Chapter 3. 미분법의 응용

Chapter 3. 미분법의 응용

Chapter 3. 미분법의 응용

이문배

건국대학교 수학과

Contents

3.5 곡선 그리기

3.7 최적화 문제

3.8 뉴턴의 방법

3.9 역도함수

Chapter 3. 미분법의 응용 3.5 곡선 그리기

y = f (x)의 그래프를 손으로 그리기 위해서는 다음 항목들이 유용하다.

▶ 정의역, 절편

▶ D 내의 임의의x에 대하여 f (−x) = f (x) : 우함수 (y−축에 대하여 대칭이다. )

▶ D 내의 임의의x에 대하여 f (−x) = −f (x) : 기함수 (원점에 대하여 대칭이다.)

▶ p가 양의 상수이며, D 내의 임의의x에 대하여 f (x + p) = f (x) 이면 f 를 주기함수라 한다. 위의 식을 만족하는 양수 p를 주기라 한다.

▶ 점근선, 증가 또는 감소, 극소값과 극대값, 오목성과 변곡점

Example

지침을 이용하여 곡선 y = 2x²

x²− 1을 그리자.

Chapter 3. 미분법의 응용 3.5 곡선 그리기

Example

다음의 그래프를 그리자.

f (x) = x²

√x + 1

Example

기름 1L를 담은 원주통을 만든다. 통을 만드는 재료의 비용을 최소화하는 치수를 구하여라.

Chapter 3. 미분법의 응용 3.7 최적화 문제

Example

포물선 y²= 2x상에서 점 (1, 4)에 가장 가까운 점을 구하여라.

다음 방정식의 해를 구하는 것은 쉽지가 않다.

48x(1 + x)⁶⁰− (1 + x)⁶⁰+ 1 = 0 위의 해의 근사값을 구하는 방법에 대하여 알아보자.

뉴턴의 방법

일반적으로 f^′(xn) ̸= 0이면 n번째 근사값은 xn이고, 다음 근사값과의 관계식은 다음과 같다:

xn+1= xn− f (xn) f^′(xn) xn은 f (x) = 0의 근에 점점 가까이 다가간다.

Chapter 3. 미분법의 응용 3.8 뉴턴의 방법

Example

x1= 2에서 시작하여 방정식 x³− 2x − 5 = 0의 해에 대한 세번째 근사값을 구하여라.

뉴턴의 방법을 사용할 수 없는 경우

Definition

구간 I에서 F^′(x) = f (x)이면 함수 F 는 I에서 f 의 역도함수라 한다.

Theorem

만약 F 가 f 의 한 역도함수이면

F (x) + C

도 f 의 역도함수이다. 여기서 C는 임의의 상수이다.

Example f^′(x) = x√

x이고 f (1) = 2 를 만족하는 f 를 찾자.