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((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

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(1)

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Grad, Div, Curl Grad, Div, Curl

9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 9.2 Inner Product (Dot Product)( )

9.3 Vector Product (Cross Product)

9 4 Vector and Scalar Functions and Fields Derivatives 9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables 9.7 Gradients of a Scalar Field. Directional Derivative 9.8 Divergence of a Vector Field

(3)

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Ch. 9 Vector Differential Calculus.

Grad, Div, Curl Grad, Div, Curl

9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 9.2 Inner Product (Dot Product)( )

9.3 Vector Product (Cross Product)

9 4 Vector and Scalar Functions and Fields Derivatives 9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion

9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables 9.7 Gradients of a Scalar Field. Directional Derivative 9.8 Divergence of a Vector Field

9.9 Curl of a Vector Field 9.9 Curl of a Vector Field

(4)

9.6

9.6 Calculus Review: Calculus Review:

F ti f S l V i bl F ti f S l V i bl

Functions of Several Variables.

Functions of Several Variables.

((미적분학의 미적분학의 복습 복습: : 다변수함 다변수함수 수))

z Chain rules (연쇄법칙)

( ) ( ) ( ) (x u v y u v z u v )

f

w = ( ( ) ( ) ( ), , , , , )

z w y

w x

w w

z w y

w x

w w

v u z v u y v u x f w

+

+

=

+

+

=

,

,

, , ,

,

v z v

y v

x v

u z u

y u

x

u

Example 1

(5)

9.6

9.6 Calculus Review: Calculus Review:

F ti f S l V i bl F ti f S l V i bl

Functions of Several Variables.

Functions of Several Variables.

((미적분학의 미적분학의 복습 복습: : 다변수함 다변수함수 수))

z 평균값의 정리(Mean Value Theorem)

( )

( , , ), :( , , ) ,

:

.

1

,

, ,

0 0

0 0

0 0 0

편미분값들은 점에서

임의의 상에

선분 그러면 있다

속해 에 또한

선분 연결한 점을

두 이 있고 속해 에 이 점

갖는다 편도함수를

차 연속인 연속이고

에서 정의역

내의 공간 가

함수

P P D

P P

D l z k y h x P z y x P

D xyz

z y x f

+ +

+

( , , ) ( , , )

.

0 0 0 0

0 0

0

0 또한 에 속해있다 그러면선분 상에임의의점에서편미분값들은

z l f y k f x h f z y x f l z k y h x f

P P D

P P

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂

− + +

+

. 만족한다 을

(6)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

James Clerk Maxwell,

“A Treatise on Electricity and Magnetism”,

2 vols Oxford University Press London 1873; 3rd ed 1904

E B

×

2 vols., Oxford University Press, London, 1873; 3rd ed., 1904

D E t

=

×

t J D

H

+

=

×

∇ D = ρ

∇ D

=

∇ B

∇ B

(7)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

z Gradient (기울기) : z Gradient (기울기) :

(x, y, z)

x, y, z

방향으로의 길이(거리)에 대한 변화율(기울기)의 벡터합

f

k j

i z

f y

f x

f z

f y

f x

f f

f

+

+

=

=

= , , grad

k j

i y z

x

+

+

=

y

Example: f(x, y, z)=2y3+4xz+3x

(8)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

z Gradient (기울기) : z Gradient (기울기) :

- Rate of change of f(x, y, z) in any direction in space Di ection of ma im m inc ease

- Direction of maximum increase - Surface normal vector

- Deriving vector fields from scalar fields

(9)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

z

Directional derivative (방향도함수)

( ) ( )

( )방향도함수

함수 방향으로의

벡터 점에서의

공간상의 P f

s P f Q f ds

f df

D s

b

b lim

0

=

=

( )

경로

직선 방향으로의

거리, 사이의

방향도함수

함수 방향으로의

벡터 점에서의

공간상의

C Q

Q P s

x, y, z f

P

b b

:

( ) ( )s x s y( )s z( )s s ( P )

L : r i + j+ k p + b b 1 p 위치

직선 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f dz z

y df dy x df dx df ds

f df D

P s

s z s

y s

x s L

grad '

' '

, 1

,

:

0 0

= +

+

=

=

= +

= +

+

=

b

p b

b p

k j

i r

b

위치

직선

f f

D 1 grad

=

a

a a

(10)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

z 기울기의 특성. 최대증가

( )P f(x,y,z) : 연속인 1편도함수를 갖는 스칼라함수 f( )= ( )

( ) 에서 최대증가 방향

에서 점

무관 선택과는 좌표계의

공간에서 방향은

크기와 존재

스칼라함수 갖는

편도함수를 계

연속인

grad 0

grad

. grad

1 :

, ,

f P

f P

f P

f z y x f P f

( ) 에서 최대증가 방향

에서

P grad f P ≠0 ⇒ grad f P f

f f

D 1 grad

=

a

a a

z 곡면의 법선벡터로서의 기울기

( ) 상수 공간상에서 임의의 곡면

( )

( ) 에서의 법선벡터

에서 점

상의

표시 를 곡면 임의의

공간상에서 상수

grad

0 grad

,

,

S P

f P

f P

S

S c

z y x f

=

=

(11)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

z 곡면의 법선벡터로서의 기울기

f 의 등위곡면(Level Surface) :f(x,y,z)=c =상수로 표현된 곡면 S

( )

:

Plane) Tandgent

(

접선벡터들 곡선의

모든 지나는 를

에서 점

임의의 상의

의 에서 점

P P

S S

P 접평면

곡면의 법선벡터(Surgace Normal Vector) : 곡면법선과 평행한 벡터 직선 수직인 접평면에

의 에서 곡면법선

에서 S (SurfaceNormal) : P S P

0 ' grad '

'

' z f

dz y df dy x df dx

df + + = •r =

.

,

grad

법선벡터이다 의

곡면 에서

수직이며 벡터와

모든 접평면상의 는

S P

f

(12)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

z 스칼라장의 기울기인 벡터장(퍼텐셜)

( )P( )P 의 퍼텐셜함수(Potential) : ( )P grad f( )P

f v v =

( )P 와 이에 해당되는 벡터장을 보전적(Conservative)이라 한다. v

( ) ( )

z 인력장. 라플라스 방정식 Prove!

( ) ( )

)

(Newton

, , : , ,

, : 0 0 0

0

xx yy zz c

z y x P z

y x P

의하여 칙에

만유인력법 의

인력은 사이의

입자 두 위치한 에

와 점

( , , ) . ( )0 .

,

, ,

0 3

0 3

0 3

0 3

>

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

=

P P r r

z c y x f

r z z r

y y r

x c x

r - c

거리이다 사이의

와 점 두 은 여기서

이다 퍼텐셜은

표현되며 로

r p

( )

.

,

grad grad

= = f

cr f

만족한다 식을

방정 라플라스 같은

다음과 는

퍼텐셜 여기서

성립되며 따라서 p

(13)

9.7

9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.

Di ti l D i ti Di ti l D i ti

Directional Derivative.

Directional Derivative.

((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))

PROBLEM SET 9.7

HW 23 26 40 42 HW: 23, 26, 40, 42

(14)

9 8 Divergence

9 8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field 9.8 Divergence

9.8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 발산 발산))

z Divergence (발산) : z Divergence (발산) : - Source and sink

De i ing scala fields f om ecto fields - Deriving scalar fields from vector fields

(15)

9 8 Divergence

9 8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field 9.8 Divergence

9.8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 발산 발산))

z 발산(Divergence)

(x,y,z) :

v 미분가능한 벡터함수

z v y

v x

v

∂ + ∂

∂ + ∂

= ∂ 1 2 3 div

:

e) (Divergenc

v v

v의발산 또는 로 정의된 벡터장의 발산

z 발산의 불변성

* *

* .

div

∂ ∂

v

v의값은 좌표계의선택에상관없이공간내의 상의점에따른다

z

*

*

*

*

* div *

*

*,

*,

*

*,

*, 1 2 3 1 2 3

z v y

v x

v v v v z

y

x

+ ∂

∂ + ∂

= ∂ v

v의성분이 이면

대응하는 에

(x y z)

f , , : 두 번미분가능한스칼라함수 z ( )

( ) ( ) f

z f y

f x

f f z

, f y , f x f f

z y x f

2 2

2 2 2 2 2

grad div div

grad

: , ,

∂ = + ∂

∂ + ∂

= ∂

=

⎥ ⇒

⎢ ⎤

= ∂

= v

v

스칼라함수 미분가능한

번 두

(16)

9 8 Divergence

9 8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field 9.8 Divergence

9.8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 발산 발산))

PROBLEM SET 9.8

HW 8 9 10 17 HW: 8, 9, 10, 17

(17)

9 9

9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9

9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 회전 회전))

z Curl (회전) : z Curl (회전) : - Rotation

De i ing ecto fields f om ecto fields - Deriving vector fields from vector fields

(18)

9 9

9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9

9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 회전 회전))

z 회전(Curl)

( )

v x,y,z : 미분가능한 벡터함수

k j

i v v

, (Curl)

회전 주어진 벡터장의 회전

k j

i v

v ⎟⎟

⎜⎜

+

+

⎟⎟

⎜⎜

=

=

×

= y

v x

v x

v z

v z

v y

v v

v v

z y

x

1 2

3 1

2 3

3 2

1

curl :

z 회전체와 회전

Example 1, 2

강체 회전에 대한 벡터장의 회전은 회전축 방향과 같은 방향을 가지며, 그 크기는 각 속력의 두 배가 된다.

(19)

9 9

9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9

9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 회전 회전))

z 기울기, 발산, 회전

( d f ) 0

l P !

기울기장(Gradient Field)은 비회전(Irrotational)이다. 즉,

벡터함수의 회전에 대한 발산도 영벡터가 된다.

(grad f )= 0

curl

(curl ) 0

div v =

Prove!

Prove!

z 회전의 불변성

.

curlv는 벡터이며 방향과 크기는 공간에서직교좌표계의선택과 무관하다

(20)

9 9

9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9

9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field

((벡터장의 벡터장의 회전 회전))

PROBLEM SET 9.9

HW 10 20 HW: 10, 20

(21)

Gradient Divergence

Gradient Divergence Curl of Curl of Gradient, Divergence,

Gradient, Divergence, Curl of Curl of a Vector Field

a Vector Field

E B

F d ’ l

D E t

=

×

Faraday’s law

t J D

H

+

=

×

∇ D

Ampere’s law

ρ

=

∇ D

= 0

∇ B Gauss’s law

= 0

∇ B

E V =

참조

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*”태양광”,에너지관리공단

[r]

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한편 IMF와 IPCC의 온실가스 감축비용 추정 결과 를 보면 대체로 OECD의 추정치보다 더 많은 대응 비용이 산출되었는데 이는 각각의 적용모델이 다른 데다 기술수준,