. 따라서. 따라서 aÇ=2n+4, bÇ=2n-4이므로. aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab. 8. ①. 36 조건 (가)에서. 6('5n+1) "Ã20nÛ`+4n+1. 1 } n = lim   n`Ú¦ 4 1 ®É20+ + n nÛ`. 34. 2 1 2 ®É16+ _{®É1+ +1} n nÛ`. =;4!;. 6 "Ã20nÛ`+4n+1. n`Ú¦. 2nÛ` "Ã16nÛ`+1_("ÃnÛ`+2n+n). =. |-6| "Ã(2n+1)Û`+(4n)Û`. n`Ú¦. = lim   = lim  . 33 원점 O와 직선 (2n+1)x+4ny-6=0 사이의 거리 aÇ은. lim ('5n+1 )aÇ= lim  . n("ÃnÛ`+2n -n)("ÃnÛ`+2n +n) "Ã16nÛ`+1_("ÃnÛ`+2n+n). n`Ú¦. ①. =. = lim   n`Ú¦. . aÇ=. 8 '2+'2. aÇ=n, bÇ="ÃnÛ`+2n -n. 따라서 n`Ú¦. 8 4 4 ®É2+ +®É2n n. 35 n<"ÃnÛ`+2n <n+1이므로. ;2!;(32nÞ`+2nÛ`)=2nÛ`aÇ aÇ=. 8'§n  '¶2n+4 +'¶2n-4 . =2'2. 직선 y=aÇx와 x축 및 직선 x=2n으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ;2!;_2n_2naÇ=2nÛ`aÇ. '§n {(2n+4)-(2n-4)} '¶2n+4 +'¶2n-4 . 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 8. 2019-02-15 오후 12:59:47.

(9) 39 0<aÁ<;2Ò;. ={;2(;}Û`-2_2=:¤4°: . ④. 2p<a£<2p+;2Ò; 4p<a°<4p+;2Ò;. 37 이차방정식 xÛ`+8nx-6n=0의 근은. . x=-4nÑ"Ã16nÛ`+6n. 이므로. 이므로 이 이차방정식의 양의 실근 aÇ은 aÇ=-4n+"Ã16nÛ`+6n. 2(n-1)p<a2n-1<2(n-1)p+;2Ò;. 따라서. 위 부등식의 각 변을 n으로 나누면 2(n-1)p+;2Ò; 2(n-1)p a2n-1 < < n n n. lim  aÇ= lim (-4n+"Ã16nÛ`+6n). n`Ú¦. n`Ú¦. = lim   n`Ú¦. = lim   n`Ú¦. = lim   n`Ú¦. ("Ã16nÛ`+6n-4n)("Ã16nÛ`+6n+4n) "Ã16nÛ`+6n+4n. 이때. 6n "Ã16nÛ`+6n+4n. 2(n-1)p = lim   lim   n n`Ú¦ n`Ú¦. 6. ®É16+. 6 +4 n. lim  . n. n`Ú¦. 6 = 'Ä16+0 +4. = lim  . 1 }p n. 1 2{1-. n`Ú¦. =2p. 1 p }p+ n 2n =2p 1. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  . =;4#; . 2(n-1)p+;2Ò;. 2{1-. n`Ú¦. ⑤. 38 곡선 y=xÛ`-4nx+aÇ이 x축과 만나므로. a2n-1 =2p n. . ②. 이차방정식 xÛ`-4nx+aÇ=0의 판별식을 DÁ이라 하면. 40 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면. DÁ =(-2n)Û`-aǾ0이어야 한다. 4. 2r+2rÜ`=60. 즉, aÇÉ4nÛ`. aª+a¢=60에서 yy ㉠. 또, 곡선 y=xÛ`+(4n-1)x+aÇ이 x축과 만나지 않으므로. aÇ=2_3n-1. Dª=(4n-1)Û`-4aÇ<0이어야 한다. (4n-1)Û`  4. r=3 따라서. 이차방정식 xÛ`+(4n-1)x+aÇ=0의 판별식을 Dª라 하면. 즉, aÇ>. rÜ`+r-30=0, (r-3)(rÛ`+3r+10)=0. yy ㉡. SÇ=. 2(3Ç`-1) =3Ç`-1 3-1. ㉠, ㉡에서. 이므로. (4n-1)Û` <aÇÉ4nÛ` 4. lim  . n`Ú¦. 위 부등식의 각 변을 nÛ`으로 나누면. aÇ 2_3n-1 = lim   Ç n`Ú¦ 3Ç`-1 S = lim  . (4n-1)Û` aÇ < É4 4nÛ` nÛ`. n`Ú¦. 이때 1 {4- }Û` (4n-1)Û` (4-0)Û` n = = lim   =4 lim   n`Ú¦ n`Ú¦ 4 4 4nÛ`. . 2_;3!; 1-{;3!;}Ç`. =;3@;. ③. lim  4=4. n`Ú¦. 41 log£`a. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  . n`Ú¦. log£`an+1=log£`3aÇ. aÇ =4 nÛ`. . =1+log£`aÇ에서. n+1. 즉, an+1=3aÇ ④. 이므로 수열 {aÇ}은 공비가 3인 등비수열이다.. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 9. 9. 2019-02-15 오후 12:59:47.

(10) 정답과 풀이 이때 aÁ=1이므로. lim  . aÇ=3n-1 SÇ=. n`Ú¦. 3Ç`-1 3Ç`-1 = 3-1 2. 따라서 lim  . aÇ+SÇ = lim   n`Ú¦ (aª)Ç`.  . = lim  . n`Ú¦. n`Ú¦. 3Ç`-1 2 3Ç`. 3n-1+. 2_3n-1+(3Ç`-1) 2_3Ç`. =.  . =;6%;. = lim  .  . =2. 2. n`Ú¦. 4 2Ç`. ④. 44 두 점 PÇ, QÇ의 좌표는 PÇ(n, 2Ç`), QÇ(n, 4Ç`)이므로. aÇ=OPÇÓ="ÃnÛ`+(2Ç`)Û`="ÃnÛ`+22n. bÇ=OQÇÓ="ÃnÛ`+(4Ç`)Û`="ÃnÛ`+42n. ;3@;+1.  .  . 4-. . 1 ;3@;+{1- } 3Ç` = lim   n`Ú¦ 2.  . SÇ 2n+2-4 = lim   n+1 aÇ n`Ú¦ 2. 따라서 lim  . 2. n`Ú¦. . (bÇ)Û`-(aÇ)Û` ("ÃnÛ`+42n)Û`-("ÃnÛ`+22n)Û` = lim   4n-1 n`Ú¦ 2 24n-1.  . = lim  . (nÛ`+42n)-(nÛ`+22n) 24n-1.  . = lim  . 16Ç`-4Ç` 2-1_16Ç`. n`Ú¦. ⑤. n`Ú¦. 42 f(x)를 x-3으로 나눈 나머지는 f(3)=9+3_2Ç`-1=3_2Ç`+8 이므로 aÇ=3_2Ç`+8 f(x)를 x-4로 나눈 나머지는.  . = lim  .  . =2. 1-. n`Ú¦. 1 4Ç`. ;2!;. . f(4)=16+2Ç`_4-1=2n+2+15. ①. 이므로 bÇ=2n+2+15. 45 조건 (가)에서. 따라서. ("ÃnÛ`+8n-n)("ÃnÛ`+8n+n) "ÃnÛ`+8n+n 8n = lim   n`Ú¦ "ÃnÛ`+8n+n. lim ("ÃnÛ`+8n-n)= lim  . bÇ 2n+2+15 lim   = lim   n`Ú¦ aÇ n`Ú¦ 3_2Ç`+8. n`Ú¦. n`Ú¦. 15 2Ç` = lim   8 n`Ú¦ 3+ 2Ç` 4+. =. = lim   n`Ú¦. 4+0 3+0. =. =;3$;. 8 'Ä1+0+1. =4. . ⑤ lim  . 43 이차방정식 xÛ`+4aÇ x+(a. n`Ú¦. )Û`=0의 판별식을 D라 하면. n+1. D =(2aÇ)Û`-(an+1)Û`=0 4 이때 모든 자연수 n에 대하여 aÇ>0이므로 an+1=2aÇ. 3_{;4#;}. n-1. +4 3 +4Ç` n-1 = lim   n-1 n`Ú¦ 1+4 {;4!;} +1 n. 0+4 0+1.  . =.  . =4. 따라서 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim  aÇ=4. 따라서 수열 {aÇ}은 첫째항이 4이고 공비가 2인 등비수열이므로. n`Ú¦. aÇ=4_2n-1=2n+1. 이때 조건 (나)에서. 4(2Ç`-1) SÇ= =2n+2-4 2-1. n`Ú¦. 이므로. 이므로. 10. 8 8 ®É1+ +1 n. lim  . bÇ =2 n. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 10. 2019-02-15 오후 12:59:47.

(11) 1 {3+ }aÇ (3n+1)aÇ n = lim   lim   bÇ n`Ú¦ n`Ú¦ bÇ n (3+0)_4 = 2. 즉, -;2!;<cos`;5Ò; xÉ;2!;. yy ㉠. 한편 0<xÉ10일 때, 0<;5Ò; xÉ2p이므로 ㉠에서 ;3Ò;É;5Ò; x<;3@; p 또는. 4p <;5Ò; xÉ;3%; p 3. 따라서 주어진 조건을 만족하는 10 이하의 자연수 x는 2, 3, 7, 8이고,. =6 . ④. 그 개수는 4이다. . ②. 46 등비수열 {aÇ}은 첫째항이 1이고 공비가 4이므로. aÇ=4n-1. SÇ= Á 4k-1= n. k=1. 4Ç`-1 4Ç`-1 = 4-1 3 }Ç` ]이 수렴하려면 48 수열 [{ x-1 4. 또, 등비수열 {bÇ}은 첫째항이 1이고 공비가 2이므로 n-1. bÇ=2. TÇ= Á 2k-1= n. k=1. -1<. 2Ç`-1 =2Ç`-1 2-1. 수열 {(1-log£`x)Ç` }이 수렴하려면 x>0, -1<1-log£`xÉ1이어야 한다.. bÇ ]은 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 0으로 수렴한다. aÇ. 즉, 0Élog£`x<2에서 1Éx<9 따라서 두 수열이 수렴하도록 하는 정수 x는 1, 2, 3, 4, 5이고, 그 개수는 5이다.. 이므로. . SÇ 2Ç`+1 =¦ lim   = lim   3 n`Ú¦ TÇ n`Ú¦. ㄷ.. SÇ+TÇ = aÇ+bÇ. 4Ç`-1 +(2Ç`-1) 3 n-1 4 +2n-1. 49 원 xÛ`+yÛ`=16nÛ`-6n의 중심인 원점 O와 점 QÇ('7n, 3n) 사이 의 거리는 OQÇÓ=Á°('7n)Û`+(3n)Û` =4n. 원 xÛ`+yÛ`=16nÛ`-6n의 반지름의 길이는. SÇ+TÇ 4Ç`+3_2Ç`-4 = lim   n-1 aÇ+bÇ n`Ú¦ 3_4 +3_2n-1 4+6_{;2!;}. = lim   n`Ú¦. "Ã16nÛ`-6n . -4_{;4!;}. n-1. n-1. 선분 PÇQÇ의 길이의 최솟값 aÇ은 aÇ=OQÇÓ-"Ã16nÛ`-6n . 3+3_{;2!;}. n-1. =4n-"Ã16nÛ`-6n . 4+0-0 = =;3$; 3+0 따라서 수열 [. (가). . 이므로 lim  . ③. SÇ ]은 발산한다. TÇ. 4Ç`+3_2Ç`-4 = 3_4n-1+3_2n-1. n`Ú¦. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 1ÉxÉ5. 4Ç`-1 SÇ 3 2Ç`+1 ㄴ. = = TÇ 3 2Ç`-1. 따라서 수열 [. yy ㉠. 즉, -3<xÉ5. n-1 bÇ 2n-1 ㄱ. = n-1 ={;2!;} aÇ 4. 수열 [. x-1 É1이어야 한다. 4. 따라서. SÇ+TÇ ]은 ;3$;로 수렴한다. aÇ+bÇ. lim  aÇ= lim (4n-"Ã16nÛ`-6n ). n`Ú¦. 이상에서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다. . 47 수열 [{2 cos`;5Ò; x}Ç` ]이 수렴하려면 -1<2 cos`;5Ò; xÉ1이어야 한다.. (나). . ③. n`Ú¦. = lim  . (4n-"Ã16nÛ`-6n )(4n+"Ã16nÛ`-6n ) 4n+"Ã16nÛ`-6n. = lim  . 6n 4n+"Ã16nÛ`-6n. n`Ú¦. n`Ú¦. = lim    n`Ú¦. 6 4+®É16-. 6 n. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 11. 11. 2019-02-15 오후 12:59:48.

(12) 정답과 풀이 =. 6 4+'Ä16-0. 내신. =;4#; . (다). .  ;4#; 단계. 채점 기준. (가) 선분 OQÇ의 길이를 구한 경우 (다) aÇ의 극한값을 구한 경우. 40`%. 함수 f(x)= lim   n`Ú¦. ①. 200. 7. ④. 206. 7. 50 조건 (가)에서 (4nÛ`-5)aÇ=cÇ이라 하면 aÇ=. cÇ 이고 lim  cÇ=24이다. n`Ú¦ 4nÛ`-5. ⑤. 208 7. ③. 204 7. 문제풀이. Ú 1Éx<7일 때 f(x)= lim  . 이때. n`Ú¦. 1 3n 3n-1 =3, = lim   lim   1 n n`Ú¦ n`Ú¦. = lim  . 1 3+ n 3n+1 =3 = lim   lim   1 n n`Ú¦ n`Ú¦. =. xn+1+7Ç` xÇ`+7n+1 x_{;7{;}Ç`+1 {;7{;}Ç`+7. n`Ú¦. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. -1<r<1일 때 lim rÇ`=0이다.. 0+1 0+7. n`Ú¦. =;7!;. bÇ =3 n. Û x=7일 때 (나). . f(7)= lim   n`Ú¦. 따라서. f(x)= lim   n`Ú¦. 1 }cÇ nÜ` = lim   n`Ú¦ bÇ 5 {4- }_ n nÛ` {1+. =. = lim   n`Ú¦. (1+0)_24 (4-0)_3. =. =2. xn+1+7Ç` xÇ`+7n+1 x+{;[&;}Ç` 1+7_{;[&;}Ç`. x+0 1+0. =x. . (다). . 2 단계. 7n+1+7Ç` =1 7Ç`+7n+1. Ü 7<xÉ10일 때. (nÜ`+1)aÇ (nÜ`+1)cÇ = lim   lim   bÇ n`Ú¦ n`Ú¦ (4nÛ`-5)bÇ. 채점 기준. 비율. (가) aÇ을 cÇ으로 나타낸 경우. 20`%. bÇ 수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 lim   의 값을 n`Ú¦ n (나) 구한 경우 . 40`%. (다) 주어진 극한값을 구한 경우. 40`%. 12. 202. 7. x의 값의 범위를 나누어서 극한값을 구한다.. bÇ 3n-1 3n+1 < < n n n. n`Ú¦. ②. 등비수열의 극한을 이용한다.. 조건 (나)에서 3n-1<bÇ<3n+1의 각 변을 n으로 나누면. lim  . 10 xn+1+7Ç` 일 때, Á `f(k)의 값은? xÇ`+7n+1 k=1. 풀이전략. (가). . 본문 17~18쪽. x의 값의 범위를 1Éx<7, x=7, x>7로 나눈 후 극한값을 구한다.. 51. 30`% 30`%. 변별력 문항. 51 ② 52 ③ 53 ④ 54 ① 55 ② 56 ③ 57 ④ 58 ⑤. 비율. (나) aÇ을 n으로 나타낸 경우. 상위. 4%. 함수의 값을 구하여 Á `f(k)의 값을 구한다. 10. k=1. Ú, Û, Ü에 의하여. Á `f(k)= Á `f(k)+f(7)+ Á `f(k) 10. 6. 10. k=1. k=1. k=8. =6_;7!;+1+(8+9+10). =. . 202 7 ②. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 12. 2019-02-15 오후 12:59:48.

(13) 52. 53. 두 양수 a, b가 다음 조건을 만족시킬 때, a+b의 값은?. 두 수열 {aÇ}, {bÇ}이 모든 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족. (가) lim   n`Ú¦. (나) lim   n`Ú¦. 시킬 때, lim  aÇbÇ의 값은? n`Ú¦. a =3 "ÃnÛ`+bn -n. an+1+bn+1 =6 분모를 유리화한 후 극한값을 구한다. aÇ`+bÇ`. ① 6. ② 8. ④ 12. ⑤ 14. (가) 9+. 3n-1 3n+1 <2aÇ+bÇ<9+ n n. (나) 8-. 4n+1 4n-1 <2aÇ-bÇ<8n n. ③ 10 ①4. ② 8. ③ 12. ④ 16. ⑤ 20. 풀이전략. ¦-¦의 극한과 등비수열의 극한을 이용한다.. 풀이전략. 문제풀이. 수열의 극한의 대소 관계를 이용한다. ¦-¦의 극한을 이용하여 a, b 사이의 관계를 구한다.. 문제풀이. 조건 (가)에서 lim  . n`Ú¦. 수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 aÇ의 극한값을 구한다.. a "ÃnÛ`+bn-n. 조건 (가)와 조건 (나)에서 각 변끼리 서로 더하면 17+. a("ÃnÛ`+bn+n) = lim   n`Ú¦ ("ÃnÛ`+bn-n)("ÃnÛ`+bn+n) = lim   n`Ú¦. 이때. a("ÃnÛ`+bn+n) bn. = lim  ;bA; {¾¨1+ n`Ú¦. 3n-1 4n+1 3n+1 4n-1 <4aÇ<17+ n n n n. lim {17+. n`Ú¦. b +1} n. 3n-1 4n+1 } n n. =17+ lim   =17+3-4. 이므로. =16. 2a =3에서 2a=3b b. yy ㉠. 등비수열의 극한을 이용하여 a의 값을 구한다.. lim {17+. n`Ú¦. 3+. n`Ú¦. 조건 (나)에서. =17+3-4. an+1+bn+1 = lim   n`Ú¦ aÇ`+bÇ`. a+b_{;aB;}Ç`. a+0 = 1+0 =a 이므로 a=6. =16. - lim  . 4+ 1. n`Ú¦. 1 n. 1. 1 n. - lim  . 41. n`Ú¦. 1 n. aÇ<cÇ<bÇ이고 lim aÇ= lim bÇ=a(a는 상수)일 때 lim cÇ=a이다. n`Ú¦. n`Ú¦. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. 1+{;aB;}Ç`. n`Ú¦. lim  4aÇ=16, 즉 lim  aÇ=4. n`Ú¦. a>b>0이므로 0<;aB;<1이다.. n`Ú¦. 수열의 극한의 대소 관계를 이용하여 bÇ의 극한값을 구한다.. Ç` 이때 lim {;aB;} =0이다.. 조건 (가)에서. n`Ú¦. yy ㉡. a+b의 값을 구한다.. ㉡을 ㉠에 대입하면. 3n-1 }=9+ lim   lim {9+ n n`Ú¦ n`Ú¦ 3n+1 }=9+ lim   lim {9+ n n`Ú¦ n`Ú¦. 12=3b, b=4 따라서 a+b=10 . 1 n. 3n+1 4n-1 } n n. =17+ lim  . 이때 a>b>0이므로. lim  . 1. n`Ú¦. 2a = b. n`Ú¦. 3-. ③. 3-. 1 n. 1 3+ 1. 1 n. =9+3=12. =9+3=12. 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim (2aÇ+bÇ)=12. n`Ú¦. 이때 2aÇ+bÇ=cÇ이라 하면 bÇ=cÇ-2aÇ이고 lim  cÇ=12이므로 n`Ú¦. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 13. 13. 2019-02-15 오후 12:59:49.

(14) 정답과 풀이 lim  bÇ= lim (cÇ-2aÇ)= lim  cÇ-2 lim  aÇ=12-2_4=4. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. . n`Ú¦. ①. lim aÇ bÇ의 값을 구한다.. n`Ú¦. 따라서. 55. lim  aÇbÇ= lim  aÇ_ lim  bÇ=4_4=16. n`Ú¦. n`Ú¦. n`Ú¦. . 1 1 좌표평면에서 곡선 y= 위의 한 점 AÇ{1, }을 지나고 x축 nx n. ④. 2n 에 평행한 직선이 곡선 y= 과 만나는 점을 BÇ, 점 AÇ을 지나 x. 54 자연수 n에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 직선 x=2Ç` 과 곡선. 2n 고 y축에 평행한 직선이 곡선 y= 과 만나는 점을 CÇ이라 하 x. y='§x 및 x축의 교점을 각각 PÇ, QÇ이라 하자. 사각형 SÇ 의 값은? PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이를 SÇ이라 할 때, lim   n`Ú¦ 1+"23n. 자. 삼각형 AÇBÇCÇ의 무게중심을 GÇ(xÇ, yÇ)이라 할 때, xÇ yÇ lim   의 값은? (단, n은 자연수이다.) n`Ú¦ nÜ`. y PÇ*Á. y=1x. PÇ. O. QÇ x=2Ç. ①. 1+'2. 2. ②. 2+'2 ④. 2. x. QÇ*Á. ② ;9$;. ④ ;3@;. ⑤ ;9&;. ③. '2+'3 2. 2+'3 ⑤ 2. 문제풀이. 등비수열의 극한을 이용한다. 문제풀이. 사각형 PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이 SÇ을 구한다.. 두 점 PÇ, QÇ의 좌표는 PÇ(2Ç`, "2Ç` ), QÇ(2Ç`, 0) 이때 두 점 Pn+1, Qn+1의 좌표는. Pn+1(2n+1, "Ã2n+1 ), Qn+1(2n+1, 0) 사각형 PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이 SÇ은. SÇ=;2!;_("2Ç` +"Ã2n+1 )(2n+1-2Ç`). 사다리꼴 PÇQÇQn+1Pn+1의 넓이 SÇ은. =2n-1("2Ç` +"Ã2n+1 ). 점 AÇ{1,. n`Ú¦. SÇ 2n-1("2Ç` +"Ã2n+1 )   = lim 1+"Ã23n n`Ú¦ 1+"Ã23n = lim  . ;2!;('1 +'2 ). n`Ú¦. =. 1 }이다. n. 또 점 AÇ을 지나고 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=1이므로 점 CÇ 의 좌표는 CÇ(1, 2n)이다. 삼각형 AÇBÇCÇ의 무게중심 GÇ의 좌표를 구한다.. 이때 삼각형 AÇBÇCÇ의 무게중심이 GÇ(xÇ, yÇ)이므로 xÇ=. yÇ=. 2(nÛ`+1) 1+2nÛ`+1 = 3 3 1 1 + +2n 2(nÛ`+1) n n = 3n 3 주어진 식의 극한값을 구한다.. 따라서 lim  . n`Ú¦. ;2!;('1 +'2 ). xÇ yÇ 4(nÛ`+1)(nÛ`+1) = lim   n`Ú¦ nÜ` 9nÝ` = lim   n`Ú¦. 0+1. 1+'2 = 2. 14. 1 +1 "Ã23n. 2n 1 과 직선 y= 의 교점의 x좌표는 x n. 따라서 점 BÇ의 좌표는 BÇ{2nÛ`,. 따라서 lim  . 1 1 }을 지나고 x축에 평행한 직선의 방정식은 y= n n. 2n 1 = 에서 x=2nÛ` x n. SÇ=;2!;_(PÇQÇÓ+Pn+1Qn+1Ó)_QÇQn+1Ó. 등비수열의 극한을 이용하여 주어진 식의 극한값을 구한다.. 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게 중심을 G(x, y)라 하면 xÁ+xª+x£ yÁ+yª+y£ , y= x= 3 3. 두 점 BÇ, CÇ의 좌표를 구한다.. 곡선 y=. 풀이전략. ③ ;9%;. 세 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª), C(x£, y£). 풀이전략. 수열의 극한의 성질을 이용한다.. x=2Ç ±Ú. 1+'3. 2. ① ;3!;. 4{1+. 1 1 }{1+ } nÛ` nÛ` 9. =;9$; . ②. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 14. 2019-02-15 오후 12:59:49.

(15) -8<b-1É8. 56. yy ㉡. -7<bÉ9. 양수 a와 상수 b가 다음 조건을 만족시킬 때, a+b의 최댓값은? (가) lim   n`Ú¦. ㉠, ㉡에서 -3<a+bÉ13. an+1+3Ç` =16 an-1+3n+1. (나) 수열 [{. a+b의 최댓값을 구한다.. 따라서 a+b의 최댓값은 13. b-1 Ç`  } ]은 수렴한다. 2a. ① 11. ② 12. ④ 14. ⑤ 15. . ③ 13. 수열 {rn}이 수렴할 필요충분조건은 -1<rÉ1이다.. ③. 57 자연수 n에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 곡선 y=4Å` 과 두 직. 풀이전략. 선 x=-2 logª`n, x=logª`n이 만나는 점을 각각 PÇ, QÇ이라 하. 등비수열의 극한과 수열 {rÇ`}이 수렴할 조건을 이용한다.. 고, 두 점 PÇ, QÇ을 지나는 직선과 y축이 만나는 점을 RÇ이라 하 lÇ 자. 선분 ORÇ의 길이를 lÇ이라 할 때, lim   의 값은? n`Ú¦ nÛ`. 문제풀이. 조건 (가)를 만족시키는 a의 값을 구한다.. (단, O는 원점이다.). . Ú 0<a<3일 때. y. a_{;3A;}Ç`+1. n+1. a. +3Ç ` lim   n-1 n+1 = lim   n`Ú¦ a n`Ú¦ +3 ;a!;_{;3A;}Ç`+3 =. RÇ. 0+1 0+3. PÇ. 이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. Û a=3일 때 n`Ú¦. an+1+3Ç` 3n+1+3Ç` n-1 n+1 = lim   n-1 n`Ú¦ 3 a +3 +3n+1 = lim   n`Ú¦. x. O. =;3!;. lim  . y=4Å QÇ. 3+1. ① ;6!;. ② ;3!;. ④ ;3@;. ⑤ ;6%;. ③ ;2!;. 풀이전략. ;3!;+3. 지수와 로그의 성질, 내분점 및 극한의 성질을 이용한다.. =;5^;. 문제풀이. 지수와 로그의 성질을 이용하여 두 점 PÇ, QÇ의 좌표를 구한다.. 이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.. 점 PÇ의 x좌표가 -2logª`n이므로 점 PÇ의 y좌표는. Ü a>3일 때 an+1+3Ç` lim   n-1 n+1 = lim   n`Ú¦ a n`Ú¦ +3 =. a+{;a#;}Ç` ;a!;+3{;a#;}Ç`. y=4-2 logª`n={. `. 1 Û` 1 }= nÛ` nÝ`. 이다. 따라서 점 PÇ의 좌표는 PÇ{-2 logª`n,. a+0. 또, 점 QÇ의 x좌표가 logª`n이므로 점 QÇ의 y좌표는 y=4logª`n=nÛ`이. ;a!;+0. 다. 따라서 점 QÇ의 좌표는 QÇ(logª`n, nÛ`). =aÛ`. y. 이므로 aÛ`=16. y=4Å. BÇ. 이때 a>0이므로 a=4 Ú, Û, Ü에서 a=4. 1 } nÝ`. QÇ. RÇ. yy ㉠. 수열 {rÇ`}이 수렴할 조건을 이용하여 b의 값의 범위를 구한다.. 조건 (나)에서 b-1 Ç`  b-1 } ]이 수렴하므로 -1< 수열 [{ É1 2a 2a 즉, -1<. b-1 É1이므로 8. PÇ. AÇ O. x. 삼각형의 닮음과 내분점을 이용하여 점 RÇ의 좌표를 구한다.. 두 점 PÇ, QÇ에서 y축에 내린 수선의 발을 각각 AÇ, BÇ이라 하면. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 15. 15. 2019-02-15 오후 12:59:50.

(16) 정답과 풀이 ∠PÇRÇAÇ=∠QÇRÇBÇ, ∠PÇAÇRÇ=∠QÇBÇRÇ이므로. △PÇAÇRÇ»△QÇBÇRÇ 두 삼각형 PÇAÇRÇ, QÇBÇRÇ은 닮음이다. 이때 PÇAÇÓ`:`QÇBÇÓ=2`:`1이므로 점 RÇ은 선분 PÇQÇ을 2`:`1로 내분 하는 점이다.. 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)에 대하여. 점 RÇ의 y좌표는. 선분 AB를 m`:`n(m>0, n>0)으로. 2_nÛ`+1_ 2+1. 1 nÝ`. xÛ`=-xÛ`+2nÛ`에서 xÛ`=nÛ` x=-n 또는 x=n y. 내분하는 점을 P(x, y)라 하면. 2nÛ` 1 mxª+nxÁ myª+nyÁ + = 3 3nÝ` x= m+n , y= m+n -n O. 이므로 lÇ=. 2nÛ` 1 + 3 3nÝ` lim  . n`Ú¦. 따라서. =. x. 0<kÉn인 자연수 k에 대하여 직선 x=k 위의 점 중 주어진 조건을 만족시키는 점의 개수는 (-kÛ`+2nÛ`)-kÛ`+1=-2kÛ`+2nÛ`+1. 2nÛ` 1 + lÇ 3 3nÝ` lim   = lim   n`Ú¦ nÛ` n`Ú¦ nÛ`. 직선 x=0 위의 점 중 주어진 조건을 만족시키는 점의 개수는. f(-x)=f(x)이면 함수 y=f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.. 2nÛ`+1. 1 3nß` 1. ;3@;+. n`Ú¦. n. y=-xÛ`+2nÛ. lÇ 의 값을 구한다. nÛ`. = lim  . y=xÛ. 한편 두 곡선 y=xÛ`, y=-xÛ`+2nÛ`은 모두 y축에 대하여 대칭이므로 aÇ=2 Á (-2kÛ`+2nÛ`+1)+(2nÛ`+1) n. k=1. ;3@;+0. =-4_. 1. n(n+1)(2n+1) +2_(2nÛ`+1)_n+(2nÛ`+1) 6 n. Á k= 2n(n+1)(2n+1) 2 k=1 +(2nÛ`+1)(2n+1) n 3 n(n+1)(2n+1) n(n+1). =-. =;3@; . (2n+1)(4nÛ`-2n+3) = 3. ④. Á kÛ`=. 6. Á c=cn(c는 상수). k=1 n. k=1. 극한의 성질을 이용하여 주어진 식의 극한값을 구한다.. 58. 자연수 n에 대하여 그림과 같이 좌표평면에서 두 곡선 y=xÛ`,. y=-xÛ`+2nÛ`으로 둘러싸인 영역의 내부 및 그 경계에 포함된 점. 따라서 lim  . n`Ú¦. 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점의 개수를 aÇ이라 할 때, aÇ lim   의 값은? n`Ú¦ 4nÜ`+1 y.  .  . y=xÛ.   . aÇ (2n+1)(4nÛ`-2n+3) = lim   4nÜ`+1 n`Ú¦ 12nÜ`+3 1 2 3 }{4- + } n n nÛ` = lim   n`Ú¦ 3 12+ nÜ` (2+0)(4-0+0) = 12+0 {2+. =;3@; ⑤. x. O. y=-xÛ`+2nÛ. ① ;3!;. ② ;1°2;. ④ ;1¦2;. ⑤ ;3@;. ③ ;2!;. 풀이전략. Á의 성질과 극한의 성질을 이용한다. 문제풀이. Á의 성질을 이용하여 aÇ의 값을 구한다.. 두 곡선 y=xÛ`, y=-xÛ`+2nÛ`의 교점의 x좌표를 구해 보자.. 16. 올림포스 고난도•미적분. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 16. 2019-02-15 오후 12:59:51.

(17) 내신 상위 4% of 4%. 본문 19쪽. nx+;4!; nÛ`=xÛ`-2nx에서 xÛ`-3nx-;4!; nÛ`=0. 59. 이 이차방정식의 두 근이 aÇ, cÇ이므로 근과 계수의 관계에 의하여. 자연수 n에 대하여 좌표평면에서 기울기가 n인 직선 lÇ과 곡선. y=|xÛ`-2nx|가 서로 다른 세 점 AÇ, BÇ, CÇ에서 만난다. 세 점. AÇ, BÇ, CÇ의 x좌표를 각각 aÇ, bÇ, cÇ이라 하면 aÇ<bÇ<cÇ이 (aÇ)Û` 다. 선분 AÇCÇ의 길이를 aÇ이라 할 때, lim   의 값을 구하시 n`Ú¦ nÝ` 오. (단, aÇ+0) 10 . aÇ+cÇ=3n. 이차방정식 axÛ`+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면. aÇcÇ=-;4!; nÛ`. a+b=-;aB;, ab=;aC;. 두 점 AÇ, CÇ의 좌표는 AÇ{aÇ, naÇ+;4!; nÛ`}, CÇ{cÇ, ncÇ+;4!; nÛ`} 이때. 문항. (cÇ-aÇ)Û`=(cÇ+aÇ)Û`-4cÇaÇ. 파헤치기. =(3n)Û`-4_{-;4!; nÛ`}. ‌함수 y=|xÛ`-2nx|의 그래프를 그린 후, 곡선 y=|xÛ`-2nx|와 직선 lÇ이 서로 다른 세 점에서 만나는 경우를 생각한다. 실수. =10nÛ` 이므로. point 찾기. ‌함수 y=|xÛ`-2nx|의 그래프는 함수 y=xÛ`-2nx의 그래프를 그린 후,. aÇ=AÕÇCÇÓ ="Ã(cÇ-aÇ)Û`+(ncÇ-naÇ)Û`. y<0인 부분의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이다.. ="Ã(nÛ`+1)(cÇ-aÇ)Û`. 풀이전략. ="Ã10nÛ`(nÛ`+1). ‌미분법을 이용하여 직선 lÇ의 방정식을 구한 후, 선분 AÇCÇ의 길이를 구하여. 극한의 성질을 이용하여 주어진 식의 극한값을 구한다.. 주어진 식의 극한값을 구한다.. 따라서. 문제풀이. 곡선 y=-xÛ`+2nx와 직선 lÇ의 접점의 좌표를 구한 후, 직선 lÇ의 방정식을 구한다.. lim  . n`Ú¦. 곡선 y=|xÛ`-2nx|를 그리면 다음과 같다. y. BÇ AÇ.  . 함수 y=| f(x)|의 y=|xÛ`-2nx| 그래프는 y=f(x) 의 그래프를 그린 CÇ 후 y<0인 부분의 그래프를 y축에 대 하여 대칭이동하면 된다.. O. 2n. x. (aÇ)Û` 10nÛ`(nÛ`+1) = lim   n`Ú¦ nÝ` nÝ` = lim   n`Ú¦.  . = lim  .  . =.  . =10. 10(nÛ`+1) nÛ` 10{1+. n`Ú¦. 1. 1 } nÛ`. 10(1+0) 1. .  10. 기울기가 n인 직선 lÇ과 곡선 y=|xÛ`-2nx|가 서로 다른 세 점에서 만나고 aÇ+0이므로 직선 lÇ과 곡선 y=-xÛ`+2nx는 접한다. 직선 lÇ과 곡선 y=-xÛ`+2nx의 접점을 BÇ이라 하면 점 BÇ에서의 접 선의 기울기가 n이므로 -2x+2n=n에서 x=;2N; 직선 lÇ의 방정식은 y-[-{;2N;}Û`+2n_;2N;]=n{x-;2N;} 즉, y=nx+;4!; nÛ`이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 선분 AÇCÇ의 길이를 구 한다.. 직선 lÇ과 곡선 y=xÛ`-2nx가 만나는 두 점은 AÇ, CÇ이므로. 정답과 풀이. 해001-017 올림포스(미적분)01강_사.indd 17. 17. 2019-02-15 오후 12:59:52.

(18) 정답과 풀이. 02. 따라서 Á . 급수. 6 (3n-1)(3n+2) n 6 = lim Á n`Ú¦ k=1 (3k-1)(3k+2) ¦. n=1. 기출. 내신. 우수 문항. 본문 22~24쪽. = lim 2{;2!;-. 01 ③ 02 ④ 03 ③ 04 ② 05 ⑤ 06 ③ 07 ④ 08 ④ 09 ② 10 ① 11 ② 12 ② 13 ③ 14 ② 15 ④ 16 11 17 240. n`Ú¦. =2{;2!;-0} =1 . 01 급수 Á aÇ의 부분합 SÇ이 SÇ= 2n+1 이므로 Á aÇ= lim SÇ ¦. n=1. 급수와 수열의 극한 사이의 관계에 의하여. n`Ú¦. 6n = lim n`Ú¦ 2n+1 6 = lim n`Ú¦ 2+;n!;. lim {aÇ-. 따라서 lim aÇ=lim [{aÇ-. n`Ú¦. n`Ú¦. =lim {aÇ-. =3. n`Ú¦. . ③. =0+lim . SÇ= Á . n`Ú¦. 1 k=1 (2k-1)(2k+3) n 1 1 } = Á ;4!; { 2k-1 2k+3 k=1 n. . +{. 1 1 1 1 }+{ }] 2n-3 2n+1 2n-1 2n+3. 05 Á aÇ=10이므로 ¦. n=1. 급수와 수열의 극한 사이의 관계에 의하여 lim aÇ=0. n`Ú¦. 한편 lim SÇ=10이므로. Á aÇ= lim SÇ. n`Ú¦. lim . n`Ú¦. n`Ú¦. =lim ;4!; {1+;3!;n`Ú¦. 1 1 } 2n+1 2n+3. ¦. aÇ. n=1. . ④. 03 Á (3k-1)(3k+2) 6. k=1. 1 1 } 3k-1 3k+2. =2[{;2!;-;5!;}+{;5!;-;8!;}+{;8!;-;1Á1;}+y+{ =2{;2!;-. ⑤. 06 급수 Á 3Ç` 이 수렴하므로. =;3!;. n. 1+SÇ 1+10 = =11 1+aÇ 1+0. . =;4!;{1+;3!;-0-0}. k=1. 3+;n!;. ②. ¦. =2 Á {. 6. . 따라서. n. 6n 6n }+lim 3n+1 n`Ú¦ 3n+1. =2. 1 1 } =;4!;{1+;3!;2n+1 2n+3. n=1. 6n 6n }+ ] 3n+1 3n+1. =0+2. =;4!;[{1-;5!;}+{;3!;-;7!;}+{;5!;-;9!;}+y. 18. 6n }=0 3n+1. n`Ú¦. 6 = 2+0. 02. 6n. ¦. n=1. n=1. ③. 04 급수 Á {aÇ- 3n+1 }이 수렴하므로. 6n. ¦. 1 } 3n+2. 1 } 3n+2. 1 1 }] 3n-1 3n+2. 급수와 수열의 극한 사이의 관계에 의하여 aÇ lim =0 n`Ú¦ 3Ç` 따라서 aÇ +3 aÇ+3n+1 = lim 3Ç` lim n`Ú¦ n`Ú¦ 1 3Ç`+1 1+ 3Ç` 0+3 = 1+0 . =3 ③. 올림포스 고난도•미적분. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 18. 2019-02-15 오후 1:00:42.

(19) 07 Á (3aÇ+bÇ)=30에서. =. '3 '3 1 1 1 1 1 {;2!;- + -y}+ { - + -y} 2 2 2Û` 2Ý` 2à` 2Þ` 2¡`. bÇ=cÇ-3aÇ Á cÇ=30. =. '3 _ 2. =. Á bÇ= Á (cÇ-3aÇ). '3 3. . ¦. n=1. 3aÇ+bÇ=cÇ이라 하면 ¦. 이때 Á aÇ=8이므로 n=1. ¦. n=1. ¦. n=1. ¦. = Á cÇ-3 Á aÇ n=1 ¦. ¦. n=1. n=1. 에서 an+1=;2!;aÇ이므로. ;4#;. 1-;4#;. +. 이때 an=3_{;2!;}. 2n. Á a2na2n+1=18 Á {;1Á6;}Ç`. -;4!;. 1-{-;4!;}. ¦. ¦. n=1. n=1. =18_. ;1Á6;. 1-;1Á6;. =;5^;. . ④. . ②. 12 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 Á aÇ=;3*;이므로 -1<r<1. 09 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면. ¦. aª=2a£에서 a£ r= =;2!; aª. n=1. 또,. 이때 aÁ=3이므로. 따라서 aª=4_{-;2!;}=-2. n-1. 따라서 (aÇ)Û`=9_{;4!;}. Á (aÇ)Û`= Á [9_{;4!;}. 이므로. . n-1. ¦. ¦. n=1. n=1. ]. aÁ=1이므로 Á aÇ=. 1-;4!;. ¦. n=1. =12 . ②. 또, bÁ=1이므로 Á bÇ=. n=1. p 1 2p 1 1 4p =;2!; sin + sin` + sin`p+ sin` 3 3 3 2Û` 2Ü` 2Ý` 1 5p 1  + sin` + sin`2p+y 3 2Þ` 2ß` '3 '3 '3 '3 1 1 1 }+ _{} + _ + _{2 2 2 2 2Û` 2Ý` 2Þ` +. '3 '3 1 1 + _ +y _ 2 2 2à` 2¡`. 1 =;2#;에서 1-r. r=;3!; ¦. np 3. . ②. 13 두 등비수열 {aÇ},{bÇ}의 공비를 각각 r, s라 하면. 9. 10 Á 2Ç` sin`. 4 =;3*;에서 1-r. r=-;2!;. n-1. aÇ=3_{;2!;}. 1. , a2n+1=3_{;2!;}. 따라서. =:Á5¢:. =. 이므로. 2n-1. =3-;5!;. =;2!;_. 1-{-;8!;}. ①. a2n=3_{;2!;}. ¦ 3Ç`+(-1)Ç` Ç` ¦ Ç` = Á {;4#;} + Á {-;4!;} n=1 n=1 4Ç`. =. n=1. ;4!;. n-1. ④. ¦. '3 _ 2. 수열 {aÇ}은 첫째항이 3이고 공비가 ;2!;인 등비수열이다..  ¦. +. n+1. =6. n=1. 1-{-;8!;}. 11 aÇ=2a. =30-3_8. 08 Á . ;2!;. 1 =;3@;에서 1-s. s=-;2!; n-1. 따라서 aÇ={;3!;} Á ¦. n=1. . n-1. , bÇ={-;2!;}. n-1 ¦ aÇ = Á {-;3@;} = bÇ n=1. 1. 이므로. 1-{-;3@;}. =;5#; ③. 정답과 풀이. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 19. 19. 2019-02-15 오후 1:00:43.

(20) 정답과 풀이 14 급수 Á ¦. n=1. -1<. ¦ (4x+1)Ç` 4x+1 Ç` } 이 수렴하려면 = Á { 10 n=1 10Ç`. . 4x+1 <1이어야 한다. 10. 따라서 p=8, q=3이므로 p+q=8+3=11. 즉, -11<4x<9에서 -:Á4Á:<x<;4(;. . (다). .  11. 따라서 주어진 급수가 수렴하도록 하는 정수 x는. 단계. -2, -1, 0, 1, 2. 채점 기준. 비율. (가) SÇ을 구한 경우. 이고 그 개수는 5이다. . (나). ②. 15 급수 Á {;8R;}. =;4!;{1+;2!;-0-0}=;8#;. Á n. k=1. 30`%. 1 을 구한 경우 Sû. 30`%. (다) p+q의 값을 구한 경우. 40`%. n-1. ¦. n=1. 은 수렴하므로. -1<;8R;<1, 즉 -8<r<8. 급수 Á (r-5)Ç``은 발산하므로. yy ㉠. 즉, rÉ4 또는 r¾6 . yy ㉡. 17 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면 Á aÇ=4이므로 -1<r<1이고 ¦. ¦. n=1. n=1. r-5É-1 또는 r-5¾1. 3 =4, r=;4!; 1-r. (가). 한편 r는 자연수이므로 ㉠, ㉡에서. . 0<rÉ4 또는 6Ér<8. 따라서 aÇ=3_{;4!;}. n-1. 이므로. Á (5aÇ)Û`=25 Á [3_{;4!;}. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 r는 1, 2, 3, 4, 6, 7 이고, 그 합은. n-1. ¦. ¦. n=1. n=1. =25 Á [9_{;1Á6;} ¦. 1+2+3+4+6+7=23. n=1. . ④. =25_. 16 등차수열 {aÇ}의 공차를 d라 하면. n-1. ]. 9. 1-;1Á6;. =240. a°=a£+8에서 a°-a£=2d=8 d=4 이때 aÁ=6이므로 n{2_6+(n-1)_4} SÇ= =2n(n+2) 2. . (나). .  240 단계. (가). . ]Û`. 채점 기준. 비율. (가) 등비수열 {aÇ}의 공비를 구한 경우. 50`%. (나) 급수의 합을 구한 경우. 50`%. 따라서 Á n. k=1. n 1 1 =Á Sû k=1 2k(k+2). =;4!; Á {;k!;-. 1 } k+2. =;4!;{1+;2!;-. 1 1 } n+1 n+2. n. k=1. =;4!;[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+y+{;n!;-. 1 }] n+2. 이므로 . Á ¦. n=1. . n 1 1 = lim Á SÇ n`Ú¦ k=1 Sû. 20. = lim ;4!;{1+;2!;n`Ú¦. (나). 내신. 상위. 7%. 고득점 문항. 본문 25~29쪽. 18 ① 19 ⑤ 20 ② 21 ⑤ 22 ① 23 ② 24 ③ 25 ④ 26 ② 27 ③ 28 ③ 29 ④ 30 ① 31 ② 32 ① 33 ① 34 ⑤ 35 ③ 36 ③ 37 ① 38 ② 39 ⑤ 40 ④ 41 ④ 42 -;2!;. 1 1 } n+1 n+2. 43 12. 올림포스 고난도•미적분. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 20. 2019-02-15 오후 1:00:43.

(21) 18 이차방정식 xÛ`-(4nÜ`-n)x+2n=0의 두 근이 aÇ, bÇ이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여. (2a-1)Û`=[2_{;2!;+ . aÇ+bÇ=4nÜ`-n. 1 }-1]Û`=;5$; '5. ⑤. aÇbÇ=2n. 20 x에 대한 다항식 xÜ`-aÇx+2nÛ`이 x-n으로 나누어떨어지므로. 이때. aûbû Á k=1 aû+bû n 2k =Á k=1 4kÜ`-k n 2 =Á k=1 4kÛ`-1 n. =Á n. aÇ=n(n+2) 이때 Á n. n. k=1. n. . =1. 1 1 } n+1 n+2. =6[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+y+{;n!;-. 1 1 } 2n-1 2n+1. Á ¦. n=1. 1 } 2n+1. . . ①. 19. Á n. k=1. =Á n. k=1 n. 'Äk+5-'Äk+3 "ÃkÛ`+8k+15. 'Äk+5-'Äk+3 "Ã(k+3)(k+5). = Á { k=1. 1 1 } 'Äk+3 'Äk+5. 1 1 1 1 1 1 }+{ }+{ }+y ={ '4 '6 '5 '7 '6 '8. 1 1 1 1 }+{ } +{ 'Än+2 'Än+4 'Än+3 'Än+5. . 1 1 1 } ={;2!;+ '5 'Än+4 'Än+5 이때 Á ¦. n=1. 'Än+5-'Än+3 "ÃnÛ`+8n+15. = lim Á n. n`Ú¦ k=1. 'Äk+5-'Äk+3 "ÃkÛ`+8k+15. 1 1 1 } = lim {;2!;+ n`Ú¦ '5 'Än+4 'Än+5 1 =;2!;+ '5 이므로 a=;2!;+ 따라서. 1 '5. 1 }] n+2. 따라서. 따라서 n ¦ aÇbÇ aûbû Á = lim Á aÇ+bÇ n`Ú¦ n=1 k=1 aû+bû n`Ú¦. =6{1+;2!;-. k=1. 1 2n+1. = lim {1-. 1 } k+2. n. 1 1 } 2k-1 2k+1. . 12 k(k+2). =6 Á {;k!;k=1. ={1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+y+{. =1-. 12 aû. =Á k=1. 2 (2k-1)(2k+1). = Á { k=1. nÜ`-aÇ_n+2nÛ`=0에서. n 12 12 = lim Á aÇ n`Ú¦ k=1 aû. = lim 6{1+;2!;n`Ú¦. 1 1 } n+1 n+2. . =6{1+;2!;-0-0}. . =9. . ②. 21 3. n+2. _7Ç` 의 모든 양의 약수의 개수 aÇ은. aÇ=(n+3)(n+1) 이므로 Á n. 1 aû. =Á k=1. n. 1 (k+1)(k+3). =;2!; Á { k=1. n. k=1. 1 1 } k+1 k+3. =;2!;[{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;}+y+{. =;2!;{;2!;+;3!;-. 1 1 }] n+1 n+3. 1 1 } n+2 n+3. 따라서 Á ¦. n=1. . n 1 1 = lim Á aÇ n`Ú¦ k=1 aû. = lim ;2!;{;2!;+;3!;n`Ú¦. 1 1 } n+2 n+3. . =;2!;{;2!;+;3!;-0-0}. . =;1°2;. . ⑤. 정답과 풀이. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 21. 21. 2019-02-15 오후 1:00:44.

(22) 정답과 풀이 22 삼각형 AOB의 넓이 aÇ은. lim . n`Ú¦. aÇ=;2!;_4n_2n=4nÛ` 따라서 Á ¦. n=1. an+2-an+1 an+2an+1. = Á {. 1. ¦. n=1. = Á [ ¦. n=1. an+1. -. 1. an+2. }. = lim . . = lim . . =8. n`Ú¦. = lim {aÇn`Ú¦. =0+8. ¦. n=1. lim {2-. =;1Á6;. n`Ú¦. . ①. 12 12 }+ lim n`Ú¦ "ÃnÛ`+3n-n "ÃnÛ`+3n-n. 23 곡선 y='¶2x 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 자연수가 되려면 x=2nÛ`(n은 자연수)이어야 한다.. anÛ`+bn 2 }가 수렴하므로 4n+1 4n-3. anÛ`+bn 2 }=0 4n+1 4n-3. 이때 lim {2n`Ú¦. an+b 4+;n!;. Á . 1 n=1 aÇ+bÇ ¦ 1 =Á n=1 2nÛ`+2n ¦ 1 =;2!; Á n=1 n(n+1) n 1 =;2!; lim Á n`Ú¦ k=1 k(k+1) ¦. -. 2 =0에서 4n-3 }. a>0이면 lim {2-. an+b. a<0이면 lim {2-. an+b. a=0이면 lim {2-. an+b. n`Ú¦. 따라서 aÇ=2nÛ`, bÇ=2n이므로. n`Ú¦. n`Ú¦. 4+;n!; 4+;n!; 4+;n!;. -. 2 =-¦ (발산) 4n-3 }. -. 2 =¦ (발산) 4n-3 }. -. 2 =2-;4B; (수렴) 4n-3 }. 따라서 a=0이고, 2-;4B;=0, 즉 b=8이므로 a+b=0+8=8. 1 } k+1. =;2!; lim [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;n!;-. 12 12 }+ ] "ÃnÛ`+3n-n "ÃnÛ`+3n-n. ③. 25 Á {2-. 1 =;4!; { -0} 2Û`. n`Ú¦ k=1. 1. . 1 1 ] =;4!; lim [ n`Ú¦ 2Û` (n+2)Û`. n. 4{®É1+;n#;+1}. =8. 1 1 ]] +[ (n+1)Û` (n+2)Û`. =;2!; lim Á {;k!;-. 12("ÃnÛ`+3n+n) 3n. n`Ú¦. n`Ú¦. 1 1 1 1 1 1 - }+{ - }+{ - }+y 2Û` 3Û` 3Û` 4Û` 4Û` 5Û`. . n`Ú¦. lim aÇ= lim [{aÇ-. 1 1 ] = lim Á [ n`Ú¦ k=1 4(k+1)Û` 4(k+2)Û` n. n`Ú¦. . 따라서. 1 1 ] 4(n+1)Û` 4(n+2)Û`. =;4!; lim [{. 12("ÃnÛ`+3n+n) 12 = lim n`Ú¦ ("ÃnÛ`+3n-n)("ÃnÛ`+3n+n) "ÃnÛ`+3n-n.  1 }] n+1. ④. 26 Á { n + 4 aÇ. =;2!;(1-0). 2n+1-4Ç` }이 수렴하므로 n-1 n=1 +1 aÇ 2n+1-4Ç` }=0이다. lim { + n-1 n n`Ú¦ 4 +1 이때. =;2!;. lim . n`Ú¦. =;2!; lim {1n`Ú¦. 1 } n+1. . ②. 24. 12 }가 수렴하므로 급수 Á {aÇn=1 "ÃnÛ`+3n-n. n`Ú¦. ¦. 12 }=0이다. lim {aÇn`Ú¦ "ÃnÛ`+3n-n. 이때. 22. ¦. 1 -1 2_ 2n+1-4Ç` 2Ç` = lim n-1 1 4 +1 n`Ú¦ ;4!;+ 4Ç` 0-1 = ;4!;+0 =-4. 이므로 aÇ aÇ 2n+1-4Ç` 2n+1-4Ç` }- n-1 ] lim = lim [{ + n-1 n n`Ú¦ n n`Ú¦ 4 +1 4 +1. 올림포스 고난도•미적분. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 22. 2019-02-15 오후 1:00:44.

(23) aÇ 2n+1-4Ç` 2n+1-4Ç` }- lim n-1 + n-1 n n`Ú¦ 4 4 +1 +1. . = lim {. . =0-(-4). . =4. n`Ú¦. lim aÇbÇ=1 (거짓). n`Ú¦. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. . 따라서. 29 Á kÛ`+k. aÇ 3+ 3nÛ`+naÇ n = lim 1 n`Ú¦ n`Ú¦ nÛ`+1 1+ nÛ` 3+4 = 1+0. =a Á {;k!;k=1. 11. k=1. . ②. 27. n=1. n=1. 이때 ;1!2!;a가 정수가 되도록 하는 자연수 a의 최솟값은 12이다.. 이므로 급수의 성질에 의하여. Á aÇ= Á ;1Á0;{(aÇ+3bÇ)-3(bÇ-3aÇ)} ¦. n=1. 따라서 a=12이므로 Á {. ¦. =;1Á0; Á (aÇ+3bÇ)-;1£0; Á (bÇ-3aÇ). ¦. n=1. ¦. ¦. n=1. n=1. =a{1-;1Á2;} =;1!2!;a. Á (aÇ+3bÇ)=14, Á (bÇ-3aÇ)=-2 ¦. n=1. 4 Ç` ¦ } = Á {;1¢2;}Ç` a n=1. =;1Á0;_14-;1£0;_(-2). Á bÇ= Á {(bÇ-3aÇ)+3aÇ} ¦. ¦. n=1. Ç`. ;3!;. 1-;3!;. =;2!;. =4. . 따라서. Á (aÇ+bÇ)= Á aÇ+ Á bÇ=2+4=6 ¦. ¦. ¦. n=1. n=1. n=1. . 28 ㄱ. Á (2aÇ-6)=4이므로 ¦. n=1. lim aÇ= lim [;2!;(2aÇ-6)+3]=;2!;_0+3=3 (참). ㄴ. Á aÇ=2, Á bÇ=-2이므로 n`Ú¦. ¦. ¦. n=1. n=1. 따라서. yy ㉡. 한편 수열 {aÇ}은 모든 항이 양수이므로 r>0이다. r=;2!;. yy ㉢. 따라서 n-1. aÇ=2_{;2!;}. n. ㄷ. (반례) aÇ={;2!;} , bÇ=2n이면. 1-;2!;. a°=arÝ`=;8!;. a=2. lim {(aÇ)Û`+(bÇ)Û`}=0 (참). n`Ú¦. Á aÇ=. yy ㉠. a_;4!;=;2!;에서. n`Ú¦. ;2!;. a£=arÛ`=;2!;. ㉢을 ㉠에 대입하면. lim aÇ=0, lim bÇ=0이다.. n`Ú¦. 30 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r이라 하면. ;2!;rÛ`=;8!;, rÛ`=;4!;. n`Ú¦. 따라서 n`Ú¦. ③. ④. ㉠을 ㉡에 대입하면. lim (2aÇ-6)=0. n=1. ¦. =. =-2+3_2. ¦. = Á {;3!;} n=1. =2. n=1. 1 } k+1. =a[{;1!;-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;1Á1;-;1Á2;}]. =7. ¦. a. 11. lim . . ③. 이므로 n. =1, lim bÇ= lim 2 =¦이지만. n. n`Ú¦. aÇbÇ={;2!;} _2n=1이므로. n`Ú¦. Á aÇan+1= Á [2_{;2!;} ¦. ¦. n=1. n=1. n-1. = Á [2_{;4!;}. ][2_{;2!;}Ç` ]. ¦. n=1. n-1. ]. 정답과 풀이. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 23. 23. 2019-02-15 오후 1:00:45.

(24) 정답과 풀이 =. 2. -1<r<1이다.. 한편 Á aÇ=. 1-;4!;. ¦. n=1. =;3*; ①. 또, Á a2n= Á ar2n-1=. ¦. n=1. n=1. ar =-1에서 1-rÛ` yy ㉡. (1-r)r=rÛ`-1 (r-1)(2r+1)=0. aÁ+0, -1<r<1. 이때 -1<r<1이므로. 한편. Á aÇ= ¦. n=1. aÁ =162 1-r. yy ㉠. 2aÁ=3aª에서 2aÁ=3aÁr, r=;3@;. r=-;2!; r=-;2!;을 ㉠에 대입하면. 또,. yy ㉡. ㉡을 ㉠에 대입하면 aÁ =162 1-;3@;. a=;2#; 따라서 a£=arÛ`=;2#;_{-;2!;}Û`=;8#; . aÁ=162_;3!;=54. (-4)Ç`=(-4)2k=(16)û`>0이므로. a¢=54_{;3@;}Ü`=16 . aÇ=2 ②. Û n=2k+1(k는 자연수)일 때 (-4)Ç`=(-4)2k+1=-4_(16)û`<0이므로. n 2n+2-1 2n+2+1 에서 < Á aû< k=1 2Ç`+1 2Ç`-1 1 42n+2-1 2Ç ` = 4-0 =4 = lim lim 1 1+0 n`Ú¦ n`Ú¦ 2Ç`+1 1+ 2Ç` 1 4+ 2n+2+1 2Ç ` = 4+0 =4 = lim lim 1 1-0 n`Ú¦ n`Ú¦ 2Ç`-1 12Ç` 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여. aÇ=1. 부등식. lim Á aû=4. 따라서 ¦ aÇ 2 1 2 1 Á = + + + +y 2Û` 2Ü` 2Ý` 2Þ` n=2 2Ç` . n. 이때 Á aÇ= lim Á aû=4이므로 n`Ú¦ k=1 ¦. n. n`Ú¦ k=1. n=1. ①. 34 Ú n=2k(k는 자연수)일 때. 따라서. 따라서 ;4!; ¦ 1 1 Á =Á = =;3!; n=1 pÇ` n=1 4Ç` 1-;4!;. . =;3@;+;6!;. . =;6%; ⑤. 35 두 등비수열 {aÇ}, {bÇ}의 공비를 각각 r, s라 하자.. ¦. . 2 2 1 1 + +y}+{ + +y} 2Û` 2Ý` 2Ü` 2Þ` 2 1 2Û` 2Ü` + = 1-;4!; 1-;4!; ={. . p=4. ①. ㄱ. 두 등비급수 Á aÇ, Á bÇ이 모두 수렴하므로 ¦. ¦. n=1. n=1. -1<r<1, -1<s<1. 한편 aÇbÇ=aÁbÁ(rs)n-1이므로. 급수 Á aÇbÇ은 공비가 rs인 등비급수이다. ¦. 등비수열 {aÇ}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면. 등비급수 Á aÇ이 수렴하므로 ¦. n=1. 24. ¦. ㉠을 ㉡에 대입하면. Á aÇ=162에서. 33. ¦. ar=rÛ`-1. 등비수열 {aÇ}의 공비를 r라 하면. n=1. 32. yy ㉠. a=1-r. . 31. a =1에서 1-r. 이때 -1<rs<1이므로 급수 Á aÇbÇ은 수렴한다. (참) n=1. ¦. n=1. 올림포스 고난도•미적분. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 24. 2019-02-15 오후 1:00:45.

(25) ㄴ. Á (aÇ)Û`, Á (bÇ)Û`이 수렴하므로 ¦. ¦. n=1. n=1. 22x-2_2Å`-8<0 (2Å`+2)(2Å`-4)<0. 0ÉrÛ`<1, 0ÉsÛ`<1. 이때 2Å`+2>0이므로. 이다. 이때. 2Å`<4. -1<r<1, -1<s<1. 이므로 두 등비급수 Á aÇ, Á bÇ이 모두 수렴한다. ¦. x<2. ¦. Ú, Û에서. 따라서 급수 Á (aÇ+bÇ)= Á aÇ+ Á bÇ은 수렴한다. (참) n=1. n=1. ¦. ¦. ¦. n=1. n=1. n=1. x<2 따라서 주어진 급수가 수렴하도록 하는 정수 x의 최댓값은 1이다.. ‌ ㄷ. 0<aª<bª에서 0<aÁr<bÁs. . 이때 0<aÁ=bÁ이므로. 38 급수 Á {;5Ò{;}Ç`이 수렴하려면. 0<r<s 한편. ¦. bÇ bÁsn-1 s n-1 } 이므로 = n-1 ={ aÇ r aÁr. 등비수열 [. n=1. -1<;5{;<1이어야 한다.. bÇ s s ]의 공비는 이고 >1 aÇ r r. 따라서 급수 Á ¦. n=1. 또, 급수 Á {logª`;4{;}Ç`이 수렴하려면 ¦. n=1. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③. 36. 2n. ㉠, ㉡에서. rÛ` <1이어야 한다. 9 rÛ` 즉, 0É <1에서 9 -1<. 급수 Á { ¦. n=1. -1<. 2<x<5 따라서 두 급수가 동시에 수렴하도록 하는 정수 x는 yy ㉠. r-4 Ç` } 이 수렴하려면 2. 3, 4이고, 그 개수는 2이다. . ¦. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 2<r<3. aÇ +1 n aÇ+n 0+1 ㄴ. lim = lim 5aÇ =;2!; (참) = 0+2 n`Ú¦ 5aÇ+2n n`Ú¦ +2 n ㄷ. 등비수열 {aÇ}의 공비를 r(r>0)이라 하자. 등비급수 Á aÇ이 수렴하므로 0<r<1이다. ¦. 따라서 a=2, b=3이므로. n=1. a+b=5 . 한편 aÇa2n=aÁrn-1_aÁr2n-1=(aÁ)Û`r(rÜ`)n-1이므로. ③ 22x-2x+1 Ç` } 이 수렴하려면 급수 Á { 8 n=1. -1<. n`Ú¦. n=1. 즉, -2<r-4<2에서. 37. ②. 39 ㄱ. 등비급수 Á aÇ이 수렴하므로 lim aÇ=0이다. (참). r-4 <1이어야 한다. 2. 2<r<6 . yy ㉡. 2<x<8. n=1. -3<r<3. -1<logª`;4{;<1이어야 한다. 즉, ;2!;<;4{;<2에서. 급수 Á {;3R;} 이 수렴하려면 ¦. yy ㉠. 즉, -5<x<5. bÇ 은 발산한다. (거짓) aÇ. . ①. 수열 {aÇa2n}은 공비가 rÜ`인 등비수열이다.. 이때 0<rÜ`<1이므로 급수 Á aÇa2n은 수렴한다. (참) ¦. ¦. 22x-2x+1 <1이어야 한다. 8. n=1. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. . ⑤. 즉, -8<22x-2x+1<8이다. Ú ‌부등식 22x-2x+1>-8에서 22x-2_2Å`+8>0 2Å`=t (t>0)으로 놓으면 tÛ`-2t+8=(t-1)Û`+7>0 즉, 주어진 부등식은 항상 성립한다. Û ‌부등식 22x-2x+1<8에서. 40 ;1°1;=0.H4H5이므로 4 (n=2k-1). (단, k는 자연수) 5 (n=2k) 따라서 ¦ aÇ 5 4 5 4 5 Á =;3$;+ + + + + +y 3Û` 3Ü` 3Ý` 3Þ` 3ß` n=1 3Ç` aÇ=à. 정답과 풀이. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 25. 25. 2019-02-15 오후 1:00:46.

(26) 정답과 풀이 . ={;3$;+. . =. = lim {aÇ-. 4 4 5 5 5 + +y}+{ + + +y} 3Ü` 3Þ` 3Û` 3Ý` 3ß`. ;3$;. +. 1-;9!;. n`Ú¦. ;9%;. =0+ lim . 1-;9!;. n`Ú¦. =;2#;+;8%;. =. . =:Á8¦:. =4 ④. 4+;n%; 1+. 4+0 1+0. . . 4nÛ`+5n 4nÛ`+5n }+ lim n`Ú¦ nÛ`+1 nÛ`+1 1 nÛ`. (가). . 또, 급수 Á (aÇ+2bÇ)이 수렴하므로 lim (aÇ+2bÇ)=0이다. ¦. n`Ú¦. n=1. 이때. 41 aÇ=OPÁÓ cos`45ù+PÁPªÓ cos`45ù+PªP£Ó cos`45ù+y . +Pn-1PÇÓ cos`45ù. =4_ =. lim bÇ= lim [;2!;(aÇ+2bÇ)-;2!;aÇ]. n`Ú¦. =;2!; lim (aÇ+2bÇ)-;2!; lim aÇ. n-1 '2 '2 '2 '2 +2_ +1_ +y+[4_{;2!;} ]_ 2 2 2 2. n`Ú¦. k-1 '2 n Á [4_{;2!;} ] 2 k=1. =-2. k-1 n '2 lim Á [4_{;2!;} ] lim aÇ= 2 n`Ú¦ k=1 n`Ú¦. '2 _ 2. n`Ú¦. =0-;2!;_4. 이므로. =. n`Ú¦. (나). . 따라서 bÇ -2 =-;2!; lim = 4 n`Ú¦ aÇ. 4. 1-;2!;. . (다). .  -;2!;. =4'2 또, bÇ=OPÁÓ sin`45ù-PÁPªÓ sin`45ù+PªP£Ó sin`45ù-y . +(-1)n-1 Pn-1PÇÓ sin`45ù. =4_ = 이므로. 단계. n-1 '2 '2 '2 '2 -2_ +1_ +y+[4_{-;2!;} ]_ 2 2 2 2. k-1 '2 n Á [4_{-;2!;} ] 2 k=1. lim bÇ=. n`Ú¦. =. k-1 n '2 lim Á [4_{-;2!;} ] 2 n`Ú¦ k=1. '2 _ 2. 채점 기준. 비율. (가) aÇ의 극한값을 구한 경우. 40`%. (나) bÇ의 극한값을 구한 경우 bÇ (다) 의 극한값을 구한 경우 aÇ. 40`% 20`%. 43 직각이등변삼각형 ABC에서 정사각형 AÁCÁCDÁ의 한 변의 길이. 4. 를 xÁ이라 하면. 1-{-;2!;}. 6-xÁ=xÁ, 즉 xÁ=3이므로. 4'2 = 3. SÁ=xÁÛ`=9 (가). . 따라서 aÇ 4'2 =3 lim = n`Ú¦ bÇ 4'2 3 . 한편 △ABC »△AÁBCÁ이고 두 삼각형 ABC, AÁBCÁ의 닮음비가 2`:`1 ④. 이므로 넓이의 비는 2Û``:`1Û`, 즉 4`:`1이다. (나). . 42. 급수 Á {aǦ. n=1. 4nÛ`+5n 4nÛ`+5n }이 수렴하므로 lim {aÇ}=0 n`Ú¦ nÛ`+1 nÛ`+1. 이다. 이때. lim aÇ= lim [{aÇ-. n`Ú¦. 26. n`Ú¦. 4nÛ`+5n 4nÛ`+5n }+ ] nÛ`+1 nÛ`+1. 따라서 수열 {SÇ}은 첫째항이 9이고 공비가 ;4!;인 등비수열이므로 Á SÇ= ¦. n=1. 9. 1-;4!;. =12. . (다). .  12. 올림포스 고난도•미적분. 해018-032 올림포스(미적분)02강_사1.indd 26. 2019-02-15 오후 1:00:46.

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