채권투자론

채권투자론

듀레이션과 컨벡시티

교재: 채권의 가치평가와 투자전략(윤평식 저, 탐진출판사, 2008년)

1. 채권가격위험과 듀레이션의 필요성

이자율 변동에 대한 채권가격의 민감도에 관한 정리

채권가격과 수익률은 부(-)의 관계를 갖는다.

수익률 상승에 의한 채권가격의 하락폭이 동일 크기의 수익률 하락에 의한 채권가격의 상승폭보다 작다.

이를 채권의 볼록성이라고 한다.

장기채권의 가격은 단기채권의 가격보다 이자율변동에 더 민감하다(A채권과 B채권 비교).

이자율위험은 채권의 액면이자율과 부(-)의 관계를 갖는다(B채권과 C채권 비교).

이자율 변동에 대한 채권가격의 민감도는 만기수익률과 부(-)의 관계를 갖는다(C채권과 D채권 비교).

가격위험의 크기에 영향을 미치는 만기, 액면이자율, 만기수익률을 하나의 숫자로 요약한 값이 듀레이션임

 듀레이션이 채권 가격위험의 적절한 측정치로 이용이 가능함.

2. 듀레이션의 계산, 정의 및 속성

2.1 듀레이션의 계산

듀레이션은 1938년 Fredric Mccaulay가 개발함

듀레이션은 현금흐름의 현재가치가 채권가격에서 차지하는 비중에 현금흐름의 발생시점을 곱해준 값들의 합임

듀레이션은 가중평균만기 또는 유효만기의 의미를 가짐 예시: 액면이자율 8%, 만기 3년, 수익률 10%인 경우 (1) 연1회 이자지급 가정하면 듀레이션은 2.78년임

0.07654*1 + 0.06957*2 + 0.85389*3 = 2.78

(2) 연 2회 이자지급 가정하면 듀레이션은 2.72년임

(3) 연 4회 이자지급 가정하면 듀레이션은 2.69년임

포트폴리오의 듀레이션은 개별 채권 듀레이션의 가중평균임(가중치로 시장가치를 이용함)

2.2 듀레이션의 정의

듀레이션의 네 가지 정의

①

②

즉, 듀레이션 기간 동안 채권을 보유하면 이자율의 변화가 재투자수익에 미치는 효과와 채권가격에 미치는 효과가 서로 상쇄되어 순효과가 0이 된다.

③

④

듀레이션의 세 번째 정의 듀레이션의 네 번째 정의

1. 무이표채의 듀레이션은 만기와 동일하다.

2. 포트폴리오의 듀레이션은 개별 채권 듀레이션의 가중평균이다(가중치로 시장가치 이용) 3. 이표채의 듀레이션은 항상 만기보다 작다.

4. 만기가 길수록 듀레이션은 증가한다(항상 성립하지는 않음) 5. 액면이자율이 낮을수록 듀레이션은 증가한다.

6. 수익률이 높을수록 듀레이션은 감소한다.

7. 이자지급횟수가 증가하면 듀레이션은 짧아진다.

8. 영구채권의 듀레이션은 1+(1/y)이다.

9. 액면이자가 지급되는 순간 듀레이션은 증가한다.

10. 만기일에 접근함에 따라 잔존만기가 감소하므로 듀레이션도 감소한다.

2.3 듀레이션의 속성

3. 듀레이션과 채권가격변화

채권가격의 변화율과 수익률 변화간에 다음 관계가 성립함:

y D dy

P dP

 



 1

0 0

채권가격의 변화율은 듀레이션, 현재의 수익률, 그리고 수익률 변화에 의해 결정됨 (식에서 마이너스(-) 부호는 수익률과 채권가격간의 부(-)의 관계를 의미함)

D/(1+y)를 수정듀레이션(modified duration: MD)으로 정의하면,

dy P MD

dP   

0 0

이 관계는 다음 세 가지 가정을 전제로 함:

- 수익률곡선은 수평이다.

- 수익률곡선은 항상 평행이동한다.

- 수익률의 변화는 크지 않다.

dy P

MD

dP

  

 에서 MD*P

가 금액듀레이션임:

금액듀레이션(dollar duration: DD)

금액듀레이션은 P

를 y에 대하여 미분한 후 절대값을 취하여 구할 수 있음

dy DD dP

  

dy P dP

MD

DD  



예시:

액면이자율 8%, 만기 3년, 채권가격 9,502.63원(수익률 10%), 듀레이션 2.78년 이 채권의 수정듀레이션과 금액듀레이션은 2.53과 24,012이다.

MD = 2.78 / 1.1 = 2.53 DD = 2.53*9,502.63 = 24,042

수익률이 10%에서 6%로 하락하면 채권가격은 960.63원 상승한다.

ΔP0 = -(2.78/1.1)*9,502.63*(-0.04) = 960.63

듀레이션을 이용한 가격상승이 960.63원이므로 새로운 가격은 10,463.26원으로 추정됨.

그러나 수익률 6%에서 실제 채권의 가격은 10,534.60원이다. 즉, 실제 가격변화는 1,031.97원임.

이처럼 오차가 큰 이유는 가격-수익률간의 관계가 볼록(convex)한데 가격변화를 선형으로 추정하기 때문임.

4. DV01

DV01(dollar value of an 01)은 수익률 1bp(basis point)의 변화에 대한 채권가격의 변화를 의미함 이는 PVBP(price value of basis point) 또는 BPV(basis point value)로도 불림

일반적으로 DV01은 가격변화의 절대값으로 표현됨.

DV01은 현재 수익률에서의 가격과 수익률이 1bp 변하는 경우의 가격과의 차이로 측정됨 표에서 확인할 수 있듯이, DV01이 크다고 해서 반드시 더 위험한 채권은 아님

(위험의 기준은 dP 보다 dP/P가 더 적절함)

5년/9%가 5년/6%보다 Dv01은 크지만 수정 듀레이션은 더 작음

위험측정치간의 관계

예시:

만기 4년, 액면이자율 7%, 원금 10,000원, 연1회 이자지급, 수익률 10%, 채권가격 9,049.04원, 금액듀레이션 29,640.11원

 수정듀레이션: 29,640.11 / 9,049.04 = 3.2755  듀레이션: 3.2755*1.1 = 3.6031

 DV01 = 29,640.11/10,000 = 2.964

5. 컨벡시티

5.1 컨벡시티의 필요성

가격-수익률 곡선은 볼록(convex)한데 이를 듀레이션을 이용하여 선형으로 추정하면 오차가 발생함.

수익률이 상승하는 경우, 듀레이션에 의해 추정된 가격하락은 실제 가격하락보다 큼  변화를 과대평가함 수익률이 하락하는 경우, 듀레이션에 의해 추정된 가격상승은 실제 가격상승보다 작음  변화를 과소평가함

과대평가 또는 과소평가의 오류를 수정하기 위해 기울기의 변화인 컨벡시티(convexity) 또는 볼록성을 반영해야 함.

5.2 컨벡시티의 계산

컨벡시티는 채권가격을 수익률에 대하여 2차 미분하여 구한 금액컨벡시티(dollar convexity)를 채권가격으로 나눈 값으로 식은 다음과 같음:

계산 예시:

만기 3년, 액면이자율 8%, 원금 10,000원, 연1회 이자지급, 수익률 10%

포트폴리오의 컨벡시티는 개별 채권 컨벡시티의 가중평균임(가중치로 시장가치를 이용함)

5.3 컨벡시티의 속성

수익률이 상승하면 금액듀레이션은 감소하는데 이를 양의 컨벡시티 또는 양의 볼록성이라고 함 양의 컨벡시티는 투자자에게 유리함

(즉, 가격이 상승할 때는 빠르게 상승하고 가격이 하락할 때는 천천히 하락함)

채권가격이 변할 때 투자자가 원하는 속도로 변함

수익률과 만기가 일정할 때, 액면이자율이 감소하면 컨벡시티는 커진다. 따라서 만기가 동일한 경우 무이표채의 컨벡시티가 가장 크다.

수의상환사채의 경우, 채권가격이 콜가격 이상으로 상승할 수 없으므로 수익률이 하락할 때 음(-)의 컨벡시티를 가질 수 있음.

상환요구사채의 경우 채권가격이 풋가격 이하로 하락하지 않으므로 수익률이 상승할 때 컨벡시티가 커지는 경향이 있음.

컨벡시티 프리미엄

컨벡시티가 큰 채권은 컨벡시티가 작은 채권에 비하여 상대적으로 높은 프리미엄이 형성됨 (프리미엄이 형성되므로 가격이 높다는 것을 의미하고 이는 상대적으로 수익률이 낮음을 의미함)

이유는 수익률이 상승하면 컨벡시티가 큰 채권의 가격은 컨벡시티가 작은 채권의 가격보다 덜 하락하지만, 반대로 수익률이 하락하면 더 많이 상승하기 때문임(아래 그림 참조).

컨벡시티 프리미엄은 수익률의 변동성이 클 때 증가함(반대로 수익률이 안정적이면 프리미엄은 감소함).

현금흐름이 넓게 퍼져있는 포트폴리오가 특정 만기에 집중된 포트폴리오보다 더 큰 컨벡시티를 가짐 (이유는 만기가 길수록 듀레이션은 증가하는데 컨벡시티는 듀레이션보다 더 빠르게 증가하기 때문임)

5.4 바벨포트폴리오, 뷸렛포트폴리오, 래더포트폴리오

다음 세 개을 채권을 이용하여 다음과 같이 뷸렛포트폴리오, 바벨포트폴리오, 래더포트폴리오를 구성함

(수정듀레이션은 6.434로 동일함)

컨벡시티가 크면 프리미엄으로 인해 수익률은 낮음 컨벡시티가 큰 순서는 “바벨, 래더, 불렛”임

Bullet portfolio

Barbell portfolio

Ladder portfolio