2.8 관련 비율
둥근 기구 안으로 공기를 불어넣을 때, 기구의 부피는 100 cm3/s 의 비율로 증가한다. 지름이 50 cm일 때 기구의 반지름은 얼마나 빨리 증가하는가?
예제
길이 5 m의 사다리가 수직인 벽면에 기대어 있다. 사다리 바닥이 1 m/s의 비율로 벽면으로부터 미끄러진다. 사다리 바닥이 벽면으로 부터 3 m 떨어질 때, 사다리 꼭대기는 얼마나 빨리 벽면을 따라 아래 로 미끄러지는가?
예제
밑면의 반지름이 2 m, 높이가 4 m인 원뿔이 거꾸로 된 모양을 한 물탱크 가 있다. 탱크 안으로 물이 2 m3/min의 속도로 채워진다면, 물의 깊이가 3 m 되는 순간의 수위는 어떤 비율로 상승하는가?
예제
자동차 A는 90 km/h의 속도로 서쪽으로 달리고, 자동차 B는 100 km/h의 속도로 북쪽으로 달리고 있다. 그리고 두 자동차는 두 길의 교 차로를 향해 달리고 있다. 교차로에서 A는 60 m, B는 80 m의 거리에 있게 될 때 자동차들이 서로에게 접근해 가는 속도는 얼마인가?
예제
어떤 사람이 곧은 길을 따라 1.5m/s의 속력으로 걷고 있다. 탐조등은 지면에서 6m 떨어진 지면 위에 있으며, 이 사람을 따라가며 비추고 있 다. 길 위의 그 지점에서 가장 가까운 탐조등까지 8m 떨어진 곳에 사람 이 있을 때 탐조등의 회전비율을 구하라.
예제
다음 근사를 a 에서 f 의 선형근사 라 한다.
2.9 선형근사와 미분
f x ( ) f a ( ) f a x a '( )( )
이 접선을 그래프로 갖는 다음과 같은 선형함수를 a에서 f 의 선형화라고 한다.
L(x) = f(a) + f '(a)(x - a)
a = 1에서 의 선형화를 구하고, 이것을 이용해서 과 의 근삿값을 구하라.
f x( ) x3 3.98 4.05
예제
미분
y = f(x)에서
Δy = f(x + Δx) - f(x)
dy = f ‘(x) dx S로부터 R까지의 유향거리
dy는 접선이 올라가거나 내려간 양 (선형화의 변화량)
Δy는 x가 dx만큼 변할 때 곡선 y = f(x)가 올 라가거나 내려간 양
접선 PR의 기울기는 도함수 f ‘(x)
구의 반지름을 측정한 결과 측정 오차 범위 0.05 cm 이내에서 21 cm 였다. 반지름의 값으로 이것을 사용한다면 구의 부피를 계산할 때 최대 오차는 얼마인가?
예제
상대오차(relative error)
V dV r dr dr
V V r r
2 3
4 3
4 3
부피의 상대오차는 반지름의 상대오차의 약 3배이다
반지름의 상대오차는 약 dr/r =0.05/21= 0.0024이고, 이에 따라 부피의 상대오차는 약 0.007이다. 이 오차는 반지름에 대하여 0.24 %, 부피에 대 해서는 0.7 %인 백분율오차(percentage error)로 나타낼 수 있다.
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