개의 확률변수
⋯
이 결합확률밀도함수 … 을 가질 때, 이들의 함수
⋯
는 새로운 확률변수가 되고 따라서 확률분포를 가진다. 이 장에서는
⋯ 들의 결합확률밀도함수로부터
의 분포를 구하는 방법에 대해 다루고자 한다. 여기서 확률변수들만의 함수를 통계량(statistic) 이라 하며, 통계량의 확률분포를 표본분포(sampling distribution)라고 한다.정의 1 확률표본과 i.i.d.
⋯
을 로부터의 확률표본(random sample 또는 )이 라 함은
…
의 joint 가 ⋯ ⋯
으로 주어지는 경우를 의미한다. 따라서
⋯
은 서로 독립이며 동일 한 분포(independent and identically distributed 또는 ) 를 따르고 기호로는
⋯
～ 으로 나타낸다.
⋯
의 결합확률밀도함수 ⋯ 으로부터,
⋯
의 분포를 유도하는 방법에는 (A) 누적분포함수법(B) 변수변환법 (C) 적률생성함수법 이 있다.
5.1 누적분포함수법
누적분포함수법 ( method)은 확률변수
⋯
의 확률밀도함 수 ⋯ 로부터 직접
⋯
의 를 구하고, 의 미분을 통해 를 유도하는 방법으로,
가 1차원(1-dimensional)이며 연속형 (continuous type)인 경우에 특히 유용한 방법이다.예제 1
～
일 때,
ln
～ℰ 임을 보여라.
의 는
ln
≤
≤
≥
이다. 따라서
′
≥
이므로,
ln
～ℰ 이다.같은 방법으로,
ln
역시 ℰ 이 됨을 보일 수 있다. ■예제 2
～
일 때,
의 를 구하여라.
의 는
≤
≤
≤ ln
∞ln
exp
x
dx y 이다. 따라서
의 는
′
exp
ln
이다. 여기서 ∞ ∞ , 이다. 이 분포는 로그정규분포(log-nor mal distribution)로 알려져 있으며, 기호로는
～
으로 나타낸다. ■
Remark
위의 관계로부터
～
이면 ln
～
이 됨은 자 명하다. 즉, 로그변환 후 정규분포가 되는 확률변수가 로그정규분포를 따른다고 할 수 있다.예제 3
～
일 때,
～임을 보여라.
의 누적분포함수는
≤
≤
≤
이다. 위 식에서
라 하면
이므로
≥
이다. 따라서
의 확률밀도함수는
′
≥
이다. 따라서
는 을 따른다. 위 식의 마지막 등호는 다음의 [보조정리1]로부터 성립된다. ■
보조정리 1
이다.증명 감마함수
∞ 로부터
∞
∞
이다. 여기서
로 놓으면
이므로
∞
∞
∞
∞∞
이다.
예제 4
～
일 때,
max
와
min
의 를 구하여라.
의 는
max
≤
≤
는 이므로
이고, 따라서
의 는
′
이다. 마찬가지로
의 는
min
≤
min
는 이므로
이고, 따라서
의 는
′
이다. ■
참고 위 결과는 5.5절의 [정리 4]를 통해 직접 구해질 수도 있다.
예제 5
～
일 때,
의 를 구하여라.
의 는
≤
≤
이며, 위의 적분영역을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
ⅰ) ≤ ≤ ⅱ) ≤
1
0 1
1
0 1
위의 그림을 이용하면
≤
≤ 또는
≤ ≤
≤
≥
임을 알 수 있다. 따라서
의 는
′
≤
≤
이다. ■
정리 1 확률적분변환 : probability integral transformation(or p.i.t.) (a)
～
이고,
․가 연속이고 단조증가함수이면
～
이다.
(b)
～
이고,
가 연속이며 단조증가인
를 가질 때
=
이다.
증명 (a)
라 하면,
의 는
≤
≤
≤
≥
이다. 따라서
～
이다.
(b)
라 하면,
의 는
≤
≤
이다. 따라서
～
이고,
～
이므로
=
,
～
이다.
Remarks
1. [정리 1]에서 단조증가의 조건은 생략될 수 있다.2. (a)는 순서통계량(order statistic)의 연구에 자주 사용되며, (b)는 컴퓨터를 이용 한 모의실험 등에서 확률변량(random variates)의 생성에 사용된다.
예제 6
～
일 때
이므로 확률적분변환()에 의해
～
이 된다. 위 결과에 (예제 1)을 적용하면
ln
～ℰ =
임을 알 수 있다.
5.1
연습문제
1
∼
일 때,
의 분포가
임을 보여라. 단, 이 다.2
～ 일 때,
의 가
ln
∞
이 됨을 보여라. 이 분포를 로그감마분포(log-gamma distribution)라 한다.
3
가 연속형이고 를 가질 때,
의 가
임을 보여라.
4
～
일 때,
의 를 구하여라.5
～
일 때,
의 를 구하여라.6
∼
일 때,
(즉, 로그정규분포)의 평균과 분산이
exp
exp exp 이 됨을 보여라.
Hint
임을 이용할 것.
5.2 이산형 변수변환법
⋯
가 이산형인 경우(
가 이산형이면
도 이산형임)에는를 구하는 과정을 거치지 않고 직접 를 구하는 방법을 사용하며, 이를 흔 히 확률밀도함수법( method)이라 한다.
특히,
의 분포로부터
의 는 다음과 같이 유도된다. 변환 가
의 공간
에서
의 공간
로의 일대일(1-1) 대응함수인 경우에는
∈
을 통해
의 가 구해진다.용어정의 일대일 변환
변환 함수 가 공간
에서 공간
로의 함수로써 일대일 대응(1-1 correspondence)을 만족할 때, 이 변환을 간단히 일대일 변환(1-1 transfor mation)이라 부르기로 한다.예제 1
～
일 때,
의 를 구하여라.변환 는 공간
⋯에서 공간
⋯로의 일대일(1-1) 변환이므로,
의 는
…
…
이다. ■
예제 2
～
일 때,
max
의 는
max
max
≤
max
≤
가 이므로 이다. 여기서
이다. 따라서
이다.
변환 ⋯ 가 일대일 변환이 아닌 경우에는 아래의 (예제 3)에서 와 같이 일대일 변환이 되도록 새로운 변수를 도입하여 를 구하거나([방법 1]), 위의 (예제 2)에서와 같이 직접 유도하는 방법([방법 2])을 사용할 수 있다.
예제 3
～
～
이고
과
가 서로 독립일 때,
의 를 구하여라.[방법 1] 새로운 변수
를 도입하면, 변환 가 공간
⋯ ⋯
에서 공간
⋯ ⋯
로의 일대일(1-1) 변환이 된다. 따 라서
과
의 joint 는
∈
이고, 이로부터
의 는
⋯
이 된다.
[방법 2]
의 를 직접 유도하는 과정은 다음과 같다.
≥
과
가 독립이므로
이 되어
～
임을 알 수 있다. ■
참고 위의 예제에서와 같이 독립인 확률변수들의 합에 대한 분포는 5.4절의 적률생 성함수법을 이용하면 보다 쉽게 구할 수 있다.
고
5.2
연습문제
1
∼
일 때,
의 를 구하여라.2
∼
일 때,
의 를 구하여라.3
∼
일 때,
의 를 구하여라.
참고 위 결과를 2장의 연습문제 5번과 비교하고, 그 의미를 생각해보기 바란다.
