Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 ( Series Solutions of ODEs.

(1)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 ( Series Solutions of ODEs.

Special Functions)

z

변수계수를 갖는 선형미분 방정식을 풀이하는 표준적인 방법인 멱급수 해법(power series

method)을 소개한다

z멱급수 해법으로 얻을 수 있는 유명한 특수함수 : 베셀 함수 ( Bessel function ), 르장드르 함수 ( Legendre function ), 가우스 ( Gauss ) 의 초기화함수( hypergeometric function )

(2)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 5.1 거듭제곱급수 해법

5.1 거듭제곱급수 해법(Power Series Method)

z 거듭제곱급수(Power Series) :

• 계수 :

• 중심 :

• 중심이 인 경우 :

z Maclaurin 급수

(

−

)

= +

(

−

)

+

(

−

)

+_L

∑

^∞

=

2 0 2

0 1

0 0

0

x x a x x a a x

x

a ^m

m m

L , , , ₁ ₂

0 a a

a

x0

0

∑

^∞ = + + +L

=

2 2 1 0 0

x a x a a x a ^m

m m

( ) ( )

^L

L L

L

+

− +

− + =

= −

+

− +

−

− =

=

+ + + +

=

+ + +

=

− =

∑

∞

=

+

∞

=

∞

=

∞

=

! 5

! 3

! 1 2 sin 1

! 4

! 1 2

! 2 cos 1

! 3

! 1 2

! 1 1

1

5 3

0

1 2

4 2

0

2

3 2

0

2 0

x x x

m x x

x x m

x x

x x x

m e x

x x x x

m

m m m

m x

m m

(3)

z

거듭제곱급수 해법의 개념

상미분방정식 에 적용

• 와 를 의 거듭제곱급수로 표현

• 해를 미지의 계수를 갖는 거듭제곱급수 로 가정

• 와 를 항별미분하여 얻은 급수

를 상미분방정식에 대입

• 미지계수 을 계산

( )

x a x a x a a x a y

m

m m

y y

+L +

+

=

∑

^∞

=

− 2

3 2

1 1

1 2 3

' ma x a a x a x y

m

m m

(

−

)

= + ⋅ +_L

=

∑

^∞

=

− a a x

x a m m y

m

m 2 3

2

1 2 3 2

1 ''

am

(4)

Ex.1 다음 상미분방정식을 거듭제곱급수를 이용하여 풀어라.

와 를 대입

xy y 2'=

+L +

+ +

=

∑

^∞

=

3 3 2 2 1 0 0

x a x a x a a x a y

m

m m =

∑

^∞ = + + +L

=

− 2

3 2 1 1

1 2 3

' ma x a a x a x y

m m m

( )

L

L L

L

L L

!, 3 3

!, 2 2

,

, 2 6 , 2 5 , 2 4 , 2 3 , 2 2 , 0

2 2

2 3

2

2 3

2

0 4 6 0 2 4 0 2

4 6 3 5 2 4 1 3 0 2 1

3 2 2 1 0 2

3 2 1

2 2 1 0 2

3 2 1

a a a

a a

a a a a a a a a a a a

x a x a x a x

a x a a

x a x a a x x

a x a a

=

⇒

=

⇒

+ +

+

= + +

+

⇒

+ +

+

= + +

+

⇒

2

0 8

6 4 2

0 1 2! 3! 4!

x x x a e^x

x a

y ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + + +

=

∴ L

(5)

와 를 대입

Ex.2 다음 상미분방정식을 풀어라.

0 ''+ y= y

∑

^∞

=

m 0 m mx a

y

∑

^∞ ( )

=

− −

=

2

1 1

''

m

m mx a m m y

( )

(s )(s )a x a x ( m s m s)

x a x

a m m

s s s s

s s

m m m m

m m

= +

=

−

= +

+

⇒

= +

−

⇒

∑

∞

=

∞

= +

∞

=

∞

=

−

, 2

1

2

0 1

0 0

2 0 2

2

x a x a

x x x

x a a x

a x a x

x a a y

sin cos

! 5

! 3

! 4

! 1 2

! 5

! 4

! 3

! 2

1 0

5 3 1

4 2 0 1 5

0 4 1 3

0 2 1 0

+

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

= + +

+

−

− +

=

∴ L L L

첫 번째 항은 두 번째 항은

순환공식(Recursion Formula) : ( )( ) (s , , _L)

s s

a_s a^s 0 1

1

2 2 =

+

− +

+ =

! 5 4 5

!, 4 3 4

! 3 2 3

!, 2 1 2

1 3 5

0 2 4

1 1

3 0 0

2

a a a

⋅ =

−

=

⋅ =

−

=

−

⋅ =

−

=

−

⋅ =

−

=

(6)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 5.2 거듭제곱급수 해법의 이론

5.2 거듭제곱급수 해법의 이론(Theory of the Power Series Method)

z

기본개념(Basic Concepts)

• n 번째까지의 부분합(n th Partial Sum):

• 나머지(Remainder) :

• 수렴 : 부분합의 수열이 수렴할 때

• 수렴값(Value) 또는 합(Sum)

: 부분합의 수열이 수렴할 때, 부분합 수열의 극한값

• 발산 : 부분합의 수열이 발산할 때

(

−

)

= +

(

−

)

+

(

−

)

+_L

∑

^∞

=

2 0 2

0 1

0 0

0

x x a x x a a x

x

a ^m

m m

( ) ( ) ( )

_n

( )

ⁿ

n x a a x x a x x a x x

s = ₀ + ₁ − ₀ + ₂ − ₀ ² +L+ − ₀

( )

= _n₊₁

(

− ₀

)

ⁿ⁺¹+ _n₊₂

(

− ₀

)

ⁿ⁺² +_L

n x a x x a x x

R

거듭급수는 중심에서 항상 수렴한다

.

(7)

z 수렴구간(Convergence Interval), 수렴반지름(Radius of Convergence)

• 수렴구간 : 급수가 수렴하는 값들의 구간( 의 형태로 나타남)

• 수렴반지름( )

: 급수는 인 모든 에 대하여 수렴하고, 인 모든 에 대하 여 발산할 때

R x x− ₀ <

R

R x

x− ₀ < ^x x−x₀ >R ^x

m m m

R a

lim

1

∞

→

= 또는

m m a a m

R

lim

1

+

∞

→

=

Ex. 4 다음 급수의 수렴반지름을 구하라.

이 급수는 계수가 인 의 거듭제곱급수이다.

( )− = − + − +−L

∑

^∞

= 1 8 64 512

8

1 ₃ ³ ⁶ ⁹

0

x x x ^m x

m m

m

( ) m

m

am

8

−1

= t=x³

8 8 1 8

8

1

1 = ₊ = ⇒ =

+ R

a a

m m

m

m 이고 t = x³ <8 일 때, 즉 ^x ^<² 인 조건에서 수렴

(8)

z 거듭제곱급수 연산(Operations on Power Series)

• 항별미분(Termwise Differentiation) : 거듭제곱급수는 항별로 미분가능하다.

• 항별덧셈 (Termwise Addition) : 두 개의 거듭제곱급수는 각 항별로 더할 수 있다.

• 항별곱셈 (Termwise Multiplication) : 두 거듭제곱급수는 각 항별로 곱할 수 있다.

• 모든 계수가 영이 됨(Vanishing of All Coefficients)

: 만일 어떤 거듭제곱급수가 양의 수렴반지름을 갖고, 수렴구간 전체에서 합이 항등적으로 0이라면, 급수의 모든 계수는 0이다.

z 상미분방정식에 대한 거듭제곱급수 해의 존재. 실수 해석함수

• 실수 해석함수(Real Analytic Function) : 거듭제곱급수로 표현되어지는 실수함수

• 거듭제곱급수 해의 존재

미분방정식 의 이 해석적이면 주어진 미분방정식의 해

는 해석적이다. 미분방정식 의 이 해석적이면

주어진 미분방정식의 해는 해석적이다.

( )

x y q

( )

x y r

( )

x p

_n

5.3 Legendre의 방정식. Legendre 다항식 p_n( )x

(

¹⁻^x²

)

^y ^''⁻²^xy^'⁺ⁿ

⁽

ⁿ⁺¹

⁾

^y ⁼⁰

: 방정식 Legendre 의

z

( )

^를^대입

과

∑

^∞

=

∞ −

=

∞ −

=

2

2 1

1 0

1 '

,

m

m m m

m

mx y ma x y'' m m- a x

a y

( ) ( ) ( )

1 1

0 1

2 1

1

0 1

2 0

2

0 1

2 2

2

0 1

1 2

2 2

= +

+

−

− +

+

⇒

=

−

= +

+

−

⇒

= +

+

−

⇒

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

= +

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

∞

=

∞

=

∞ −

=

−

s

s s s

s s

m

m m m

m m

m

m m m

m m

x a n n x

sa x

a s- s x

a s s

s m

x a n n x

ma x

a m- m x

a m- m

x a n

n x

ma x x

a m- m x

치환 로 대신에 단순히

급수들은 개의

세 나머지 놓고,

라 급수는

첫번째

(10)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 5.3 Legendre의 방정식. Legendre 다항식 p_n( )x

( )

[ ]

( )( ) [ ( ) ( ) ]

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

L L

L M

+ + −

+

− + −

+

− −

=

+ + −

− +

=

+

=

∴

+ +

−

= −

⋅ +

− −

=

+

− −

= +

+

= −

⋅ +

− −

=

− +

=

+ = +

+ +

− −

=

∴

= +

+

−

− + +

+

= +

+

− +

⋅

= +

+

⋅

+

5 3

2

4 2

1

2 1 1

0

1 3

5

1 3

0 2

4

0 2

2 2

2

1 3

1

0 2

0

! 5

4 2

1 3

! 3

2 1

! 4

3 1

2

! 2 1 1

! 5

4 2

1 3

4 5

4 3

! 3

2 1

! 4

3 1

2 3

4

3 2

! 2

1

1 0 1

2 1

0 1

2 1 1

2

0 1

2 2

3

0 1

1 2

n x n

x y

n x n

y

x y a x y a x y

n a n

n a a n

n a n n a n

n a n

n a a n

, , s s a

s

s n s a n

a n n s s

s a

s s

a n n a

x

a n n a x

s

s s

: 일반해 일반적으로

: 계수 의

(11)

z

Legendre 다항식

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ = −

−

− −

=

⇒

−

− −

=

∴

−

= −

−

− −

=

−

− −

− =

−

− −

=

−

− −

− =

− −

=

⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

− ≠

⋅

⋅ =

=

− + ≤

+

−

+

− +

=

−

=

−

+

∑

2

1 2

! 2

!

! 2

! 2 1 2

! 2

!

! 2

! 2 1 2

! 4

! 2

! 2 2

! 4 2 3

2 4

3 2

! 2

! 1 2

! 2 2

! 2 1

! 1 2

1 2 2

! 2 2 1 2 2 1

! 2 1 2 2

! 2 1 1

2 2

1

! 0 1 2 5 3 1

0 1

! 2

2

1 1 2

2 0

2

2 4

2 2 2

2 2

n M n

m x n m n m

m x n

P

m n m n m

m a n

n n

a n n

n a n

n n

n n n n n

n n

n

n n

a n n n a n

n n

n a n

n s s a

n s n

s a s

m M n

m n

n m m

n

n n n

n n

n n n

n n

s

또는

선택 L 로

5.3 Legendre의 방정식. Legendre 다항식 p_n( )x

(12)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 5.3 Legendre의 방정식. Legendre 다항식 p_n( )x

z

Legendre 다항식의 예

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

^x

(

^x ^x

)

^P

^{( )}

^x

(

^x ^x ^x

)

P

x x x

P x

x P

x x P x

P

15 70

8 63 1

3

30 8 35

1

,

3 2 5

1

,

1 2 3

1

,

1

3 5

5 2

4 4

3 3

2 2

0 0

+

−

= +

−

=

−

=

−

=

(13)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 5.4 Frobenius 해법

z

Frobenius 해법(Frobenius Method)

5.4 Frobenius 해법(Frobenius Method)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

갖는다.

하나 적어도 해를

형태의 같은

은 상미분방정식

경우 해석적일 에서

가 와

함수

0

0 '

'' 0

0 2

2 1 0 0

2

≠ +

+ +

=

= +

+

=

∑

^∞

=

a x

a x a a x x a x x y

x y x y c x

x y b

x x c x b

r m

m m

r L

(14)

z

해의 형태를 나타내는 결정방정식(Indicial Equation)

•

( ) ( )

0 '

''+ + ₂ y = x

x y c x

x

y b x²을 곱한다.

( )

'

( )

0

2y ''+xb x y+c x y= x

( )

x =b₀ +b₁x+b₂x² +_L, c

( )

x =c₀ +c₁x+c₂x² +_L^로 ^표현 b

( ) ( )

( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ( )( ) ]

^을 ^대입

항별미분하면 을

L L

L

+ +

+ + +

+

−

=

− + +

=

+ +

+

= +

=

+ +

+

=

−

∞ +

=

−

∞ +

=

∞

=

∑

2 2 1

0 2

2 0

2 2 1

0 1 1

0

2 2 1 0 0

1 2

1 1

1 ''

2 1

'

x a r r

x ra r

a r r x x

a r m r m x

y

x a r x a r ra x x

a r m x

y

x a x a a x x a x x y

r r

m

m m

r r

m

m m

r m

m m

r

( )

[

1

] ( ) [ ] ( ) ( )

0

− ₀ + + ₀ + ₁ + ₀ + + ₀ + ₁ + ₀ + ₁ + =

⇒ x^r r r a L b bx L x^r ra L c c x L x^r a a x L

( )

[ ]

(

¹

)

⁰

(

^{결정방정식(}^Indicial^Equation⁾

)

0

0 1

0 0 0

= + +

−

⇒

≠

= +

+

−

c r b r

r a

a c r b r

r x^r의계수:

5.4 Frobenius 해법

(15)

z

Forbenius 해법, 해의 기저. 3가지 경우

• 경우 1. 두 근의 차가 정수가 아닌 서로 다른 근들

• 경우 2. 이중근

• 경우 3. 두 근의 차가 정수인 서로 다른 근들

( )=

(

₀+ ₁ + ₂ ²+L

)

₂^{( )}=

(

₀+ ₁ + ₂ ² +L

)

1 x x¹ a ax a x y x x² A Ax A x

2 2 1 0 1

2

1 a a x a x y x ky x lnx x A Ax A x

x x

y ^r 과 ^r

2 0

1 − r >

r

5.4 Frobenius 해법

(16)

Ch. 5 상미분방정식의 급수해법. 특수함수 5.4 Frobenius 해법

Ex.2 경우 2의 예(이중근) 다음의 상미분방정식을 풀어라.

(x⁻¹) (y ^''⁺³x⁻¹)y^'⁺y⁼⁰ x

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ¹¹) ¹^, ^ln ^, ^ln ¹

'

ln 1 ln 1 2

1 2 1

1 3

1 1

0 1

3 1

1

0 3

1 1

0

0 1

0 3

1 1

1 2 2

2 2

1

0 1

0

1 1

1

0 0

1 0

0

1 0

0 1

0 0

1 0

0

1 0

= −

=

− =

= −

= ∫

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− −

− =

− −

=

−

− <

=

⇒

= + +

− + +

−

= +

− +

−

=

∴

⇒

=

−

= +

+

− +

+

− + +

−

− + +

− −

∞

=

+ +

+

∞

=

∞

=

∞ −

=

∞

=

∞ −

=

−

∞

=

∞ +

=

−

∞ +

=

∞ +

=

−

∞ +

=

+

∫

∑

x uy x y x x u

x x e x

y u

x x

x dx dx x

x x dx x p

x x x

x y a

a a a

a s sa sa

s a s s

x a x

ma x

a m m x

a m m

r a

r r

r x

x a x

a r m x

a r m r m x

a r m r m

dx p

m m

s s s

s s

m m m m

m m m

m m

r

m

r m m m

r m m

의하여

차수축소법에

선택하면 로

: 계수 의 차수인 낮은

가장

해 두번째

해 첫번째

(17)

z

5.5 Bessel의 방정식. Bessel 함수J_ν( )x

5.5 Bessel의 방정식. Bessel 함수

(Bessel’s Equation. Bessel Functions )

( ) x J

_ν

( ) x J

_ν

( )

⁰

'

'' ² ²

2y +xy+ x − y =

x ν

: 방정식 Bessel

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

0

0 1

3, , 2

0 1

1 1

0 1

0

0 1

Frobenius

2 2 1

2 1 1

0 2 0 0

0 0

2 2 0

0

=

− +

∴

=

− +

+ +

− + +

=

− +

+ +

=

− +

−

=

− +

+ +

− + +

=

−

∞

=

∞ +

=

+

∞ +

=

∞ +

=

+

∞

=

+

∑

ν ν

ν

r r

a a

a r s a r s r s s

a a

r ra r

s

a ra

a r r s

x a x

a x

a r m x

a r m r m

x a y

s s

m

r m m m

r m m

m

r m m

: 결정방정식

때, 일 때, 일

때, 일

대입 도함수를 그

과 :

적용 해법

L

(18)

z

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( ( ) )( ) (

_L

)

^L

L L

, 2 , 1 2 ,

1

! 2 1

2 1

! 2 2

1 2

2 2 1

1 2

1

, 2 , 1 2 ,

1 0 2

2 2 2

0

2

0 0 1

2

) Recursion t

Coefficien (

2 0 2

4 0 2 2

4

2 0 2

2 2 2

2 2

5 3 2

1 1

1

+ = +

+

= −

∴

⇒

+

= +

− +

=

− +

=

⇒

+ =

−

=

⇒

= +

+

=

= ⇒ +

+

=

⇒

= +

=

−

m m a

a m

a a

a

a a

m m a

a m a

ma m

m s

a a a

sa s

a a

r r

m

m m

m m s

s

ν ν

ν

ν ν ν

ν

ν ν ν

ν ν

대입하면 을

점화 계수 대한 에

(19)

•

• ( ) ( ( ) )( ) ( )

( ) ( )

( )

! ^차 ^제^1종 ^Bessel^함수

! 2

1

, 2 , 1

!,

! 2

1

! 2

1

, 2 , 1 2 ,

1

! 2

1 Bessel

0 2

2 2 2 0

2 0 2

m n n m x x

x J

m m n a m

a n

m m a

n n

n a m

x J n

m m n

n

n m

m n m

m

m m

n

: 선택하면

으로

함수 대한

에 정수

∑

^∞

= +

+

= −

∴

+ =

= −

=

+ = +

+

= −

=

L L L

ν

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

1

)

^차 ^제^1종 ^Bessel^함수

! 2

1

, 2 , 1 1 ,

! 2

1 1

2 1

1 0 1

, 1

0

: Function Gamma

Bessel 0

0 2

2 2 2 0

0

1

ν ν

ν ν ν

ν ν

: 선택하면

으로

:

성질 감마함수의 감마함수

감마함수 .

함수 대한

에

임의의

∑

∫

∞

= +

+

∞ − −

+ + Γ

= −

∴

+ = + Γ

= − +

= Γ

=

= +

>

= Γ

≥

m m

m

m m

t

m m

x x x J

m m a m

a

, , n n!

n Γ ν νΓ ν

Γ

ν dt t e x J

L L

(20)

z

• ( ) ( )

( )

∑

^∞

= +

−

− Γ − +

= −

0 2

2

1

! 2

1

m m

m m x x

x

J ν

ν 에대한 일반해. _ν ^ν _ν

아닌 정수가

•

Bessel 방정식의 일반해

( )

^x ^c ^J

( )

^x ^c ^J

( )

^x

y

x

ν ν

ν

+ −

=

≠

2

1

Bessel

0에대한 방정식의일반해 모든

아니면, 정수가

가

•

미분, 점화관계

( ) ( ) ( )

^x ^J ^x

J J

J_n와 ₋_n의일차종속성: ₋_n = −1 ⁿ _n Bessel함수

[ ( ) ] ^{( )}

( ) ( ) ( )

( )

x J

( )

x J

( )

x J

x x J x J x J x

J x x

J x

x J x x J x

' 2

2

'

1 1

ν ν

ν

ν ν

ν ν ν

ν ν

ν ν ν

=

−

= +

−

=

+

−

+

−

− +

−

− 점화관계: :

미분관계

( ) ( )

x

x x J x x

x J

J J

2 cos

, 2 sin

Bessel 2

1

12

12 π π

ν

ν ν

=

±

=

−

초등함수이다.

는 함수 인

2, , 5 2 , 3

차수 _L

함수 초등 대한

에 차수

반정수 Bessel