초등 수학 내용 전문성 향상 과정 (초5~6학년군)
- 수의 연산 영역 내용과 배경지식 탐구 (3) -
약분과 통분
이분모 분수의 덧셈과 뺄셈
1
약분과 통분목차
1. 약분과 통분 관련한 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 2. 약분의 개념과 지도방법
3. 통분의 개념과 지도방법
1. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기(약분과 통분)
2015 개정 수학과 교육과정 5-6학년군 약분과 통분 관련한 성취기준을 살펴보면 다음과 같다.
2015 개정 수학과 교육과정
성취기준
[6수01-05] 분수의 성질을 이용하여 크기가 같은 분수를 만들 수 있다.
[6수01-06] 분수를 약분, 통분할 수 있다.
[6수01-07] 분모가 다른 분수의 크기를 비교할 수 있다.
[6수01-12] 분수와 소수의 관계를 이해하고 크기를 비교할 수 있다.
교수‧학습 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
· 분모가 다른 분수의 크기 비교에서 수 감각을 이용하여 추론하고 토론하는 활 동을 하게 한다.
· 수와 연산 영역의 문제 상황에서 문제 해결 전략 비교하기, 주어진 문제에서 필요 없는 정보나 부족한 정보 찾기, 조건을 바꾸어 새로운 문제 만들기, 문제 해결 과정의 타당성 검토하기 등을 통하여 문제 해결 능력을 기르게 한다.
평가 방법 및 유의사항으로는 분수의 통분을 이용한 문제에서 공통분모로 최소공배수뿐만 아니라 분모의 곱과 같은 공배수도 이용할 수 있게 한다.
단원학습의 계열은 다음과 같다.
2. 약분의 개념과 지도방법 가. 분수의 성질
약분은 크기가 같은 분수를 만드는 과정에서 자연스럽게 나온 개념이다. 따라서 약분의 개념을 이해하기 위해 다음과 같은 분수의 성질을 이용하여 동치분수(크기가 같은 분수)를 만드는 방법을 먼저 이해할 수 있어야 한다.
첫째, 분모와 분자에 0이 아닌 같은 수를 곱하여도 분수의 크기는 같다.
둘째, 분모와 분자를 0이 아닌 같은 수로 나누어도 분수의 크기는 같다.
이러한 분수의 성질을 학생들이 쉽게 이해할 수 있도록 다양한 발문과 활동을 구체물, 그 림과 함께 제시함으로써 학생들이 직관적으로 동치분수를 받아들일 수 있도록 해야 한다.
나. 동치분수 만들기
[분수의 성질을 이용한 동치분수 만들기]
의 분모와 분자에 같은 수인 2를 곱하여 나온 분수
는 처음
와 크기가 같다. 이를
수식으로 표현하면
= ×
×
=
이다. 이는 다음 그림과 같이 띠 모델을 이용하여 시각적
으로 확인할 수 있다.
[재귀적 분할을 이용한 동치분수 만들기]
를 먼저 표현하고 각각의
을 다시 2등분하여
를 만드는 방법을 생각해 볼 수 있
다. 이때
라는 하나의 대상을 다시 재분할하여 나타낸 것이므로
로 표현하여도 그 양은
변하지 않는다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 재귀적 분할은 스테프(Steffe)가 제시한 용어로 부분의 크기를 전체를 기준으로 해석하기 위해 각 부분을 다시 부분으로 분할하는 과정으 로, 다음과 같이 통분에 있어서 단위를 중심으로 해석하는 것과 일맥상통한다.
한편 동치분수를 만들 때에는 다음과 같은 3가지 수준의 단위가 나타난다.
단위의
구조 통분할 때
=
을 나타내는 과정
단위 1
단위의
단위
이 3개인 1
단위의 단위의 단위
이 4개인
이 3개인 1
첫 번째 수준의 단위는 1이다. 분수량을 나타내기 위해 먼저 그 양이 가리키는 대상의 단 위(전체단위)가 필요한데 그 값이 1인 것이다.
는 전체 단위(1)를 등분할하여 표현한 것으
로 이때 단위의 구조는 단위의 단위(
이 3개인 1)로 복잡해진다. 여기서
은 두 번째 수
준의 단위가 되는 것이다. 그런 다음 분모가 12인 분수로 통분하는 과정에서는 단위의 단위 의 단위(
이 4개인
이 3개인 1)가 되고, 세 번째 수준의 단위는
이 되는 셈이다.
다. 약분의 개념
교과서에 제시된 약분의 개념은 다음과 같다.
라. 약분의 지도방법
1) 색 띠에서 크기가 같은 분수를 살펴보고 약분 알아보기
,
,
에 해당되는 색 띠를 비교하면서 크기가 같은 분수를 확인한다. 이때 색 띠의
길이가 같으므로 해당 분수가 같은 크기의 분수임을 파악하게 한다.
전 차시 학습 내용 중 크기가 같은 분수를 만들기 위해 0이 아닌 수로 분모와 분자를 나 눈 상황을 상기시키고, 이 때 분모와 분자를 나눈 수가 분모와 분자의 공약수임을 확인한다.
2) 약분한 분수 중에서 기약분수 알아보기
기약분수란 분모와 분자의 공약수가 1뿐인 분수를 말한다. 어떤 수를 1로 나누면 항상 어 떤 수 자신이 됨로 1도 공약수가 됨을 안내한다.
3) 기약분수 찾아보기
기약분수는 크기가 같은 분수 중 가장 간단한 형태이므로 편리하지만 가끔 계산의 편리 등을 이유로 약분하지 않고 분수를 그대로 사용하는 경우도 많다. 학생들에게 기약분수로 답하기를 요구하는 경우에는 문제에 그러한 요구를 분명히 밝혀주는 것이 좋다. 모든 답을 기약분수로 답해야 한다는 생각은 유연하고 융통성 있는 수학적 사고를 위하여 바람직한 일 이 아니다.
3. 통분의 개념과 지도방법 가. 통분의 개념
교과서에 제시된 통분 및 공통분모의 개념은 아래와 같다.
나. 통분의 지도방법 1) 통분의 필요성 알아보기
교과서에 제시된 그림을 보고 직관적으로 크기 비교가 가능한지 이야기를 나누고, 그림만 으로 크기 비교가 어렵다는 사실을 인지하여 주어진 분수의 크기를 어떻게 비교할 것인지 알아본다.
2) 분모를 같게 만들어 보기
막대모델 그림을 이용하여 두 분모의 공통분모를 찾기위해 최소공배수의 개념을 이용한 다. 분모가 다를 경우 분모를 같게 만들어야 분수의 크기 비교가 가능하다는 것을 알게 한 다.
3) 통분하는 방법 알아보기
두 분모의 곱을 공통분모로 통분하는 방법과 두 분모의 최소공배수를 공통분모로 통분하 는 방법을 알려 주고, 두 가지 모두 통분하는 방법이라는 것을 알게 한다. 두 가지 방법 중 자신이 편한 방법을 사용하게 한다.
동치분수를 만드는 방법은 통분을 위해 필수적이다. 그리고 통분이 분모가 다른 분수의 크기 비교를 위해 필요하다고 할 때, 이는 서로 다른 단위를 공통분모를 이용해서 같은 단
위로 맞춰 주는 과정이라고 할 수 있다. 이를테면,
와
의 크기 비교에서
는
단위가
2개 있는 수이고,
은
단위가 3개 있는 수이다.
분수의 크기를 비교하기 위해 서로 다른 단위를 같은 단위로 맞춰야 하는 필요성이 제기 되며 공통분모 12를 이용하면
=
,
=
가 된다. 이제
=
은
단위가 8개인
수이고,
=
는
단위가 9개인 수가 되어 자연스럽게 크기 비교가 가능해진다.
다. 분모, 분자에 왜 0을 곱하면 안 되나요 (교육부, 2015).
동치분수를 만드는 과정에서 “왜 0을 곱하면 안 되나요?” 또는 “왜 0으로 나누면 안 되나 요?”와 같은 질문이 나올 수 있다. 0으로 나눈다는 것은 정의하지 않고, 학생들은 3학년 나 눗셈에서 0으로 나누면 안 된다는 것을 이미 경험하였다. 그러면 0을 곱하는 것은 왜 안 되 는지 다음과 같이 생각해 볼 수 있다.
먼저 각각의 분수에서 분모와 분자에 0을 곱했을 때 어떻게 되는지 생각해 보도록 한다.
= ×
×
=
= ×
×
=
= ×
×
=
따라서
=
=
이 되는 모순이 생기게 됨을 학생들이 경험할 수 있을 것이다. 그러나
수학적으로
이라는 분수가 정의되지 않는다는 점이 더 중요하며, 분수에서는 분모는 0이
될 수 없다는 점을 알려 주어야 한다.
2
이분모 분수의 덧셈과 뺄셈목차
1. 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈 관련한 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 2. 이분모 분수의 덧셈과 지도방법
3. 이분모 분수의 뺄셈과 지도방법
1. 2015 개정 수학과 교육과정 성취기준 살펴보기(이분모 분수의 덧셈과 뺄샘)
2015 개정 수학과 교육과정 5-6학년군 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈 관련한 성취기준을 살 펴보면 다음과 같다.
2015 개정 수학과 교육과정
성취기준 [6수01-08] 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈의 계산 원리를 이해하 고 그 계산을 할 수 있다.
교수‧학습 방법 및 유의사항으로는 다음과 같다.
· 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있는 다양한 방법을 학생들이 직접 생각해 보게 하고 자신이 효율적이라고 생각하는 방법을 친구들과 이야기를 나누어 보 는 활동을 통해 서로 공유하도록 한다. 이러한 과정을 통해 자신의 생각을 점검 하고, 다른 사람의 방법을 자신의 방법과 비교할 수 있는 기회를 가지게 한다.
· 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈에 관한 문제를 해결할 때 공통분모를 두 분모의 최 소공배수로 하지 않더라도 자신만의 방법을 수학적으로 타당하게 설명할 수 있 으면 인정해 주도록 한다.
평가 방법 및 유의사항으로는 첫째, 분수의 사칙계산에서 기약분수로 나타낼 것을 요구하 지 않을 경우, 계산 결과를 기약분수가 아닌 분수로 나타내는 것도 허용한다. 둘째, 분수 의 통분을 이용한 문제에서 공통분모로 최소공배수뿐만 아니라 분모의 곱과 같은 공배수 도 이용할 수 있게 한다.
단원학습의 계열은 다음과 같다.
2. 분수의 덧셈 뺄셈을 위한 배경지식
가. 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈에서 어림의 중요성
이분모 분수의 덧셈과 뺄셈의 이해에서 가장 중요한 것은 동치분수에 대한 확고한 이해이 다. 동분모 분수의 덧셈과 뺄셈은 자연수 연산의 의미를 확장하여 문제를 해결하는 데 크게 어려움이 없으나 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈의 경우에는 기준이 되는 단위가 달라지므로 분 수 연산에 대한 양감 및 수 감각의 이해가 선행되지 않으면 자연수 연산의 확장만으로는 분
수 연산의 이해에 어려움을 겪게 된다. 학생이
과 같은 기준점을 사용하여 답을 어림할
줄 알게 되면, 분수 연산에 대해 더 잘 이해하게 된다(Reys, Lindquist, Lambdin & Smith, 2012). 예를 들어
+
에 대한 결괏값을 실제로 계산하기 전에, 계산 결과가 6보다는
크다는 것을 알 수 있어야 하며, 더 나아가 7보다 클 것이라는 것도 어림할 수 있어야 한다.
이때 학생들에게 필요한 양감은
가
보다는 크다는 것과
도
보다는 크다는 것,
보다 큰 두 수인
와
을 더하면 1보다 큰 수가 될 것이라는 감각이다.
나. 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈에서의 단위 추론과 재귀적 분할의 중요성
이분모 분수의 덧셈과 뺄셈에서는 [표 1]과 같이 세 가지 수준의 단위가 나타난다
단위의 구조 통분할 때
=
을 나타내는 과정
단위 1
단위의 단위
이 3개인 1
단위의 단위의 단위
이 4개인
이 3개인 1 [표 1] 단위의 구조
이지영, 방정숙(2016)은 이러한 세 가지 수준의 단위 구조와 관련하여 이분모 분수의 덧 셈과 뺄셈의 핵심 아이디어를 다음의 3가지로 정리하였다.
첫째, 덧셈 및 뺄셈은 곱셈 및 나눗셈과 다르게 연산에 관여하는 세 가지 양(예를 들어, 덧셈에서는 피가수, 가수, 합)이 가리키는 대상의 단위가 모두 같다.
둘째, 이분모 분수의 덧셈 및 뺄셈에서 결과를 하나의 양으로 표현하기 위해서는 새로운 단위가 필요하다.
셋째, 재귀적 분할 과정을 거쳐 세 번째 수준의 단위를 찾을 수 있고 이는 이분모 분수의 덧셈과 뺄셈 알고리즘과 연결된다.
재귀적 분할(recursive partitioning)은 스테프(Steffe)가 제시한 용어로 부분의 크기를 전체 를 기준으로 해석하기 위해 각 부분을 다시 부분으로 분할하는 과정이다. 이 방법의 장점은 하나의 양을
면서
로도 표현할 수 있다는 것이다.
이러한 과정을 통해 학생들은 세 가지 수준의 단위를 이해하고 이를 융통적으로 사용하는 경험을 할 수 있다(Izsak et al., 2008). 또한 이 방법은 ×
×
가 분모에 2배 하고 분자에 2 배를 하여 전체 단위가 2배가 되고 부분의 크기도 2배가 되는 상황이 아니라 분할하고 또 다시 분할하는 과정이라는 것이 잘 나타난다.
3. 이분모 분수의 덧셈과 지도방법
분모가 다른 두 분수의 덧셈은 단위의 크기가 다르기 때문에 직접 계산할 수 없다. 따라 서, 단위를 같게 만들어야 뎃셈이 가능하다는 것을 알게 한다. 이분모 분수의 덧셈 지도방법
은 일반적으로 아래 순서에 따라 지도한다.
가. 받아올림이 없는 분모가 다른 진분수의 덧셈
슬기와 지혜가 가지고 있는 우유의 양을 알아본 뒤 친구가 가진 우유의 양을 합하는 상황을 알아본다.
컵이 반 컵이라는 기준을 학생들이 찾을 수 있도록 유도하고 정확한 계산을 요구하기보
다는 한 컵이 넘거나 넘지 않는 등 어림을 할 수 있는 기회를 제공하여 분수 연산에서의 수 감각을 기를 수 있도록 하는 데 초점을 둔다.
나. 받아올림이 있는 분모가 다른 진분수의 덧셈
슬기와 지혜가 가지고 있는 검은깨의 양을 알아본 뒤 두 친구가 가진 검은깨의 양을 합하는 상황을 알아본다.
한 컵을 기준으로
과
글 합한 양이 한 컵이 넘을지 아니면 한 컵에서 부족하게 될지
어림하게 한다.
계산 결과를 쓸 때 기약분수로 나타낼 수 있음을 이해하도록 지도할 필요가 있다.
다. 받아올림이 있는 분모가 다른 대분수의 덧셈
슬기와 지혜가 가지고 있는 쌀가루의 양을 알아본 뒤 두 친구가 가진 쌀가루의 양을 합하는 상황을 알아본다.
대분수에서 자연수 부분끼리 먼저 더하여 생각하는 것을 자연스럽게 유도한다.
각 방법의 장점과 단점을 정해진 답을 유도하지 않고 자신의 생각을 자유롭게 이야기할 수 있도록 허용적인 분위기를 조성한다.
받아올림이 있는 분모가 다른 대분수 덧셈의 두 가지 방법 중 자신이 선택한 방법으로 문제 를 해결하도록 지도한다. 이때 두 가지 방법 모두를 다 사용해 보도록 할 필요는 없으나 자 신과 다른 방법으로 문제를 해결한 친구들의 풀이 과정과 비교해 보는 활동을 할 수 있다.
4. 이분모 분수의 뺄셈과 지도방법
분모가 다른 두 분수의 뺄셈 역시 단위의 크기가 다르기 때문에 직접 계산할 수 없다. 따 라서, 단위를 같게 만들어야 뺄셈이 가능하다는 것을 알게 한다. 이분모 분수의 뺄셈 지도 방법은 일반적으로 아래 순서에 따라 지도한다.
가. 받아내림이 없는 분모가 다른 진분수의 뺄셈
슬기가 가지고 있는 설탕과 쌀과자를 만들고 남은 설탕의 양을 어림하여 계산한다.
컵이 반 컵이라는 기준을 학생들이 찾을 수 있도록 유도하고 정확한 계산을 요구하기보
다는 반 컵이 넘거나 넘지 않는 등 어림을 할 수 있는 기회를 제공하여 분수 연산에서의 수 감각을 기를 수 있도록 하는 데 초점을 둔다.
나. 받아내림이 있는 분모가 다른 진분수의 뺄셈
원래 있던 쌀음료에서 일부 쌀음료를 마셨을 때 남은 쌀음료의 양을 어림하여 계산해 본다.
쌀음료
L에서
L를 마시므로
L보다 적은
L에서
L를 뺀 양이
L가 넘을지, 아
니면
L에서 부족하게 될지 어림해 보도록 한다.
각 방법의 장점과 단점은 정해진 답을 유도하지 않고 자신의 생각을 자유롭게 이야기할 수
있도록 자유로운 분위기를 만든다.
다. 받아내림이 있는 분모가 다른 대분수의 뺄셈
쌀과자를 포자하는 데 지혜가 사용한 리본의 길이와 슬기가 사용한 리본의 길이 차를 어림 하여 계산해 본다.
대분수에서 자연수 부분끼리 먼저 빼서 생각하는 것을 자연스럽게 유도한다.
을
로 바꾸는 과정을 이해하지 못하는 경우
=2+
=1+1+
=1+
+
=1+
=
의 과정을 가르치고 이를 단계를 줄여가며 다양한
문제를 연습하도록 한다.
각 방법의 장점과 단점은 정해진 답을 유도하지 않고 자신의 생각을 자유롭게 이야기할 수 있도록 허용적인 분위기를 조성한다.
받아내림이 있는 분모가 다른 대분수 뺄셈의 두 가지 방법 중 자신이 선택한 방법으로 문제
를 해결하도록 지도한다. 이때 두 가지 방법 모두를 다 사용해 보도록 할 필요는 없으나 자 신과 다른 방법으로 문제를 해결한 친구들의 풀이 과정과 비교해 보는 활동을 할 수 있다.
