EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II
Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)
Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Grad, Div, Curl Grad, Div, Curl
9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 9.2 Inner Product (Dot Product)( )
9.3 Vector Product (Cross Product)
9 4 Vector and Scalar Functions and Fields Derivatives 9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion
9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables 9.7 Gradients of a Scalar Field. Directional Derivative 9.8 Divergence of a Vector Field
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Ch. 9 Vector Differential Calculus.
Grad, Div, Curl Grad, Div, Curl
9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 9.2 Inner Product (Dot Product)( )
9.3 Vector Product (Cross Product)
9 4 Vector and Scalar Functions and Fields Derivatives 9.4 Vector and Scalar Functions and Fields. Derivatives 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion
9.6 Calculus Review: Functions of Several Variables 9.7 Gradients of a Scalar Field. Directional Derivative 9.8 Divergence of a Vector Field
9.9 Curl of a Vector Field 9.9 Curl of a Vector Field
9.6
9.6 Calculus Review: Calculus Review:
F ti f S l V i bl F ti f S l V i bl
Functions of Several Variables.
Functions of Several Variables.
((미적분학의 미적분학의 복습 복습: : 다변수함 다변수함수 수))
z Chain rules (연쇄법칙)
( ) ( ) ( ) (x u v y u v z u v )
f
w = ( ( ) ( ) ( ), , , , , )
z w y
w x
w w
z w y
w x
w w
v u z v u y v u x f w
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
⇒ ∂ ,
,
, , ,
,
v z v
y v
x v
u z u
y u
x
u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
Example 1
9.6
9.6 Calculus Review: Calculus Review:
F ti f S l V i bl F ti f S l V i bl
Functions of Several Variables.
Functions of Several Variables.
((미적분학의 미적분학의 복습 복습: : 다변수함 다변수함수 수))
z 평균값의 정리(Mean Value Theorem)
( )
( , , ), :( , , ) ,
:
.
1
,
, ,
0 0
0 0
0 0 0
편미분값들은 점에서
임의의 상에
선분 그러면 있다
속해 에 또한
선분 연결한 점을
두 이 있고 속해 에 이 점
두
갖는다 편도함수를
차 연속인 연속이고
에서 정의역
내의 공간 가
함수
P P D
P P
D l z k y h x P z y x P
D xyz
z y x f
+ +
+
( , , ) ( , , )
.
0 0 0 0
0 0
0
0 또한 에 속해있다 그러면선분 상에임의의점에서편미분값들은
z l f y k f x h f z y x f l z k y h x f
P P D
P P
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
− + +
+
. 만족한다 을
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
James Clerk Maxwell,
“A Treatise on Electricity and Magnetism”,
2 vols Oxford University Press London 1873; 3rd ed 1904
E ∂B
×
∇
2 vols., Oxford University Press, London, 1873; 3rd ed., 1904
∂D E t
− ∂
=
×
∇
t J D
H ∂
+ ∂
=
×
∇
∇ D⋅ = ρ
∇ D
=
⋅
∇ B
∇ B
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
z Gradient (기울기) : z Gradient (기울기) :
(x, y, z)
의
x, y, z각 방향으로의 길이(거리)에 대한 변화율(기울기)의 벡터합
f
k j
i z
f y
f x
f z
f y
f x
f f
f ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∇
= , , grad
k j
i y z
x ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ y
Example: f(x, y, z)=2y3+4xz+3x
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
z Gradient (기울기) : z Gradient (기울기) :
- Rate of change of f(x, y, z) in any direction in space Di ection of ma im m inc ease
- Direction of maximum increase - Surface normal vector
- Deriving vector fields from scalar fields
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
z
Directional derivative (방향도함수)
( ) ( )
( )의방향도함수
함수 방향으로의
벡터 점에서의
공간상의 P f
s P f Q f ds
f df
D s
b
b lim
0
= −
= →
( )
경로 의
직선 방향으로의
는 거리, 사이의
와 는
방향도함수 의
함수 방향으로의
벡터 점에서의
공간상의
C Q
Q P s
x, y, z f
P
b b
:
( ) ( )s x s y( )s z( )s s ( P )
L : r i + j+ k p + b b 1 p 는 의 위치
직선 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f dz z
y df dy x df dx df ds
f df D
P s
s z s
y s
x s L
grad '
' '
, 1
,
:
0 0
•
= +
+
=
=
= +
= +
+
=
b
p b
b p
k j
i r
b
위치 의
는 직선
f f
D 1 grad
= •
∗ a
a a
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
z 기울기의 특성. 최대증가
( )P f(x,y,z) : 연속인 1계편도함수를 갖는 스칼라함수 f( )= ( )
( ) 가 점 에서 의최대증가 방향
에서 점
무관 선택과는 좌표계의
공간에서 방향은
크기와 존재
가
스칼라함수 갖는
편도함수를 계
연속인
grad 0
grad
. grad
1 :
, ,
f P
f P
f P
f z y x f P f
⇒
≠
⇒
( ) 가 점 에서 의최대증가 방향
에서
점 P grad f P ≠0 ⇒ grad f P f
f f
D 1 grad
= •
∗ a
a a
z 곡면의 법선벡터로서의 기울기
( ) 상수 공간상에서 임의의 곡면 를 시
( )
( ) 가 점 에서의 의법선벡터
에서 점
상의
표시 를 곡면 임의의
공간상에서 상수
grad
0 grad
,
,
S P
f P
f P
S
S c
z y x f
⇒
≠
⇒
=
=
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
z 곡면의 법선벡터로서의 기울기
• f 의 등위곡면(Level Surface) :f(x,y,z)=c =상수로 표현된 곡면 S
•
( )
:
Plane) Tandgent
(
접선벡터들 곡선의
모든 지나는 를
에서 점
임의의 상의
의 에서 점
P P
S S
P 접평면
•
• 곡면의 법선벡터(Surgace Normal Vector) : 곡면법선과 평행한 벡터 직선 수직인 접평면에
의 에서 곡면법선
의
에서 S (SurfaceNormal) : P S P
0 ' grad '
'
' z f
dz y df dy x df dx
df + + = •r =
.
,
grad
법선벡터이다 의
곡면 에서
수직이며 벡터와
모든 접평면상의 는
S P
⇒ f
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
z 스칼라장의 기울기인 벡터장(퍼텐셜)
( )P 를 ( )P 의 퍼텐셜함수(Potential) : ( )P grad f( )P
f v v =
( )P 와 이에 해당되는 벡터장을 보전적(Conservative)이라 한다. v
( ) ( )
z 인력장. 라플라스 방정식 Prove!
( ) ( )
)
(Newton
, , : , ,
, : 0 0 0
0
⎤
⎡x−x y− y z−z c
z y x P z
y x P
의하여 칙에
만유인력법 의
인력은 사이의
입자 두 위치한 에
와 점
( , , ) . ( )0 .
,
, ,
0 3
0 3
0 3
0 3
>
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−
=
=
P P r r
z c y x f
r z z r
y y r
x c x
r - c
거리이다 사이의
와 점 두 은 여기서
이다 퍼텐셜은
표현되며 로
r p
( )
.
,
grad grad
= = f
cr f
만족한다 식을
방정 라플라스 같은
다음과 는
퍼텐셜 여기서
성립되며 따라서 p 이
9.7
9.7 Gradients of a Scalar Field. Gradients of a Scalar Field.
Di ti l D i ti Di ti l D i ti
Directional Derivative.
Directional Derivative.
((스칼라장의 스칼라장의 기울기 기울기. . 방향도함수 방향도함수))
PROBLEM SET 9.7
HW 23 26 40 42 HW: 23, 26, 40, 42
9 8 Divergence
9 8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field 9.8 Divergence
9.8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 발산 발산))
z Divergence (발산) : z Divergence (발산) : - Source and sink
De i ing scala fields f om ecto fields - Deriving scalar fields from vector fields
9 8 Divergence
9 8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field 9.8 Divergence
9.8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 발산 발산))
z 발산(Divergence)
(x,y,z) :
v 미분가능한 벡터함수
z v y
v x
v
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ 1 2 3 div
:
e) (Divergenc
v v
v의발산 또는 로 정의된 벡터장의 발산
z 발산의 불변성
* *
* .
div
∂ ∂
∂ v
v의값은 좌표계의선택에상관없이공간내의 상의점에따른다
z
*
*
*
*
* div *
*
*,
*,
*
*,
*, 1 2 3 1 2 3
z v y
v x
v v v v z
y
x ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ v
v의성분이 이면
대응하는 에
(x y z)
f , , : 두 번미분가능한스칼라함수 z ( )
( ) ( ) f
z f y
f x
f f z
, f y , f x f f
z y x f
2 2
2 2 2 2 2
grad div div
grad
: , ,
∇
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
=
⎥ ⇒
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
= v
v
스칼라함수 미분가능한
번 두
9 8 Divergence
9 8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field 9.8 Divergence
9.8 Divergence of a Vector Field of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 발산 발산))
PROBLEM SET 9.8
HW 8 9 10 17 HW: 8, 9, 10, 17
9 9
9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9
9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 회전 회전))
z Curl (회전) : z Curl (회전) : - Rotation
De i ing ecto fields f om ecto fields - Deriving vector fields from vector fields
9 9
9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9
9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 회전 회전))
z 회전(Curl)
( )
v x,y,z : 미분가능한 벡터함수
k j
i v v
⎞
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎛
, (Curl)
회전 즉 로 주어진 벡터장의 회전
의
k j
i v
v ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
∂ + ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
∂ + ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
×
∇
= y
v x
v x
v z
v z
v y
v v
v v
z y
x
1 2
3 1
2 3
3 2
1
curl :
z 회전체와 회전
Example 1, 2
강체 회전에 대한 벡터장의 회전은 회전축 방향과 같은 방향을 가지며, 그 크기는 각 속력의 두 배가 된다.
9 9
9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9
9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 회전 회전))
z 기울기, 발산, 회전
( d f ) 0
l P !
• 기울기장(Gradient Field)은 비회전(Irrotational)이다. 즉,
• 벡터함수의 회전에 대한 발산도 영벡터가 된다.
(grad f )= 0
curl
(curl ) 0
div v =
Prove!
Prove!
z 회전의 불변성
.
curlv는 벡터이며 방향과 크기는 공간에서직교좌표계의선택과 무관하다
9 9
9 9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field 9.9
9.9 Curl of a Vector Field Curl of a Vector Field
((벡터장의 벡터장의 회전 회전))
PROBLEM SET 9.9
HW 10 20 HW: 10, 20
Gradient Divergence
Gradient Divergence Curl of Curl of Gradient, Divergence,
Gradient, Divergence, Curl of Curl of a Vector Field
a Vector Field
E ∂B
∇ F d ’ l
∂D E t
− ∂
=
×
∇ Faraday’s law
t J D
H ∂
+ ∂
=
×
∇
∇ D
Ampere’s law
ρ
=
⋅
∇ D
= 0
∇ B Gauss’s law
= 0
⋅
∇ B
E V = −
∇