2장. 쿨롱의 법칙과 전계세기

2장. 쿨롱의 법칙과 전계세기

벡터 해석 방법; 기본 원리 설명가능

특정분야 경우⇒ 옴(ohm), 가우스(Gauss), 쿨롱(Coulomb), 페러데이(Faraday), 암페어(Ampere),

비오사바르(Biot-Savart), 키르히호프(Kirchhoff) 쿨롱법칙, 전계세기,

연속체적전하, 선전하, 면전하에 의한 전계세기

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 2

역사

-Benjamin Franklin (1706-1790) : 번개와 정전기 (비오는 날 연줄 열쇠의 스파크)

-Luigi Galvani (1737-1798) : 개구리 전기자극 -Allesandro Volta (1745-1827) : 전지

-1900 ~ : 원자단위

-정전기학 : 순간적으로 정지해 있는 전하에 의한 전기현상

 호박 마찰시 호박이 밀집 조각이 붙음

 그리이스어 : 호박 (elektron) – electron

2.1 쿨롱의 법칙

 정전기 지식; 기원전 6세기

 길버트(Gilbert,1600년 경 여왕의 어전의사) ⇒ 인력 확인

 찰스 쿨롱(Charles Coulomb, 육군 대령)

⇒ ① 힘은 두 전하를 연결하는 선을 따라 작용

② 힘은 거리의 제곱에 반비례

③ 힘은 전하의 곱에 비례

; 양 또는 음의 전하량

; 물체 사이의 거리 k ; 비례 상수

 SI 단위계

; coulomb(C)

; Newton(N)

2 2 1

r Q k Q F =

2 1

, Q Q

R

Q

F

2 2 9

4 / 1

10 987 .

8 ^{× ⋅ =} πε

= N m C

k

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 전자와 양성자의 전하

C 10

6 .

1 × ^{− 19} q =

 1 C전하의 양성자수

10 25

. 6 )

C 10

6 . 1 /(

C

1 × ^{− 19} = × ¹⁸ 개

 단위 : Coulomb (C)



자유공간 유전율 (permittivity)



1N의 힘



전자 1개 전하량

개 전자의 전하량



1C의 두 전하가 1m의 거리에 있을 때 작용하는 힘



벡터형식으로 표기

에 작용하는 힘 m

F / 10

854 .

8

0

×

ε = ( 1 F = 1 C

/ N ⋅ m )

ma

F = ^{1 kg} ⋅ ^{1 m / s}

→ ^{1 N}

C

e = 1 . 602 × 10

ton 만 )

(100 10

N 10 9

.

8 ×

≅

= F

a

2 1 0

2

4

1

R Q F Q

= πε



12 2 2

;

R R Q F 

12

=

a

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 6

 <예제 2.1> 벡터형실을 사용한 쿨롱의 법칙을 표시하는 식을 이용하는 예

로, 점M(1,2,3)에 이고, 점 N(2,0,5)에 인 전하가 자 유공간에 놓여있는 경우를 고찰해 보자. 이때 힘이 에 의해 에 가해 지도록 한다.

C

Q

_Q

_C

2

= − 10

Q

Q

2.2 전계세기



시험 전하에 미치는 힘



시험전하의 단위 전하당 작용하는 힘

⇒전계 세기(Electric field intensity)

a

4

1

t t

t

R

Q F Q

=

 Q

Qt

R

a

1

4

1

t t t

R Q Q

F

= πε



a

1

4

1

t t t

R Q Q

E F

=

=

⇒

 

a

4

1 R E Q

= πε



E : 단위

F/Q  N/C

Volt/meter  V/m

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 8

• 힘 : 원격작용

– 공간에 힘의 역장 (force field) : E

qE F

r k Q q

E F

=

=

= ₂

전계세기 : 전기장

Q가 구좌표계 원점에 있는 경우

; radial component

(직각 좌표계로 표시하는 경우)

(복잡해짐) a

2 1

4

1 r E Q

= πε



z y

x

a a

a y z

x r

R  =  = + +

2 2

2

y z

x

z y

x

+ +

+

= +

=

R

a a

a a a

2 2

2 2 2

2

1

0

( )

4 1

z y

x

z y

x z y

x E Q

+ +

+ +

+

= + a

a

a

πε



r

r

R = , a = a

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 10

전기장선 (Electric field line)

 전하가 원점이 아닌 곳에 위치한 경우 - Q가 위치

- 점에서의 전기장

 2개의 점전하 Q1, Q2에 의한 전기장

 여러 개의 점전하(n개)

r ′  r 

r r

r r r r r Q

E − ′

− ′

− ′

=  







 



2

4

) 1

( πε

2 2 2 2 0

2 1 1 0

2

1

4

1 4

) 1 ( )

( )

( a

a

r r

Q r

r r Q

E r

E r

E          

+ −

= − +

= πε πε

∑

−

=

m

m

r r r Q

E

1

2

4

) 1

(    a



πε

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 12

<예제2.2>식(13) 또는 식(14)의 적용을 예를 들어 살펴보자. 그림 2.4와 같이 4nC (나노쿨롱)의 전하량을 갖는 4개의 전하가 P1(1,1,0),P2(-1,1,0),P3(- 1,-1,0), P4(1,-1,0)에 놓여있다. 각 전하에 의해 점P(1,1,1)에 유기되는 전 계 E를 구해보자.

<응용예제2.2> -0.3μC전하가 A(25,-30,15)(in cm)에 놓여 있고, 두번째 전하 0.5μC이 B(-10,8,12)cm에 놓여있다. E를 다음 위치에서 구하여라.

(a)원점에서.

(b)P(15,20,50)cm

2.3 연속적인 체적 전하 분포에 의한 전계

 (밀도; 1g/cm³)

 단위부피당 전하량;체적 전하밀도 ρ_v

 에 있는 전하의 미소증가 에 의한 r 점에서 전기장 증가

 전체 체적에 의한 전기장

∫

=

∆ ⇒

= ∆

→

∆ vol v

v

v

Q dv

v

Q ρ

ρ lim

0

v Q =

∆

∆ ρ

r ′  _{∆ Q}

r r

r r r r

v r

r r r r r r Q

E

− ′

− ′

− ′

= ∆

− ′

− ′

− ′

= ∆

∆  







 









 



2 0

2

0

4

1 4

) 1

( ρ

πε πε

∫

∫ ⁼ ₋ ^′ _{′ −} ⁻ _′ ^′

=

v

vol

r r

r r r

r

dv r r

E d r

E  









 

 



2 0

) ( 4

) 1 ( )

( ρ

πε

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<예제2.3> 체적적분에 대한 계산의 예로 그림 2.5와 같은 길이가 2cm인 전자

빔이 갖는 총 전하량을 구해보자.

<응용예제2.4>다음과 같은 각 체적의 내부에 있는 총 전하량을 구하여라 (a) 0.1≤ㅣxㅣ,ㅣyㅣ,ㅣzㅣ≤0.2:

(b) 0≤ρ≤0.1, 0≤Φ≤ , 2≤z≤4:

(c) 우주: ρ_v=e^-2r/r²

π

3 3 3

1

z y

v =

x ρ

φ ρ

ρ

=

z

sin 0 . 6

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2.4 선전하에 의한 전하

-전하 : -∞< z < ∞ -선전하 밀도 : ρ_L

 y 축상의 한점 P(0,y,0)

 미소선전하 dQ=ρ_Ldz’

( 성분 ; 상쇄”0”)

성분만 존재

3 0

) (

4 1

r r

r r z E d

d

− ′

− ′

=  ′ 





ρ

πε

z z

y

a a

a

a a

z r

r z r

y r

− ′

′ =

−

= ′

′

=

=

ρ ρ

ρ ρ









2 / 3 2 2

0 ( )

) (

4 1

z z z

E d

d

+ ′

− ′

= ′

ρ ρ ρ

πε

ρ

a



a

a

E 

2 / 3 2 2

0

( )

4 1

z z

dE

d

+ ′

= ′

ρ

ρ ρ

ρ

πε

 ⇒

<응용예제2.5> 5nC/m의 균일한 무한장 선전하가 x축(양과 음)과 y축 을 따라 자유공간에 놓여있다. 다음 위치에서 E를 구하여라.

(a)P

(0,0,4) (b) P

(0,3,4)

ρ

ρ πε

^a E

2

= 1



∫ ⁼

−

=

0

0

sin 2

4

ρ

πε ρ

θ ρ ρ θ

πε

ρ

d E

∫

+ ′

=

′

0

( )

4 1

z z

E

d

ρ

ρ ρ

ρ

πε

θ ρ

θ θ ρ

θ ρ

cse R

d cse z

d z

=

−

′=

′= cot

2

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 18

2.5 면전하에 의한 전계

-표면 전하 밀도 ρ_s -무한 면적

 X축상 한점?

⇒

2

2

y

x R

y

S

d

L

+ ′

=

=

ρ

ρ

2 2

2 0

0 2

cos 2

2 1

y x

y xd y

x y

dE

d

+ ′

= ′ + ′

= ′

πε θ ρ

ρ πε

0 1

0 2

2

0

tan 2

2

2 ε

ρ πε

ρ πε

ρ

x

x

y

y x

y

E xd = =

+ ′

= ′

∞

∞

−

∞ −

∞

∫

a

2 ε

ρ

E  =

 X=0 외에 x=a에 –ρ_s의 무한 면적

① x > a

② x < 0

③ 0 < x < a

x

E

a 2 ε

= ρ

+



x

E

a

2 ε

− ρ

−

=



= 0 +

= E

E

E   

x

E

a

2 ε

− ρ

+

=



x

E

a 2 ε

= ρ

−



= 0 +

= E

E

E   

x

E

a 2 ε

= ρ

+



x

E

a 2 ε

= ρ

−



x

E

E

E a

ε

= ρ +

= 





CNU MatEng 2004 Electromagnetics 20

<응용 예제 2.6.>3개의 무한하고 균일한 표면전하가 자유공간에 다음과 같이 놓여 있다. 3 nC/m²이 z=-4, 6 nC/m²가 z=1, 그리고 -8 nC/m²가 z=4. 각 점에서 E를 구하여라.

(a) P_A(2,5,-5) (b) P_B(4,2,-3) (c) P_C(-1,-5,2) (d) P_D(-2,4,5)

정전기학 응용

 복사기 (Xerography) Xeros : 건조하다

Graphos : 쓰다

셀레늄 위에

양전하뿌림 드럼대전

광노출 : 도체

접지:

위 :양전하 남음

누출후 :

검정분말과 음전하

셀레늄 : 어두운곳 : 부도체

밝은곳 : 도체

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 22

레이저 프린트

대전된 영역

대전

편향판

잉크통

잉크제트 프린터

CNU MatEng 2004 Electromagnetics 24

공기정화

중성

대전 (+)

집진기 (-)