생명과학을 위한 수학 1 중간고사 (2019년 4월 20일 오후 1:00–3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [20점] x > 0에서 정의된 함수 f (x) = x1/x에 대하여, 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 두 극한 lim x→0+f (x), limx→∞f (x) 을 구하시오. (b) (10점) 이 함수의 증감을 조사하고, 극점을 찾으시오. 이 극점이 극대점인지 극소점인지 판별하시오. 문제 2 [20점] 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 역함수 정리를 이용하여 y = arcsin x 에 대한 도함수를 구하시오. (b) (10점) 반지름이 1인 원 위의 두 점 A, B에 대하여, 선분 AB의 길이를 `, 호 AB 중 길이가 짧은 쪽의 길이를 a라 할 때, da d`을 `의 함수로 구하시오. 문제 3 [15점] f (x) = x3 + x + 1의 근을 뉴턴의 방법으로 찾고자 한다. 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 정수 n에 대하여, f (x)의 근이 구간 [n, n+1)에 포함되는 n을 찾으시오. (b) (10점) 위에서 언급한 n을 초깃값 x0으로 놓고 뉴턴의 방법으로 첫 번째 단계의 근사해 x1을 구하시오. 문제 4 [40점] 다음 적분을 구하시오. (a) (10점) Z π2 0 sin 2x cos 4x dx (b) (10점) Z2 1 1 x√x2− 1dx (c) (10점) Z∞ 0 1 cosh xdx (d) (10점) Z x2+ 3x + 1 x2+ x + 1 dx 문제 5 [10점] 구간 [0, 10]에서 정의된 연속함수 f 가 아래 표의 값들 을 만족한다. 구간 [0, 10]을 5등분하여 Z 10 0 f (x) dx의 근삿값을 다음 주어진 방법으로 각각 구하시오. (a) (5점) 중점 리만합 (b) (5점) 사다리꼴 근사 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f (x) 0.2 0.4 0.5 0.9 1.4 1.5 1.2 0.6 0.8 0.4 0.1 h 연습용 여백 i 1
생명과학을 위한 수학 1 중간고사 학번: 이름: 문제 6 [10점] 다음 매개변수 방정식으로 주어진 곡선에 대하여, t = 1 2일 때 접선의 방정식을 구하시오. X(t) = 1 − t 2 1 + t2, 2t 1 + t2 , (−1 ≤ t ≤ 1) 문제 7 [10점] 중심이 (0, 1)이고 반지름이 1인 원이 시계방향으로 회 전하여 x축의 양의 방향으로 미끄러짐 없이 움직인다고 하자. 원 위의 한 점 P 가 원점이라고 할 때, 원이 한 바퀴 회전할 때까지 만들어진 점 P 의 자취 중, y좌표의 값이 1 이상인 부분의 길이를 구하시오. 문제 8 [10점] 이변수 함수에 대한 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) z = x + 2y − 1의 등위도면을 그리시오. (단, z의 값이 −1, 1, 3인 경우의 등위선을 그리시오.) (b) (5점) 평면 x = 2로 절단한 면의 그래프는 직선 z = 2y + 7 이고 평면 y = 2로 절단한 면의 그래프는 직선 z = 3x + 5인 선형함수를 구하시오. 문제 9 [15점] 평면 위의 위치 (x, y)에 대하여 높이 z가 z = 1000 − 0.02x2− 0.03y2으로 주어진 산을 오르는데, 현재 위치가 (100, 50) 이라고 한다. 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 현재 위치에서 산을 오를 때, 경사가 가장 가파른 방향을 구하시오. (b) (5점) 현재 위치에서 (−2, 3) 방향으로 움직이면, 산을 올라가 게 될지 내려가게 될지 판단하시오. (c) (5점) 현재 위치를 기준으로 하는 선형근사를 통해, 위치 (95, 45) 에서의 높이의 근삿값을 계산하시오. 문제 10 [10점] f (x, y) = Z x2+y2 xy e(t−1)2dt일 때 ∂f ∂x(1, 1)를 구하 시오. 문제 11 [20점] 다음 이변수 함수에 대하여 임계점을 모두 구하고, 각 임계점이 극대점인지, 극소점인지, 안장점인지를 판별하시오. f (x, y) = xe−x(y2− 4y) 문제 12 [20점] 들이가 2000cm3인 직육면체형 상자를 만드는데, 윗 면은 cm2당 3원이 들고, 옆면과 밑면은 cm2당 1원이 든다고 한다. 최소의 비용을 들여서 상자를 만들려면 가로(x), 세로(y), 높이(z)를 각각 몇 cm로 하면 되겠는지 라그랑주 승수법을 이용하여 구하시오. h 연습용 여백 i 2
