평면좌표
본책 140쪽~142쪽972
답 2973
답 P[4#]1\{-6}+3\3
1+3 =4# / P[4#]
974
답 Q{9}2\{-6}-5\3
2-5 =9 / Q{9}
975
답 M[-2#]3+{-6}
2 =-2# / M[-2#]
976
답 P[-5^, 5(]3\{-4}+2\3 3+2 =-5^
3\{-1}+2\6 3+2 =5(
/ P[-5^, 5(]
977
답 Q{-18, -15}3\{-4}-2\3 3-2 =-18 3\{-1}-2\6
3-2 =-15 / Q{-18, -15}
978
답 M[-2!, 2%]3+{-4}
2 =-2!, 6+{-1}
2 =2%
/ M[-2!, 2%]
979
답 G{1, 1}1+{-3}+5
3 =1, 0+{-2}+5
3 =1
/ G{1, 1}
980
답 G[3, -3@]6+1+2
3 =3, -6+{-4}+8 3 =-3@
/ G[3, -3@]
981
답 G{2, 3}-1+4+3
3 =2, 3+{-5}+11
3 =3
/ G{2, 3}
982
답 ④두 점 A, B 사이의 거리를 이용하여 식 세우기 ABZ=3j2이므로
1{a-2}@+{3-6}@3=3j2
방정식을 풀어 양수 a의 값 구하기 양변을 제곱하면 {a-2}@+{3-6}@=18 a@-4a+13=18
a@-4a-5=0, {a+1}{a-5}=0 / a=5 {? a>0}
983
답 2ABZ=BCZ에서 ABZ@=BCZ@이므로 {1-3}@+{a+1}@={-2-1}@+{4-a}@
2a+5=-8a+25, 10a=20 / a=2
984
답 3ABZ =1{1-a}@+{a-5}@3
=12a@-12a+263
=12{a-3}@+83
따라서 a=3일 때 ABZ의 길이가 최소이다.
985
답 P{11, 0}점 P의 좌표를 {a, 0}으로 놓고 APZ=BPZ임을 이용하여 식 세우기 점 P의 좌표를 {a, 0}이라 하면 APZ=BPZ에서 APZ@=BPZ@이므 로
{a-4}@+{-6}@={a-2}@+2@
방정식을 풀어 a의 값 구하기 a@-8a+52=a@-4a+8 4a=44 / a=11 / P{11, 0}
986
답 j2점 P의 좌표를 {a, 0}이라 하면 APZ=BPZ에서 APZ@=BPZ@이므 로
{a-2}@+{-4}@={a+3}@+1@
a@-4a+20=a@+6a+10 / a=1 / P{1, 0}
또, 점 Q의 좌표를 {0, b}라 하면 AQZ=BQZ에서 AQZ@=BQZ@이므로 {-2}@+{b-4}@=3@+{b+1}@
b@-8b+20=b@+2b+10 / b=1
단계 1
단계 2
단계 1
단계 2
유형 연습하기
도전!
본책 143쪽~148쪽
/ Q{0, 1}
/ PQZ=1{-1}@+1@3=j2
987
답 2점 P{a, b}가 직선 y=x+3 위의 점이므로 b=a+3 y㉠
또한, APZ=BPZ에서 APZ@=BPZ@이므로 {a+3}@+{b-1}@={a-2}@+{b-4}@
a@+6a+b@-2b+10=a@-4a+b@-8b+20 10a+6b=10 / 5a+3b=5 y㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2!, b=2%
/ a+b=2
988
답 ②삼각형 ABC의 세 변의 길이 구하기 ABZ=1{-4-2}@+{4-5}@3=j37k BCZ=1{3+4}@+{-1-4}@3=j74k CAZ=1{2-3}@+{5+1}@3=j37k
각 변의 길이 사이의 관계를 파악하여 삼각형의 모양 판단하기 ABZ=CAZ, ABZ@+CAZ@=BCZ@이므로 삼각형 ABC는 CA=90!인 직각이등변삼각형이다.
989
답 ①CC=90!인 직각삼각형이면 BCZ@+CAZ@=ABZ@이 성립해야 하 므로
{a-4}@+{-1-3}@+{-2-a}@+{-5+1}@
={4+2}@+{3+5}@
2a@-4a-48=0
a@-2a-24=0, {a-6}{a+4}=0 / a=6 또는 a=-4
따라서 모든 a의 값의 합은 2이다.
990
답 ③삼각형 ABC의 외접원의 중심을 P{x, y}라 하면 PAZ=PBZ=PCZ
PAZ=PBZ에서 PAZ@=PBZ@이므로 {x+2}@+{y-3}@={x+1}@+y@
/ 2x-6y=-12 y㉠
PAZ=PCZ에서 PAZ@=PCZ@이므로 {x+2}@+{y-3}@={x-1}@+{y-4}@
/ 6x+2y=4 y㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=0, y=2
즉, 삼각형 ABC의 외접원의 중심은 P{0, 2}이므로 반지름의 길 이는
단계 1
단계 2
1
평면좌표 PAZ=12@+{2-3}@3=j5따라서 구하는 원의 넓이는 p\{j5}@=5p
외심에서 삼각형의 각 꼭짓점에 이르는 A
B C
P 외접원 거리가 같다.
PAZ =PBZ=PCZ
=(외접원의 반지름의 길이) 삼각형의 외심의 성질 날선 특강
991
답 ①APZ+PBZ>ABZ임을 이용하여 APZ+PBZ의 최솟값 구하기 APZ+PBZ >ABZ
=1{2+3}@+3{-5-7}@3
=13
따라서 APZ+PBZ의 최솟값은 13이다.
992
답 3j2APZ+PBZ >ABZ
=1{5-a}@+{2-a-3}@3
=12a@-8a+263
=12{a-2}@+183
따라서 a=2일 때 APZ+PBZ의 최솟값은 j18k=3j2
993
답 ②A{-1, 2}, B{3, 5}, P{a, b}라 하면
1{a+1}@+{b-2}@3+1{a-3}@+{b-5}@3
=APZ+PBZ
>ABZ
=1{3+1}@+{5-2}@3
=5
994
답 ②P{a, 0}으로 놓고 APZ@+BPZ@을 a에 대한 식으로 나타내기 P{a, 0}이라 하면
APZ@+BPZ@ ={a+3}@+{-4}@+{a-5}@+{-1}@
=2a@-4a+51 APZ@+BPZ@의 최솟값 구하기 2a@-4a+51=2{a-1}@+49
따라서 a=1일 때 주어진 식의 최솟값은 49이다.
995
답 ③점 P가 직선 y=x-3 위에 있으므로 P{a, a-3}이라 하면 APZ@+BPZ@ ={a-5}@+{a+2}@+{a-2}@+{a-7}@
단계 1
단계 1
단계 2
=4a@-24a+82
=4{a-3}@+46
따라서 a=3일 때 주어진 식의 최솟값은 46이므로 점 P의 x좌 표는 3이다.
996
답 P{1, -2}P{x, y}라 하면 PAZ@+PBZ@+PCZ@
={x+2}@+{y+1}@+{x-1}@+{y+5}@+{x-4}@+y@
=3x@-6x+3y@+12y+47
=3{x-1}@+3{y+2}@+32
따라서 x=1, y=-2일 때 주어진 식의 최솟값은 32이므로 P의 좌표는 {1, -2}이다.
참고 점 P의 좌표는 삼각형 ABC의 무게중심과 같다.
997
답 ㈀ c, ㈁ 2{a@+b@+c@}, ㈂ a@+b@+c@㈀, ㈁, ㈂에 알맞은 것 써넣기
A{a, b}, B{-c, 0} {c>0}이라 하면 C{ c , 0}이므로 ABZ@+ACZ@ ={a+c}@+b@+{a-c}@+b@
= 2{a@+b@+c@}
AMZ@+BMZ@= a@+b@+c@
/ ABZ@+ACZ@=2{AMZ@+BMZ@}
998
답 ㈀ a, ㈁ b, ㈂ x@+y@+{x-a}@+{y-b}@㈃ x@+y@+{x-a}@+{y-b}@
A{0, b}, C{a, 0}이라 하면 D{ a , b }이므로 P{x, y}라 하면 PAZ@+PCZ@ =x@+{y-b}@+{x-a}@+y@
= x@+y@+{x-a}@+{y-b}@
PBZ@+PDZ@ = x@+y@+{x-a}@+{y-b}@
/ PAZ@+PCZ@=PBZ@+PDZ@
999
답 {-4, -1}내분점 P의 좌표 구하기 1\4+2\{-2}
1+2 =0, 1\7+2\1 1+2 =3 / P{0, 3}
외분점 Q의 좌표 구하기 1\4-2\{-2}
1-2 =-8, 1\7-2\1 1-2 =-5 / Q{-8, -5}
선분 PQ의 중점의 좌표 구하기 PQZ의 중점의 좌표는
[ 0-82 , 3-5
2 ] / {-4, -1}
단계 1
단계 1
단계 2
단계 3
1000
답 ②1
평면좌표/ 2x2+x3=12, 2y2+y3=18 y㉡
CAZ를 1 : 2로 내분하는 점이 {-2, 8}이므로 / x1+x2+x3=3, y1+y2+y3=12 따라서 sABC의 무게중심의 좌표 {a, b}는
그런데 a=7이면 점 A와 점 C가 일치하여 사각형 ABCD가 만 들어질 수 없으므로
a=-1 y㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 b=3 / ab=-3
1015
답 D[ 113 , -3@]삼각형의 내각의 이등분선의 성질 알기 ADZ는 CA의 이등분선이므로
ABZ : ACZ=BDZ : CDZ ABZ, ACZ의 길이 구하기 ABZ=1{-3-3}@+{-4-4}@3=10 ACZ=1{7-3}@+{1-4}@3=5 / BDZ : CDZ=ABZ : ACZ=2 : 1
점 D의 좌표 구하기
점 D는 BCZ를 2 : 1로 내분하는 점이므로 2\7+1\{-3}
2+1 , 2\1+1\{-4}
2+1 / D[ 113 , -3@]
1016
답 2ADZ는 CA의 이등분선이므로 ABZ : ACZ=BDZ : CDZ ABZ=1{-4}@+{6-9}@3=5 ACZ=15@+{-3-9}@3=13 / BDZ : CDZ=ABZ : ACZ=5 : 13
따라서 점 D는 BCZ를 5 : 13으로 내분하는 점이므로 a=5\5+13\{-4}
5+13 =-2#
b= 5\{-3}+13\6 5+13 =2&
/ a+b=2
1017
답 ④sABD와 sACD는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이 의 비 BDZ : CDZ와 같다.
sABC에서 CA의 이등분선이 변 BC와 만나는 점이 D이므로 ABZ : ACZ=BDZ : CDZ
ABZ=1{-4-2}@3+{-1-7}@3=10 ACZ=1{5-2}@3+{3-7}@3=5 / sABD : sACD =BDZ : CDZ
=ABZ : ACZ
=2 : 1
단계 1
단계 2
단계 3
1018
답 5ABZ=2j5이므로 1{4-6}@+3{1-a}@3=2j5 양변을 제곱하면
{4-6}@+{1-a}@=20
a@-2a-15=0, {a+3}{a-5}=0 / a=5 {? a>0}
1019
답 P{-5, -7}P{a, b}가 직선 2x-y=-3 위의 점이므로 2a-b=-3 y㉠
또한, PAZ=PBZ에서 PAZ@=PBZZ@이므로 {a-1}@+{b-3}@={a-5}@+{b+1}@
a@-2a+1+b@-6b+9=a@-10a+25+b@+2b+1 8a-8b=16
/ a-b=2 y㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=-7
따라서 점 P의 좌표는 {-5, -7}이다.
1020
답 ③ABZ@={4-0}@+{-1+2}@=17 BCZ@={3-4}@+{3+1}@=17 CAZ@={0-3}@+{-2-3}@=34
이므로 ABZ=BCZ이고, CAZ@=ABZ@+BCZ@이다.
따라서 삼각형 ABC는 CB=90!인 직각이등변삼각형이다.
1021
답 ①A{0, -2}, B{1, -3}, P{a, b}라 하면 1a@+{b+2}@3+1{a-1}@3+{b+3}@3
=APZ+PBZ>ABZ
=1{1-0}@+3{-3+2}@3
=j2
1022
답 ②sABC의 외심을 O'이라 하면 점 O'은 BCZ의 중점이다.
따라서 BCZ는 sABC의 외접원의 지름이므로 sABC는 BCZ를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
/ ABZ@+CAZ@ =BCZ@={2AO'Z}@=4AO'Z@
=49{-1-2}@+{-1-1}@0
=52
기출 문제 정복하기
실전!
본책 149쪽~151쪽
1
평면좌표 PAZ@+PBZ@+PCZ@={x+1}@+{y-2}@+{x-5}@+{y-3}@+{x-2}@+{y-4}@
=3x@-12x+3y@-18y+59
㉠+㉡을 하면 1+a1+1+a2=2{x1+x2}
㉢+㉣을 하면 6+b1+6+b2=2{y1+y2}
그런데 x1+x2=2, y1+y2=4이므로 a1+a2=2, b1+b2=-4
1033
답 y=4x1034
답 y=-2x+4y-2=-2{x-1} / y=-2x+4
1035
답 y=3x-9y-{-3}=3{x-2} / y=3x-9