6장 일차원에서의 양자 역학
6.1 보른의 해석
6.2 자유 입자의 파동 함수
6.3 힘의 영향을 받는 파동 함수 6.4 상자 안의 입자
6.5 유한 사각 우물 6.6 양자 진동자 6.7 기댓값
6.8 관측 가능량과 연산자
6.1 보른의 해석
파동함수 Ψ
• 입자에 대해서 알 수 있는 모든 정보를 포함하고 있다.
우리의 목적
• 파동 함수로부터 이러한 정보를 어떻게 뽑아내느냐 하는 것이다
• 주어진 계에 대한 파동 함수를 어떻게 구해내는가?
보른의 해석
• 입자가 지점 x 부근의 미소 구간 dx에 있을 확률
• 입자의 위치가 확실히 어디에 있는지는 알 수 없고,
• 단지 어떤 특정 지점에서 관측될 확률만을 줄 수 있다
• 물질파의 세기 | | ∗ : 측정할 수 있는 양
• 파동함수 Ψ : 측정할 수 있는 양이 아니다
( ) ( , ) 2
P x dx x t dx
규격화
입자는 x축 어디엔가는 있어야 하므로, 모든 x의 모든 값에 대하여 확률을 더해 주면 그 합은 반드시 1이어야 한다.
• 위의 조건을 만족하는 파동함수를 규격화되었다고 한다
어떤 유한 구간 에서 입자를 발견할 확률 ( , ) x t
2dx 1
( , )
2 bP
a x t dx
예제 6.1,2 파동함수의 규격화
규격화
/ 0
( ,0) x Ce
x x
0
C 1
x
0 0
0 0
2
2| |/
2 0 2
0
( ,0)
2 (1 ) 0.8647
2
x x
x x x
P x dx
C x e e
0
0
0
2 2 2| |/
2| |/
2 0
2| |/
2 0 2
0 0
1 ( ,0) 2
2 2
x x
x x
x x
x dx C e dx
C e dx
C x e C x
양자역학의 근본적인 문제
양자 역학의 근본적인 문제
• 어떤 처음 순간 (t = 0)의 파동함수가 주어졌을 때
그 이후 임의의 시간 t 에서의 파동함수를 찾는 것이다
• 파동함수 Ψ(x, 0)는 지정해 주어야만 하는 초기 정보이다.
• 이 파동은 잘 알려진 자연의 법칙에 따라 퍼져나간다.
양자역학
• 주어진 계가 어떻게 변해 나가는지를 기술한다
• 동역학적 이론이다
• 초기조건 Ψ(x, 0)
• 입자에 작용하는 힘을 알고 있을 때,
이 상태가 시간에 따라 어떻게 변해 나가는 가를 기술한다
• 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 Ψ(x, t)를 계산한다.
6.2 자유 입자의 파동 함수
자유입자 – 힘을 받지 않은 상태에서 운동하는 입자
자유입자의 물질파
• 비상대론적 입자에 대해
• mc2을 에너지의 기준으로 잡으면 k p
E
2
2 2
2
E K mc p mc
m
2
2 E p
m ( )2 2
k
m
2
( ) 2 k k
m
자유 입자의 파동 함수
파동함수
확률밀도
• 어디서나 일정하다
• 이 입자를 x 축 위의 어떤 구간에서 발견될 확률은
다른 어떤 같은 길이의 구간에서 발견될 확률과 같으며,
• 시간에 따라 변하지 않는다
• 자유 입자가 발견되는 특별한 위치가 있는 것이 아니다
( )
( , )
(cos( ) sin( ))
i kx t
x t Ae
A kx t i kx t
2 2
| ( , ) | x t A
파동 묶음
파동묶음
• 서로 다른 파수를 가진 평면파들의 합
• a(k) : 파수 k를 갖는 평면파의 진폭
• 묶음을 이루고 있는 각각의 평면파가 서로에 상관없이 전파한다면
• Ψ , 0 는 진폭 를 정하는 데만 사용된다
• 구성하고 있는 각각의 파들이 서로 다른 속도 / 로 이동
• 파동묶음에 분산이 생기고
• 묶음은 전파되어감에 따라 그 모양이 변해간다
• 파동묶움이 전체적으로 전파하는 속력
• 묶음을 형성하는 평면파의 군속도 / 로 주어진다.
( ,0)x a k e dk( ) ikx
( ( ) )
( , )x t a k e( ) i kx k t dk
불확정성 원리
파동묶음 (위치가 알려진 입자)를 구성하기 위해서는
여러 가지 파수 (여러 가지 운동량) 를 갖는 평면파들이 필요
진폭
• 파동 묶음의 스텍트럼 내용물(spectral content)이라는 것을 제공
• Ψ(x,0)가 좁을 수록 그 묶음을 나타내는 의 분포는 넓어진다
x k 1
x p
예제 6.3 파동 묶음의 구성
초기 파동함수 ( ) C
2ka k e
( ,0) ( ) ikx C ikx 2 2k
x a k e dk e dk
2 2
2 2 2
2 2
2 4
ix x
ikx k k
2 2 z k ix
2/4 2 2 2 ( /2 )2
( ,0) C x z x x e e dz Ce
x 1
k 2
12
x k
가우스 함수
6.3 힘의 영향을 받는 파동 함수
슈뢰딩거의 방정식
• U(x) 는 주어진 힘 F 에 대한 퍼텐셜 에너지
• 슈뢰딩거 방정식은 그 자체가 양자물리학의 법칙
슈뢰딩거 방정식은 처음의 파동을 시간에 따라 전파시킨다
• Ψ , 0 가 주어졌을 때, 이 식을 슈뢰딩거 방정식에 대입하면, 좌변은 0일 때 Ψ/ 를 구할 수 있다.
• 일 때 Ψ , 를 계산할 수 있다.
• 이러한 반복적인 계산은 컴퓨터에 적합하다.
2 2
2
( ) ( ) 2 U x x i
m x t
F dU
dx
0
( , )x t ( ,0)x t
t
변수분리
변수분리
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식
• ψ(x) : well-behaved function
• 어느 점에서나 유한
• 단일값을 가진다
• 연속 함수
( , ) x t ( ) ( ) x t
2 ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( )
x t
U x i
m x t
( ) ( ) d t
i E t
dt
( ) t e
iEt/ e
i t2 2
2
( ) ( ) ( ) 2
d U x x E x
m dx
자유입자
F = 0이므로 U(x) = 0으로 놓을 수 있다
자유입자의 경우 U(x) = 0이므로 E가 전체 에너지이다
2
2 2
2 ( )
d mE
dx x
( ) x e
ikx
2 2 2
2 2
p k
E m m
정상상태
분리 가능형의 슈뢰딩거 방정식의 해
• | | 1이므로
• 모든 확률이 시간에 무관하다
분리 가능형의 해를 정상상태 (stationary state) 라고 부른다
정상상태의 경우
• 모든 확률은 정지해 있으므로
• 시간에 무관한 파동함수 ψ(x)로 부터 계산한다.
2 2
| ( , ) | | ( ) | x t x
6.4 상자 안의 입자
x = 0과 x = L인 지점 사이에서만 움직이고 있는 입자
무한 사각 우물로 근사할 수 있다
• x < 0 또는 x > L인 경우
• U = ∞이므로 ψ(x) = 0
• 0 < x < L 인 경우
• U = 0이므로 슈뢰딩거 방정식
2
2 2
d k
dx
2 2mE2 k
0
( ) 0 0
x
U x x L
x L
상자 안에서의 상태
일반적인 해
경계 조건
허용된 가장 낮은 에너지 – 영점 에너지
파동함수
• 규격화
( )x Asinkx Bcoskx
(0) B 0
( )L AsinkL 0 kL n
2 2 2 2
2
2 , 1, 2,3,
2 2
n
E k n n
m mL
2 2
1 2 2
E mL
바닥 상태
( ) sin n x 2 sin n x
x A
L L L
2 2 2 2
1 | ( ) | 0 sin
2
L n x L
x dx A dx A
L
A L2일차원 상자의 파동함수
파동함수 확률분포
예제 6.7 상자 안에 있는 입자
입자가 바닥 상태에서 x = L/4와 x = 3L/4 사이의 구간에 존재할 확률은 ?
• 바닥상태에서 n = 1이므로
연습문제 2
3 /4 2 3 /4 2
1 /4 1 /4
2 1 1
sin 2
L L
L L
P dx x dx
L L
3 /4 2 3 /4 2
/4 /4
2 1 1
sin 2
L L
n L n L
P dx n x dx
L L n
1 1 1
lim lim
2 2
n n n
P P
n
6.5 유한 사각 우물
E > U인 경우 입자는 자유입자처럼 행동
E < U인 경우
• 영역 I과 III에서
• 영역 III에서
0 region I ( ) 0 0 region II
region III U x
U x x L
U x L
2
2
2 ( )
d x
dx 2 2 (m U2 E)
( ) x 0
I x Ae x
( ) x
III x Be x L
2
2
2 ( )
d k x
dx
2 2mE2 k
( ) sin cos 0
II x C kx D kx x L
유한 상자의 파동함수
파동함수 확률분포
투과 깊이
파동함수는 투과 깊이 δ 정도의 길이만큼 우물 외부로 침투
• 우물 거리 끝으로부터 거리 δ인 곳에서 파동의 진폭은 우물 끝에서의 값보다 1/e 만큼 줄어들고 외부 영역에서는 지수함수적으로 영에 접근
• 외부 파동은 퍼텐셜 우물의 양쪽으로부터 거리 δ보다 멀리 떨어진 곳에서는 사실상 영이다
• 허용에너지는 길이 L + 2δ인 무한 에너지 우물로 근사할 수 있다
• 이 근사는 낮은 에너지 준위에서는 잘 성립하지만
• E가 U에 접근하면 사용할 수 없다.
1
2 (m U E)
2 2 2
2 1, 2,3, 2 ( 2 )
n
E n n
m L
예제 6.9 유한 우물 에너지
유한 사각 우물의 경우 내부와 외부의 파동 함수에 접합 조건
을 적용하여 에너지 양자화가 어떻게 얻어지는지를 보여라
일반적인 퍼텐셜 함수
용수철 힘 F = – kx
• 대응하는 퍼텐셜에너지
• 안정된 평형점에서 조금 벗어난 어떤 물체도 같은 수학적 표현으로 기술될 수 있다
일반적인 퍼텐셜 함수
• a, b, c / 이므로 평형점
• a, c : 안정 평형점
• b : 불안정 평형점
• 안정된 평형점에서는 U(x)의 곡률이 양 이고 2 / 2 0
• 불안정된 평형점에서는 U(x)의 곡률이 양 이고 2 / 2 0
1 2
( ) 2
U x kx
1 2
( ) ( ) 2 ( ) U x U a k x a
고전적인 진동자
질량 m을 가진 고전적인 진동자
• 각진동수
• 전체에너지
• 퍼텐셜에너지
슈뢰딩거 방정식
/
k m
1 2
E 2 kA
2 2 2
1 1
2 2
U kx m x
2
2
( ) ( ) ( ) 2
d U x x E x
m dx
2
2 2
2 2
2 1 2 ( )
d m
m x E x
dx
바닥상태의 파동함수
바닥상태의 파동함수
• ψ는 퍼텐셜우물의 중앙점인 x = 0에서 중심으로 대칭이어야 한다
• ψ는 마디가 없어야 하고, x가 커짐에 따라 영으로 접근해야 한다
• 시도함수 가우수 함수 ( )x C e0 x2
2
2 0 x
d xC e
dx
2 2
2
2 2 2 2
0 0
2 2 x 4 x (4 2 ) ( )
d C e x C e x x
dx
2
2 2
2 2
2 1
2 ( )
d m
m x E x
dx
2 1 2
2 2
4 2m
m
2
m
2
2mE 2 m
12
E
예제 6.10 파동 함수의 규격화
진동자 바닥 상태의 파동함수
규격화
2/2
( ) x C e
0 m x
2 2 2/ 2
0
( ) x dx C
0e
m xdx C
01 m
1/4 0
C m
2/2( ) x
me
m x
x2
e dx
a
문제 32 양자 진동자
양자 진동자의 바닥상태에 대해서 , , 그리고 ∆ 를 구하라 1
4
예제 6.12 허용영역 밖의 확률
허용 영역 밖에서 바닥 상태에 있는 양자 진동자의 확률
2
2 2
0 0
1/2
/ 2 /
2
A
A
m x x A
A A
P dx dx
m A
e dx e dx
A
m
m x
z x
A
dz dx
A
2
1
2 z erfc(1) 0.157
P e dz
첫 번째 들뜬 상태의 파동함수
첫 번째 들뜬 상태의 파동함수
• ψ는 퍼텐셜우물의 중앙점인 x = 0에서 반대칭이어야 한다
• ψ는 정확히 한 개의 마디를 가져야 한다
• 시도함수 ( )x C xe1 x2
2 2 2
1 x 2 1 x
d C e C x e
dx
2 2 2
2
2 3 2 2
1 1 1
2 2 x 4 x 4 x (4 6 ) ( )
d C xe C xe C x e x x
dx
2
2 2
2 2
2 1
2 ( )
d m
m x E x
dx
2 1 2
2 2
4 2m
m
2
m
2
2mE 6 m
32
E
조화 진동자의 일반해
일반적인 해
• Hn : Hermite polynomial function
에너지 준위
2/2
( ) ( )
xn
x H x e
n
1
n
2
E n
E
조화진동자의 확률밀도
6.7 기대값
x
1에 N
1개 , x
2에 N
2개가 위치하는 등 x축을 따라서 분포되어 있는 동일한 입자들의 평균 위치
P
x: 무한소 dx 내에서 입자를 발견할 확률
x 의 평균값 <x> : 단일 입자의 위치에 대한 기대값
임의의 함수 f (x)에 대한 기대값
1 1 2 2
1 2 i
i i i
i i x
i
x N N
N x N x
x x x P
N N N N
N
Ni( ) | ( ) |
2 xiP P x dx x dx ( )
2x
x x dx
( ) ( )
2f
f x x dx
표준편차
표준편차 σ
• σ = 0이면 모든 자료값은 똑같고 평균값과 같다
양자역학에서는 이 표준편차를 Δx로 표시
• 위치의 불확정도
• 입자의 위치가 흐릿한 정도는 Δx의 크기로 주어진다.
• Δx = 0일 경우에만 위치는 선명해진다.
2 2
x x x
2 2
2
2 2 2 2
( ) ( ) 1
2 ( )
( ) 2 ( ) ( ) ( )
i i i
x x x x
x x
N N N N
x x x x x x
예제 6.15 상자 안에 있는 입자
파동함수
• 바닥상태 n = 1
( )x 2L sin n xL
2 2 2
0L sin
L L
x x dx x x dx
L x
d L dx
2 2
2 2
0 sin 0 0 cos 2
L L
x
d
d
d
2
2 1
2 2sin 2 0 2 0 cos 2
2
L L
d
2 3
2 2 2 2 2
0 0 cos 2 x x dx L d d
2
2 2 1 1
12 2 0.181
x x x L L
3 3
2 2
3 3
2 2
3 0 sin 2 3 2 cos 2 0 2
3 2
L L L L
d
입자의 운동량
만약 운동량이 x의 함수인 p(x)로 주어진다면 계산할 수 있다
고전역학
• 입자가 이동한 고전적인 경로함수 x(t)로 부터 v(t) = dx(t)/dt
• x(t)의 관계식에서 t에 관한 x의 식을 구해 v(t)에 대입하여 v(x)를 구한다
•
양자역학
• x 와 t 가 서로 의존하지 않는 변수이다
• 경로라는 것이 없다
• p와 x를 연결하는 함수도 없다
• 만약 있다면 p는 x로 부터 p(x)를 구할 수 있다.
• p와 x를 정확하게 알 수 있다
• 불확정성 원리에 어긋난다 ( ) ( )
p x mv x
입자의 평균 운동량
입자의 평균 운동량
• 거시적인 물체는 위치와 운동량의 양자역학적인 불확정도가 매우 작다
• <x> : 물체의 위치
• <p> : 물체의 운동량
자유입자의 파동함수 p m d x
dt 고전적인 운동량
( )
( )
( , ) x t e
i kxte
i px Et
( )
i px Et
i i
pe p
x
p i x
*
h
p dx
i x
6.8 관측 가능량과 연산자
관측가능량
• 입자의 성질 중 관측할 수 있는 물리량
• 입자의 위치
• 운동량,
• 운동에너지
• 퍼텐셜 에너지
• 양자역학에서는 각 관측 가능량마다 연산자를 하나씩 대응시킨다
• 이 연산자를 사용하여 대응되는 관측 가능량의 평균값을 계산할 수 있다
연산자
• 그 뒤에 붙어있는 함수(피연산 함수)를 연산하는 것을 의미한다.
기대값
기대값
• Q : 측정 가능량
• [Q] : 이에 대응하는 연산자
• [Q]의 피연산 함수는 언제나 Ψ가 되어야 한다.
위치 [x] = x
운동량
*
[ ]
Q
Q dx
*
[ ]
*x
x dx
x dx
[ ] p
i x
*
[ ]
*p p dx dx
i x
해밀토니안 H
퍼텐셜 에너지
운동에너지
해밀토니안
[ ] U U x ([ ]) U x ( )
*
[ ]
*U
U dx
U dx
2 2 2
2
([ ])
[ ] 2 2 K p
m m x
2 2
* *
[ ]
2K K dx 2 dx
m x
2 2
[ ]
2( )
H 2 U x
m x
2 2
* *
[ ]
2( )
H H dx 2 U x dx
m x
입자의 평균적인 전체에너지
입자의 평균적인 전체에너지 E = K + U
• [H] : 공간 좌표 x 만을 포함하는 연산자
• [E] : 시간 t 에만 의존하는 연산자
• [H]와 [E]는 서로 다른 연산자이지만, 슈뢰딩거 방정식의 해에 적용되었을 때 같은 결과를 가져올 따름이다
2 2
*
2
* *
2 ( )
[ ]
E K U U x dx
m x
ih dx E dx
t
2 2
2 ( )
2 U x i
m x t
[ ] E i
t
2 2
[ ]
2( )
H 2 U x
m x
관측 가능량과 대응하는 연산자
관측 가능량 기호 대응 연산자
위치 x x
운동량 p
퍼텐셜 에너지 U U(x)
운동 에너지 K
해밀토니안 H
전체 에너지 E
i x
2
2m x2
2
2 ( )
2 U x m x
i t
