표 본 평 균
확률변수
①
를 갖는 모집단에서
개의 표본
⋯
으 평균
⋯
도 확률 변수로 생각할 수 있고 이 확률 변수를 표본평균,
라고 한다.모집단에서 표본크기가
②
인 표본을 복원축출할 때,
,
표본크기
③
이 충분히 크면 표본평균
는 근사적으로 정규분포를 따른다 즉.
모평균 추정
모평균
①
, 모표준편차
인 모집단에서 크기가
인표본평균
와 표준정규분포
에서 ≤ ≤
일 때,
≤ ≤
을 신뢰도
%인 모평균
의 신뢰구간이라 한다.②
≤
일 때 신뢰도,
%로 모평균 을 추정하는 경우 신뢰구간의 길이는
다.기 출 1
월 수 능 04. 11
다음은 신뢰구간 신뢰도 표본의 크기의 관계를 설명한 것이다, , .
정규분포 σ 을 따르는 모집단이 있다.
이 모집단에서 크기 인 표본을 임의추출하면 표본평균은 정규분포 가( )를 따른다.
이 표본평균의 분포를 이용하여 추정한 모평균 에 대한 신뢰도 α의 신뢰구간을 라 하자.
표본의 크기를 으로 고정하고 신뢰도를 α보다
높게한 신뢰구간을 라 할 때, 는
보다 나( ).
한편 신뢰도를, α로 고정하고 표본의 크기를 으로한 신뢰구간을 라 할 때,
는 의 다( )배가 된다.
위의 과정에서 가( ), ( ), ( )나 다 에 알맞은 것은? [3 ]점
가 나 다
( ) ( ) ( )
① σ 크다
② σ 작다
③ σ
크다
④ σ 크다
⑤ σ 작다
기 출 2 월 전국연합 05. 7
어느 제과점에서 만드는 빵
개의 무게를 확률변 수
라 하면
는 평균이
g, 표준편차 가
g인 정규분포를 따른다고 한다 임의추출.된 빵
개의 무게의 표본평균을
라 할 때,
가
g 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구하면
이다.
의 값을 구하시오. [3 ]점기 출 3
월 수 능 06. 11
어느 공장에서 생산되는 탁구공을 일정한 높이에서 강철 바닥에 떨어뜨렸을 때 탁구공이 튀어 오른 높이는 정규분포 를 따른다고 한다 이 공장에서 생산된 탁구공 중 임의. 추출한 개에 대하여 튀어 오른 높이를 측정하였더니 평균이 , 표준편차가 이었다.
이 공장에서 생산되는 탁구공 전체의 튀어 오른 높이의 평균에 대한 신뢰도 의 신뢰구간에 속하는 정수의 개수는? 단 높이의 단위는( , 이고, 가 표준정규분포
를 따를 때 이다.) [3 ]점
① ② ③ ④ ⑤
≦ ≦
기 출 4
월 평가원 07. 9
어느 공장에서 생산되는 건전지의 수명은 평균 시간 표준편차, 시간인 정규분포를 따른다고 한다.
이 공장에서 생산된 건전지 중 크기가 인 표본을
임의추출하여 건전지의 수명에 대한 표본평균을 라 하자.
를 만족시키는 표본의 크기 의 값을 위의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3 ]점
① ② ③ ④ ⑤
기 출 5
월 평가원 07. 4
어떤 도시에 있는 전체 고등학교 학생들의 몸무게는 표준편 차가
인 정규분포를 따른다고 한다 이 도시의 고등학. 교 학생 전체에 대한 몸무게의 평균을 신뢰도
로 추정할 때 신뢰구간의 길이를,
이하가 되도록 하려고 한 다 조사하여야 할 표본의 크기의 최솟값을 구하시오. .단
( ,
≦ ≦
이다.) [3 ]점 ≦ ≦
기 출 6 월 전국연합 05. 10
어떤 두 직업에 종사하는 전체 근로자 중 한 직업에서 표본
를 또 다른 직업에서 표본,
를 추출하여 월급을 조사하였더니 다음과 같은 결과를 얻었다.표본 표본의
크기 평균 표준 편차
신뢰도
(%) 모평균의 추정
≦ ≦
≦ ≦ 단위는 만원이고 표본
( ,
,
의 월급의 분포는 정규분포를 이룬다)위의 자료에 대한 옳은 설명을 보기 에서 모두 고른< >
것은? [4 ]점
보 기
< >
표본 .
ㄱ
보다 표본
의 분포가 더 고르다.표본 .
ㄴ
의 크기가 표본
의 크기보다 작다.신뢰도를 .
ㄷ
보다 크게 하면 신뢰구간의 길이도 커진다., ,
① ㄱ ② ㄱ ㄴ ③ ㄱ ㄷ
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
기 출 7
월 수 능 07. 11
모평균 , 모표준편차 인 정규분포를 따르는 모집단에서 임의추출한 크기 인 표본의 표본평균을 라 하자 표준. 정규분포를 따르는 확률변수 에 대하여 양의 상수 가
＞
을 만족시킬 때, <보기 에서 옳은 것을 모두 고른 것은> ?[4 ]점
보기
< >
ㄱ . ＞ 인 상수 에 대하여 ＞ 이다.
ㄴ . ≦
ㄷ . ＞ 인 상수 에 대하여 ＜ 이다.
,
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ ㄴ
,
④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ, ,
기 출 8
월 학업성취도 08. 5
정규분포
를 따르는 모집단에서 크기
인 표본을 임의 추출하여 조사한 결과 표본평균이
이었다.모평균
을
의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 ≦ ≦
일 때,
의 값을 구하시오.단
( ,
≦ ≦
) [3 ]점기 출 9 월 평가원 08. 9
어떤 모집단의 분포가 정규분포
을 따르고, 이 정규분포의 확률밀도함수
의 그래프와 구간별 확률은 아래와 같다.확률밀도함수
는 모든 실수
에 대하여
를 만족한다 이 모집단에서 크기.
인 표본을 임의추출할때의 표본평균을 라 하자.
≦ ≦
의 값은?[4 ]점①
②
③
④
⑤
예 상 1
상자 안에는 3,4,5,6,7이 적힌 구슬이 개 들어있다 여5 . 기서 복원추출로 개의 구슬을 꺼내어 그 구슬에 적힌3 숫자의 평균을
라고 할 때,
는?예 상 2
의 수가 하나씩 적힌 개의 공이 들어있는
2,4,6,8,10 5
주머니에서 크기가 인 표본을 임의로 복원추출할 때2 ,
의 평균과 분산의 곱을 구하여라.예 상 3 부터
1
까지 자연수로 구성된 모집단이 있다 이 모집. 단에서 크기 인 표본을 복원추출하여 그 표본평균을2
라고 할 때 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고르시오, < >보 기
< >
.
ㄱ
의 최댓값은
이다..
ㄴ
.
ㄷ
, , ,
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄷ
예 상 4 어느 양식장에 있는 물 고기의 무게는 평균
표준편차,
인 정규분포를 따른다고 한다 이 양식장에서. 36 마리의 물고기를 임의 추출하였을 때 무게의,
평균이 이상 이하일 확률을 표를 이용하여 구한 값은?
0.7745 0.6826 0.6687
① ② ③
0.6247 0.5328
④ ⑤
예 상 5
평균이
, 분산이 인4 정규분포를 따르는 모집 단에서 임의추출한 크기
인 표본의 평균을
라 할 때 확률, ≤
≥
을 만족하는 의 최솟값은?16 25 36 49 64
① ② ③ ④ ⑤
≦ ≦
≦ ≦
예 상 6
정규분포
따르는 모집단 크기
인 임의의 표본을 추출하여 조사한 결과 표본평균이
이었다.모평균
의 신뢰구간은 95% 신뢰도로 ≤ ≤
이다 이 때. ,
+
의 값을 구하면? ( ,단 ≤
)60 85 110 135 179
① ② ③ ④ ⑤
예 상 7
전국연합 학력평가 후 응시생 1600명을 임의로 추출하 여 가채점을 하였더니 수리영역 점수의 표준편차가 16 점이었다 수험생 전체 수리영역 평균점수.
을 95%의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 ≤ ≤
일 때,
의 값은? ( ,단 ≤
) 0.784 1.568 2.352 3.136 3.920① ② ③ ④ ⑤
예 상 8
어떤 공장에서 새로운 제조법에 의해 생산되는 전구의 수명시간
을 추정하려고 한다 그런데 표본 한 개당. 추출하여 조사하는 비용이 만원 이고 총 조사비용으로 만원이 책정되어 있다 이 때 허용된 비용내에서 평64 .
균수명시간
과 이의 추정값인 표본평균
의 차이 를 시간내로 하는 신뢰구간을 구할 때 허용되는 신뢰5 도의 최댓값은 단 모표준편차는?( ,
(시간 으로)예 상 9
크기가
인 표본에 의하여 신뢰도 99%로 모평균을 추 정할 때 신뢰구간의 길이를,
이라고 하자 신뢰구간의. 길이를
로 하기 위한 표본의 크기를
라 할 때, ⋯
의 값은?380
①
② 385
③ 390
④ 395
⑤ 400
예 상 10
총 학생수가 10000명인
고등학교 학생 키의 평균을 추정하려고 한다 임의로. 100명의 학생을 표본으로 뽑 아 키를 조사하였더니 평균 170
, 표준편차 5
의 정규분포를 따른다고 한다 이 사실로부터 추정할 수. 있는 것은? ( ,단 ≤ )보 기
< >
.
ㄱ 표본집단 학생들의 약95%는 그 키가 160
에서 180
사이에 있다..
ㄴ 95%의 신뢰도로
고등학교 전체의 키의 평균은 169
이상 171
이하에 있다고 할 수 있다..
ㄷ 95%의 신뢰도로
고등학교 전체의 키의 평균을 신뢰구간의 길이가 1
이하가 되도록 추정하려면명 이상의 학생을 표본으로 조사하면 된다
400 .
,
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ
, , ,
④ ㄱ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ
예 상 11
정규분포
따르는 모집단에서 임의추출한 표 본의 평균
로부터 모평균
을 추정할 때 신뢰구간, 의 길이는 표본의 크기
과 신뢰도
(%)에 따라 변한 다 다음 중 신뢰구간의 길이가 가장 긴 것은. ?①
②
③
④
⑤
예 상 12
어떤 회사에서 하루에1000개의 제품을 생산한다 생산되는. 제품의 무게는 평균이
, 표준편차가
인 정규분포를 따른다고 한다 제품을 낱개로 검사할 때는 무게가.
미만인 것을 불량품으로 판정하며, 4개를 한데 묶은 것을 검사할 때는 한 묶음의 무게가
미만인 것을 불량 묶음으로 판정한다고 한다. 1000개를 모두 낱개로 검사하여 나오는 불량품의 개수의 기댓값을
, 1000개를 개씩 묶은4것을 검사하여 나온 불량묶음에 들어있는 제품의 개수의 기댓값을
라 할 때,
의 값을 구하여라.단
( ,
≤ ≤
, ≤ ≤
)예 상 13
표준편차가
인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 16인 표본을 뽑아 신뢰도95%로 모평균을 추정한 신뢰구간의 길이를
, 크기가
인 표본을 뽑아 신뢰도 99%로 모평균을 추정한 신뢰구간의 길이를 ′
이라 한다 이 때 부등식. , ′ ≤
이 성립하도록 하는
의 최솟값을 구하여라.단
( , ≤≤ , ≤≤ )
예 상 14
모평균이50, 모표준편차가 인 정규분포를 따르는 모집단에서5 임의 추출한 크기 25인 표본의 표본평균을
라 하자.표준정규분포를 따르는 확률변수
에 대하여 다음 세 조건을 동시에 만족하는
의 대소 관계로 옳은 것은?단
( ,
는 양수)가
( )
나
( )
다
( )
≤
①
②
③
④
⑤
