정규분포 제 2장
정규분포(Normal distribution)
• 연속확률분포 중에서 가장 중요하고 널리 쓰이는 분포가 정규 분포(normal distribution)이다. 정규분포는 수학자인 C.
Gauss(1777～1855)에 의해서 각종 물리학이나 천문학 실험에 서 많이 응용되었기 때문에 가우스 분포(Gauss distribution)라 고도 부른다.
(1) 정규분포의 확률밀도함수
⇒ 확률변수 X가 평균 u, 표준편차가 인 정규분포를 따를 때, 이 이라 표시하고 확률밀도함수는
이다.
(2) 정규분포의 특징
① 확률밀도곡선은 종 모양(bell shape)이다.
② 확률밀도곡선 아래쪽 영역의 총 면적은 항상 1이다.
③ 평균은 확률밀도곡선의 중앙에 위치해 있고, 평균값 u에 관해 좌우 대칭이며 평균값 u에서 확률 밀도 곡선의 높 이가 가장 크다.
④ 평균, 중위수, 최빈치는 모두 같은 값이다.
⑤ 정규분포의 모양과 위치는 평균 u와 표준편차 에 따라
달라진다.
(3) 평균과 표준편차의 역할
⇒ 위의 ⑤의 특징을 좀 더 자세히 알아보도록 하자.
◀ case 1
• 평균을 같게 하고 표준편차를 달리하는 경우 <그림 7.7>과 같이 변화한다.
① 표준편차가 작아질수록 분포 모양이 평균 u근처에 집중되
② 표준편차가 커질수록 분포모고, 양은 평평해진다.
→ 즉, 같은 평균에 대해 표준편 차가 달라지면 곡선의 높이와
모양이 달라진다. <그림 7.7>
평균은 같지만 표준편차가 다른 정규분포
(3) 평균과 표준편차의 역할
◀ case 2
⇒ 반면, 표준편차를 같게 하고 평균을 달리하는 경우
<그림 7.8>과 같이 단지 중심 위치만 바뀌게 할 뿐 곡선의 모양은 변하지 않는다.
<그림 7.8>
표준편차는 같지만 평균이 다른 정규분포
(4) 표준편차의 위치와 분포의 면적
⇒ 확률변수 X가 평균 u와 표 준편차 를 갖는 정규분포 를 따른다고 하자.
즉, 일 때
<그림 7.9>는 가장 많이 쓰 이는 범위의 면적을 나타내 고 있다.
<그림 7.9>
정규분포의 확률밀도함수
<그림 7.9>에 나타난 대표적인 면적들을 확률로 표시하면 다음과 같다.
일 때,
(7.3)
<그림 7.9>
정규분포의 확률밀도함수
<퀴즈>
1. 정규분포 곡선의 성질에 대해 말하여라.
2. 정규분포에서 평균과 표준편차의 역할에 대해 말하여라.
<차시 학습예고>
• 표준정규분포
제11주차 2강 : 제7장 연속확률분포(1)
<학습목표>
• 연속확률분포에 해당하는 여러 가지 분포들을 소개하고 그 특 징을 알아본다.
<학습내용>
• 표준정규분포
<본문내용>
• 표준정규분포란?
⇒ 여러 가지 정규분포 중 평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포를 특히 표준정규분포(standard normal distribution)라고 한다.
표준정규분포를 따르는 확률변수를 관례상 Z로 표시한다. 어 떠한 형태의 정규분포든지 다음과 같은 변환을 하면 표준정규 분포로 나타낼 수 있다.
1) 표준정규분포의 p.d.f
◀ 1단계 : 확률변수 X를 표준화 확률변수 Z 로 변환
일 때,
즉, 평균이 u이고 표준편차가 인 확률변수 X가 정규분포를 따를 때, 그것의 평균 u를 빼고 표준편차 로 나누어주면(이러한 과 정을 표준화(normalization)라고 한다.).
평균이 0이고, 표준편차가 1인 표준화된 확 률변수 Z는 표준 정규분포를 따른다.
1) 표준정규분포의 p.d.f
◀ 2단계 : 표준화 확률변수 생성
즉, 평균이 u이고 표준편차가 인 확률변수 X가 정규분포를 따를 때, 그것의 평균 u를 빼고 표준편차 로 나누어주면(이러한 과 정을 표준화(normalization)라고 한다.). 평 균이 0이고, 표준편차가 1인 표준화된 확 률변수 Z는 표준 정규분포를 따른다.
) (x f
2) 표준정규분포표
• 부록의 <표 3>은 평균 0에서 오 른쪽의 특정 Z값까지의 면적을 나타내는 표준 정규분포표로서 이 표를 이용하여 여러 가지 정 규분포와 관련된 확률을 구할 수 있다. 표준정규확률변수 Z는 0을 중심으로 대칭인 분포를 갖게되
고 이므로,
<그림 7.10>에서처럼
(7.4) (7.5) 으로 나타낼 수 있으며
부록<표 3>의 표준정규분포표에 서 찾을 수 있다.
<그림 7.10> 표준정규분포
