LC 회로

(1)

31. 전자기 진동과 교류

(Electromagnetic oscillations and Alternating current )

LC 회로

Oscillating voltage and current

Æ What does ^ε

o

sin ω t ∼ mean?

C L

++++

- - - -

RLC 회로

(2)

지난 시간에 …

dt s d

d

E ⋅ = − Φ

^B

= ∫

ε ^r ^r

Faraday’s Law

dt d Φ

_B

−

ε =

^{Lenz’s Law}

Eddy current

A l n

L ₂

μ

0

= : 단위 길이당 유도용량

2

2 1 Li U

_B

=

0 2

2 μ u

_B

= B

Magnetic energy

(3)

LC Circuits

• 다음과 같은 직렬 RC 회로, 직렬 LC 회로를 보자

• t =0 에서 capacitor에 전하 Q가 대전되어 있다.

• 두 회로간에는 전류의 시간적 변화에 정량적 차이가 있다.

왜??

• 에너지 관점에서 생각해보자

• RC 회로에서는, 흐르는 전류는 저항에서 열에너지를 야 기하며 점차로 줄어든다.

• LC 회로에서는, 에너지 소모가 없고; 에너지는 capacitor와 inductor에 모두 저장된다!

++++

C R

- - - - ⁺⁺⁺⁺

C L

- - - -

Q Q

(4)

RC/LC Circuits

RC:

current decays exponentially

0 t

I

0

LC:

current oscillates

I

0

t

++++

C R

- - - - ⁺⁺⁺⁺

C L

- - - -

(5)

31-2. LC 진동의 정성적 분석

LC회로에서의

전류와 전자기장의 진동 C

U_E q 2

= 2

2 Li2

U_B =

(6)

L C V=0

V

_C

= q/C

V

_L

= L di/dt

V

_C

+V

_L

= 0 V

_C

= -V

_L

∴

t

0

V

C

0

V

_L

1

LC 회로

(7)

31-3. 전기와 역학의 비교

(8)

31-4. LC 진동의 정량적 분석

2. LC 진동자

) sin(

)

( = = − ω Q ω t + φ = − I ω t + φ dt

t dq i

LC

= 1

( ) cos( ) ω q t = Q ω φ t +

2 2

1 1

2 2

U q Li

= C +

^dU_dt ⁼ _{C dt}^{q dq} ⁺^Li _dt^di ⁼ⁱ^⎛^⎜_⎝_C^q ⁺^L ^{d q}_dt² ^⎞^⎟_⎠ ⁼⁰

(9)

LC 진동자 : 전기에너지와 자기에너지의 진동

) (

2 cos 2

)

(

²

=

² ₂

ω + φ

= t

C Q C

t U

_E

q

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ =

← +

=

+

=

LC 1

) (

2 sin

) (

2 sin 1 2

1

2 2

ω φ

ω

φ ω

ω C t

Q

t Q

L Li

U

_B

= 일정

=

+

=

C Q

U U

U

_E _B

2

( ) cos( )

q t = Q ω φ t +

( ) sin( )

i t = − ω Q ω φ t +

2

1

2

1 ( ) 2 ( ) 2

B E

U U U Li t q t

= + = + C

(10)

31-5. RLC 회로의 감쇠진동

RLC회로에서는 전자기에너지가 감소 (저항에서 열에너지로 바뀜)

1) 얼마나 빨리 줄어드는가?

2) 고유진동수는 어떻게 달라지는가?

일반해

따라서, 전자기 에너지도 지수함수 꼴로 감쇠:

L t R

C e

U Q ^⎟^⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

= 2

2

고유진동수:

^ω ^' ⁼ ^ω

²

⁻ ⁽ ^R ^/ ² ^L ⁾

²

⁼ ( ¹ ^/ ^LC )

²

⁻ ⁽ ^R ^/ ² ^L ⁾

²

(11)

31-6. 교류전류 (Alternating Current)

• The Alternating-Current (AC) Generator ω_d

t BA

BA

d B

ω θ

cos cos

=

= Φ

t dt BA

d

d d

B

ω ω

ε

⁼ ⁻ ^Φ ⁼ ^sin

ε_max

-ε_max

t ε

t

t BAN

d

d d

ω

ε ω

sin

ε

m

=

(

ε

_m = BAN

ω

_d) N-coils

) sin( ω − φ

= I t

i

_d

교류발전기

(12)

31-7. 강제진동 (Forced oscillation)

LC, RLC 회로에서 외부 기전력이 없을 때 (자유진동):

LC

= 1

ω

^{자연 각진동수}

LC, RLC 회로에서 외부 기전력이 ω_d 진동수로 가해질 때 (강제진동):

d forced

ω ω = ω

ω

_d

=

강제 각진동수

공명 (resonance)

(13)

31-8. 간단한 세가지 교류회로 (R, C, L)

[R 회로]

저항, 축전기, 코일에 걸린 교류전압과 전류 사이의 관계: 특히 위상차

[C 회로]

[L 회로]

[RLC 직렬회로]

( ) ( )

0 0

( ) t V sin

_d

t ( ) i t I sin

_d

t

ε = ω ⇒ = ω + φ ???

(14)

[저항형 회로]

위상자 (phasor)

진폭 (길이로)과 위상 (각도로)을 동시에 표현

(15)

[용량형 회로]

전류의 위상이 전압을 90^o 앞서간다.

c 90

d d

t

φ

ω ω

⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

o

(16)

확인문제 4. S = ^sin( ω

_d

t ), , , A B C = sin( ω

_d

t − φ )

(A) φ 값이 큰 순서대로 :

(B) 그림 (b)의 위상자는 각각 어느 곡선인가?

(C) 어느 곡선이 다른 곡선들을 앞서는가?

C > B > A

1-A, 2-B, 3-S, 4-C

A

(17)

[유도형 회로]

전류의 위상이 전압보다 90^o 뒤처져 간다.

c 90

d d

t

φ

ω ω

⎛ ⎞

= = + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

o

(18)

(요약) 교류전압과 전류에 대한 R, C, L의 위상과 진폭 관계

R C L

위상자 (phasor)로 비교해 보면

(19)

V_L leads I_L I_Cleads V_C

(20)

What is reactance ?

You can think of it as a frequency-dependent resistance.

For high ω, χ_C~0

- Capacitor looks like a wire (“short”) For low ω, χ_CÆ∞

- Capacitor looks like a break

1 X

C

ω C

=

For low ω, χ_L~0

- Inductor looks like a wire (“short”) For high ω, χ_LÆ∞

- Inductor looks like a break

(inductors resist change in current)

X

L

= ω L

( " X

_R

" = R )

(21)

31-9. 직렬 RLC 회로

직렬 RLC 회로의 전류 i = I sin ( ω_d t - φ)의 진폭과 위상?

) sin( t

_d

m

ω

ε ε =

즉, 전류를 기준으로 전압을 보자

총 전압의 합

(22)

위상상수:

공명 (resonance): 전류의 진폭이 가장 커질 때

= 임피던스가 가장 작아질 때 전류진폭 :

임피던스(Impedance, 온저항):

ε

_m

= IZ

Z

= R φ cos

I

(23)

31-10. 교류회로의 전력

[ ^sin( ⁾ ]

² ²

^sin

²

⁽ ⁾

2

= ω − φ = ω − φ

= i R I t R I R t

P

_d _d

) sin( t

_d

m

ω

ε ε =

저항에서 발생되는 순간적인 일률:

평균 일률:

R I

I R

R I P

P

rms avg

2 2

2

2 2 1

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

2 I

_rms

= I

2 2

V

_rms

V

m

rms

= ε =

ε

^{교류의 전력소모는}_{I (V) 를 I}

rms(V_rms)로 대체하면 직류인 경우와 똑같이 계산된다.

φ ε

ε ε

2

cos

rms rms rms

rms rms

avg

I

Z I R

R Z I

R I

P ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

2

1 sin ( )

d

t 2

ω − φ =

cosφ : 전력인자 Æ1에 가까울수록

좋다.

(24)

31-11. 변압기 (Transformer)

cos : ( cos 1 : R )

avg rms rms

P = ε I φ ε = I φ = 회로에 만 있다고 가정

R I P

I P

avg avg

: = 2

=

소모량 열에너지

전송선에서의 ε

ε

를 높여 I 를 낮출수록 전력전송에 유리하다.

왜 변압기가 필요한가?

(25)

Transformers

• AC voltages can be stepped up(승압) or stepped down (승압) by the use of transformers.

1 2

(primary) (secondary)

• The AC current in the primary circuit (I_mag) creates a time-varying magnetic field in the iron

• The iron is used to maximize the mutual inductance.

We assume that the entire flux produced by each turn of the primary is trapped in the iron.

ε ∼

N N

iron

V

₂

V

₁

• This induces an emf on the secondary windings due to the mutual inductance of the two sets of coils.

(26)

Ideal Transformers ^{(no load)}

• The primary circuit is just an AC voltage source in series with an inductor. The change in flux

produced in each turn is given by:

1 1 1

1

N

V dt

d dt

N d

V =

^turn

⇒

^turn

=

= φ φ

ε

• Therefore,

• N₂ > N₁ ⇒ secondary V₂ is larger than primary V₁ : 승압변압기 (step-up)

• N₁ > N₂ ⇒ secondary V₂ is smaller than primary V₁ : 강압변압기(step-down)

• Note: “no load” means no current in secondary.

• The primary current (I_mag), termed “the magnetizing current” is small!

• The change in flux per turn in the secondary coil is the same as the change in flux per turn in the primary coil (ideal case). The induced voltage appearing across the secondary coil is given by:

1 1 2 2

2

V

N N dt

N d

V = φ

^turn

=

No resistance losses All flux contained in iron Nothing connected on secondary

ε ∼

N₂ N₁

iron

V₂ V₁

(27)

Ideal Transformer (with a load)

Power is dissipated only in the load resistor R.

2

2 2

dissipated 2 2 2

P I R V V I

= = R =

Where did this power come from?

It could come only from the voltage source in the primary:

generated 1 1

P = V I ∴ ^{V I}

^{1 1}

⁼ ^{V I}

^{2 2}

1 2

2 1

I V

I = V

²¹ ¹ ²

1 1

N

V N

V = N

=

• Changing flux produced by primary coil induces an emf in secondary. When we connect a

resistive load to secondary coil, emf in secondary Æ current I₂ in secondary

2 1

1 2

I

N I = N

ε ∼

N₂ N₁

iron

V₂

V₁ ^R

(28)

Ideal Transformer (with a load)

2

2 2

dissipated 2 2 2

P I R V V I

= = R =

generated 1 1

P = V I

₂

1

1 2

I

N I = N

ε ∼

N₂ N₁

iron

V₂

V₁ ^R

I

₁

은 상호유도를 일으켰던 I

_mag

와 다른 것인가?

1 1

1 2

1 2 2

1 2 1

2

V

N N I R

N I N

R N

V N R

I V ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⎟⎟ ⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

N R R

_eq

N

2

1 2

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

^{마치 저항 R}_eq 가 연결되 있는 것처럼 I₁ 와 V₁ 을 만든다.

(29)

31. Summary

LC 회로

LC

= 1 ω

L t R

C e

U Q

^⎟^⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

= 2

( ¹ ^/ )

²

⁽ ^/ ² ⁾

² 2

' = LC − R L

ω

임피던스(Impedance, 온저항):

1 1 2 2

2

V

N N dt

N d

V = φ

^turn

=

RLC 회로

Reactance

Transformer

LC 회로

31. 전자기 진동과 교류

(Electromagnetic oscillations and Alternating current )

LC 회로

Oscillating voltage and current

Æ What does ε

sin ω t ∼ mean?

C L

RLC 회로

지난 시간에 …

dt s d

d

E ⋅ = − Φ

= ∫

ε r r

dt d Φ

−

ε =

μ

2 1 Li U

=

2 μ u

= B

LC Circuits

• 다음과 같은 직렬 RC 회로, 직렬 LC 회로를 보자

• t =0 에서 capacitor에 전하 Q가 대전되어 있다.

• 두 회로간에는 전류의 시간적 변화에 정량적 차이가 있다.

왜??

• 에너지 관점에서 생각해보자

• RC 회로에서는, 흐르는 전류는 저항에서 열에너지를 야 기하며 점차로 줄어든다.

• LC 회로에서는, 에너지 소모가 없고; 에너지는 capacitor와 inductor에 모두 저장된다!

C R

C L

RC/LC Circuits

RC:

current decays exponentially

0 t

LC:

current oscillates

I

t

C R

C L

31-2. LC 진동의 정성적 분석

L C V=0

V

= q/C

V

= L di/dt

V

+V

= 0 V

= -V

∴

t

V

V

31-3. 전기와 역학의 비교

31-4. LC 진동의 정량적 분석

) sin(

) sin(

)

( = = − ω Q ω t + φ = − I ω t + φ dt

t dq i

LC

= 1

( ) cos( ) ω q t = Q ω φ t +

1 1

2 2

U q Li

= C +

LC 진동자 : 전기에너지와 자기에너지의 진동

) (

2 cos 2

)

(

=

ω + φ

= t

C Q C

Æ What does ^ε

ε ^r ^r

^ω ^' ⁼ ^ω

⁻ ⁽ ^R ^/ ² ^L ⁾

⁼ ( ¹ ^/ ^LC )

⁻ ⁽ ^R ^/ ² ^L ⁾