정답

중학 수학 ❸-

1

BlackLabe l

정답 과 해설

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Ⅰ. 제곱근과 실수 01.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제 p.9} Step 2/^{A등급을 위한 문제 pp.10~14} Step 3/^{종합 서술형 도전 문제} pp.15~16 미리보는학력평가 p.17 01 ① 02 ③ 03 10, 40, 90

04 aÛ`, a, 'a, ¾1 a`, 1

a 05 ⑤ 06 ③ 07 ④

01 34 02 ⑤ 03 ④ 04 16 05 -a+2c 06 -3a+4b 07 3 08 ⑤ 09 15 10 29 11 -1 12 7 13 27 14 ⑤ 15 91 16 6 17 ③ 18 ② 19 7 20 6 21 ④ 22 ④ 23 ② 24 110 25 ② 26 ④ 27 ⑤ 28 ② 29 ④ 30 ④

01 ⑴ 8 ⑵ '8 02 ⑴ 20 ⑵ 18 03 ⑴ 9aÉb<9.61a ⑵ 124 04 ⑴ 풀이 참조 ⑵ -1+'2>3-'§10 05 3 06 6 07 8 08 6+'6+'2

1 ① 2 ① 3 9 4 11

02.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제 p.19} Step 2/^{A등급을 위한 문제 pp.20~24} Step 3/^{종합 서술형 도전 문제 pp.25~26 미리보는}학력평가 ^p.27 01 ④ 02 ⑤ 03 7

2 04 4'5 05 ⑤ 06 15

2 07 ① 08 ①

01 ① 02 ② 03 ④ 04 1

2 05 12 06 '2 07 ② 08 '2 09 3'2 10 ① 11 5 12 -1 13 ② 14 ① 15 ③ 16 9 17 2'3 18 ④ 19 12-5'2 20 ② 21 ① 22 '3 23 22

7 24 ⑤ 25 -120 26 4-2'3 27 3 28 ③

01 ⑴ 구할 수 있다., 28.28 ⑵ 구할 수 없다.

02 ⑴ 풀이 참조, 4+2'2 ⑵ 16+6'2 03 ⑴ 3 ⑵ 287

04 ⑴ d1='7-2, d2= '7-13 , d³= '7-12 , d4= '7-2

3 ⑵ '7-2 05 8-'64 06 200'2-200

07 12 08 9

1 ① 2 14 3 2 4 '2+1

Ⅱ. 다항식의 인수분해 03.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제 p.31} Step 2/^{A등급을 위한 문제 pp.32~36} Step 3/^종합 서술형 도전 문제 pp.37~38 미리보는학력평가 p.39 01 ⑤ 02 ① 03 ①, ③

04 9 05 4x+y 06 ③ 07 161 08 ③

01 ⑤ 02 16 03 ⑤ 04 155 05 ② 06 15 07 ⑤ 08 12 09 0 10 ④ 11 ③ 12 1 13 2a-2b 14 3 15 15 16 ④ 17 '3 18 13 19 ① 20 (x+1)(2x-3) 21 2 22 ③ 23 8 24 ⑤ 25 2xÛ`-2yÛ` 26 ⑤ 27 6 28 464 29 ④ 30 ④ 31 ③

01 ⑴ x=(a-2)Û` ⑵ 4 02 ⑴ c=a(a+5) ⑵ 14 03 ⑴ (b+c+a)(b+c+d) ⑵ 182 04 ⑴ (5x+2)(3x-4) ⑵ 16x-4 05 -20'2 06 -4 07 x+2 08 p4a(2b-a)

1 136 2 176 3 298 4 ①

Ⅲ. 이차방정식 04.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제 pp.43~44} Step 2/^{A등급을 위한 문제 pp.45~49} Step 3/^{종합 서술형 도전 문제 pp.50~51 미리보는}학력평가 p.52 01 ② 02 ⑤ 03 3 04 -6

05 ① 06 5 07 ③ 08 ② 09 4 10 ③ 11 ② 12 ④ 13 4 14 ③

01 ⑤ 02 ④ 03 ③ 04 33 05 8 06 x=-5 07 37 08 ① 09 2017 10 - 32 11 11 12 a<1

2 또는 1

2 <a<4 13 ② 14 13 15 ① 16 12 17 ④, ⑤ 18 16'33 19 ①

20 ④ 21 ④ 22 ③ 23 112 24 ① 25 ③ 26 ④ 27 ② 28 62 29 16 30 2

01 ⑴ -2'1Œ9 ⑵ 43

02 ⑴ x=2 또는 x=- 23 ⑵ -1 2 03 ⑴ x=-1 ⑵ x=1 ⑶ 근이 없다.

04 ⑴ x=-a 또는 x=3a-1 ⑵ 1- '1Œ0

3 <a<-2+'1Œ0 05 -1 06 210 07 3 08 x= 1+'52 또는 x=2

1 ③ 2 24 3 194 4 ①

05.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제 pp.54~55} Step 2/^{A등급을 위한 문제 pp.56~60} Step 3/^{종합 서술형 도전 문제 pp.61~62 미리보는}학력평가 ^p.63 01 ② 02 ④ 03 ② 04 kÉ4

05 -1 06 100 07 3 08 ① 09 xÛ`+4x-15=0 10 ⑤ 11 ④ 12 ④ 13 4`cm 14 2초

01 ⑤ 02 "ÃbÛ`-4ac

b 03 -7 04 ② 05 27

06 x=1 또는 x=2 07 ④ 08 ② 09 ④ 10 ⑤ 11 - 1 2 12 ④ 13 ⑤ 14 18 15 -1000 16 27 17 13명 18 ④ 19 x= 1Ñ'1Œ74 20 24000원 21 ③ 22 812`cmÜ` 23 ③ 24 16`cm 25 ④ 26 ③ 27 3

01 ⑴ 40

9 ⑵ a=-18, b=15 02 ⑴ 6초 후 ⑵ 10초 03 ⑴ 4xÛ`+8x ⑵ 12 04 ⑴ 4tÛ`-24t+135 ⑵ 3초 05 13 06 33xÛ`+184x-17=0 07 20살 08 80분 후

1 169 2 12 3 ② 4 19

Ⅳ. 이차함수 06.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제 pp.68~69} Step 2/^{A등급을 위한 문제 pp.70~73} Step 3/^{종합 서술형 도전 문제} pp.74~75 미리보는학력평가 p.76 01 ② 02 ④ 03 ③ 04 5

05 ⑤ 06 -5 07 ① 08 a<0, p<0, q>0 09 ③ 10 풀이 참조 11 ③ 12 ① 13 10 14 ③ 15 ④ 16 16

01 ② 02 ③ 03 A : {-2 3, 8

9 }, B : {-2 3, -4

9 } 04 ④ 05 ③ 06 -1 07 ⑤ 08 ④ 09 ① 10 18 11 ④ 12 ② 13 2 14 ② 15 ① 16 -3 17 -1 18 0 19 ④ 20 4 21 ① 22 22 23 {-1

2, 9 2 }

01 ⑴ P : (k, 4kÛ`), Q : (k, akÛ`) ⑵ 32 02 ⑴ A(-m, 0), B(0, m), C(2m, 3m) ⑵ 3

03 ⑴ a= 12, b=3 ⑵ (-3,-5) 04 ⑴ A : (1, 8), B : (0, 6), C : (3, 0) ⑵ 6

05 14 06 49ÉaÉ4

07 12 08 60

1 36 2 16 3 ② 4 ③

07.

Step 1/^{시험에 꼭 나오는 문제} p.78 Step 2/^{A등급을 위한 문제} pp.79~82 Step 3/^종합 서술형 도전 문제 pp.83~84 미리보는학력평가 p.85 01 10 02 14 03 9 04 ③

05 ② 06 ② 07 ⑤

01 ① 02 ② 03 -2 04 ④ 05 (1, 9) 06 ① 07 8 08 ④ 09 -2 10 ⑤ 11 0 12 34 13 8 14 99 15 ⑤ 16 200 17 ④ 18 ① 19 ⑤ 20 175

4 `cmÛ` 21 4 22 ②

01 ⑴ y=xÛ`+4x-7, y=2xÛ`+2x-7 ⑵ -37

2

02 ⑴ C(-4, 5), Q{-3, 33 8 } ⑵ y= 1

8xÛ`+3 ⑶ 6 03 ⑴ f(k)=- 1

2kÛ`+3k ⑵ 9 2 04 ⑴ -kÛ`+4k+4a ⑵ 9 05 8, 17 06 - 17

8

07 2`m 08 15

4

1 18 2 16 3 18 4 -1

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Ⅰ. ^{제곱근과 실수} 01. 제곱근과 실수

01 ① 02 ③ 03 10, 40, 90 04 aÛ`, a, 'a, ¾ 1a`, 1

a 05 ⑤ 06 ③ 07 ④

Step 1

01

ㄱ. '4Œ9=7

ㄴ. (-2)Û`=4의 제곱근은 Ñ2이다.

ㄷ. '8Œ1=9의 제곱근은 Ñ3이다.

ㄹ. 양의 정수의 제곱근은 2개, 0의 제곱근은 1개, 음의 정수의 제곱근은 없다.

ㅁ. '2Œ5=5의 양의 제곱근은 '5이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ①

02

ㄱ. x<-1이면 x+1<0, 1-x>0이므로 A=-(x+1)-(1-x)=-2

ㄴ. -1<x<1이면 x+1>0, 1-x>0이므로 A=(x+1)-(1-x)=2x

ㄷ. x>1이면 x+1>0, 1-x<0이므로 A=(x+1)-{-(1-x)}=2

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③

03

'Ä40n="Ã2Ü`_5_n이 자연수가 되려면

n=2_5_kÛ``(k는 0이 아닌 정수) 꼴이 되어야 하므로 n=10, 40, 90, 160, y

따라서 구하는 두 자리의 자연수 n의 값은 10, 40, 90이다.

답 10, 40, 90

04

0<a<1이면 aÛ`<a이고 "ÅaÛ`<'a이므로 a<'a

05

ㄱ. 순환하는 무한소수는 유리수이다.

ㄴ. a=4일 때, '4=2는 유리수이다.

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ, ㅁ이다. 답 ⑤

06

① ABCD=3Û`-4_{ 12 _2_1}=5

② EFGH=4Û`-4_{ 12 _3_1}=10

③ EFGH=10이므로 EHÓ='1Œ0

즉, 점 P는 점 E(2)보다 EHÓ='1Œ0만큼 왼쪽에 있으므로 점 P의 좌표는 2-'1Œ0

④ ABCD=5이므로 ABÓ='5

즉, 점 Q는 점 A(-2)보다 ABÓ='5만큼 오른쪽에 있으므 로 점 Q의 좌표는 -2+'5

⑤ EFGH=10이므로 EFÓ='1Œ0

즉, 점 R는 점 E(2)보다 EFÓ='1Œ0만큼 오른쪽에 있으므로 점 R의 좌표는 2+'1Œ0

따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③

a<1< 1

a 에서 'a<¾ 1a aÛ`<a에서 1

a < 1

aÛ` 이므로 ¾ 1a <¾Ð 1 aÛ` = 1

a

∴ aÛ`<a<'a<¾ 1a <1

a ^답 aÛ`, a, 'a, ¾ 1a`, 1a

다른풀이

a= 12 이라 하면 1

a=2, 'a=¾ 12 , ¾ 1a`='2, aÛ`= 14 이때 1

4 < 1

2 =¾ 14 <¾ 12 <1<'2<2='4이므로 1

4 < 1

2 <¾ 12 `<'2<2

∴ aÛ`<a<'a<¾ 1a `<1 a

Ⅰ. 제곱근과 실수 005

본문 pp.9~10

Step 2

01 34 02 ⑤ 03 ④ 04 16 05 -a+2c 06 -3a+4b 07 3 08 ⑤ 09 15 10 29 11 -1 12 7 13 27 14 ⑤ 15 91 16 6 17 ③ 18 ② 19 7 20 6 21 ④ 22 ④ 23 ② 24 110 25 ② 26 ④ 27 ⑤ 28 ② 29 ④ 30 ④

01

3ɾ yx`<4이므로 9É yx<16

∴ 9xÉy<16x

위의 부등식의 각 변에 x를 더하면 10xÉx+y<17x 이때 x+y=40이므로 10xÉ40<17x

∴ 40 17 <xÉ4

x는 자연수이므로 x=3 또는 x=4 Ú x=3일 때,

x+y=40에서 y=37

이때 x, y는 서로소이므로 조건에 맞다.

Û x=4일 때,

x+y=40에서 y=36

그런데 x, y는 서로소가 아니므로 조건에 맞지 않다.

Ú, Û에서 x=3, y=37이므로

|x-y|=|3-37|=34 답 34

07

1<3<4이므로 '1<'3<'4 즉, 1<'3<2이므로 -2<-'3<-1

또한, 1<2<4이므로 '1<'2<'4 ∴ 1<'2<2

따라서 수직선 위에서 두 수 -'3, '2에 대응하는 점을 각각 A, B라 하면 두 점 A, B는 다음 그림과 같다.

-2 -1

A B

0 1 Â2 2 -Â3

① 두 점 A, B 사이에 자연수 1이 있다.

② 두 점 A, B 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1의 3개이다.

③ 두 점 A, B 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.

⑤ 두 점 A, B 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.

따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④

03

S1=1`cmÛ`이고 S1은 S2의 2배이므로 S2=S1_ 1

2=1_ 1 2= 1

2 (cmÛ`) S2는 S3의 2배이므로 S3=S2_ 1

2= 1 2_ 1

2= 1 4 (cmÛ`) 세 정사각형의 넓이의 합은 1+1

2+ 1 4= 7

4 (cmÛ`)이므로 xÛ`= 74 ∴ x=¾ 74 (∵ x>0) 답 ④

04

오른쪽 그림과 같이 각 정사각형의 _A

E

B F C

G H D

P S

Q R

꼭짓점을 정하자.

ABCD의 한 변의 길이가 2이므로 EFGH= 1

2 ABCD= 1 2_2Û`=2 즉, EFGH의 한 변의 길이는 '2이다.

또한, PQRS= 1

2 EFGH= 1

2_2=1이므로 PQRS의 한 변의 길이는 1이다.

따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는

( EFGH의 둘레의 길이)+( PQRS의 둘레의 길이)

=4_'2+4_1=4+4'2 따라서 a=4, b=4이므로

ab=16 답 16

05

a<c에서 a-c<0

a<b에서 a-b<0이고 (a-b)c<0이므로 c>0 또한, c<b에서 b>0, c-b<0

즉, a-c<0, b>0, c-b<0이므로

"Ã(a-c)Û`+"ÅbÛ`-"Ã(c-b)Û` =-(a-c)+b-{-(c-b)}

=-a+c+b+c-b

=-a+2c 답 -a+2c

02

3.6Û`<13<3.61Û`에서 3.6<'1Œ3<3.61

따라서 '1Œ3을 소수로 나타낼 때, 소수점 아래 둘째 자리의 숫자

는 0이다. 답 ⑤

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08

ㄱ. x>1이면 x-1>0, x>0이므로 A=(x-1)-x=-1

ㄴ. 0Éx<1이면 x-1<0, x¾0이므로 A=-(x-1)-x=-2x+1 ㄷ. x<0이면 x-1<0, x<0이므로

A=-(x-1)-(-x)=1 ㄹ. x>1이면 A=-1+0

0Éx<1이면 A=-2x+1=0에서 x= 12

x<0이면 A=1+0 즉, A=0이면 x= 12이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ⑤

07

각 자리의 숫자가 모두 1인 n 자리의 자연수를 a라 하면 각 자리의 숫자가 모두 1인 2n 자리의 자연수 111y111은 111y111=a_10ⁿ+a

각 자리의 숫자가 모두 2인 n 자리의 자연수 222y222는 222y222=2a

∴ "Ã111y111-222y222 ="Ã(a_10ⁿ+a)-2a

="Ãa_10ⁿ-a

="Ãa(10ⁿ-1)

="Ãa_999y999 (단, 9는 n개)

='Äa_9_a

="Ã(3_a)Û`

=3_a=333y333 (단, 3은 n개)

∴ A=3 답 3

09

'¶2x가 자연수이려면 x=2kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다.

이때 x<1000이므로 2kÛ`<1000, kÛ`<500

∴ k=1, 2, 3, y, 22

Ú x=2kÛ`이 3의 배수이려면 k는 3의 배수이어야 하므로 k는 3, 6, 9, 12, y, 21의 7개이다.

Û x=2kÛ`이 4의 배수이려면 k는 2의 배수이어야 하므로 k는 2, 4, 6, y, 22의 11개이다.

Ü k가 2의 배수인 동시에 3의 배수이려면 k는 6의 배수이어야 하므로 k는 6, 12, 18의 3개이다.

Ú, Û, Ü에서 모든 자연수 x의 개수는

7+11-3=15(개) 답 15

다른풀이

'Ä2x가 자연수이려면 x=2kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다.

x=2kÛ`이 3의 배수이려면 k가 3의 배수이어야 하므로 k=3m (m은 자연수)이라 하면

x=2_(3m)Û`=18mÛ`

이때 x<1000이므로

18mÛ`<1000 ∴ mÛ`< 1000

18 =55.5y

따라서 m의 값으로 가능한 것은 1, 2, 3, y, 7의 7개이다.

또한, x=2kÛ`이 4의 배수이려면 k가 2의 배수이어야 하므로 k=2n (n은 자연수)이라 하면

x=2_(2n)Û`=8nÛ`

이때 x<1000이므로

8nÛ`<1000 ∴ nÛ`<125

따라서 n의 값으로 가능한 것은 1, 2, 3, y, 11의 11개이다.

한편, x=2kÛ`이 3의 배수인 동시에 4의 배수이려면 k가 6의 배 수이어야 하므로 k=6l (l은 자연수)이라 하면

x=2_(6l)Û`=72lÛ`

이때 x<1000이므로

72lÛ`<1000 ∴ lÛ`< 1000 72 =13.8y

따라서 l의 값으로 가능한 것은 1, 2, 3의 3개이다.

그러므로 자연수 x의 개수는 7+11-3=15(개)

10

자연수 k에 대하여 'Ä78-3n=k라 하면 78-3n=kÛ`이므로 n= 78-kÛ`3 이다.

06

a+b<0, ab>0이므로 a<0, b<0 따라서 3a<0, -4b>0이므로

"Å9aÛ`-"Ã(-4b)Û` ="Ã(3a)Û`-"Ã(-4b)Û`

=-3a-(-4b)

=-3a+4b 답 -3a+4b

Ⅰ. 제곱근과 실수 007

본문 pp.10~11

13

과수원과 배추밭의 한 변의 길이는 각각 '¶12n, 'Ä21-n

이때 '1§2n="Ã2Û`_3_n이 자연수이므로 n=3kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다.

∴ n=3, 12, 27, y yy ㉠ 또한, 'Ä21-n 도 자연수이므로

21-n=lÛ` (l은 자연수) 꼴이어야 한다.

∴ n=20, 17, 12, 5 yy ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 n의 값은 12이므로 (과수원의 한 변의 길이)="12Û`=12 (배추밭의 한 변의 길이)='Ä21-12=3

따라서 무밭의 가로와 세로의 길이는 각각 3, 9이므로 무밭의 넓

이는 3_9=27 답 27

이때 n은 자연수이므로 78-kÛ`은 3의 배수이다.

그런데 78이 3의 배수이므로 kÛ`도 3의 배수이다.

따라서 k는 3 의 배수이다.

또한, 78-kÛ`>0에서 kÛ`<78 즉, 이를 만족하는 3의 배수 k는 k= 3 또는 k=6

그러므로 구하는 자연수 n의 값은 k=3일 때, n= 78-3Û`

3 = 23 k=6일 때, n= 78-6Û`3 =14

∴ ㈎ : 3, ㈏ : 3, ㈐ : 23

따라서 ㈎, ㈏, ㈐에 들어갈 수의 합은

3+3+23=29 답 29

● blacklabel 특강 ●^참고

kÛ` 이 3의 배수이면 k가 3의 배수인 이유

모든 자연수는 3m-2, 3m-1, 3m (m=1, 2, 3, y)이라 할 수 있다. 이때 (3m-2)Û`=9mÛ`-12m+4=3(3mÛ`-4m+1)+1

(3m-1)Û`=9mÛ`-6m+1=3(3mÛ`-2m)+1 (3m)Û`=9mÛ`=3_3mÛ`

이 중에서 제곱하여 3의 배수가 되는 것은 3의 배수인 3m뿐이다.

11

'Ä216a="Ã2Ü`_3Ü`_a 가 자연수가 되려면 a=2_3_kÛ``(k는 자연수) 꼴이어야 한다.

이 중 가장 작은 자연수 a는 k=1일 때이므로 a=6 2<'6<3이므로 '6-3<0

∴ ¿¹('a-3)Û`-b'a =¿¹('6-3)Û`-b'6

=-('6-3)-b'6

=3-(1+b)'6

3-(1+b)'6이 유리수이려면 무리수 부분이 0이어야 하므로 1+b=0 ∴ b=-1

답 -1

단계 채점 기준 배점

㈎ 가장 작은 자연수 a의 값을 구한 경우 40%

㈏ ¿¹('a-3)Û`-b'a를 간단히 한 경우 30%

㈐ 유리수 b의 값을 구한 경우 30%

● blacklabel 특강 ●^필수개념

유리수 또는 무리수가 될 조건 a, b는 유리수, '§m 은 무리수일 때,

⑴ a+b'§m 이 유리수가 되려면 b=0

⑵ a+b'§m 이 무리수가 되려면 a=0, b+0

㈎

㈏

㈐

12

소수 p에 대하여 '§pa가 양의 정수가 되려면 a=pkÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다.

이때 0<a<200을 만족하는 a의 값이 5개 존재하므로 a=p, 4p, 9p, 16p, 25p

a의 값 중 가장 큰 것인 25p에 대하여 25p<200 ∴ p< 200

25 =8 또한, 36p는 a의 값이 될 수 없으므로 36p¾200 ∴ p¾ 200

36 =5.5y

따라서 5.5yÉp<8을 만족하는 소수 p의 값은 7이다. 답 7

14

① a='2, b=-'2이면 a+b2 =0으로 유리수이다.

② a=b='2이면 a-b=0으로 유리수이다.

③ a='2, b='2이면 ab=('2)Û`=2로 유리수이다.

④ a='2이면 aÛ`=2로 유리수이다.

⑤ 순환하지 않는 무한소수를 2배하여도 순환하지 않는 무한소 수이므로 2b는 무리수이다.

따라서 항상 무리수가 되는 것은 ⑤이다. 답 ⑤

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19

1<'2<2이므로 a+1<a+'2<a+2 또한, 2<'5<3이므로

-3<-'5<-2 ∴ b-3<b-'5<b-2

∴ a+'2<a+2ÉnÉb-3<b-'5

위의 식을 만족하는 정수 n의 개수가 3개이므로 (b-3)-(a+2)+1=3

∴ b-a=7 답 7

● blacklabel 특강 ●^참고

부등식을 만족하는 정수 x의 개수

a, b가 정수일 때, 각 부등식을 만족하는 정수 x의 개수는

⑴ aÉxÉb ⇨ b-a+1

⑵ aÉx<b ⇨ b-a

⑶ a<xÉb ⇨ b-a

⑷ a<x<b ⇨ b-a-1

21

x<0에서 x-1<0이므로 a=-x+1 x>-1에서 x+1>0이므로 b=x+1 y<0에서 -y>0이므로 c=-(-y)=y

20

a+b=3+('§17-1)=2+'§17>0 a-b=3-('§17-1)=4-'§17<0

∴ "Ã(a+b)Û`-"Ã(a-b)Û` =(a+b)+(a-b)

=2a=2_3=6 답 6

17

접은 후 다시 펼친 색종이의 꼭짓점 및 각 _A

E

B F

I C G H D

교점을 오른쪽 그림과 같이 정하자.

정사각형 ABCD의 넓이가 8이므로 EFGH= 1

2 ABCD=4

AEIH = BFIE= CGIF= DHIG

= 14 ABCD=2

∴ EFÓ=FGÓ=GHÓ=HEÓ=2, AEÓ=EIÓ='2

① 길이가 '2인 선분 8개로 둘러싸인 도형이므로 (둘레의 길이)=8'2로 무리수이다.

② 길이가 2인 선분 2개와 길이가 '2인 선분 4개로 둘러싸인 도 형이므로

(둘레의 길이)=4+4'2로 무리수이다.

③ 길이가 2인 선분 4개로 둘러싸인 도형이므로 (둘레의 길이)=8로 유리수이다.

④ 길이가 2인 선분 2개와 길이가 '2인 선분 4개로 둘러싸인 도 형이므로

(둘레의 길이)=4+4'2로 무리수이다.

16

한 자리의 자연수 n에 대하여 0.Hn=n 9= n

3Û`이므로 f(n)=¿¹0.Hn=¾Ð n 3Û`

이때 ¾Ðn

3Û` 이 유리수이려면 n은 제곱수이어야 하므로 n=1, 4, 9의 3개이다.

따라서 f(1), f(2), y, f(9) 중에서 무리수의 개수는

9-3=6(개) 답 6

18

A-C=(1+'5)-('3+'5)=1-'3<0이므로 A<C

B-C=(3+'3)-('3+'5)=3-'5>0이므로 B>C

∴ A<C<B 답 ②

15

'1¶2n="Ã2Û`_3_n, '2¶0n="Ã2Û`_5_n이므로 주어진 네 수가 모두 무리수가 되게 하는 100 이하의 자연수 n은 '3Œn, '5Œn을 유리수로 만드는 100 이하의 자연수 n을 제외하면 된다.

Ú '3Œn이 유리수인 경우

n=3kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 하므로 n=3, 12, 27, 48, 75

Û '5Œn이 유리수인 경우

n=5mÛ``(m은 자연수) 꼴이어야 하므로 n=5, 20, 45, 80

Ú, Û에서 구하는 자연수 n의 개수는

100-5-4=91(개) 답 91

⑤ 길이가 2인 선분 3개와 길이가 '2인 선분 2개로 둘러싸인 도 형이므로

(둘레의 길이)=6+2'2로 무리수이다.

따라서 둘레의 길이가 유리수인 것은 ③이다. 답 ③

Ⅰ. 제곱근과 실수 009

22

'1=1, '4=2, '9=3이고

N(x)=('x 이하의 자연수의 개수)이므로 N(1)=N(2)=N(3)=1

N(4)=N(5)=y=N(8)=2 N(9)=N(10)=y=N(15)=3

∴ N(1)+N(2)+N(3)+y+N(15)

=1_3+2_5+3_7

=34 답 ④

본문 pp.12~13

23

n<'§m<n+1에서 nÛ`<m<(n+1)Û`

∴ f(n) =(n과 n+1 사이의 '§m의 개수)

=(n+1)Û`-nÛ`-1

=(nÛ`+2n+1)-nÛ`-1=2n 따라서 f(100)=200, f(99)=198이므로

`f(100)-f(99)=2 답 ②

다른풀이

f(100)=(100과 101 사이의 '§m의 개수)이므로 100<'§m<101 ∴ 10000<m<10201

∴ f(100)=10201-10000-1=200

또한, f(99)=(99와 100 사이의 '§m의 개수)이므로 99<'§m<100 ∴ 9801<m<10000

∴ f(99)=10000-9801-1=198

∴ f(100)-f(99)=2

24

반올림의 경계가 되는 수를 찾으면

¾Ð 254 = 5

2 =2.5, ¾Ð 494 = 7

2 =3.5, ¾Ð 81 4 = 9 2 =4.5,

25

'¶12a="Ã2Û`_3_a 가 정수가 되려면 a=3_kÛ``(k는 음이 아닌 정수) 꼴이어야 한다.

이때 0É'¶12aÉ100에서

0É"Ã12_3kÛ`É100, 0É"Ã(6k)Û`É100 0É6kÉ100, 0ÉkÉ 50

3

∴ k=0, 1, 2, y, 16 yy ㉠ 또한, 0ÉaÉ100에서 0É3kÛ`É100 0ÉkÛ`É 100

3

∴ k=0, 1, 2, y, 5 yy ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족하는 k의 개수는 k=0, 1, 2, y, 5의 6개이 므로 정수 a의 개수도 6개이다.

따라서 격자점 (a, '§12a)의 개수는 6개이다. 답 ②

26

1단계 "ÃxÛ`+yÛ`의 값의 범위를 구한다.

2단계 xÛ`+yÛ`의 값의 범위를 구한다.

3단계 순서쌍 (x, y)의 개수를 구한다.

"ÃxÛ`+yÛ` 의 정수 부분이 4이므로 4É"ÃxÛ`+yÛ`<5

위의 부등식의 각 변을 제곱하면 16ÉxÛ`+yÛ`<25

따라서 조건을 만족하는 순서쌍 (x, y)는

(0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 3), (4, 0), (4, 1), (4, 2)

의 7개이다. 답 ④

¾Ð 121 4 = 11 2 =5.5

Ú 2<'5<'6<2.5<'7이므로 f(5)=f(6)=2

Û 2.5<'7<'1Œ2<3.5<'1Œ3이므로 f(7)=f(8)=y=f(12)=3 Ü 3.5<'1Œ3<'2Œ0<4.5<'2Œ1이므로

f(13)=f(14)=y=f(20)=4 Ý 4.5<'2Œ1<'3Œ0<5.5<'3Œ1이므로

f(21)=f(22)=y=f(30)=5 Þ 5.5<'3Œ1<6이므로 f(31)=6

∴ f(5)+f(6)+y+f(31)

=2_2+3_6+4_8+5_10+6

=110 답 110

y>-1에서 y+1>0이므로 d=y+1 Ú x<0이므로 -x+1>x+1 ∴ a>b Û b-c=(x+1)-y=(x-y)+1`

이때 -1<x-y<0이므로 b-c>0 ∴ b>c Ü b-d=(x+1)-(y+1)=x-y<0이므로 b<d Ý a-d=(-x+1)-(y+1)=-x-y>0이므로 a>d Ú~~~~Ý에서 a, b, c, d의 대소 관계는

c<b<d<a 답 ④

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28

ABCD=3Û`-4_{ 12_2_1}=5이므로 ABÓ=ADÓ='5 따라서 a=2-'5, b=2+'5이므로

ab =(2-'5)(2+'5)=2Û`-('5)Û`

=4-5=-1 답 ②

30

1단계 몇 가지 예를 살펴 ㄱ을 확인한다.

2단계 7과 8 사이에 있는 점에 대응하는 무리수의 개수를 구하여 ㄴ을 확 인한다.

3단계 n과 n+1 사이에 있는 점에 대응하는 무리수의 개수를 구하여 ㄷ을 확인한다.

ㄱ. n=2일 때 "ÃÃnÛ`+1='5이므로 mÉ'5<m+1을 만족하는 자연수 m의 값은 2이다.

한편, 1과 2 사이에서 자연수에 대응하는 점의 개수는 0개이 다. 즉, m의 값과 점의 개수는 서로 다르다.

ㄴ. 7과 8 사이의 자연수의 양의 제곱근을 '§m이라 하면 7<'§m<8 ∴ '4Œ9<'§m<'6Œ4

즉, '§m은 'Œ§50, '§51, '§52, y, '§63의 14개이다.

ㄷ. n="nÛ`, n+1="Ã(n+1)Û`이므로 n과 n+1 사이에 있는 점에 대응하는 자연수의 양의 제곱근은

"ÃnÛ`+1, "ÃnÛ`+2 , "ÃnÛ`+3 , y, "Ã(n+1)Û`-1 따라서 구하는 점의 개수는

{(n+1)Û`-1}-(nÛ`+1)+1 =(n+1)Û`-nÛ`-1

=nÛ`+2n+1-nÛ`-1

=2n`(짝수)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ④

01

●blacklabel 답안 ●

⑴ R1의 넓이는 32_32=2¹⁰ R2의 넓이는 2¹⁰

2 =2⁹ R3의 넓이는 2⁹

2=2⁸ ⋮

R8의 넓이는 2³=8

Step 3

01 ⑴ 8 ⑵ '8 02 ⑴ 20 ⑵ 18 03 ⑴ 9aÉb<9.61a ⑵ 124

04 ⑴ 풀이 참조 ⑵ -1+'2>3-'1Œ0

05 3 06 6

07 8 08 6+'6+'2

27

오른쪽 그림과 같이 두 점 C, D를

0 1 2 3 D

A P

C

B Q 4 5

정하면 ABCD는 정사각형이고 ABCD =4Û`-4_{ 12_3_1}

=10

∴ ABÓ='1Œ0

이때 ABÓ=PBÓ이므로

a=PQÓ=PBÓ+BQÓ='1Œ0+1=3.162+1=4.162

① '1Œ5<4이므로 '1Œ5<a

② 9

5+'5=1.8+2.236=4.036<a

③ 4.1<a

④ a

2+2= 4.162

2 +2=4.081<a

⑤ a+ 12=4.162+0.5=4.662이므로 a<a+ 1 2 <5

따라서 a와 5 사이에 있는 무리수는 ⑤이다. 답 ⑤

29

ㄱ. 사각형 PQRS의 넓이는 3Û`-4_{ 12_2_1}=5이므로 RSÓ=RAÓ='5

즉, 점 A에 대응하는 수는 1+'5이다.

ㄴ. QRÓ='5이므로 점 G(2)에서 '5만큼 왼쪽에 있는 점에 대 응하는 수는 2-'5이다.

ㄷ. 선분 AC의 길이는 넓이가 2인 정사각형의 한 변의 길이와 같으므로 ACÓ='2

즉, 점 B에 대응하는 수는 ㄱ에 의하여 1+'2+'5이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ④

● blacklabel 특강 ●^풀이첨삭

16ÉxÛ`+yÛ`<25를 만족하는 음이 아닌 정수 x, y의 값은 다음과 같다.

Ú x=0일 때, 16ÉyÛ`<25 ∴ y=4 Û x=1일 때, 15ÉyÛ`<24 ∴ y=4 Ü x=2일 때, 12ÉyÛ`<21 ∴ y=4 Ý x=3일 때, 7ÉyÛ`<16 ∴ y=3 Þ x=4일 때, 0ÉyÛ`<9 ∴ y=0, 1, 2

Ⅰ. 제곱근과 실수 011

본문 pp.13~16

04

●blacklabel 답안 ●

⑴

-3 -2 -1 0 PQ 1 2 3 4 5 6 7

⑵ 점 P(-1+'2)가 점 Q(3-'1Œ0)보다 오른쪽에 있으므로 -1+'2>3-'1Œ0

답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ -1+'2>3-'1Œ0

단계 채점 기준 배점

⑴ 두 점 P, Q를 모눈종이 위에 나타낸 경우 80%

⑵ -1+'2와 3-'1Œ0의 대소를 비교한 경우 20%

⑵ 정사각형 R8의 넓이가 2³=8이므로 한 변의 길이는 '8

답 ⑴ 8 ⑵ '8

단계 채점 기준 배점

⑴ 정사각형의 넓이 사이의 규칙성을 찾아 R8의 넓이를 구한

경우 60%

⑵ 정사각형 R8의 넓이를 이용하여 한 변의 길이를 구한 경우 40%

02

●blacklabel 답안 ●

⑴ 4É'2Œx<5의 각 변을 제곱하면 16É2x<25 ∴ 8Éx<12.5 따라서 a=12, b=8이므로 a+b=20

⑵ 'bŒc

a 의 값이 자연수이므로 'Ä8_c12 =1, 2, 3, y

즉, 'Ä8_c=12, 24, 36, y이므로 8_c=12Û`, 24Û`, 36Û`, y

∴ c= 128², 24² 8 , 36²

8 , y 따라서 c의 최솟값은 128²= 144

8 =18

답 ⑴ 20 ⑵ 18

단계 채점 기준 배점

⑴ x의 값의 범위를 구한 경우 40%

a, b의 값을 구하여 a+b의 값을 구한 경우 20%

⑵ 자연수 c의 최솟값을 구한 경우 40%

03

●blacklabel 답안 ●

⑴ 3.0ɾ ba `<3.1이므로 각 변을 제곱하면 9É ba <9.61 ∴ 9aÉb<9.61a yy ㉠

⑵ b>a이므로 b=a+100 이를 ㉠에 대입하면 9aÉa+100<9.61a

8aÉ100이고 100<8.61a이므로 8.61 100<aÉ 252 ∴ a=12, b=112

∴ a+b=124

답 ⑴ 9aÉb<9.61a ⑵ 124

05

●blacklabel 답안 ●

a=x-1, b=x, c=x+1이라 하면 세 수 a, b, c는 자연수이 므로

x-1¾1 ∴ x¾2 a+b+c<100에서

(x-1)+x+(x+1)<100, 3x<100 ∴ x<33.3y

∴ 2Éx<33.3y

한편, 'Äa+b+c='3Œx는 자연수이므로 x=3kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다.

이때 2Éx<33.3y이므로 2É3kÛ`<33.3y, 2

3ÉkÛ`<11.1y 즉, kÛ`=1, 4, 9이므로 k=1, 2, 3

∴ x=3, 12, 27

따라서 순서쌍 (a, b, c)는 (2, 3, 4), (11, 12, 13), (26, 27, 28) 의 3개이다.

답 3

단계 채점 기준 배점

㈎ 연속하는 세 자연수를 한 문자를 이용하여 나타내고 이

문자의 값의 범위를 구한 경우 40%

㈏ ㈎의 문자의 값을 모두 구한 경우 50%

㈐ 순서쌍의 개수를 구한 경우 10%

㈎

㈏

㈐

단계 채점 기준 배점

⑴ b의 범위를 a를 이용하여 나타낸 경우 40%

⑵ a의 값을 구한 경우 40%

b의 값을 구하여 a+b의 값을 구한 경우 20%

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07

●blacklabel 답안 ●

한 변의 길이가 유리수인 정사각형은 다음 그림과 같은 4종류가 가능하고 이때 서로 다른 변의 길이는 1, 2, 3, 4이다.

1

3 4

2

한 변의 길이가 무리수인 정사각형은 다음 그림과 같은 4종류가 가능하고 이때 서로 다른 변의 길이는 '2, '5, '8, '1Œ0이다.

Â2

Â8

Â5

Â10Ê

㈏

㈎

06

●blacklabel 답안 ●

2<a<3, -4<b<-3이므로 -2<a+b<0 즉, -1<a+b

2 <0이므로 -1<c<0 0<-c<1이므로 0<'¶-c<1 즉, -1<c<0<'¶-c<1이므로 -2<c-'¶-c<0, 4<6+c-'¶-c<6 따라서 c-'¶-c<0, c+6-'¶-c>0이므로

¿¹(c-'¶-c)Û`+¿¹(c+6-'¶-c)Û`

=-(c-'¶-c)+(c+6-'¶-c)

=-c+'¶-c+c+6-'¶-c

=6

답 6

단계 채점 기준 배점

㈎ c의 값의 범위를 구한 경우 30%

㈏ c-"Ã-c 와 c+6-"Ã-c 의 부호를 구한 경우 30%

㈐ 주어진 식을 간단히 한 경우 40%

㈎

㈏

㈐

08

●blacklabel 답안 ● S1= 1

2_6_6=18이고 S2= 1 6S1= 1

6_18=3이므로 1

2_ACÓ Û`=3, ACÓ Û`=6

∴ ACÓ='6 (∵ ACÓ>0) 또한, S3= 1

3S2= 1

3_3=1이므로 1

2_CEÓ Û`=1, CEÓ Û`=2

∴ CEÓ='2 (∵ CEÓ>0) OAÓ=6이므로 A(6, 0), B(6, 6)

ACÓ='6이므로 C(6+'6, 0), D(6+'6, '6)

CEÓ='2이므로 E(6+'6+'2, 0), F(6+'6+'2, '2) 따라서 점 F의 x좌표는 6+'6+'2이다.

답 6+'6+'2

단계 채점 기준 배점

㈎ ACÓ의 길이를 구한 경우 30%

㈏ CEÓ의 길이를 구한 경우 30%

㈐ 점 F의 x좌표를 구한 경우 40%

㈎

㈏

㈐

미리보는

학력평가

1 ① 2 ① 3 9 4 11

따라서 정사각형의 한 변의 길이가 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4, '2, '5, '8, '1Œ0의 8개이다.

답 8

단계 채점 기준 배점

㈎ 한 변의 길이가 유리수인 정사각형을 모두 찾은 경우 30%

㈏ 한 변의 길이가 무리수인 정사각형을 모두 찾은 경우 60%

㈐ 정사각형의 한 변의 길이가 될 수 있는 것의 개수를 구한

경우 10%

㈐

Ⅰ. 제곱근과 실수 013

본문 pp.16~19

1

1<'3<2에서 '3-1>0, '3-2<0 따라서 a>0, b<0이므로

"ÅaÛ`+"ÅbÛ`=a-b=('3-1)-('3-2)=1 답 ①

2

2<'5<3에서 3-'5>0, 1-'5<0이므로

"Ã(x+1)Û`+"Ã(x-1)Û` ="Ã(3-'5)Û`+"Ã(1-'5)Û`

=(3-'5)-(1-'5)

=2 답 ①

3

'4<'7<'9이므로 2<'7<3에서

2-7<'7-7<3-7 ∴ -5<'7-7<-4 또한, -3<-'7<-2이므로

7-3<7-'7<7-2 ∴ 4<7-'7<5

즉, '7-7, 7-'7을 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

-3 -5 -4

Â7-7

-2 -1 0 1 2 3 4 5 7-Â7

따라서 두 수 '7-7과 7-'7 사이에 있는 정수는

-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 9개이다. 답 9

● blacklabel 특강 ●^참고

'7-7=-(7-'7)이므로 '7-7과 0 사이에 있는 정수의 개수와 0과 7-'7 사 이에 있는 정수의 개수는 같다.

4

조건 ㈏에서 각 변을 제곱하고 25<n<144 yy ㉠

이때 조건 ㈎에서 n=11k`(k는 자연수)라 하고

㉠에 대입하면

25<11k<144, 2511<k< 144 11

∴ 2.2 y<k<13.09 y

따라서 자연수 k의 값은 3, 4, 5, y, 13의 11개이므로 자연수 n

의 개수도 11개이다. 답 11

02. 근호를 포함한 식의 계산

01 ④ 02 ⑤ 03 7

2 04 4'5 05 ⑤ 06 15

2 07 ① 08 ①

Step 1

01

2'6="ÅÃ2Û`_6='2Œ4 ∴ A=24 'Ä294="ÅÃ7Û`_6=7'6 ∴ B=6

∴ A+B=24+6=30 답 ④

02

① '6'1Œ5='Ä6_15='9Œ0=3'1Œ0

② '4Œ8Ö'3= '4Œ8

'3 =¾Ð 48 3='1Œ6=4

③ '5Œ4¾ 56=3'6_ '5'6=3'5

④ 3'2Œ0Ö'5= 3'2Œ0

'5 =3¾Ð 20 5 =3'4=3_2=6

⑤ 3'2_2'5=3_2_'Ä2_5=6'1Œ0

따라서 옳은 것은 ⑤이다. 답 ⑤

03

'2Œ47 = 7

2'6 = 7_'6 2'6_'6 = 7'6

12 ∴ a= 712 '2Œ0'4Œ8 = 2'5

4'3 = '5

2'3 = '5_'3 2'3_'3 = '1Œ5

6 ∴ b= 16

∴ a b= 7

12Ö 16= 7 12_6= 7

2 ^답 7

2

04

큰 직사각형과 작은 직사각형은 서로 닮은 도형이므로 큰 직사각 형의 가로의 길이를 x라 하면 작은 직사각형의 짧은 변의 길이는

1 5x이다.

따라서 2`:`1

5x=x`:`2이므로 1

5xÛ`=4, xÛ`=20 ∴ x=2'5 (∵ x>0)

∴ (큰 직사각형의 넓이)=2x=2_2'5=4'5 ^답 4'5

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Step 2

2 05 12 06 '2 07 ② 08 '2 09 3'2 10 ① 11 5 12 -1 13 ② 14 ① 15 ③ 16 9 17 2'3 18 ④ 19 12-5'2 20 ② 21 ① 22 '3 23 22

7 24 ⑤ 25 -120 26 4-2'3 27 3 28 ③

01

ab=(3+2'2)(3-2'2)=3Û`-(2'2)Û`=9-8=1

∴ (주어진 식) ="Ã(ab)Þ`-¾Ð a¡`bß`aÛ` `+¾Ð baà`b¡`

="Ã(ab)Þ`-"Ãaß`bß``+¾Ð 1 aà`bà`

="Ã(ab)Þ`-"Ã(ab)ß``+¾Ð 1 (ab)à``

='1-'1+'1=1 답 ①

06

'5 {3'1Œ0- 3x2 '5}-2'2{x- 4'2}

=15'2- 15x2 -2'2x+8

={8- 152 x}+(15-2x)'2 위의 식의 값이 유리수가 되려면 15-2x=0, -2x=-15 ∴ x= 15

2 ^답 15

2

07

x = 2-'3

2+'3= (2-'3)(2-'3)

(2+'3)(2-'3)= (2-'3)Û`

2Û`-('3)Û`

=(2-'3)Û`=7-4'3 x1 =2+'3

2-'3= (2+'3)(2+'3)

(2-'3)(2+'3)= (2+'3)Û`

2Û`-('3)Û`

=(2+'3)Û`=7+4'3

∴ xÛ`- 1

xÛ` =(7-4'3)Û`-(7+4'3)Û`

=(49-56'3+48)-(49+56'3+48)

=-112'3 답 ①

08

4<'1Œ7<5이므로 <17>=4

4<'1Œ8<5이므로 {18}='1Œ8-4=3'2-4

∴ <17>+{18}'2 =4+(3'2-4)'2

=4+6-4'2

=10-4'2 답 ①

03

(주어진 식)

= p'5Œq 'p - '2§0p

p'q + q'4§5p 'q

=p'5Œq'p

'p'p - '2§0p'q

p'q'q+q'4§5p'q 'q'q

='5¶pq- 'Ä20pq

pq +'Ä45pq

='2Œ5- 'Ä100

5 +'¶225`(∵ pq=5)

=5-2+15=18 답 ④

05

'3Œ2-2'2Œ4-'2(1+2'3) =4'2-4'6-'2-2'6

=3'2-6'6

∴ A=3, B=-6

∴ A-B=3-(-6)=9 답 ⑤

02

① 'Ä1.03=1.015

③ 'Ä404="Ã20Û`_1.01=20'¶1.01=20_1.005=20.1

④ 'Ä0.0804=¾Ð 2Û`_2.01 10Û` `= 2

10 '¶2.01= 2

10_1.418=0.2836

⑤ 'Ä91800="Ã300Û`_1.02=300'¶1.02=300_1.010=303 따라서 값을 구할 수 없는 것은 ②이다. 답 ②

04

(주어진 식)

=¾Ð a-b

(a-b)Ý`(a+b)Ü` `+3¾Ð a+b (a-b)Ü`(a+b)Ý``

● blacklabel 특강 ●^필수개념

닮은 도형의 성질

서로 닮은 도형인 두 평면도형에서

⑴ 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.

⑵ 대응하는 각의 크기는 각각 같다.

⑶ 닮음비는 대응하는 변의 길이의 비이다.

Ⅰ. 제곱근과 실수 015

05

1단계 주어진 식의 순환소수를 분수로 바꾸어 정리한다.

2단계 ¾ ba 의 값을 구한다.

3단계 ¾Ð bax 가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x의 값을 구한다.

¿¹1.H3=¾Ð 13-19 =¾Ð 129 =¾ 43= 2 '3이므로 0.8¾ ba`= 2

'3, 즉 4 5 ¾b

a`= 2 '3에서

¾ ba`= 2 '3_ 5

4= 5 2'3= 5'3

6

이때 ¾Ð bax=¾ ba_'x= 5'36 _'x= 56_'§3x이므로 이 수가 자연수이려면 '3Œx 는 6의 배수이어야 한다.

즉, '3Œx =6k`(k는 자연수) 꼴이어야 하므로 3x=36kÛ` ∴ x=12kÛ`

따라서 ¾Ð bax가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x의 값

은 k=1일 때, 즉 12이다. 답 12

06

BCÓ∥EFÓ이므로 △ABC»△ AEF(AA 닮음) 이때 △AEF= BCFE이므로

△AEF`:`△ABC=1`:`2

따라서 △AEF와 △ABC는 닮음비가 1`:`'2인 닮은 도형이므 로 EFÓ=x라 하면 1`:`'2=EFÓ`:`BCÓ에서

1`:`'2=x`:`2, '2x=2

∴ x= 2 '2= 2'2

2 ='2 ^답'2

=¾Ð 1

{(a-b)(a+b)}Ü` `+3¾Ð 1

{(a-b)(a+b)}Ü` `

=¾Ð 1

(aÛ`-bÛ`)Ü` `+3¾Ð 1 (aÛ`-bÛ`)Ü`

=¾Ð 1 4Ü` +3¾Ð 1

4Ü` `(∵ aÛ`-bÛ`=4)

=4¾Ð 1 4Ü`

=4_ 1 4_¾ 14

= 12 ^답 1

2

본문 pp.19~21

07

넓이가 5인 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 '5이므로 ABÓ=AQÓ=ADÓ=APÓÓ='5

∴ P(3-'5), Q(3+'5)

따라서 a=3-'5, b=3+'5이므로

ab=(3-'5)(3+'5)=3Û`-('5)Û`=4 ^답 ②

08

원의 지름의 길이와 원에 외접하는 정사각형의 한 변의 길이는 같으므로 L1=2r_4=8r

원의 지름의 길이와 원에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 같으므로 내접하는 정사각형의 넓이는

12_2r_2r=2rÛ`

이때 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는

"Å2rÛ`='2r`(∵ r>0)이므로 L2='2r_4=4'2r

∴ L1

L2= 8r`

4'2r= 2`

'2='2 답 '2

09

직선 l이 x축과 만나는 점을 A, y축과 만나는 점을 B라 하자.

- x'6+ y

'2=3에 y=0을 대입하면 x절편은 -3'6, x=0을 대입하면 y절편은 3'2이므로

A(-3'6, 0), B(0, 3'2)

이때 직선 m이 삼각형 AOB의 넓이를 이등분하므로 직선 m은 원점과 선분 AB의 중점 {- 3'62 , 3'2

2 }를 지난다.

∴ (직선 m의 기울기)=

3'22 -0 - 3'62 -0

=- '3 3

따라서 직선 l의 x절편과 직선 m의 기울기의 곱은

(-3'6)_{- '33 }=3'2 ^답 3'2

● blacklabel 특강 ●^필수개념

닮은 도형의 둘레의 길이와 넓이의 비 닮은 두 평면도형의 닮음비가 m`:`n일 때,

⑴ 둘레의 길이의 비는 m`:`n

⑵ 넓이의 비는 mÛ``:`nÛ`

⇨ 닮은 두 평면도형의 넓이의 비가 a`:`b일 때, 닮음비는 'a`:`'b (단, a>0, b>0)

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11

(주어진 식) =9'3+3'6-5'3-4'6-4'3

=-'6 즉, a+b'c=-'6 이므로 a=0, b=-1, c=6

∴ a+b+c=5 답 5

12

-<m, 3n>+5=<n, 2m>에서

-{"Ã(-m)Û` +'2_3n}+5="Ã(-n)Û` +'2_2m 이때 m<0, n>0이므로

-(-m+3n'2)+5=n+2m'2 m-3n'2+5-n-2m'2=0 (m-n+5)+(-3n-2m)'2=0 그런데 m, n이 모두 유리수이므로 m-n+5=0, -3n-2m=0 위의 두 식을 연립하여 풀면 m=-3, n=2

∴ m+n=(-3)+2=-1 답 -1

13

3'2x+'3<'6('3-'2)x+1에서 3'2x-'6('3-'2)x<1-'3 (3'2-3'2+2'3)x<1-'3 2'3x<1-'3 ∴ x< 1-'3

2'3 = '3-3 6 이때 1<'3<2이므로 -2<'3-3<-1

∴ -1

3< '3-3 6 <- 1

6

따라서 x의 값 중 가장 큰 정수는 -1이다. 답 ②

16

1단계 a+'b와 그 역수의 합을 분모의 유리화를 이용하여 정리한다.

2단계 a+'b와 그 역수의 합이 정수가 되는 조건을 찾는다.

3단계 조건을 만족하는 순서쌍 (a, b)의 개수를 구한다.

a+'b+ 1

a+'b =(a+'b)+ a-'b aÛ`-b

={a+ a

aÛ`-b }+{1- 1 aÛ`-b}'b

14

A(2-'2), B(4+'2)이므로 AMÓ=BMÓ= 4+'2-(2-'2)

2 = 2+2'2

2 =1+'2 이때 MNÓ`:`NBÓ=3`:`1이므로 NBÓ=1

4 BMÓ= 1+'2 4 따라서 점 N에 대응하는 수는

4+'2- 1+'2 4 = 16+4'2-1-'2

4 = 15+3'2

4 ^답 ①

15

x= '3-1

2 에서 1-x=1- '3-1

2 = 3-'3 2 이므로 1

1-x = 2

3-'3 = 2(3+'3)

(3-'3)(3+'3) = 3+'3 3 1- 11-x =1- 3+'3

3 =- '3 3 1

1- 11-x

=- 3'3=-'3

1- 1 1- 11-x

=1-(-'3)=1+'3

11 1-111321 1-11421-x1

= 11+'3 = 1-'3 (1+'3)(1-'3)

=- 1-'3 2

1- 1

1-111321 1-11421-x11

=1-{- 1-'32 }= 3-'3 2

∴ 1

1-11131311 1-1142321111 1-1211-x

= 23-'3= 3+'3

3 ^답 ③

10

(주어진 식)

='7Œ2-2- 2a

'2+3a=6'2-2-a'2+3a

=-2+3a+(6-a)'2

즉, -2+3a+(6-a)'2=b의 우변이 유리수이므로 좌변도 유 리수이어야 한다.

6-a=0 ∴ a=6

∴ b=-2+3a=-2+3_6=16 답 ①

Ⅰ. 제곱근과 실수 017

17

y=-'3x+b이므로 A{ b'33 , 0}, B(0, b)

삼각형 ABO를 x축을 회전축으로 하여 1회전시켰을 때 생기는 회전체는 밑면의 반지름의 길이가 b, 높이가 b'33 인 원뿔이므로

(부피)= 1

3_pbÛ`_ b'3 3 =3'3p bÜ`=3Ü` ∴ b=3

(겉넓이)=9p+p_3_ABÓ=(9+6'3)p

∴ ABÓ=2'3 답 2'3

● blacklabel 특강 ●^필수개념

원뿔의 겉넓이와 부피

밑면의 반지름의 길이가 r이고, 높이가 h, 모선의 길이가 l인 원뿔 에서 밑넓이는 prÛ`이므로 원뿔의 겉넓이를 S, 부피를 V라 하면 S=prÛ`+prl, V=1

3prÛ`h l h

r

18

4 Â5

Â5 Â5

Â2

2Â2 Â2

Â2 Â2Â2

Â2 1

1 Â5 2

2 Â10Ê

주어진 도형의 각 변의 길이는 위의 그림과 같으므로 x ='1Œ0+2'2+'2+'5+4+'5+2

=3'2+2'5+'1Œ0+6

y =2+'5+2+1+'2+'2+'2+'2+1+'2+'5

=5'2+2'5+6

20

점 P의 이동 경로는 다음 그림에서 ① → ② → ③이다.

P 2

2Â2 l

①

②

③

∴ (점 P가 움직인 거리)

= 14_4p+ 14_4'2p+ 14_4p

=p+'2p+p=(2+'2)p (cm) ^답 ②

21

직사각형 A의 가로의 길이를 a, 세로의 길이를 c라 하면 ac=¿¹0.H7=¾ 79= '7

3

직사각형 B의 가로의 길이를 b라 하면 세로의 길이는 c이므로 bc=¿¹0.H25H9=¾Ð 259999=¾Ð 727= '2Œ1

9

직사각형 D의 세로의 길이를 d라 하면 가로의 길이는 b이므로 bd=¿¹0.H3=¾ 39 = '3

3

∴ (C의 넓이) =ad=(ac_bd)Öbc

= '73 _'3 3 Ö '2Œ1

9 =1 답 ①

● blacklabel 특강 ●^풀이첨삭

각 직사각형의 가로, 세로의 길이를 정하고 넓이를 나타내면 다음 그림과 같다.

a b

ac bc

ad bd

c d c+d

a+b

19

ACÓ=BDÓ='2이므로 BPÓ=AQÓ='2

이때 점 P에 대응하는 수가 7-4'2이므로 점 B에 대응하는 수는 7-4'2+'2=7-3'2

ABÓ=1이므로 점 A에 대응하는 수는 a=7-3'2-1=6-3'2

점 Q에 대응하는 수는 b=6-3'2+'2=6-2'2

∴ a+b=(6-3'2)+(6-2'2)=12-5'2 답 12-5'2

본문 pp.21~23

위의 식의 값이 정수가 되려면 aÛ`+ a

aÛ`-b =(정수) yy㉠, 1- 1

aÛ`-b =0 yy㉡

이어야 한다.

㉡에서 b=aÛ`-1이고 이를 ㉠에 대입하면 aÛ`+ a

aÛ`-b =aÛ`+a=(정수) ∴ b=aÛ`-1

따라서 순서쌍 (a, b)는 (2, 3), (3, 8), (4, 15), (5, 24), (6, 35), (7, 48), (8, 63), (9, 80), (10, 99)의 9개이다.

답 9

∴ x-y='1Œ0-2'2 ^답 ④

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25

1<'3<2이므로 '3의 소수 부분은 f(1)='3-1

이때 1

`f(1) = 1

'3-1 = '3+1

2 이고, 2<'3+1<3에서 1< '3+1

2 < 3

2 이므로 1

`f(1) 의 소수 부분은 f(2)= '3+1

2 -1= '3-1 2 또한, 1

`f(2) = 2

'3-1 ='3+1이고, 2<'3+1<3이므로

24

ACÓ='2이므로 a=3-'2

이때 1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로 1<3-'2<2

∴ x=1, y=(3-'2)-1=2-'2

∴ y-1

x-2y = 2-'2-1

1-2(2-'2) = 1-'2

2'2-3 = '2-1 3-2'2

= ('2-1)(3+2'2)

(3-2'2)(3+2'2) =('2-1)(3+2'2)

=3'2+4-3-2'2=1+'2 답 ⑤

27

9x-7y

3y-x =2에서 9x-7y=6y-2x, 11x=13y

∴ x= 1311 y

∴

[

]

Èò`ÇÂ 1311y+y 13 11y-y

=

Èò`Ç Â 2411y 2 11y

`

=

[

]

23

1<'2<2에서 -2<-'2<-1이므로 2<4-'2<3 즉, 4-'2의 정수 부분은 a=2, 소수 부분은

b=(4-'2)-2=2-'2이므로 3+'2

b+1 + 3-'2

2a-b+1 =3+'2

3-'2+ 3-'2 3+'2

= (3+'2)Û`

7 + (3-'2)Û`

7

= 11+6'2

7 + 11-6'2 7

= 227 ^답 22

7

26

1단계 조건을 만족하는 자연수 a, b, c, d의 값을 구한다.

2단계 3'Äc-a와 ¾Ð 2(d-b)3 의 소수 부분을 각각 구한다.

3단계 소수 부분의 차를 구한다.

조건 ㈎와 ㈏에서 a, b, c, d는 제곱수이면서 3a+b=21, 2c+d=113을 만족해야 하므로

a=4, b=9, c=16, d=81

이때 3'Äc-a=3'Ä1Œ6-4=3'1Œ2=6'3에서 10<6'3<11이므 로 3'Äc-a의 소수 부분은 6'3-10

또한,`¾Ð 2(d-b)3 `=¾Ð 2_723 `=4'3에서 6<4'3<7이므로

¾Ð 2(d-b)

3 `의 소수 부분은 4'3-6이다.

∴ |(6'3-10)-(4'3-6)|=4-2'3 ^답 4-2'3 1

`f(2) 의 소수 부분은 f(3)=('3+1)-2='3-1 이와 같이 계속되므로

f(1)=f(3)=f(5)=y=f(79)='3-1 f(2)=f(4)=f(6)=y=f(80)= '3-1 2

∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(80)

=('3-1)_40+ '3-1 2 _40

=40'3-40+20'3-20=-60+60'3 따라서 a=-60, b=60이므로

a-b=(-60)-60=-120

답 -120

단계 채점 기준 배점

㈎ `f(1), f(2), f(3), y의 값을 구한 경우 40%

㈏ `f(n)의 값의 규칙을 구한 경우 40%

㈐ a-b의 값을 구한 경우 20%

㈎

㈏

㈐

22

1<'2<2에서 2<'2+1<3이므로 f('2+1)=2

1<'3<2에서 3<'3+2<4이므로 g('3+2)=('3+2)-3='3-1

∴ 6

`f('2+1)+2g('3+2) = 6 2+2('3-1)

= 6

2+2'3-2

= 62'3 = 3

'3 ='3 답 '3

Ⅰ. 제곱근과 실수 019

본문 pp.23~25

28

h=170, w=70을 'Äh_w

60 에 대입하여 계산하면 'Äh_w

60 = 'Ä11900

60 = 100'Ä1.19 60 = 5

3_1.091=1.818y 따라서 구하는 겉넓이는 1.82`mÛ`이다. 답 ③

Step 3

01 ⑴ 구할 수 있다., 28.28 ⑵ 구할 수 없다.

02 ⑴ 풀이 참조, 4+2'2 ⑵ 16+6'2 03 ⑴ 3 ⑵ 287 04 ⑴ d1='7-2, d2= '7-13 , d3= '7-12 , d4= '7-23

⑵ '7-2 05 8-'6

4 06 200'2-200

07 12 08 9

01

●blacklabel 답안 ●

⑴ 'Ä800="Ã20Û`_2=20'2이므로 '2=1.414를 이용하여 값을 구할 수 있다. 따라서 그 값은

'Ä800=20_1.414=28.28

⑵ 'Ä2000="Ã20_10Û`=10'2Œ0이므로 '2=1.414를 이용해서는 'Ä2000의 값을 구할 수 없다.

답 ⑴ 구할 수 있다., 28.28 ⑵ 구할 수 없다.

단계 채점 기준 배점

⑴ '2=1.414를 이용하여 'Ä800의 값을 구한 경우 50%

⑵ '2=1.414를 이용하여 'Ä2000의 값을 구할 수 없음을 말

한 경우 50%

02

●교과 외 지식 칠교놀이

한국의 민속놀이 중 하나로 사방 10`cm쯤 되는 나무판을 직각삼각형 큰 것 2개, 중간 것 1개, 작은 것 2개, 그리고 정사각형과 평행사변형이 각 1개가 되도록 잘라낸 조각으로, 이 조각들을 이용하여 여러 가지 형태를 만드는 놀 이이다.

‘칠교’라는 이름은 이 판이 7개의 조각으로 이루어진 데에서 왔으며, 이 판을 칠교판 또는 칠교도라 한다. 예전에는 집에 손님이 왔을 때 음식을 준비하는 동안이나 사람을 기다리는 시간에 주인이 놀이판을 내어놓기도 하여, 이를 유객판 또는 유객도라고 하였다.

특히 이 놀이는 어린이들의 사고력, 상상력, 조직력 등을 기르는 데에 매우 유익한 놀이로 알려져 있다.

03

●blacklabel 답안 ●

⑴ 'x+'y='Ä2009에서 'x+'y=7'4Œ1 yy ㉠

이때 7'4Œ1은 무리수이고 x, y는 정수이므로 ㉠을 만족하는 x, y는 x=41_kÛ`, y=41_lÛ` (k, l은 자연수) 꼴이어야 한다.

㉠에서 "Ã41_kÛ`+"Ã41_lÛ`=7'4Œ1이므로 k'4Œ1+l'4Œ1=7'4Œ1 ∴ k+l=7 이때 0<x<y이므로 0<k<l

∴ k=1, l=6 또는 k=2, l=5 또는 k=3, l=4

따라서 순서쌍 (x, y)는 (41, 1476), (164, 1025), (369, 656) 의 3개이다.

⑵ y가 최소일 때 x=369, y=656이므로 y-x=656-369=287

답 ⑴ 3 ⑵ 287

단계 채점 기준 배점

⑴ 조건을 만족하는 x, y의 조건을 구한 경우 30%

순서쌍 (x, y)의 개수를 구한 경우 30%

⑵ y의 값이 최소일 때의 x, y의 값을 구한 경우 20%

y-x의 값을 구한 경우 20%

●blacklabel 답안 ●

⑴ 둘레의 길이가 같은 것은 다음 그림의 두 조각이다.

∴ (둘레의 길이)=2_2+2_'Œ2=4+2'2

⑵

①

2 2 2

2

2

Â2 Â2

Â2 Â2

2-Â2

4-Â2 2Â2 2Â2

① ②

② ③

③ ④

④ ⑥

⑥

⑦

⑦

⑤

⑤

∴ (둘레의 길이)= 2+'2+2+'2+2+2'2+(4-'2) +2'2+2+(2-'2)+'2+'2+2

=16+6'2

답 ⑴ 풀이 참조, 4+2'2 ⑵ 16+6'2

단계 채점 기준 배점

⑴ 칠교놀이의 조각 중 둘레의 길이가 같은 조각을 말하고

그 둘레의 길이를 구한 경우 40%

⑵ 주어진 동물 모양의 둘레의 길이를 구한 경우 60%

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05

●교과 외 지식 용지 규격의 유래

A 용지, B 용지의 규격은 1909년 독일 물리화학자 프레드릭 오스트발트 (1853~1932년)에 의해 만들어졌다.

가장 큰 A0를 반으로 자른 것이 A1, 이것을 반으로 자른 것이 A2로 종이 를 계속 반으로 잘라도 종이의 모양은 같다. 흔히 쓰는 A4는 A0를 네 번 자 른 크기이다.

이 비율로 종이를 자르면 손실 부분이 없어 효율적이기 때문에 1922년 독일 공업규격(DIN) 476호로 제정되었다고 한다.

A4 규격과 비슷한 규격으로는 영국식 국판, 미국식 레터 용지 등이 있으나 미국, 영국 등을 제외하고는 독일식 규격이 국제 기준으로 쓰인다.

●blacklabel 답안 ●

"

"

"

"

…

위의 그림과 같이 A2 용지의 넓이는 A4 용지의 4배이므로 넓 이의 비는 1`:`4이고 닮음비는 1`:`2이다.

∴ a=2

B0 전지의 넓이는 A0 전지의 넓이의 1.5배, 즉 3

2배이므로 A0 전지와 B0 전지의 넓이의 비는 1`:`3

2이고 닮음비는 1<sub>`</sub>:`¾ 32=1`:` '6

2 yy ㉠

이때 B0 전지와 B6 용지의 넓이의 비는 1`:`1

2ß`=1`:` 1 64이므로 닮음비는 1`:`1

8 yy ㉡

㉠, ㉡에서 A0 전지와 B6 용지의 닮음비는 '62 `:` 18=1`:` '6 16 yy ㉢

한편, A0 전지와 A4 용지의 넓이의 비는 1`:`1 2Ý`=1`:` 1

16 이므 로 닮음비는 1`:`1

4 yy ㉣

㉢, ㉣에서 A4 용지와 B6 용지의 닮음비는 1

4<sup>`</sup>:` '6

16=1`:` '6 4

∴ b= '6 4

∴ a-b=2- '6 4 = 8-'6 4

답 8-'6 4

㈎

㈏

㈐

04

●blacklabel 답안 ●

⑴ 2<'7<3에서 '7의 정수 부분은 2이므로 소수 부분은 d1='7-2

이때 1 d1= 1

'7-2= '7+2 3 이고, 4

3< '7+2 3 < 5

3에서 1 d1

의 정수 부분은 1이므로 소수 부분은 d2= '7+2

3 -1= '7-1 3 1

d2= 3

'7-1= '7+1 2 이고, 3

2< '7+1

2 <2에서 1

d2의 정수 부분은 1이므로 소수 부분은

d3= '7+1

2 -1= '7-1 2 1

d3= 2

'7-1= '7+1

3 이고, 1< '7+1 3 < 4

3에서 1 d3의 정 수 부분은 1이므로 소수 부분은

d4= '7+1

3 -1= '7-2 3

⑵ 계속해서 구해 보면 1

d4= 3

'7-2='7+2이고, 4<'7+2<5에서 1d4의 정수 부분은 4이므로 소수 부분은

d5=('7+2)-4='7-2=d1

즉, 음이 아닌 정수 k에 대하여

dn= (

| {

| 9

'7-2`` `(n=4k+1) '7-13 (n=4k+2) '7-12 (n=4k+3) '7-23 (n=4k+4) 따라서 13=4_3+1이므로 d13=d1='7-2

답 ⑴ d1='7-2, d2= '7-1

3 , d3= '7-1

2 , d4= '7-2 3 ⑵ '7-2

단계 채점 기준 배점

⑴ d1, d2, d3, d4의 값을 구한 경우 40%

⑵ dÇ의 규칙을 찾은 경우 40%

d13의 값을 구한 경우 20%