1
7.2 적률추정법
7.2 적률추정법
적률추정량(Method of Moments Estimator 또는 MME)은 (모수 의 함수인) 차 모적률(population moment)
을 차 표본적률(sample moment)
과 일치시켜 모수를 추정하는 방법이다. 예를 들어, 모수의 수가 개인 경우 개의 방정식
⋯
의 해로부터 적률추정량을 구한다. 즉, 위 식에서 는 모수 ⋯ 의 함수이므로
⋯
으로 표현되고, 이를 만족하는 해()가 모수 에 대한 적률추정량이 된다.
이 과정은 다음과 같이 보다 쉽게 이해될 수 있다. 만약 추정하고자 하는 모수
⋯ 가 차까지의 모적률을 통해 다음과 같이
⋯
⋯
⋯
으로 표현된다면 에 대한 적률추정량은, 모적률()을 표본적률()로 대체한
⋯
⋯
제1장 확률분포와 기댓값
2
⋯
으로 주어진다.
Remarks 1. 적률추정량의 타당성은, → ∞일 때, 차 표본적률은 차 모적률로 확률수렴한다는 사실(WLLN)에 근거한다.
2. 가 클수록 표본적률의 변동이 커지므로, 가능한 한 저차의 적률을 사용하여 추정 하는 것이 바람직하다. 예를 들어, 모수가 두 개인 경우에는 가급적 1차와 2차까지의 적률만을 사용하는 것이 좋다.
예제 1 ⋯을 로부터의 확률표본이라 할 때, 와 의 적 률추정량을 구하여라.
두 모수 와 를 모적률의 함수로 표현하면
이 된다. 따라서 두 모수에 대한 적률추정량은
이다. ■
예제 2 ⋯을 로부터의 확률표본이라 할 때, 와 에 대한 적 률추정량을 구하여라.
3
7.2 적률추정법
다음의 관계식
으로부터
이다. 따라서 와 의 적률추정량은
이다. ■
Remarks 1. 적률추정량은 대부분의 경우 일치성을 만족한다. 그러나 항상 불편성을 만족하는 것은 아니며, 존재하지 않을 수도 있고, 유일하지 않을 수도 있다. 이 사실 은 다음 절에서 다룰 최대가능도추정량의 경우에도 동일하게 적용된다.
2. 적률추정량이 최대가능도추정량(7.3절)보다 선호되지는 않지만, 최대가능도추정 량에 비해 손쉽게 구해지는 장점이 있다. 또한 반복해를 통해 최대가능도추정량을 구하는 경우에 초기값으로 사용되기도 한다.
제1장 확률분포와 기댓값
4
7.2 연습문제
1 ⋯이 로부터의 확률표본일 때, 에 대한 적률추정량을 구하여 라.
2 ⋯이
으로부터의 확률표본일 때, 의 적률추정량이
임을 보여라.
3 ⋯이 으로부터의 확률표본일 때, 와 에 대한 적률추정량 을 구하여라.
