ì Ås ð ' [X ê s; c 6 ” X ¢ Helmholtz8 ý X N ËP

S


ì Ås ð ' [X ê s; c 6 ” X ¢ Helmholtz8 ý X N ËP 

+ ä

 . > ~ ¡

 â

 B@ /† < Ɠ § l œ íõ † < ƃ  ½ ¨™ è x 9  s õ @ /† < Æ Ó ü t o † < Æõ , " fÖ  ¦ 130-701

^∗

(2006¸   1 Z 4 13{ 9  ~ à Î6 £ §, þ j7 á x‘ : r 2006¸   5 Z 4 2{ 9  ~ à Î6 £ §) Å

Ò# Q”   % ò % i \ " f r    7 ˜'  © œ_   s ! Q„  Û ¼ü < (  s  Õ ª r    7 ˜'  © œ_  " é ¶…  ;Ü ¼– Ð" f q 2 Ÿ ¤ · ú ˜ 9”   

“

¦  8 • ¸ 1 l x r & h ì  r + þ AI – Ð Å Ò# Qt   H Helmholtz & ñ o   H Õ ª " é ¶…  ;Ü ¼– Ð+ ‹ Õ ª r    7 ˜'  © œ`  ¦ ³ ð‰ & ³   H X

< Ä »6   x t  · ú § . s   7 Hë  H \ " f  H " é ¶…  ;\  _ ô  Ç “  õ & h ì  r + þ AI – Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H r    7 ˜'  © œ`  ¦ % 3   H X < Ä » 6

 

x ô  Ç Helmholtz & ñ o _  “  õ & h ì  r ³ ð‰ & ³`  ¦  [ jy  Ä »• ¸ô  Ç .

PACS numbers: 01

Keywords: Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” , Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” , Helmholtz & ñ o 

I. " e  ] Ø

&

ñ „  l  © œ\  › ' a ô  Ç l ‘ : rZ O g Ë :“   Coulomb Z O g Ë :õ  & ñ   l

 © œ\  › ' a ô  Ç Biot-Savart Z O g Ë :`  ¦ r    „  l  © œ (time- varying electric field) õ  r     l  © œ (time-varying mag- netic field) \  @ /K  { 9 ì ø Í oô  Ç ¿ º> h_  Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” 

“ É

r $      H ô  Ç 1966¸  \  Ø  ¦ ó ø Í  ) a Jefimenko _  $ " f ðElectricty and Magnetism [1]ñ \ " f ë  H‰  ³ © œ % ƒ6 £ §
 è ß –



. Õ ª Q
 s [ þ t ~ ½ Ó& ñ d ” s  y Œ • F  g`  ¦ ~ à Γ É r  כ “ É r q “ §& h  þ j



 H _  { 9 s  . D. J. Griffiths_  „   l † < Æ “ §õ " f 3ó ø Í, M.

A. Heald ü < J. B. Marion_  „   l † < Æ “ §õ " f 3ó ø Í, J. D.

Jackson _  „   l † < Æ “ §õ " f 3ó ø Í\ " f Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ”  s

 (Ä »• ¸õ & ñ \ O s ) ™ è> h÷ &“ ¦ e ”   [3].

ë

 H‰  ³ [1]_  $    H “  õ & h ì  r (causal integration)`  ¦



6   x # Œ Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Ä »• ¸Ù þ ¡ . s  “  õ & h ì  r

“ É

r q ç  H{ 9  (inhomogeneous)  1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤   H r 



  7 ˜'  © œ\  @ /K  { 9 ì ø Í o  ) a Helmholtz & ñ o s  . Kobe [4], Heras [5], Davis [6] _  ƒ  ½ ¨\ " f r    7 ˜'  © œ\  @ / ô

 Ç Helmholtz & ñ o   7 H _ ÷ &“ ¦ e ”  . ë  H‰  ³ [4,5]\ " f  H Minkowski r / B N ç ß –\ " f ì ø Í@ /g A 2>  (antisymmetric sec- ond rank) J $ ™" f\  @ /ô  Ç Helmholtz & ñ o _  7 £ x" î s    À

Ò# Qt “ ¦, ë  H‰  ³ [6]\ " f  H Lorenz > s t  › ¸|  \ " f_  Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” _    õ Ó ü t“   (Û ¼º ú ˜  x 9  7 ˜'  ( J $ ™[ > \ 

@

/ô  Ç)  1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” _  + '% ƒ”   K  (retarded solution)– ÐÂ Ò '

 r  Œ • # Œ { 9 ì ø Í o  ) a Helmholtz & ñ o \  ¦ Ä »• ¸ % i “ ¦   r

 s  & ñ o – РÒ'  Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” s  Ä »• ¸ H † d`  ¦ ˜ Ðs “ ¦, s

 & ñ o – РÒ'  Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” _  Ä »• ¸\  ¦ † < ÆÒ q t[ þ t \ > 

ƒ

 _ þ vë  H ] j– Ð z Œ ™l “ ¦ e ”  .

∗

E-mail: [email protected]

s

  7 Hë  H \ " f  H @ /† < Æ" é ¶ $ 3   ¢ ¸  H ~ à Ì õ & ñ _  † < ÆÒ q t[ þ t s

 ] X   H ½ + É Ã º e ” • ¸2 Ÿ ¤ “ §¹ ¢ ¤& h  3 l q& h \ " f ³ ðï  r& h “   7 ˜' K 

$

3 ë ß –`  ¦  6   x # Œ 1 l x r & h ì  r + þ AI – Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H r    7 ˜' 



© œ\  @ /ô  Ç Helmholtz & ñ o \  ¦ “  õ & h ì  r + þ AI – Ð   ¨ 8 Š   H õ

& ñ `  ¦  [ jy  ˜ Ðs “ ¦  ô  Ç .

s

  7 Hë  H _  ^ ‰] j  H  6 £ § õ  ° ú   . II] X \ " f Jefimenko ~ ½ Ó

&

ñ d ” `  ¦ ™ è> hô  Ç Ê ê “  õ & h ì  r Ü ¼– РÒ'  Ä »• ¸ õ & ñ `  ¦ ç ß –é ß – y

 4 Ÿ ¤_ þ v “ ¦, III] X “ É r s   7 Hë  H _  Å Ò  ) a > í ß –Ü ¼– Ð" f 1 l x r & h  ì

 r + þ AI _  Helmholtz & ñ o – РÒ'  “  õ & h ì  r / B Nd ” `  ¦ Ä »• ¸ ô

 Ç .  t } Œ • ] X \ " f  7 Hë  H _  כ ¹€  •`  ¦ { Œ ™“ ¦ e ”  .

II. Jefimenko U ê sX N ËÅ k Ä

s

 ] X \ " f  H Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” s  W =  · ú ˜ 94 R e ” l  M :ë  H

\

 Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” s  Á º% Á “  t  €  $  ˜ Ðs “ ¦, Õ ª ~ ½ Ó& ñ d ” 

\

 @ /ô  Ç { 9 ì ø Í& h “    7 H¨ î `  ¦ ô  Ç  6 £ § “  õ & h ì  r Ü ¼– РÒ'  Õ ª

~

½ Ó& ñ d ” _  Ä »• ¸õ & ñ `  ¦ ç ß –é ß –y  4 Ÿ ¤_ þ v ô  Ç . # Œl " f  6   x ÷ &



 H à º† < Ɠ É r l ‘ : r& h Ü ¼– Ѝ  H 7 ˜' K $ 3 “  X < Õ ªA n ƒ  à Ô,   s

! Q„  Û ¼, (  _  ƒ  í ß –s   Œ •6   x ÷ &  H † < Êà º 0 Au  7 ˜' \  € ª œ

†

< Êà º& h “   _ ” > r$ í (explicit dependence)÷  r ë ß –  m   6 £ § † < Ê Ã

º& h “   _ ” > r$ í (implicit dependence)`  ¦ | 9  M : Õ ª ƒ  í ß –

\

 Å Ò_ \  ¦ l Ö  ¦ s €   ÷ &  H X < s   H Õ ªo  # Q§ > t  · ú § . s 



Qô  Ç ƒ  í ß –“ É r Jefimenko _  „   l † < Æ Õ þ ˜[1]\ " f  [ jy    À

Ò# Qt “ ¦ e ”  .

Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” 

∇ · E (r , t) = 1

ε ₀ ρ(r , t)

-1-

∇ · B (r, t) = 0

∇ × E (r , t) = − ∂B (r , t)

∂t

∇ × B (r , t) = µ _o J (r , t) + µ ₀ ε ₀ ∂E (r , t)

∂t



 H 0 Au õ  r ç ß – \ " f_  „  l  © œ,  l  © œ, „   x 9 • ¸, „  À Óx 9 

•

¸  s _  › ' a > \  ¦ Šҍ  H l ‘ : r ~ ½ Ó& ñ d ” s  . 0 A_  Maxwell

~

½ Ó& ñ d ” `  ¦ & h ] X y    ½ + Ë €   „  l  © œõ   l  © œ\  › ' a ô  Ç (ƒ   w n

)  1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” 

∇ ² E − 1 c ²

∂ ² E

∂t ² = 1

ε ₀ ∇ρ + µ ₀ ∂J

∂t (1)

∇ ² B − 1 c ²

∂ ² B

∂t ² = −µ ₀ ∇ × J (2)

 % 3 # Q”   . # Œl " f ü <   H y Œ •y Œ • ”  / B N _  Ä »„  Ö  ¦ õ  È Ò  Ö

 ¦ s  9   H ”  / B N \ " f_  y n C_  5 Å q§ 4 s  . Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” 

“

É r Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” _  K – Ð" f r    „  l  © œõ  r     l 



© œ`  ¦ Õ ª[ þ t _  " é ¶…  ;Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç  כ Ü ¼– Ð  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Q

”

  .

E (r , t) = 1 4πε 0

Z  ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )(r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ³ (3) + ρ(r ˙ ⁰ , t ⁰ _r )(r − r ⁰ )

c|r − r ⁰ | ² − J (r ˙ ⁰ , t ⁰ _r ) c ² |r − r ⁰ |

 dv ⁰ ,

B (r , t) = µ 0

4π Z

[ J (r ⁰ , t ⁰ _r ) × (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ³ (4) +

J (r ˙ ⁰ , t ⁰ _r ) × (r − r ⁰ ) c|r − r ⁰ | ² ]dv ⁰ .

#

Œl " f t ⁰ r “ É r s  É r   + '% ƒ”   r ç ß – (retarded time)Ü ¼– Ð" f

t ⁰ _r ≡ t− |r − r ⁰ |

c (c ≡ 1/ √

ε ₀ µ ₀ = 2.997×10 ⁸ m/s) (5)

–

Ð & ñ _   ) a  . Å Ò_ ½ + É & h “ É r + '% ƒ”   r ç ß –“ É r ‰ & ³F r ç ß –˜ Ð t˜ Ð



  Œ •“ É r ° ú כ`  ¦ ° ú l  M :ë  H \  t 
ç ß – r ç ß –s  . 7 £ ¤, + '% ƒ”   r

ç ß –“ É r (t\  ¦ ‰ & ³F  r ç ß –_  l ï  r Ü ¼– Ð  Œ ™`  ¦ M :) õ  _  r  ç

ß –s  . „   x 9 • ¸ ρü < „  À Óx 9 • ¸ J 0 A_  & h “ É r r ç ß –p ì  r

∂/∂t ⁰ _r `  ¦ > p w ô  Ç .

Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” s 
 ? /  H : £ ¤f ç Ü ¼– Ð  6 £ §`  ¦ g 1 L`  ¦ Ã

º e ”  .

' Í

P :, Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ”   ^ ‰  H r ç ß –\          H „   l

 © œõ   l  © œ  s _  “  õ _  › ' a > \  ¦ ³ ð‰ & ³ “ ¦ e ” t  · ú § t

ë ß – Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r “  õ _  ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– Ð" f „  l  © œ _

 " é ¶ “  “   " é ¶…  ;“ É r ρ, ˙ ρ, ˙ J s  9  l  © œ_  " é ¶ “  “   " é ¶…  ;“ É r J , ˙ J e ” `  ¦ ì  r" î J/F95 9.846 × e ”  . " ¼ Q? é ¶… /“  ;s ¦  ” > r F  l ë ß –

€   Õ ª " é ¶…  ;“ É r í  H ç ß –í  H ç ß – „  l  © œõ   l  © œ`  ¦ 1 l x r \  ë ß –

Ž

 H  . ë ß –[ þ t # Q”   „  l  © œõ   l  © œs  " é ¶…  ;`  ¦ { 9 é ß – * ‹
€  

"

f– Ð  Á º   % ò † ¾ Ó`  ¦ p u t  · ú §“ ¦ y n C_  5 Å q • ¸– Ð ( 4 R
ç ß –



. „  l  © œõ   l  © œ“ É r " f– Ð “  õ _  › ' a > \  e ” t  · ú §“ ¦ „   l

 © œ_  " é ¶…  ;õ  „  l  © œ,  l  © œ_  " é ¶…  ;õ   l  © œs  y Œ •y Œ •

“

 õ _  › ' a > \  e ” `  ¦ ÷  r s  . " é ¶…  ;s  r ç ß –\  @ /K  # Qb  G> 



 ½ + Ét   H   É r ë  H ] js  .

Ñ ü

t P :, d ”  (3)Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   r    „  l  © œ\  @ /ô  Ç Je- fimenko ~ ½ Ó& ñ d ”  Ä º  _  x & h ì  r † < Êà º_  % ƒ6 £ § ¿ º † ½ ӓ É r (r − r ⁰ )f (|r − r ⁰ |) _  + þ AI s  . s [ þ t ¿ º † ½ Ó_  l # Œ

\

 _ ô  Ç „  l  © œ`  ¦ y Œ •y Œ • E 1 õ  E 2  “ ¦ €   † ½ Ó1 p x& h Ü ¼– Ð

∇ × E 1 = ∇ × E 2 = 0 s  $ í w n ô  Ç . q 2 Ÿ ¤ E 1 õ  E ²  r

   „  l  © œs t ë ß – & ñ „  l  © œ% ƒ! 3  ˜ Д > r§ 4  © œs  9, { Œ —˜ 2 ³  r

–

Ð_  l „  § 4 \  „  ) € l # Œ t  · ú §  H  . l „  § 4 \ _  l # Œ



 H ! Ó P : † ½ Ó\ " f “ : r  . ! Ó P : † ½ Ó_  l # Œ\  _ ô  Ç „  l  © œ`  ¦ E 3 s  “ ¦ €   { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ∇ × E ³ 6= 0e ” “ É r " î Ñ þ ˜ 



. : £ ¤ y  ! Ó P : † ½ ӓ É r 6 £ § _   Ҡ ñ\  ¦ t “ ¦ e ”   H X < s  כ “ É r Lenz _  Z O g Ë :`  ¦ ´ ú ˜K Šғ ¦ e ”  . Ó ü t : r „  ^ ‰& h Ü ¼– Ѝ  H & h ì  r

`

 ¦ K   ÷ &t ë ß –, ! Ó P : † ½ ӓ É r ² D G ™ è& h  „  À Ó 7 ˜' _  r ç ß –   



oÖ  ¦ õ  ì ø Í@ / ~ ½ ӆ ¾ Ó_  „  l  © œ`  ¦ Ò q tl J/F95 9.846 X O >  Ò q t   9 s  è

ß – „  l  © œ“ É r s  „  l  © œ ~ ½ ӆ ¾ Ó („  À Ó 7 ˜' _  r ç ß –    oÖ  ¦ õ  ì

ø Í@ /~ ½ ӆ ¾ Ó)_  „  À Ó\  ¦ Ä »• ¸ô  Ç .

!

Ó P :, „   ì  r Ÿ íü < „  À Óì  r Ÿ í r ç ß –\  Á º › ' a  “ ¦ 

€

  d ”  (3)õ  (4)  H y Œ •y Œ • Coulomb Z O g Ë :õ  Biot-Savart Z O  g Ë

:Ü ¼– Ð ¨ 8 Š " é ¶ ) a  .

s

] j y n C_  5 Å q§ 4 – Ð „      H e ” _ _  7 ˜'  © œ\  @ /ô  Ç “   õ

& h ì  r (causal integral)

X (r , t) = − 1 4π

Z

all space

∇ ⁰² [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed − _c ¹

₂

^∂

²

X ( r

⁰

,t

⁰_r

)

∂t

⁰²_r

|r − r ⁰ | dv ⁰ (6)

`

 ¦  6   x # Œ Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Ä »• ¸K  ˜ Ð . d ”  (6)Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   “  õ & h ì  r / B Nd ” _  Ä »• ¸  H III] X \ " f  [ jy   À Ò# Q

t

  H X < # Œl " f  H s  d ” `  ¦  6   x €   d ”  (1)\  _ K  r   „  l  © œ“ É r  6 £ § õ  ° ú  s  ³ ð‰ & ³ ) a  .

E (r , t) = − 1 4πε ₀

Z ∇ ⁰ [ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed + _c ¹

₂

^∂ J ( r

⁰

,t

⁰_r

)

∂t

⁰_r

|r − r ⁰ | dv ⁰ . (7)



6 £ § _  ¿ º 1 p xd ” 

∇ ⁰ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | = (∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ | )ρ(r ⁰ , t ⁰ _r ) (8) + ∇ ⁰ [ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed

|r − r ⁰ | + [∂ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r ]∇ ⁰ t ⁰ _r

|r − r ⁰ | ,

∇ ⁰ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | (∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ | )ρ(r ⁰ , t ⁰ _r ) + [∂ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r ]∇t ⁰ _r

|r − r ⁰ | (9)

= −(∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ | )ρ(r ⁰ , t ⁰ _r ) − [∂ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r ]∇t ⁰ _r

|r − r ⁰ |

`

 ¦   ½ + Ë # Œ
š ¸  H d ” 

∇ ⁰ [ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | = ∇ ⁰ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | + ∇ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

`

 ¦ d ”  (7)\  @ /{ 9  €   E(r, t) = − 1

4πε ₀

 Z

∇ ⁰ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰ (10) +

Z

∇ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰ + 1 c ²

Z 1

|r − r ⁰ |

∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r dv ⁰



s

 % 3 # Q”   . 0 A d ” _  Ä º  _  ' Í P : & h ì  r“ É r Á º ô

 Ç@ /_  0 Au \  „    \ O  “ ¦ & ñ €   & h ì  r/ B Nd ”  R

V ∇φdv = H

S φnda \  _ K  % ò s  . Ñ ü t P : & h ì  r _  x 

&

h

ì  r † < Êà º  H d ”  (9)\  _ K 

∇ ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | = −ρ(r ⁰ , t ⁰ _r ) (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ³ − 1 c

∂ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r

(r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ² Ü

¼– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ” Ü ¼Ù ¼– Ð d ”  (10)“ É r

E (r , t) = 1 4πε 0

Z 

ρ(r ⁰ , t ⁰ _r ) (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ³ + 1

c

∂ρ(r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r

(r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ² − 1 c ² |r − r ⁰ |

∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r dv ⁰



Ü

¼– Ð ³ ð‰ & ³ ) a  . s  כ s   – Ð d ”  (3)\ " f Å Ò# Q”   r    „   l

 © œ\  › ' a ô  Ç Jefimenko_  ~ ½ Ó& ñ d ” s  .

q

5 p w ô  Ç ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð, ”  / B N5 Å q \ " f_   l  © œ“ É r d ”  (2)ü <

(6) Ü ¼– РÒ' 

B (r , t) = µ ₀ 4π

Z ∇ ⁰ × [J (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ (11) Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ” “ ¦,  6 £ § _  ¿ º 1 p xd ” 

∇ ⁰ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | =



∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ |



(12)

×J (r ⁰ , t ⁰ _r ) + ∇ ⁰ × [J (r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed

|r − r ⁰ | + (∇ ⁰ t ⁰ _r ) × [∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r ]

|r − r ⁰ | ,

∇ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | =



∇ 1

|r − r ⁰ |



× J (r ⁰ , t r 0) (13)

+ (∇t ⁰ _r ) × [∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r ]

|r − r ⁰ | = −



∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ |



×J (r ⁰ , t ⁰ _r ) − (∇ ⁰ t ⁰ _r ) × [∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r ]

|r − r ⁰ |

`

 ¦   ½ + Ë # Œ
š ¸  H d ” 

∇ ⁰ × [J (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | = ∇ ⁰ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | + ∇ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

`

 ¦ d ”  (11)\  @ /{ 9  €   B (r , t) = µ 0

4π

 Z

∇ ⁰ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰ (14) +

Z

∇ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰



`

 ¦ % 3   H  . 0 A d ” _  ' Í P : & h ì  r“ É r Á ºô  Ç@ /_  0

Au \  „  À Ó \ O  “ ¦ & ñ €   & h ì  r/ B Nd ”  R

V ∇ × F dv = H

S n × F da \  _ K  % ò s “ ¦, Ñ

ü

t P : & h ì  r _  x & h ì  r † < Êà º  H d ”  (13)\  _ K 

∇ × J (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | = J (r ⁰ , t ⁰ _r ) × (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ³ + 1

c

∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )

∇t ⁰ _r × (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ² Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ” Ü ¼Ù ¼– Ð d ”  (14)  H

B (r , t) = µ ₀ 4π

Z 

J (r ⁰ , t ⁰ _r ) × (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ³ + 1

c

∂J (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r × (r − r ⁰ )

|r − r ⁰ | ²

 dv ⁰ Ü

¼– Ð ÷ &  H X < s  כ s  d ”  (4)\ " f Å Ò# Q”   r     l  © œ\  › ' a ô

 Ç Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” s  .

III. Helmholtz X N ËP 8 ý ß Ã ÅÊ ÝX ì Ä Ä Z Ø ƒ »”  ô

Ä

ºo  ™  ¥ y  “ §õ " f\ " f ˜ Ѝ  H Helmholtz & ñ o   H  6 £ § õ

 ° ú    [7].

—

¸Ž  H & h \ " f 7 ˜'  © œ X (r)_   s ! Q„  Û ¼ü < (  s  y Œ •y Œ • f(r ) õ  G(r)– Ð · ú ˜ 9t “ ¦, r → ∞{ 9  M : f(r)õ  G(r) — ¸¿ º r ⁻² ˜ Ð  À 1 Ïo  % ò Ü ¼– Ð Ã º§ 4  “ ¦, r → ∞{ 9  M : X (r)s  % ò Ü

¼– Ð Ã º§ 4    H 7 ˜'  © œ X (r)“ É r  6 £ § õ  ° ú  s   s ! Q„  Û ¼

 % ò “   † ½ Óõ  (  s  % ò “   † ½ Ó_  ½ + ËÜ ¼– Ð Ä »{ 9  >  (uniquely)

&

ñ K ”   .

X (r ) = −∇φ(r ) + ∇ × A(r ) (15)

φ(r ) = 1 4π

Z

all space

f (r ⁰ )dv ⁰

|r − r ⁰ | (16)

A(r ) = 1 4π

Z

all space

G(r ⁰ )dv ⁰

|r − r ⁰ | (17) s

 M : Û ¼º ú ˜  © œü < 7 ˜'  © œ A\  ¦ y Œ •y Œ • 7 ˜'  © œ X _  Û ¼º ú ˜  (

J $ ™[ > õ  7 ˜'  © œ X _  7 ˜'  ( J $ ™[ > s    ҏ É r  .

0

A_  Helmholtz_  & ñ o   H 0 A\ " f ³ ð‰ & ³ ) a @ /– Ð r ç ß –\  Á

º › ' a ô  Ç 7 ˜'  © œ\  @ /K " fë ß – $ í w n  “ ¦ r ç ß –\  _ ” > r   H 7 ˜ '

 © œ\  @ /K " f  H à º& ñ ÷ &# Q  † < Ê`  ¦ > p w   H  כ s   _ ” \  Å

Ò_ K   ô  Ç . r    7 ˜'  © œ X (r,t)\  @ /K " f• ¸ d ”  (15)- (17) _  ý aÄ º  _  — ¸Ž  H  © œ_  € ª œ (field quantities)`  ¦ ° ú  “ É r r

ç ß – t \ " f 2 [ €   Õ ª@ /– Ð $ í w n  ) a  . 7 £ ¤,  6 £ § s  $ í w n ô  Ç



.

X (r , t) = −∇  1 4π

Z ∇ ⁰ · X (r ⁰ , t)

|r − r ⁰ | dv ⁰



(18)

+∇ ×  1 4π

Z ∇ ⁰ × X (r ⁰ , t)

|r − r ⁰ | dv ⁰

 .



6 £ § _  ¿ º 1 p xd ” 

∇ ⁰ V (r ⁰ )

|r − r ⁰ | = ∇ ⁰ V (r ⁰ )

|r − r ⁰ | − ∇ V (r ⁰ )

|r − r ⁰ |

∇ ⁰ × W(r ⁰ )

|r − r ⁰ | = ∇ ⁰ × W(r ⁰ )

|r − r ⁰ | − ∇ × W(r ⁰ )

|r − r ⁰ | õ

 s p   6   x ô  Ç ¿ º 1 p xd ”  R

V ∇ × F dv = H

S n × F da ü <

R

V ∇φdv = H

S φ n da Ü ¼– РÒ'  d ”  (18)“ É r X (r , t) = − 1

4π

Z ∇ ⁰² X (r ⁰ , t)

|r − r ⁰ | dv ⁰ (19) Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  . # Œl " f 7 ˜'  © œ\  @ /ô  Ç Laplacian_  l

  ñ  H  6 £ § õ  ° ú  s  & ñ _   ) a  .

∇ ⁰² X (r ⁰ , t) ≡ ∇ ⁰ (∇ ⁰ · X(r ⁰ , t)) (20)

−∇ ⁰ × (∇ ⁰ × X (r ⁰ , t))

d ”

 (18)õ  (19)_  Ä º  _  x & h ì  r † < Êà º_  (" é ¶…  ;)r ç ß –s  ý a



 _  ( › ' a ¹ 1 Ï)r ç ß –õ  ° ú  Ü ¼Ù ¼– Ð 0 A_  d ”  (18)õ  (19)  H 7 ˜' 



© œ X (r,t)\  ¦ “  õ & h ì  r (causal integral) ³ ð‰ & ³s   m  .

1 l

x r & h ì  r ³ ð‰ & ³s  . s ] j “  õ & h ì  r ³ ð‰ & ³`  ¦ ¹ 1 Ô ˜ Ð .

7 ˜'  © œ X  r ç ß –\  _ ” > r   H 7 ˜'  © œ{ 9 t  • ¸ X (r , t) =

Z

X (r ⁰ , t)δ ³ (r ⁰ − r )dv ⁰

Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  . ¢ ¸, t ^∗ = t ^∗ (t, r , r ⁰ ) s  [ j   à º t, r , r ⁰ \  _ ” > r   H  Á ºo  4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç † < Êà º{ 9 t  • ¸ r ⁰ = r { 9

 M : t ^∗ = t s €   7 ˜'  © œ X (r,t)\  ¦

X (r , t) = Z

X (r ⁰ , t ^∗ )δ ³ (r ⁰ − r )dv ⁰ (21) Ü

¼– Е ¸ ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  . r ⁰ = r { 9  M : t ^∗ = t\  ¦ ë ß –7 á ¤   H e ”

_ _  † < Êà º t ^∗ = t ^∗ (t, r , r ⁰ )“ É r / å L à º„  > h_  + þ AI – Ð  6 £ § õ

 ° ú  s  ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  .

t ^∗ = t ^∗ (t, r , r ⁰ ) = t

 1 +

∞

X

n=1

a n |r − r ⁰ | ⁿ



(22)

#

Œl " f „  > h> à º a ⁿ _  " é ¶“ É r [U  ´s ] ⁻ⁿ s  9 t_  † < Êà º { 9

 à º e ”  . 7 £ ¤, a n = a _n (t). Ä ºo  כ ¹½ ¨   H r    7 ˜'  © œ _

 “  õ & h ì  r ³ ð‰ & ³“ É r ‘ þ j™ è “  õ Ö  ¦(minimal causality)’`  ¦



 É r  “ ¦ & ñ  . s  ‘þ j™ è “  õ Ö  ¦’ s    H 6   x # Q  H d ”  (22) \ " f a n = 0 (n = 2, 3, · · ·)`  ¦ כ ¹½ ¨   H  כ õ  ° ú  “ É r _

p s  . a ¹ (t) _  " é ¶ s  [U  ´s ] ⁻¹ s  ÷ &l  0 AK " f  H 5 Å q

•

¸_  " é ¶`  ¦ ° ú   H  © œÃ º a\  ¦  6   x # Œ a 1 (t) = (at) ⁻¹ _  + þ

AI – Ð ¿ º€   Ø  æì  r s  .   " f þ j™ è “  õ Ö  ¦ _   â Ä º t ^∗ = t ^∗ (t, r , r ⁰ ) _  † < Êà º + þ AI   H

t ^∗ = t + |r − r ⁰ |

a (23)

Ü

¼– Ð  ) a  . ¢ ¸ “  õ Ö  ¦“ É r ‰ & ³F _  › ' a ¹ 1 Ïr ç ß – t\ " f_  7 ˜' 



© œ_  ° ú כs  ‰ & ³F ˜ Ð  s  É r r ç ß –_  " é ¶…  ;\  _ K  & ñ K 4 R 

  H  כ `  ¦ כ ¹½ ¨ Ù ¼– Ð a_   Ҡ ñ  H 6 £ § _  ° ú כs # Q  ô  Ç .

:

£

¤ y  Ä ºo   À ҍ  H 7 ˜'  © œs  „  l  © œõ   l  © œ“    â Ä º, 7 ˜'  © œ_  „   5 Å q§ 4 “ É r y n C_  5 Å q§ 4 s Ù ¼– Ð d ”  (23)“ É r

t ^∗ = t − |r − r ⁰ |

c (24)

Ü

¼– Ð  ) a  .   " f r    7 ˜'  © œ X (r,t) „  l  © œõ   l 



© œ“    â Ä º d ”  (21)_  t ^∗ \  ¦ d ”  (5)\ " f & ñ _   ) a + '% ƒ”   r ç ß – t ⁰ r Ü ¼– Ð 2 [ “ ¦ x & h ì  r † < Êà º5 Å q _  Dirac 4 S q † < Êà º\  @ /ô  Ç

³ ð‰ & ³

δ ³ (r ⁰ − r ) = δ ³ (r − r ⁰ ) = − 1

4π ∇ ² 1

|r − r ⁰ |

`

 ¦  6   x €  \  X (r,t)@ /ô  Ç  6 £ § _  & h ì  r ³ ð‰ & ³d ” s  $ í w n  ô

 Ç .

X (r , t) = − 1 4π

Z

X (r ⁰ , t ⁰ _r )∇ ² 1

|r − r ⁰ | dv ⁰ . (25) s

] j 7 ˜'  † ½ Ó1 p xd ” 

∇ ²  X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |



= X (r ⁰ , t ⁰ _r )∇ ² 1

|r − r ⁰ | (26) + 1

c ²

∂ ²

∂t ⁰² _r

 X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |



`

 ¦  6   x # Œ d ”  (25)\  ¦ X (r , t) = − 1

4π ∇ ²

Z X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰ + 1

4π Z 1

c ²

∂ ²

∂t ⁰² _r

 X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰

Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  . t ⁰ r \  @ /ô  Ç ¼ # p ì  r`  ¦ t \  @ /ô  Ç ¼ # p  ì

 r Ü ¼– Ð  Ë ¨€   0 A_  d ” “ É r X (r , t) = −∇



∇ · 1 4π

Z X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰



(27)

+∇ ×



∇ × 1 4π

Z X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰



+ 1 4π

Z 1 c ²

∂ ²

∂t ⁰² _r

 X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰

Ü

¼– Ð ³ ð‰ & ³ ) a  . r ç ß –\  _ ” > r   H Û ¼º ú ˜  © œ φ(r, t)ü < 7 ˜ '

 © œ A(r,t)\  ¦

φ(r , t) ≡ ∇ · 1 4π

Z X(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰ (28)

A(r , t) ≡ ∇ × 1 4π

Z X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | dv ⁰ (29)

–

Ð & ñ _  €   d ”  (27)“ É r  6 £ § õ  ° ú  s  ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  .

X (r , t) = −∇φ(r , t) + ∇ × A(r , t) (30) + 1

4π Z 1

c ²

∂ ²

∂t ⁰² _r

 X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰ .

d ”

 (30)_  ý aÄ º  \   s ! Q„  Û ¼ü < (  `  ¦ 2 [ €   φ(r , t)ü <

A(r , t)  ë ß –7 á ¤ K     H p ì  r ~ ½ Ó& ñ d ” 

∇ ² φ(r , t) − 1 c ²

∂ ² φ(r , t)

∂t ² = −∇ · X (r , t), (31)

∇ ² A(r , t) − ∇(∇ · A(r , t)) (32)

− 1 c ²

∂ ² A(r , t)

∂t ² = −∇ × X (r , t).

\

 ¦ % 3   H  . : £ ¤ y  Coulomb > s t  ∇ · A(r, t) = 0 `  ¦ × þ ˜

€   d ”  (32)  H

∇ ² A(r , t) − 1 c ²

∂ ² A(r , t)

∂t ² = −∇ × X (r , t) (33)

– Ð  ) a  .

s

] j d ”  (28)_  Ä º  _  r\  @ /ô  Ç  s ! Q„  Û ¼\  ¦ x & h ì  r

†

< Êà º 5 Å q Ü ¼– Ð V , Ü ¼€  " f & h ì  r  à º r ⁰ \  @ /ô  Ç  s ! Q„  Û ¼

∇ ⁰ · X (r ⁰ ,t ⁰ _r ) _  ³ ð‰ & ³s  Ò q tl • ¸2 Ÿ ¤ › ¸ Œ •  . €  $ 

∇ · X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | ≡ X (r ⁰ , t ⁰ _r ) · ∇ 1

|r − r ⁰ | + 1

|r − r ⁰ | ∇ · X (r ⁰ , t ⁰ _r )

= −X (r ⁰ , t ⁰ _r ) · ∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ | − 1

|r − r ⁰ |

 ∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r · ∇ ⁰ t ⁰ _r



= −



X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



· ∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ |

`

 ¦ % 3 “ ¦ Õ ª  6 £ § „  p ì  r _  › ' a > d ” 

∇ ⁰ ·  X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + (1/c)|r − r ⁰ |∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r

|r − r ⁰ |



= 1

|r − r ⁰ | ∇ ⁰ ·



X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



+



X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



· ∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ |

`

 ¦  6   x €   d ”  (28)\ " f & ñ _   ) a Û ¼º ú ˜  ( J $ ™[ > “ É r φ(r , t) = 1

4π

Z 1

|r − r ⁰ | ∇ ⁰ · X (r ⁰ , t ⁰ _r )dv ⁰ (34) + 1

4π

Z 1

|r − r ⁰ | ∇ ⁰ ·  |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r

 dv ⁰

− 1 4π

Z

∇ ⁰ ·  X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |



dv ⁰ − 1 4πc

Z

∇ ⁰ · ∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r dv ⁰ Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  . d ”  (34)_  Ä º  _  ' Í P : † ½ Ó_  x & h  ì

 r † < Êà º  H

1

|r − r ⁰ | ∇ ⁰ · X (r ⁰ , t ⁰ _r )

= 1

|r − r ⁰ |



∇ ⁰ · [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed − ∇ ⁰ |r − r ⁰ |

c · ∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ” “ ¦, Ñ ü t P : † ½ Ó_  x & h ì  r † < Êà º  H 1

|r − r ⁰ | ∇ ⁰ ·  |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



= 1

c ∇ ⁰ · ∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r + 1

c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r · ∇ ⁰ |r − r ⁰ |

|r − r ⁰ | Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  .   " f d ”  (34)  H φ(r , t) = 1

4π

Z ∇ ⁰ · [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ (35)

− 1 4π

Z

∇ ⁰ ·  X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |



dv ⁰

Ü

¼– Ð  ) a  .  s ! Q„  Û ¼_  & ñ o \  ¦  6   x €   d ”  (35)_  Ñ ü t P

:  Òx & h ì  r`  ¦ €  & h ì  r Ü ¼– Ð “ ¦} 9  à º e ”  . 7 £ ¤, Z

V

∇ ⁰ ·  X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰ =

I

S

X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | · nda ⁰ . ë

ß –€  •, V → ∞ { 9  M :, V _  ³ ð€   S © œ\ " f X (r ⁰ , t ⁰ _r  |r − r ⁰ | ⁻¹ ˜ Ð  À 1 Ïo  % ò Ü ¼– Ð b  # Qt €   €  & h ì  r _  ° ú כ“ É r % ò s   ) a



.   " f

φ(r , t) = 1 4π

Z ∇ ⁰ · [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ . (36) d ”

 (29)_  Ä º  _  r\  @ /ô  Ç (  `  ¦ x & h ì  r † < Êà º 5 Å q Ü ¼– Ð V ,

Ü ¼€  " f & h ì  r  à º r ⁰ \  @ /ô  Ç (   ∇ ⁰ × X (r ⁰ , t ⁰ _r ) _  ³ ð‰ & ³ s

 Ò q tl • ¸2 Ÿ ¤ › ¸ Œ •  .  6 £ § _  [ j 1 p xd ” 

∇ × X (t ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ | =



∇ 1

|r − r ⁰ |



× X (r ⁰ , t ⁰ _r )

+ 1

|r − r ⁰ | ∇ × X(r , t ⁰ _r ) = X (r ⁰ , t ⁰ _r )

×∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ | − 1

|r − r ⁰ |

 ∂X(r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r × ∇ ⁰ t ⁰ _r



=



X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



× ∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ | ,

∇ ⁰ ×  X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + (1/c)|r − r ⁰ |∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )/∂t ⁰ _r

|r − r ⁰ |



= 1

|r − r ⁰ | ∇ ⁰ ×



X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r



+



∇ ⁰ 1

|r − r ⁰ |



×



X (r ⁰ , t ⁰ _r ) + |r − r ⁰ | c

∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r

 ,

∇ ⁰ · X (r ⁰ , t ⁰ _r ) = ∇ ⁰ [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed

− ∇ ⁰ |r − r ⁰ |

c × ∂X (r ⁰ , t ⁰ _r )

∂t ⁰ _r

`

 ¦  6   x €   d ”  (29)\  ¦ A(r , t) = 1

4π

Z ∇ ⁰ × [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ (37)

− 1 4π

Z

∇ ⁰ ×  X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰

Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  . ¢ ¸ô  Ç  6 £ § _  & h ì  r/ B Nd ”  R

V ∇ × F dv = H

S n × F da\  ¦  6   x €   d ”

 (37)_  Ñ ü t P :  Òx & h ì  r`  ¦ €  & h ì  r Ü ¼– Ð “ ¦} 9  à º e ”  .

7

£ ¤, Z

V

∇ ⁰ ×  X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |



dv ⁰ = − I

S

 X(r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |



× nda ⁰ .

ë

ß –€  •, V → ∞{ 9  M : V _  ³ ð€   S  © œ\ " f X (r ⁰ , t ⁰ _r )  |r − r ⁰ | ⁻¹ ˜ Ð  À 1 Ïo  % ò Ü ¼– Ð b  # Qt €   €  & h ì  r _  ° ú כ“ É r % ò s   ) a



.   " f  6 £ §`  ¦ % 3   H  .

A(r , t) = 1 4π

Z ∇ ⁰ × [X (r ⁰ , t r 0)] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ (38) t

F K  t _    õ [d ”  (30), (36), (38)]\  ¦ & ñ o  €    6 £ § õ

 ° ú   .

X (r , t) = −∇  1 4π

Z ∇ ⁰ · [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] _t

⁰

r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰

 (39)

+∇ ×  1 4π

Z ∇ ⁰ × [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰



+ 1 4π

Z 1 c ²

∂ ²

∂t ⁰² _r

 X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰ .

d ”

 (28)õ  (29)– РÒ'  d ”  (36)õ  (38)`  ¦ % 3 `  ¦ M :ü < ° ú  “ É r כ ¹

§ î

Ü ¼– Ð d ”  (39)_  Ä º  _  ' Í P : † ½ Óõ  Ñ ü t P : † ½ Ó\  e ”   H r \ 

@

/ô  Ç Õ ªA n ƒ  à Ôü < (  `  ¦ & h ì  r  à º r ⁰ \  @ /ô  Ç Õ ªA n ƒ   à

Ôü < (  – Ð  Ü ã J à º e ”  . # Œl " f  H Õ ª   õ ë ß – & h  ’ x .

X (r , t) = − 1 4π

Z ∇ ⁰ [∇ ⁰ · [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed ] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ + 1

4π

Z ∇ ⁰ × [∇ ⁰ × [X (r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed ] t

⁰_r

f ixed

|r − r ⁰ | dv ⁰ + 1

4π Z 1

c ²

∂ ²

∂t ⁰² _r

 X (r ⁰ , t ⁰ _r )

|r − r ⁰ |

 dv ⁰ .

s

 d ” `  ¦ d ”  (20)\ " f & ñ _   ) a 7 ˜'  © œ\  › ' a ô  Ç Laplacian l   

ñ\  ¦  6   x # Œ

X (r , t) = 1 4π

Z ∇ ⁰² [X(r ⁰ , t ⁰ _r )] t

⁰_r

f ixed − _c ¹

2

∂

²

X ( r

⁰

,t

⁰_r

)

∂t

⁰²_r

|r − r ⁰ | dv ⁰ (40) Ü

¼– Ð
 è ­ q à º e ”  . d ”  (19)  H 7 ˜'  © œ X (r, t)\  ¦ 1 l x r 

&

h

ì  r Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç Helmholtz_  & ñ o s  9, d ”  (40)“ É r “  õ 

&

h

ì  r Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ô  Ç Helmholtz_  & ñ o s  .

IV. + s Ç Â ] Ø

d ”

 (40)Ü ¼– Ð Å Ò# Qt   H “  õ & h ì  r + þ AI _  Helmholtz & ñ o

\  ¦  6   x €   Maxwell ~ ½ Ó& ñ d ” Ü ¼– РÒ'  % 3 # Q”   r   

„

 l  © œõ  r     l  © œs  ë ß –7 á ¤ K     H ƒ  w n   1 l x ~ ½ Ó& ñ d ”

[d ”  (1)õ  (2)]_  K “   Jefimenko ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r II] X \ " f ˜ Ð

€

Œ

¤1 p w s  Z >  # Q 9¹ ¡ § \ O s  ½ ¨K ”   . Õ ª Q
 ë  H ] j  H “  õ & h  ì

 r + þ AI _  Helmholtz & ñ o _  Ä »• ¸  H $ 3   ¢ ¸  H ~ à Ì õ & ñ _

 @ /† < Æ" é ¶Ò q t à ºï  r _  7 ˜' K $ 3 `  ¦ ½ ¨  # Œ III] X \ " f   [

jy   À Ò% 3  . s  כ Ü ¼– Ð 3 l q& h `  ¦ s À Ò% 3  .

“

 õ & h ì  r ³ ð‰ & ³õ  › ' aº   # Œ  Ò& h Ü ¼– Ð  7 H¨ î 
– Ð+ ‹



Á ºo  “ ¦  ô  Ç . Jefimenko_  / B Nd ” s  l ‘ : r& h “   7 ˜' 



© œÜ ¼– Ð" f „  l  © œ E (r,t)ü <  l  © œ B(r,t)\  ¦ “  õ & h ì  r Ü ¼

–

Ð
 Í Ç rÜ ¼– Ð" f Ä ºo  „  l  © œõ   l  © œ_  ‘ : r| 9 `  ¦ s  K

   H X < ô  Ç  6 £ §  8 „  ”  `  ¦ >  Ù þ ¡Ü ¼
 Ó ü t| 9 _  p r & h 

½

¨› ¸\  ¦  r & h  ¨ î ç  H Ü ¼– Ð ‘ : r ´ òõ \  ¦ Ÿ í† < Ê   H „  l  © œõ 



l  © œ“  D(r ,t)ü < H (r,t)\  ¦ “  õ & h ì  r + þ AI – Ð ³ ð‰ & ³   H

 כ

“ É r @ /é ß –y  # Q 9î  r ë  H ] j– Ð z Œ ™  e ”  .

P

c p 8 ý ò k >

s

 ƒ  ½ ¨  H ô  Dz D G s  : rÓ ü t o  x 9   o† < Æ ƒ  ½ ¨ r_  ƒ  ½ ¨q  t 

"

é

¶ Ü ¼– Ð s À Ò# Q& ’ _ þ v m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] O. Jefimenko, Electricity and Magnetism, Appleton- Century-Crofts,1966; 2nd ed., Electret Scientific, 1989.

[2] D. J. Griffiths and M. A. Heald, Am. J. Phys. 59, 1991.

[3] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, (3rd ed., Prentice Hall, 1999), Sec. 10.2.2.; J. B. Marion and M. A. Heald, Classical Electromagnetic Radia- tion, (3rd ed., Saunders, 1995), Sec. 8.4.; J. D. Jack- son, Classical Electrodynamics, (3rd ed. John Wiley

& Sons, 1999), Sec. 6.5.

[4] D. H. Kobe, Am. J. Phys. 54, 552, 1986.

[5] J. Heras, Am. J. Phys. 58, 154, 1990.

[6] A. M. Davis, Am. J. Phys. 74, 72, 2006.

[7] P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoret- ical Physics, (McGraw-Hill, 1953), p.52.; G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, (3rd ed. Aca- demic Press, 1985), p. 78.

Helmholtz Theorem for Time-Varying Vector Fields

J. -M. Chung ^∗

Research Institute for Basic Sciences and Department of Physics, Kyung Hee University, Seoul 130-701 (Received 13 January 2006, in final form 2 May 2006)

Even if the divergence and the curl of a time-varying vector field are known, as sources, in a given region, the usual equal-time Helmholtz theorem is not useful for determining the time-varying vector field in terms of its sources. In this paper, a detailed derivation of a causal integration version of the Helmholtz theorem is given.

PACS numbers: 01

Keywords: Maxwell equation, Jefimenko’s equations, Helmholtz’s theorem

∗

E-mail: [email protected]