멱급수 해법으로 얻을 수 있는 유명한 특수함수:

EE ngineering Mathematics I ngineering Mathematics I

Prof. Dr. Yong-Su Na g

(32-206, ysna@snu.ac.kr, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

Ch 5 Series Solutions of ODEs Ch 5 Series Solutions of ODEs Ch. 5 Series Solutions of ODEs.

Ch. 5 Series Solutions of ODEs.

Special Functions Special Functions

5.1 Power Series Method

5 2 Theory of the Power Series Method 5.2 Theory of the Power Series Method

5.3 Legendre’s Equation. Legendre Polynomials P_n(x) 5.4 Frobenius Method

5.5 Bessel’s Equation. Bessel Functions J_v(x) 5.6 Bessel Functions of the Second Kind Y_v(x)

5.7 Sturm-Liouville Problems. Orthogonal Functions 5.7 Sturm Liouville Problems. Orthogonal Functions 5.8 Orthogonal Eigenfunction Expansions

2

Ch. 5 Series Solutions of ODEs.

Ch. 5 Series Solutions of ODEs.

S i l F ti S i l F ti

Special Functions Special Functions

((상미분방정식의 상미분방정식의 급수해법 급수해법. . 특수함수 특수함수))

z

변수계수를 갖는 선형미분 방정식을 풀이하는 표준적인 방법인 변수계수를 갖는 선형미분 방정식을 풀이하는 표준적인 방법인 power series method (멱급수 해법)을 소개한다

z

멱급수 해법으로 얻을 수 있는 유명한 특수함수:

z

멱급수 해법으로 얻을 수 있는 유명한 특수함수:

Bessel function (베셀 함수), Legendre function (르장드르 함수), Gauss의 hypergeometric function (초기화함수)

Gauss의 hypergeometric function (초기화함수)

5

5.1 .1 Power Series Method Power Series Method ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

5

5 o e Se es e odo e Se es e od ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

z Power Series (거듭제곱급수): ∑^∞ a_m(x− x0)^m = a0 +a1(x− x0)+a2(x− x0)² +^"

• 계수:

• 중심:

=0

" m

, ,

, _{1 2}

0 a a

a

x0

• 중심이 0 인 경우:

0

"

+ +

+

∑^∞

=

=

2 2 1

0 0

x a x a a x

a ^m

m m

z Maclaurin 급수

= = + + + " <

−

∞

∞

=

) 1 (

1 1

1

3 2

2 0

x x

x

x x

x x x

m m

m

( )

"

+

− +

+ +

+ +

=

=

∑

∑

∞

=

1 1 cos

! 3

! 1 2

!

4 2

2 0

x x

x x

x x x

m e x

m m m

x

( )( )

( )( )

^"

"

+

− +

−

− =

=

+

− +

−

=

=

∑

∑

∞ +

=

! 5

! 3

! 1 2

sin 1

! 4

! 1 2

! cos 2

5 3

1 2 0

x x x

x x x m

m m m

(

⁺

∑=₀

2

1 ! 3 ! 5 !

m

5

5.1 .1 Power Series Method Power Series Method ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

5

5 o e Se es e odo e Se es e od ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

z Idea of the Power Series Method:

상미분방정식 에 적용

• 와 를 x 의 거듭제곱급수로 표현

( ) ' ( ) 0 ''+p x y+q x y = y

( )^x

p ^q( )^x

• 해를 미지의 계수를 갖는 거듭제곱급수 로 가정

• y 와 y 를 항별미분하여 얻은 급수를 상미분방정식에 대입

"

+ +

+ +

=

= ∑^∞

=

3 3 2 2 1

0 0

x a x a x a a x

a y

m

m m

"

+ +

+

=

= ∑^∞

=

− 2

3 2

1 1

1 2 3

' ma x a a x a x

y

m

m m

( )

∑^{∞ 1 m 1 2 3 2}

''

• 미지계수 을 계산

( ⁻ ) ^{= + ⋅ +"}

= ∑

=

− a a x

x a m

m y

m

m

m 2 3

2

1 2 3 2

1 ''

am

5

5.1 .1 Power Series Method Power Series Method ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

5

5 o e Se es e odo e Se es e od ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

Ex. 1 Solve the following ODE by power series.

xy y 2' xy y 2=

"

+ +

+ +

=

= ∑^{∞ 0 1 2 2 3 3}

0

x a x a x a a x

a

y _m ^m

=0 m

"

+ +

+

=

= ∑^∞

=

− 2

3 2

1 1

1 2 3

' ma x a a x a x

y

m

m m

( )

"

"

"

"

2 2

2 3

2

2 3

2

3 2 2

1 0

2 3 2

1

2 2 1

0 2

3 2

1

x a x

a x a x

a x a a

x a x a a x x

a x a a

+ +

+

= + +

+

⇒

+ +

+

= + +

+

⇒

"

"

, 2 6

, 2 5

, 2 4

, 2 3

, 2 2

, 0

0 4

0 2

4 6

3 5

2 4

1 3

0 2

1

a a a

a a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

=

=

=

=

=

⇒

=

=

=

=

=

=

⇒

! , 3 , 3

! 2 , 2

a₂ =a₀ a₄ = = a₆ = =

⇒

8 2

6 4

1 2 x x x a e^x

x a

y ⎟⎟⎞ =

⎜⎜⎛

+ +

+ +

+

=

∴ ₀ " ₀

! 4

! 3

! 1 2

y = a ⎜⎜⎝ + x + + + + ⎟⎟⎠ = a e

∴ "

5

5.1 .1 Power Series Method Power Series Method ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

5

5 o e Se es e odo e Se es e od ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

Ex. 2 Solve the following ODE by power series.

0 ''+ y = y + y = 0 y

∑^∞

=

=

m 0

m mx a

y ∑^∞ ( )

=

− −

=

2

1 1

''

m

m mx a m m y

( )

(s )(s )a x a x ( m s m s)

x a x

a m m

s s

m

m m m

m m

= +

=

−

= +

+

⇒

= +

−

⇒

∑

∑

∑

∑

∞

∞

∞

=

∞

=

−

, 2 1

2

0 1

2 0 2

2

첫 번째 항은 두 번째 항은

(s )(s )a x a x ( m s m s)

s s s

s +

+ +

⇒ ∑ ∑

=

= 2 1 + 2,

0 0

2 첫 번째 항은 두 번째 항은

Recursion Formula (순환공식): ( )( ) (s , , ^")

s s

a_s a^s 0 1

1

2 2 =

+

− +

+ =

! 3 2

3

!, 2 1

2

1 3

0 2

1 1

3 0

0 2

a a a

a a a

a a a

a a a

=

=

=

=

−

⋅ =

−

=

−

⋅ =

−

=

x x x

x a a x

a x a x

a x a x

x a a

y 1 2! 4! 3! 5!

! 5

! 4

! 3

! 2

5 3 1

4 2 0

1 5 0 4

1 3 0 2

1

0 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

= + +

+

−

− +

=

∴ " " "

! 5 4 5

!, 4 3

4 ⁵

4 a

a =

− ⋅

=

⋅ =

−

=

x a

x

a cos sin = ₀ + ₁

⎠

⎝

⎠

⎝

5

5.1 .1 Power Series Method Power Series Method ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

5

5 o e Se es e odo e Se es e od ((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법))

PROBLEM SET 5.1

HW 16 HW: 16

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

z Basic Concepts

( ⁻ ) ^{= +} ( ⁻ )⁺ ( ⁻ ) ^+"

∑^{∞ a}m ^{x x0 m a0 a1 x x0 a2 x x0 2}

• n th Partial Sum (n 번째까지의 부분합):

( ) ( ) ( )

∑= 0 0 1 0 2 0 m 0 m

( ) ( ) ( )² ( )ⁿ

• Remainder (나머지):

( ) ( ) ( ) _n( )ⁿ

n x a a x x a x x a x x

s = ₀ + ₁ − ₀ + ₂ − ₀ ² +"+ − ₀

( )⁼ _n+1( ⁻ ₀)^{n+1 +} _n+2( ⁻ ₀)^{n+2 +"}

n x a x x a x x

R

• Convergent (수렴): 부분합의 수열이 수렴할 때

• Value(수렴값) 또는 Sum (합): 부분합의 수열이 수렴할 때, 부분합 수열의 극한값

( ) ∑^∞

∞ =

→ = = −

0

0 1 1

1 ( ) ( )

lim

m

m m

n sn x s x a x x

• 발산: 부분합의 수열이 발산할 때

™ 거듭급수는 중심에서 항상 수렴한다.

발산 부분합의 수열이 발산할 때

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

z Convergence Interval (수렴구간), Radius of Convergence (수렴반지름)

• 수렴구간: 급수가 수렴하는 값들의 구간 ( 의 형태로 나타남)x −x₀ < R

• 수렴반지름 (R ):

급수는 x −x₀ < R 인 모든 x 에 대하여 수렴하고, x −x₀ > R 인 모든 x 에 대하여 발산할 때

0 0

m a R

lim

= 1 또는

am

R

lim 1

1

= +

m m m

lim_→∞ a lim_m ^am

∞

→

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

Ex. 1-3

∑^{∞ "}

+ +

+ +

+ +

+ +

=

∑

∑

∞

=

1 1

6 2

1

!

3 2

0

3

2 x

x x

x m

m m

m

"

"

+ +

+

=

=

+ +

+ +

=

− =

∑

∑

∞

=

1 1 1

2 0

3 2

x x e x

x x

x x x

m x

m

m

"

+ +

+

=

= ∑

= 1 2!

0 ! m x e

m

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

Ex. 1-3

∑^{∞ "}

+ +

+ +

+ +

+ +

=

∑

∑

∞

=

1 1

6 2

1

!

3 2

0

3

2 x

x x

x m

m m

m Converges only at the center x = 0.

1 h | | 1

"

"

+ +

+

=

=

+ +

+ +

=

− =

∑

∑

∞

=

1 1 1

2 0

3 2

x x e x

x x

x x x

m x

m

m R = 1, converges when |x| < 1

Converges for all x

"

+ +

+

=

= ∑

= 1 2!

0 ! m x e

m

Converges for all x

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

Ex. 4 Find the radius of convergence of the series

( )− _{+ +}

∑^{∞ 1 m 3m 1 x3 x6 x9}

이 급수는 계수가 인 의 거듭제곱급수이다

( ) _{= − + − +−"}

∑= 1 8 64 512 8

3 0

x ^m

m m

( )^m

a = −1 t = x³

이 급수는 계수가 인 의 거듭제곱급수이다.

이고 일 때,

( ) m

am

= 8 t = x

8

8 1 8

8

1

1 = ₊ = ⇒ =

+ R

a

m

m m t = x³ <8

즉, 인 조건에서 수렴.

8 ⁺¹ 8 a_m ^m

< 2 x

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

z Operations on Power Series (거듭제곱급수 연산) z Operations on Power Series (거듭제곱급수 연산)

• Termwise Differentiation (항별미분): 거듭제곱급수는 항별로 미분가능하다.

• Termwise Addition (항별덧셈): 두 개의 거듭제곱급수는 각 항별로 더할 수 있다.

• Termwise Multiplication (항별곱셈): 두 거듭제곱급수는 각 항별로 곱할 수 있다.

• Vanishing of All Coefficients (모든 계수가 영이 됨):

만일 어떤 거듭제곱급수가 양의 수렴반지름을 갖고 수렴구간 전체에서 합이 만일 어떤 거듭제곱급수가 양의 수렴반지름을 갖고, 수렴구간 전체에서 합이 항등적으로 0이라면, 급수의 모든 계수는 0이다.

z Existence of Power Series Solutions of ODEs. Real Analytic Functions (실수 해석함수)

• Real Analytic Function (실수 해석함수): 거듭제곱급수로 표현되어지는 실수함수

• 거듭제곱급수 해의 존재

( ) ( ) ( )

미분방정식 의 이 x = x₀에서 해석적이면 주어진 미분방

정식의 모든 해는 x = x₀에서 해석적이고 R > 0인 수렴반지름을 갖는 x-x₀의 거듭제곱급수로

나타낼 수 있다. 미분방정식 의 이 x = x₀에서 해석

( )^{x y q}( )^{x y r}( )^x

p

y ''+ '+ = p, q, r

( )x y p( )x y q( )x y r( )x

h~ ''+~ '+~ = ~ h~, ~p, q~, r~ 적이고, 이 x = x₀에서 해석적이고( ) ( ) 이면, 동일한 결과가 성립한다.( ) ( )

r~ ~( ) 0

0 ≠ x h

5

5.2 Theory of the .2 Theory of the Power Series Method Power Series Method 5

5 eo y oeo y o ee o e Se es e odo e Se es e od

((거듭제곱급수거듭제곱급수 해법해법의의 이론이론))

PROBLEM SET 5.2

HW 15 HW: 15

5

5.3 Legendre’s Equation. Legendre.3 Legendre’s Equation. Legendregg qq gg Polynomials

Polynomials PP_nn(x) (x)

((르장드르 르장드르 방정식 방정식. . 다항식 다항식))

(

)

z Legendre’s Equation:

( ) ^{를 대입}

과 ∑

∑

∑^{∞ m '} ∑^{∞ m−1과 ''} ∑^∞ ( )^{1 m−2를 대입}

∑ =

−

=

−

=

=

=

=

2

2 1

1 0

1 '

,

m

m m m

m m m

m

mx y ma x y'' m m- a x

a y

5

5.3 Legendre’s Equation. Legendre.3 Legendre’s Equation. Legendregg qq gg Polynomials

Polynomials PP_nn(x) (x)

((르장드르 르장드르 방정식 방정식. . 다항식 다항식))

(

)

z Legendre’s Equation:

( ) ^{를 대입}

과 ∑

∑

∑^{∞ m '} ∑^{∞ m−1과 ''} ∑^∞ ( )^{1 m−2를 대입}

∑ =

−

=

−

=

=

=

=

2

2 1

1 0

1 '

,

m

m m m

m m m

m

mx y ma x y'' m m- a x

a y

(¹− ²) ( )^{1 2} − ^{2 1} + ( +¹) = ⁰

⇒ ^x ∑^{∞ m m- amxm− x}∑^{∞ mamxm− n n} ∑^{∞ amxm}

( )¹ ( )¹ ( ¹) ⁰

0 1

2 2

2

0 1

2

= +

+

−

−

⇒ ∑ ∑ ∑ ∑^∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−

=

=

=

m

m m m

m m m

m m m

m m

m m

m

x a n

n x

ma x

a m- m x

a m- m

( ²)( ¹) ( )¹ ( ¹) ⁰

2

= +

+

−

− +

+

⇒

=

−

∑

∑

∑

∑^{∞ s s a xs ∞ s s- a xs ∞ sa xs ∞ n n a xs}

s m

s

m 라 놓고,나머지세 개의급수들은 단순히 대신에 로 치환

급수는 첫번째

( ²)( ¹) ( )¹ ( ¹) ⁰

0 1

2 0

2 − − + + =

+ +

⇒ ∑ ∑ ∑ ∑

=

=

=

= +

s s

s s

s s

s s s as x s s- a x sa x n n a x

5

5.3 Legendre’s Equation. Legendre.3 Legendre’s Equation. Legendregg qq gg Polynomials

Polynomials PP_nn(x) (x)

((르장드르 르장드르 방정식 방정식. . 다항식 다항식))

( + ) = +

⋅ _{2 0}

0 2 1a n n 1 a 0

x 의 계수: ( )

( )

[ ]

( )( ) [ ( ) ( )]

#

= +

+

− +

⋅

+ +

1 3

1

0 2

0 1

2 1 1

2

0 1

2 2

3

0 1

1 2

a n

n a

x

a n n a x

일반적으로 : 계수 의

계수 의

( )( ) [ ( ) ( )]

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

"

+ = +

+ +

− −

=

∴

= +

+

−

−

− + +

+

+

+

2

2

1 0

1 2

1

0 1

2 1 1

2

, , s s a

s

s n s a n

a n

n s s

s a

s s

s s

s

일반적으로 s

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( − )( − )( + )( + )

+ =

− −

=

+

− −

= +

+

= − +

− −

=

− +

=

1 3

5

1 3

0 2

4

0 2

4 2

1 3

4 3

! 3

2 1

3 1

2 3

2

! 2

1

n a n

n a n

n a n

n a a n

n a n

n a n

n a n

n a a n

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( − ) ( + )( + ) _−+"

+ +

−

=

+

=

∴

⋅

⋅

4 2

1

2 1 1

0

1 3

5 0 2

4

3 1

2 1 1

! 5 4

5

! 4 3

4

n x n

n x n

n x n

y

x y a x y a x y

a a

a a a

a

: 일반해

( )

( )= − ( − )( + ) + ( − )( − )( + )( + ) _−+"

+ +

5 3

2 1

! 5

4 2

1 3

! 3

2 1

! 4

! 1 2

n x n

n x n

n x n

x y

x x

x y

5

5.3 Legendre’s Equation. Legendre.3 Legendre’s Equation. Legendregg qq gg Polynomials

Polynomials PP_nn(x) (x)

((르장드르 르장드르 방정식 방정식. . 다항식 다항식))

( + ) = +

⋅ _{2 0}

0 2 1a n n 1 a 0

x 의 계수: ( )

( )

[ ]

( )( ) [ ( ) ( )]

#

= +

+

− +

⋅

+ +

1 3

1

0 2

0 1

2 1 1

2

0 1

2 2

3

0 1

1 2

a n

n a

x

a n n a x

일반적으로 : 계수 의

계수 의

( )( ) [ ( ) ( )]

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

"

+ = +

+ +

− −

=

∴

= +

+

−

−

− + +

+

+

+

2

2

1 0

1 2

1

0 1

2 1 1

2

, , s s a

s

s n s a n

a n

n s s

s a

s s

s s

s

일반적으로 s

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( − )( − )( + )( + )

+ =

− −

=

+

− −

= +

+

= − +

− −

=

− +

=

1 3

5

1 3

0 2

4

0 2

4 2

1 3

4 3

! 3

2 1

3 1

2 3

2

! 2

1

n a n

n a n

n a n

n a a n

n a n

n a n

n a n

n a a n

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( − ) ( + )( + ) _−+"

+ +

−

=

+

=

∴

⋅

⋅

4 2

1

2 1 1

0

1 3

5 0 2

4

3 1

2 1 1

! 5 4

5

! 4 3

4

n x n

n x n

n x n

y

x y a x y a x y

a a

a a a

a

: 일반해

( )

( )= − ( − )( + ) + ( − )( − )( + )( + ) _−+"

+ +

5 3

2 1

! 5

4 2

1 3

! 3

2 1

! 4

! 1 2

n x n

n x n

n x n

x y

x x

x y

5

5.3 Legendre’s Equation. Legendre.3 Legendre’s Equation. Legendregg qq gg Polynomials

Polynomials PP_nn(x) (x)

((르장드르 르장드르 방정식 방정식. . 다항식 다항식))

( + ) = +

⋅ _{2 0}

0 2 1a n n 1 a 0

x 의 계수: ( )

( )

[ ]

( )( ) [ ( ) ( )]

#

= +

+

− +

⋅

+ +

1 3

1

0 2

0 1

2 1 1

2

0 1

2 2

3

0 1

1 2

a n

n a

x

a n n a x

일반적으로 : 계수 의

계수 의

( )( ) [ ( ) ( )]

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

"

+ = +

+ +

− −

=

∴

= +

+

−

−

− + +

+

+

+

2

2

1 0

1 2

1

0 1

2 1 1

2

, , s s a

s

s n s a n

a n

n s s

s a

s s

s s

s

일반적으로 s

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( − )( − )( + )( + )

+ =

− −

=

+

− −

= +

+

= − +

− −

=

− +

=

1 3

5

1 3

0 2

4

0 2

4 2

1 3

4 3

! 3

2 1

3 1

2 3

2

! 2

1

n a n

n a n

n a n

n a a n

n a n

n a n

n a n

n a a n

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( − ) ( + )( + ) _−+"

+ +

−

=

+

=

∴

⋅

⋅

4 2

1

2 1 1

0

1 3

5 0 2

4

3 1

2 1 1

! 5 4

5

! 4 3

4

n x n

n x n

n x n

y

x y a x y a x y

a a

a a a

a

: 일반해

( )

( )= − ( − )( + ) + ( − )( − )( + )( + ) _−+"

+ +

5 3

2 1

! 5

4 2

1 3

! 3

2 1

! 4

! 1 2

n x n

n x n

n x n

x y

x x

x y