고등 수학 개념 플러스 유형 개념플러스유형 기하와 벡터 (개념편) pdf

(1)

이 . 책 을 . 펴 . 내 면 서

Introduction

단

짝 친

구

,

서로의 좋은 점은 공유하고, 좋지 않은 점을 감싸주고 이끌어 주는 단짝 친구가 여러분에게는 몇 명이나 있습니까? 서로

어울림

으로써 각자가 더욱 단단해지고 빛이 나는 그런 단

짝

친

구

가 있습니까? 꽃은 나비가 있어 더 아름답게 보이고, 나비는 꽃이 있어 즐거울 수 있는 것처럼 세상에는 짝이 있어 더

행

복

해지는 것들이 많습니다.

‘

개념

플러스

유형

’

기하와 벡터

우리는 이 교재로 여러분의

단

짝

이 되려고 합니다. 수학에 있어‘

개

념

’과‘

유

형

’이 떨어질 수 없는 단짝인 것처럼 우리는‘

개념

플러스

유형

’으로 여러분의 고등 수학 학습의 동반자가 되려 합니다.

(2)

소주제별 내용 정리 ▶개념 정리 교육 과정 흐름에 맞춰 교과 내용을 충실히 분석, 정리 ▶개념 plus 공식 유도 과정, 증명, 중요 유형에 대한 소개 등 원리에 대한 이해를 돕기 위한 보충 설명 ▶개념 check 개념 학습 후 내용의 이해를 다지기 위한 간단한 문제 수록 필수예제 내신 시험에 출제되는 대표적인 유형을 해설과 함께 수록하였습니다. 문제의 출제 의도를 잡아가며 대표적인 기출 유형을 익힐 수 있습니다. 유제 필수예제와 비슷한 유형의 문제를 주어 개념에 대한 완성을 이루게 합니다. 또 같은 개념에 대해 다른 조건이 첨가된 문제를 유제로 하여 다양한 문제를 풀어 볼 수 있습니다.

본문 강의 + 형성 평가

개념편

소주제별 개념 정리 + 개념 plus + 개념 check + 필수예제 + 유제 본문 강의

소주제 내용 정리 + 문제 + 서술형 Training + 플러스 수능 문제

유형편

소주제별 내용 정리 & 문제 개념편에서 다룬 1개의 소주제에 대한 내용을 확인합니다. 또한 개념편 교재에서 다룬 필수예제와 비슷한 유형의 문제와 다른 유형의 문제, Level-up 문제까지 다루어 숙제용이나 시험 대비용으로 사용이 가능합니다. 서술형 Training 비중이 높아진 서술형 문제에 대한 대비를 할 수 있습니다. 플러스 수능 문제 대단원 마다 7~8 문제의 수준 높은 문제를 수록하였습니다.

(3)

Structure

N o t i o n s . p l u s . T y p e 연습 문제 소주제 3~4개를 묶어 배운 내용 에 대한 확인을 할 수 있습니다. 대단원 실전 문제 실전에 대비할 수 있도록 대단 원마다 20～25문제를 수록하 였습니다. 서술형 문제 비중이 높아진 서술형 문제에 대한 대비를 할 수 있도록 구성 하였습니다. Level-up 대단원 실전 문제의 한 코너입 니다. 4~6개의 수준 높은 문 제를 수록 하였습니다. 연습 문제 + 대단원 실전 문제(서술형 문제 + Level-up) 형성 평가

이

책

의구

성

과특

징

(4)

1. 일차변환과 행렬

01 일차변환과 행렬 10 02 여러 가지 일차변환 17 ▶연습 문제 25

2. 일차변환의 합성과 역변환

03 일차변환의 합성 28 04 일차변환의 역변환 34 ▶연습 문제 43 ■대단원 실전 문제 46

Ⅰ

_{일차변환과행렬}

CC

on

tt

ents

이책

의차

례

(5)

1. 포물선

01 포물선의 방정식 52 02 포물선의 평행이동 58 03 포물선과 직선 63 ▶연습 문제 71

2. 타원

04 타원의 방정식 74 05 타원의 평행이동 80 06 타원과 직선 86 ▶연습 문제 93

3. 쌍곡선

07 쌍곡선의 방정식 96 08 쌍곡선의 평행이동 103 09 쌍곡선과 직선 108 ▶연습 문제 115 ■대단원 실전 문제 120

Ⅱ

_이차곡선

(6)

1. 공간도형

01 직선과 평면의 위치 관계 126 02 직선과 평면의 평행과 수직 132 03 정사영 142 ▶연습 문제 149

2. 공간좌표

04 공간에서의 점의 좌표 152 05 두 점 사이의 거리 155 06 선분의 내분점과 외분점 159 07 구의 방정식 164 08 구와 평면의 위치 관계 169 ▶연습 문제 173 ■대단원 실전 문제 176

Ⅲ

_{공간도형과}

공간좌표

(7)

1. 벡터와 그 연산

01 벡터의 정의 182 02 벡터의 덧셈과 뺄셈 185 03 벡터의 실수배와 평행 조건 189 ▶연습 문제 197

2. 벡터의 성분과 내적

04 위치벡터 200 05 평면벡터의 성분 208 06 공간벡터의 성분 213 ▶연습 문제 219 07 벡터의 내적 222 08 두 벡터가 이루는 각 227 ▶연습 문제 233

3. 직선과 평면의 방정식

09 직선의 방정식 236 10 두 직선이 이루는 각 242 ▶연습 문제 247 11 평면의 방정식 250 12 두 평면이 이루는 각 256 13 점과 평면 사이의 거리 261 ▶연습 문제 265 ■대단원 실전 문제 268

Ⅳ

_벡터

(8)

(9)

V i s a n g

Ⅰ

_{일차변환과 행렬}

1. 일차변환과 행렬 2. 일차변환의 합성과 역변환 01 일차변환과 행렬 02 여러 가지 일차변환 연습 문제 03 일차변환의 합성 04 일차변환의 역변환 연습 문제 10 17 25 28 34 43 46 중단원 소주제 쪽 수 대단원 실전 문제

▶

단원 한 눈에 보기

(10)

Ⅰ 일차변환과 행렬

010 일차변환과 행렬

변환의 정의

좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 일정한 규칙에 의하여 그 평면 위의

점 P'(x', y')으로 대응시키는 함수를 좌표평면 위의 변환이라고 하며,

이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.

f : (x, y)

1 1⁄

⁄ (x', y')

이때 점 P(x, y)는 변환 f에 의하여 점 P'(x', y')으로 옮겨진다고 한다.

1

O y x P'(x', y') P(x, y) 여러 가지 변환 •평행이동 f : (x, y) 1⁄ (x+2, y+1)은 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 점 (x, y)를 점 (x+2, y+1)로 옮기는 변환이다. 이때 점 (1, 1)은 이 변환 f에 의하여 점 (3, 2)로 옮겨진다. •원점에 대한 대칭이동 f : (x, y) 1⁄ (-x, -y)는 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 점 (x, y)를 점 (-x, -y)로 옮기는 변환이다. 이때 점 (1, 1)은 이 변환 f에 의하여 점 (-1, -1)로 옮겨진다. x y O (x, y) (-x, -y) O y x (x+2, y+1) (x, y)

일차변환과 행렬

⑴ 일차변환의 정의

일반적으로 좌표평면 위의 변환 f : (x, y)

1⁄ (x', y')이

[

( a, b, c, d는 상수)

와 같이 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식으로 나타내어질 때, 이 변환 f를 일차변환이라

고 하며, 위의 식을 일차변환 f를 나타내는 식이라고 한다.

⑵ 일차변환을 나타내는 행렬

일차변환 f를 나타내는 식이

[

(a, b, c, d는 상수)일 때, 이를 행렬로 나타내면

{

}={

} {

}

yy`㉡

따라서 일차변환 f를 나타내는 식이 주어지면 행렬

_{

_{} 가 오직 하나로 결정된다.}

역으로 행렬

{

} 가 결정되면 ㉡에 의하여 ㉠과 같은 일차변환 f가 오직 하나 정해진다.

이때 행렬 {

} 를 일차변환 f를 나타내는 행렬 또는 일차변환 f의 행렬이라고 한다.

a b

c d

a b

c d

a b

c d

x

y

a b

c d

x'

y'

x'=ax+by

y'=cx+dy

x'=ax+by

y'=cx+dy

2

변환식에서 일차변환 판별하기 •_[ Δ x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식이므로 일차변환이다. •[ Δ x', y'이 상수항을 포함하는 x, y에 대한 일차식이므로 일차변환이 아니다. x'=x+1 y'=y-3 x'=x-2y y'=2x+y

㉠

(11)

1 일차변환과 행렬

011 일차변환의 성질

일차변환 f :

{

}={

} {

}에서

X'={

}, A={

} , X={

}

라고 하면 다음이 성립한다.

X'=AX

따라서 일차변환 f를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

f : X

1 1⁄

⁄ AX 또는 f(X)=AX

이때 행렬의 실수배의 성질과 연산에 대한 분배법칙에 의하여

다음과 같은 일차변환의 성질이 성립한다.

x

y

a b

c d

x'

y'

x

y

a b

c d

x'

y'

3

Tip 행렬의 실수배의 성질과 연산에 대한 분 배법칙 합과 곱이 정의되는 세 행렬 A, B, C와 두 실 수 k, l에 대하여 ⑴ (kl)A=k(lA) ⑵ (k+l)A=kA+lA k(A+B)=kA+kB ⑶ A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC Tip 일차변환을 나타내는 여러 가지 표현 일차변환 f를 나타내는 표현은 다음과 같이 여러 가지가 있다. HjKf : (x, y) 1⁄ (ax+by, cx+dy) HjK f :[ HjK f :{ } 1⁄ { }{ } HjK f : X 1⁄ AX 또는 f(X)=AX {단, A={ }, X={ }} x y a b c d x y a b c d x' y' x'=ax+by y'=cx+dy Tip •일차변환의 성질

일차변환 f와 임의의 2_1행렬 X¡, X™에 대하여

⑴

f(kX¡)=kf(X¡)

(단, k는 실수)

⑵

f(X¡+X™)=f(X¡)+f(X™)

⑶

f(kX¡+lX™)=kf(X¡)+lf(X™)

(단, k, l은 실수)

일차변환의 성질을 이용한 계산 일차변환 f에 대하여 f(P)={ }, f(Q)={ }일 때 다음을 각각 구해 보면 ⑴ f(2P)=2f(P)=2{ }={ } ⑵ f(P+Q)=f(P)+f(Q)=_{ _}+{ _}={ _} ⑶ f(2P-Q)=2f(P)-f(Q)=2{ }-{ }={ } 2 -11 6 9 4 -1 10 8 6 9 4 -1 8 -2 4 -1 6 9 4 -1 •일차변환의 행렬 표현

일차변환 f를 나타내는 식이

[

(a, b, c, d는 상수)일 때 다음이 성립한다.

[

HjK

{

}={

} {

}

일차변환 f를 나타내는 행렬

x

y

a b

c d

x'

y'

x'=ax+by

y'=cx+dy

x'=ax+by

y'=cx+dy

일차변환을 나타내는 행렬 구하기 일차변환 f를 나타내는 식이_[ 일 때, 이를 행렬을 이용하여 나타내면 [ HjK { }={ }{ } 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은{ }이다. 1 -2 3 1 x y 1 -2 3 1 x' y' x'=x-2y y'=3x+y x'=x-2y y'=3x+y 증명1

(12)

Ⅰ

일차변환과

행렬

012

일차변환에 의한 선분의 내분점

일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)가 각각 서로 다른 두 점 A'(x¡', y¡'), B'(x™', y™')으로 옮겨질 때, 선분 AB를 m : n(m>0, n>0)으로 내분하는 점 P가 일차변환 f에 의하여 어떤 점 으로 옮겨지는지 살펴보자. ⁄ 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P의 좌표는 _{P {} , } 한편 일차변환 f에 의하여 두 점 A, B가 각각 두 점 A', B'으로 옮겨지므로 f를 나타내는 행렬을 X라 하면 { }=X{ }, { }=X{ } yy`㉠ 따라서 점 P가 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점의 좌표는 X = _X{ _}= _X{ _}+ _X{ _} = { }+ { } (∵ ㉠) = Δ _{ , _} yy`㉡ ¤ 선분 A'B'을 m : n으로 내분하는 점의 좌표는 { , } ⁄, ¤에 의하여 다음과 같이 정리할 수 있다. my™'+ny¡' m+n mx™'+nx¡' m+n my™'+ny¡' m+n mx™'+nx¡' m+n º mx™'+nx¡' m+n my™'+ny¡' m+n ª x¡' y¡' n m+n x™' y™' m m+n x¡ y¡ n m+n x™ y™ m m+n mx™+nx¡ my™+ny¡ 1 m+n º mx™+nx¡ m+n my™+ny¡ m+n ª x™ y™ x™' y™' x¡ y¡ x¡' y¡' my™+ny¡ m+n mx™+nx¡ m+n

개념

Plus

설명1 일차변환의 성질의 증명 일차변환 f :{ } 1⁄ { } { }에 대하여 ⑴ f(kX¡)=kf(X¡) (단, k는 실수) A={ }, X¡={ }로 놓으면 행렬의 실수배의 성질에 의하여 f(kX¡)=A(kX¡)={ } { }={ } kf(X¡)=k(AX¡)=k{ } { }={ } ∴ f(kX¡)=kf(X¡) ⑵ f(X¡+X™)=f(X¡)+f(X™) A={ }, X¡={ }, X™={ }로 놓으면 행렬의 연산에 대한 분배법칙에 의하여 f(X¡+X™)=A(X¡+X™)={ }[{ }+{ }]={ } { }+{ } { } f(X¡)+f(X™)=AX¡+AX™={ } { }+{ } { } ∴ f(X¡+X™)=f(X¡)+f(X™) ⑶ f(kX¡+lX™)=kf(X¡)+lf(X™) (단, k, l은 실수) 두 실수 k, l과 일차변환의 성질 ⑴, ⑵에 의하여 f(kX¡+lX™)=f(kX¡)+f(lX™)=kf(X¡)+lf(X™) x™ y™ a b c d x¡ y¡ a b c d x™ y™ a b c d x¡ y¡ a b c d x™ y™ x¡ y¡ a b c d x™ y™ x¡ y¡ a b c d k(ax+by) k(cx+dy) x y a b c d k(ax+by) k(cx+dy) kx ky a b c d x y a b c d x y a b c d x y 증명1 좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A, B가 일차변환 f에 의하여 각각 서로 다른 두 점 A', B'으로 옮겨질 때, 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점은 일차변환 f에 의하여 선분 A'B'을 m : n으로 내분하는 점으로 옮겨진다.

(13)

013

{ }={ } { } ={ } 2+2a -2+3a 2 a 1 2 -1 3 b 1 행렬 _{ _{} 으로 나타내어지는 일차변환 f} 에 의하여 점 (2, a)가 점 (b, 1)로 옮겨지므 로 이를 행렬을 이용하여 나타내면 1 2 -1 3 풀이

1 필수예제

행렬{ }으로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 점 (2, a)가 점 (b, 1)로 옮겨진다. 이때 실수 a, b의 합 a+b의 값을 구하여라. 1 2 -1 3 b=2+2a, 1=-2+3a 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 a=1, b=4 ∴ a+b=5 두 식을 연립하여 풀면

유제

두 점 A(2, 0), B(1, -1)에 대하여 선분 AB를 2 : 1로 내분하는 점 P가 행렬

{

}로

나타내어지는 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

1 2

2 1

1 일차변환 f : (x, y)

1⁄ (2x+ay, bx-y)에 의하여 점 (2, 1)이 점 (1, 1)로 옮겨질 때,

상수 a, b의 값을 구하여라.

2

일차변환 f :{ } 1⁄ { } { }에 의하여 다음 점이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ (0, 0) ⑵ (2, 1) x y 1 2 -2 1 x y

2 개념

Check

변환 f : (x, y) 1⁄ (x', y')에서 x', y'이 다음보기와 같이 주어질 때, 일차변환인 것을 있는 대로 찾고, 일차변 환인 것은 행렬을 이용하여 나타내어라.

1

ㄱ.[ ㄴ.[ ㄷ.[ ㄹ.[ x'=-x y'=-y x'=x¤ -y y'=x x'=3x-2y y'=x-2y x'=x-1 y'=y+2 보기

(14)

014

{ }=X{ } yy`㉠, { }=X{ } yy`㉡ 1 -2 4 -1 2 1 3 3 일차변환 f를 나타내는 행렬을 X라 하면 f에 의하여 두 점 A(2, 1), B(1, -2)가 각각 두 점 A'(3, 3), B'(4, -1)로 옮겨지므로 풀이 2 { } =X{ } 2 1 1 -2 3 4 3 -1 ㉠, ㉡에 의하여 X={ } { }—⁄ = _{ _{} {} _{} ={} } 2 -1 1 1 2 1 1 -2 3 4 3 -1 1 5 2 1 1 -2 3 4 3 -1 행렬{ } 에서 2¥(-2)-1¥1=-5+0이므로 역행 렬이 존재하고, 이 역행렬을 이용하여 일차변환 f를 나타내는 행렬을 구하면 2 1 1 -2

유제

좌표평면 위의 두 점 (0, 1), (2, -1)을 각각 두 점 (3, 4), (-2, 5)로 옮기는 일차변환 f

에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

3

2 필수예제

좌표평면 위의 두 점 A(2, 1), B(1, -2)를 각각 두 점 A'(3, 3), B'(4, -1)로 옮기는 일차변환 을 f라 할 때, f를 나타내는 행렬을 구하여라. { }={ } { }={ } ∴[ 2a+b=3 y`㉠ 2c+d=3 y`㉡ 2a+b 2c+d 2 1 a b c d 3 3 일차변환 f를 나타내는 행렬을{ } 라 하면 f에 의하여 점 A(2, 1)이 점 A'(3, 3)으로 옮겨지므로 a b c d 풀이 1 { }={ } { }={ } ∴[ a-2b=4 y`㉢ c-2d=-1 y`㉣ a-2b c-2d 1 -2 a b c d 4 -1 일차변환 f에 의하여 점 B(1, -2) 가 점 B'(4, -1)로 옮겨지므로 a=2, b=-1, c=1, d=1 ㉠과 ㉢, ㉡과 ㉣을 연립하여 풀면 { } 2 -1 1 1 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 행렬과 역행렬 ⑴ 이차정사각행렬 A에 대 하여 A{ }={ } A{ }={ } 일 때 A{ }={ } ⑵ 행렬{ }에 대하여 ad-bc+0이면 역행렬은 { } d -b -c a 1 ad-bc a b c d p q r s a b c d q s b d p r a c Tip Tip Tip

일차변환 f를 나타내는 행렬 A가 A

_{

_}={

_{}, A¤ {}

_}={

_{}을 만족할 때, 행렬 A› 으로 나타}

내어지는 일차변환에 의하여 점 (3, 2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

2

1

2

1

2

1

4

(15)

015 유제

좌표평면 위의 두 점 (0, 1), (1, 0)을 각각 두 점 (1, 1), (1, 0)으로 옮기는 일차변환 f에

의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

5

3 필수예제

좌표평면 위의 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (a, c), (b, d)로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬이{ }임을 증명하여라. a b c d

좌표평면 위의 세 점 A(1, 0), B(0, 1), C(p, q)에 대하여 일차변환 f가 점 A를 점 B로, 점

B를 점 C로, 점 C를 점 A로 옮긴다고 한다. 이때 실수 p, q에 대하여 p¤ +q¤ 의 값을 구하여

라.

6

{ }={ } { }={ } ∴[ p=a r=c p r 1 0 p q r s a c 일차변환 f를 나타내는 행렬을{ } 라 하면 f에 의하여 점 (1, 0)이 점 (a, c)로 옮겨지므로 p q r s 증명 1 { }={ } { }={ } ∴[ q=b s=d q s 0 1 p q r s b d 일차변환 f에 의하여 점 (0, 1)이 점 (b, d)로 옮겨지므로 따라서 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (a, c), (b, d)로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬은 { } 이다. a b c d

{ }=A{ } yy`㉠, { }=A{ } yy`㉡

0 1 b d 1 0 a c 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 f에 의하여 두 점 (1, 0), (0, 1) 이 각각 두 점 (a, c), (b, d)로 옮겨 지므로 증명 2 { }=A{ }=A 1 0 0 1 a b c d ㉠, ㉡에 의하여 따라서 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (a, c), (b, d)로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬은 { } 이다. a b c d

(16)

016

⑴ 일차변환의 성질에 의하여 일차변환 f를 나타내는 행렬이 { } 이고, P=_{ _{}, Q={}-1_}이므로 2 2 1 1 1 1 -1 f(aP+bQ)=a f(P)+b f(Q)={ } yy`㉠ 7 -1 f(P)={ } { }={ } yy`㉡ f(Q)={ } { }={ } yy`㉢ 1 -3 -1 2 1 1 1 -1 3 1 2 1 1 1 1 -1 풀이

4 필수예제

다음 물음에 답하여라. ⑴ 일차변환 f를 나타내는 행렬이{ }일 때, 두 행렬 P={ }, Q={ }에 대하여 f(aP+bQ)={ }을 만족하는 상수 a, b의 합 a+b의 값을 구하여라. ⑵ 일차변환 f와 세 행렬 A={ }, B={ }, C={ }에 대하여 f(A)=B일 때, f(B)-2f(C) 를 구하여라. 0 -1 2 0 1 1 7 -1 -1 2 2 1 1 1 1 -1 A={ }, B={ }, C={ }이므로 0 -1 2 0 1 1 B-2C={ }-2{ }={ }=2A yy`㉡ 2 2 0 -1 2 0 f(A)=B, B={ }이므로2 0 f(B)-2 f(C)=2B=2{ }={ } 4 0 2 0 ㉠에 ㉡, ㉢을 대입하면 _{f(aP+bQ)=a{ }+b{} _}={ _}={ _} ∴[ 3a+b=7 yy`㉣ a-3b=-1 yy`㉤ 7 -1 3a+b a-3b 1 -3 3 1 ㉣, ㉤을 연립하여 풀면 a=2, b=1 ∴ a+b=3 ⑵ 일차변환의 성질에 의하여 f(B)-2 f(C)=f(B-2C) yy`㉠㉠, ㉡에 의하여 f(B)-2 f(C)=f(2A)=2 f(A)

유제

다음 물음에 답하여라.

⑴ 일차변환 f와 두 행렬 A=

_{

_{}, B={}

_{}에 대하여 f(A)=B, f(B)=A+B가 성립할}

때, f(pA+qB)=

_{

_{}을 만족하는 상수 p, q에 대하여 p-q의 값을 구하여라.}

⑵ 일차변환 f와 세 행렬 A=

_{

_{}, B={}

_{}, C={}

_{}에 대하여 f(C)=B일 때,}

3 f(A)-5 f(B)

를 구하여라.

2

0

1 -3

3 -5

0

1

2

0

7

유형편 6쪽

(17)

017 여러 가지 일차변환

대칭변환

좌표평면 위의 점을 직선 또는 점에 대하여 대칭인 점으로 옮기는 변환을 대칭변환이라고 한다.

따라서 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 x축, y축, 원점, 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점

을 P'(x', y')이라 할 때, 각각의 대칭변환을 나타내는 행렬을 정리하면 다음과 같다.

한편 x축, y축, 원점, 직선 y=x에 대한 대칭변환은 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식

이므로 일차변환이다.

1

x축에 대한 대칭변환의 표현 [ HjK[ HjK{ }={ }{ } x y 1 0 0 -1 x' y' x'=1¥x+0¥y y'=0¥x-1¥y x'=x y'=-y Tip

닮음변환

k

가 0이 아닌 실수일 때, 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 점

P'(kx, ky)로 옮기는 변환 f : (x, y)

1⁄ (kx, ky)를 닮음의 중

심이 원점이고, 닮음비가 k인 닮음변환이라고 한다.

이때

[

이므로 닮음변환 f는 일차변환이고,

이를 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

[

HjK

{

}={

}{

}

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

x

y

k 0

0 k

kx

ky

x'

y'

x'=kx

y'=ky

x'=kx=k¥x+0¥y

y'=ky=0¥x+k¥y

2

닮음비 k ⁄|k|>1인 경우 Δ확대하는 변환 ¤|k|<1인 경우 Δ축소하는 변환 Tip 항등변환을 나타내는 행렬 항등변환을나타내는식은 [ 이므로 다음이 성립한다. { }={ }{ } 따라서 항등변환을 나타 내는 행렬은 { }, 즉 단위행렬 E이다. 1 0 0 1 x y 1 0 0 1 x' y' x'=x y'=y Tip P'(x', y') O y x P(x, y) 대칭변환의 기준 x축 f : (x, y) 1⁄ (x, -y) y O P(x, y) P'(x', y') x 그림 [ { }={ } { } x y 1 0 0 -1 x' y' x'=x y'=-y 변환식 { } 1 0 0 -1 대칭변환을 나타내는 행렬 HjK y축 f : (x, y) 1⁄ (-x, y) x y O P'(x', y') P(x, y) [ { }={ } { } x y -1 0 0 1 x' y' x'=-x y'=y { } -1 0 0 1 HjK 원점 f : (x, y) 1⁄ (-x, -y) x y O P(x, y) P'(x', y') [ { }={ }{ } x y -1 0 0 -1 x' y' x'=-x y'=-y { } -1 0 0 -1 HjK 직선 y=x f : (x, y) 1⁄ (y, x) P(x, y) P'(x', y') x y O y=x [ { }={ } { } x y 0 1 1 0 x' y' x'=y y'=x { } 0 1 1 0 HjK Tip

원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 k인 닮음변환을 나타내는 행렬은

{

} (단, k+0인 실수)

특히 k=1일 때, 닮음변환은 좌표평면 위의 각 점을 자기 자신으로 옮기는 일차변환이며,

이 변환을 항등변환이라고 한다.

k 0

0 k

일차변환이 되기 위한 조건 상수 a, b, c, d에 대 하여 [ 와 같이 x', y'이 상수 항이 없는 x, y의 일차 식이어야 한다. x'=ax+by y'=cx+dy Tip Tip Tip Tip

(18)

018 개념

Plus

회전변환

좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하

여 점 P'(x', y')으로 옮기는 변환을 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하

는 회전변환이라고 한다.

이때 회전변환을 나타내는 식이

[

이므로 일차변

환이고, 이를 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

[

HjK

{

}={

}{

}

따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.

x

y

cos h -sin h

sin h cos h

x'

y'

x'=x cos h-y sin h

y'=x sin h+y cos h

x'=x cos h-y sin h

y'=x sin h+y cos h

3 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬은

{

}

cos h -sin h

sin h cos h

h P'(x', y') O y x P(x, y) 증명1 삼각함수의 각의 변환 cos { +h}=-sin h sin {p₂+h}=cos h p 2 Tip 회전변환의 증명 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하여 점 P'(x', y')으로 옮기는 회전변환에 대하 여 살펴보자. 오른쪽 그림과 같이 점 P(x, y)에서 x축, y축에 내린 수선의 발을 각 각 Q, R라 하고, 원점을 중심으로 두 점 Q, R를 각 h만큼 회전한 점을 각각 Q', R'이라 하자. 이때 두 점 Q, R의 좌표는 Q(x, 0), R(0, y)이므로 OQ”=OQ'”=x, OR”=OR'”=y 또한 ∠QOQ'=∠ROR'=h이므로 ∠QOR'= +h ∴ Q'(x cos h, x sin h)

R'{y cos { +h}, y sin { +h}} Δ R'(-y sin h, y cos h) 이때 직사각형 P'R'OQ'에서 두 대각선 P'O, R'Q'의 중점이 일치하므로

= , =x sin h+y cos h 2 y'

2 x cos h-y sin h

2 x' 2 p 2 p 2 ( { 9 p 2 증명1 설명1 닮음변환에서 닮음비 k의 값의 부호에 따른 도형의 위치 좌표평면 위의 도형 S가 닮음변환 f : (x, y)1⁄ (-2x, -2y)에 의하여 어떤 도형으로 옮겨지는지 살펴보자. 점 (x, y)를 원점을 중심으로 닮음비 2로 확대하여 옮긴 점의 좌표Δ (2x, 2y) 점 (2x, 2y)를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표Δ (-2x, -2y) 이때 점 (-2x, -2y)는 점 (x, y)가 닮음변환 f에 의하여 옮겨진 점과 같으므로 도형 S가 닮음변환 f : (x, y)11⁄⁄ (-2x, -2y)에 의하여 옮겨지는 도형은 원점을 중심으로 닮음비 2로 확대한 후 원점에 대하여 대칭이동한 도형과 같다. 따라서 닮음변환에서 닮음비 k의 값의 부호에 따른 도형의 위치를 정리하면 다음과 같다. R x x x y y y O P'(x', y') Q' R' h h h Q P(x, y) Tip 중심이 원점이고 닮음비가 k인 닮음변환 f를 나타내는 행렬_{ _{}(k+0인 실수)에 대하여 도형 S가 옮겨지는 도형} 을 S'이라 하면 다음이 성립한다. ⁄ k>0일 때Δ 도형 S'은 도형 S와 같은 사분면 위에 존재한다. ¤ k<0일 때Δ 도형 S'은 도형 S를 원점에 대하여 대칭이동한 사분면 위에 존재한다. k 0 0 k

(19)

1 일차변환과

행렬

019

설명2 대칭변환과 일차변환

⑴ 점 P(x, y)를 점 A(a, b)에 대하여 대칭인 점 P'(x', y')으로 옮기는 대칭변환 f 오른쪽 그림과 같이 선분 PP'의 중점이 점 A(a, b)이므로

=a, =b ∴ x'=-x+2a, y'=-y+2b

이때 x', y'에서 a=0, b=0이면 변환 f는 일차변환이지만 a+0 또는 b+0이면 변환 f는 일차변환이 아니다.

⑵ 점 P(x, y)를 직선 y=mx+n에 대하여 대칭인 점 P'(x', y')으로 옮기는 대칭변환 f 오른쪽 그림과 같이 선분 PP'의 중점 M의 좌표는 M { , _} 중점 M은 직선 y=mx+n 위의 점이므로 =m¥ +n Δ y+y'=mx+mx'+2n yy`㉠ 또 직선 PP'의 기울기는 이고, 직선 y=mx+n과 직선 PP'은 서로 수직이므로 _m=-1 Δ my-my'=x'-x yy`㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x'=- x+ y- , y'= x+ y+ 이때 x', y'에서 n=0이면 변환 f는 일차변환이지만 n+0이면 변환 f는 일차변환이 아니다. 따라서⑴, ⑵에 의하여 다음과 같이 정리할 수 있다. 2n m¤ +1 m¤ -1 m¤ +1 2m m¤ +1 2mn m¤ +1 2m m¤ +1 m¤ -1 m¤ +1 y-y' x-x' y-y' x-x' x+x' 2 y+y' 2 y+y' 2 x+x' 2 P(x, y) P'(x', y')y y=mx+n x O M y+y' 2 x+x' 2 y _{P(x, y)} A(a, b) P'(x', y') x O ∴[ Δ { }={ }{ } 따라서 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변환은 일차변환이고, 그 행렬은 { }이다. cos`h -sin`h sin`h cos`h x y cos h -sin h sin h cos h x' y' x'=x cos h-y sin h y'=x sin h+y cos h

원점 또는 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환만이 일차변환이다.

설명3 직선 y=mx에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬

좌표평면 위의 점 P(x, y)를 직선 y=mx에 대하여 대칭인 점 P'(x', y')으로 옮기는 변환은 대칭의 기준이 원점을 지나는 직선이므로 에 의하여 일차변환이다. 따라서 직선 y=mx에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬을 구해 보면 다음과 같다. 오른쪽 그림과 같이 선분 PP'의 중점 M의 좌표는 _{M {} , } 중점 M은 직선 y=mx 위의 점이므로 =m¥ Δ y+y'=mx+mx' yy`㉠ 또 직선 PP'의 기울기는 이고, 직선 y=mx와 직선 PP'은 서로 수직이므로 _m=-1 Δ my-my'=x'-x yy`㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 HjK { }= { } 따라서 직선 y=mx에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 ºº 2m m¤ +1 m¤ -1 m¤ +1 - m¤ -1 m¤ +1 2m m¤ +1 ªª x y º 2m m¤ +1 m¤ -1 m¤ +1 - m¤ -1 m¤ +1 2m m¤ +1 ª x' y' x'=-111m¤ -1x+1122 2m y m¤ +1 m¤ +1 y'=111 111 2m +m¤ -1 y m¤ +1 m¤ +1 ( { 9 y-y' x-x' y-y' x-x' x+x' 2 y+y' 2 y+y' 2 x+x' 2 설명2 P(x, y) P'(x', y') O M y x y=mx

(20)

020 유제

8 개념

Check

다음과 같은 대칭변환에 의하여 점 (3, -1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ x축에 대한 대칭변환 ⑵ y축에 대한 대칭변환 ⑶ 원점에 대한 대칭변환 ⑷ 직선 y=x에 대한 대칭변환

1

원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환에 의하여 다음 점이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ (2, 4) ⑵ (-6, 2) 1 2

2

원점을 중심으로 다음 각의 크기만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 (-2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라. ⑴ p₄ ⑵ -p₆

3

5 필수예제

좌표평면에서 원점에 대한 대칭변환에 의하여 점 A(2, -1)이 점 B(a, b)로 옮겨지고, 직선 y=x 에 대한 대칭변환에 의하여 점 C(1, 2)가 점 D(c, d)로 옮겨진다. 이때 상수 a, b, c, d의 값을 구 하여라. { } 0 1 1 0 원점에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 { } -1 0 0 -1 원점에 대한 대칭변환에 의하여 점 A(2, -1)이 점 B(a, b)로 옮겨지므로 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 { }={ } { }={ } ∴ a=-2, b=1 -2 1 2 -1 -1 0 0 -1 a b 풀이 직선 y=x에 대한 대칭변환에 의하여 점 C(1, 2)가 점 D(c, d)로 옮겨지므로 { }={ } { }={ } ∴ c=2, d=1 2 1 1 2 0 1 1 0 c d

좌표평면에서 x축, y축, 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬을 각각 A, B, C라 하

자. 점 (2, 1)이 두 행렬 A+C, B+C로 나타내어지는 일차변환에 의하여 옮겨지는 두 점을

각각 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 중점의 좌표를 구하여라.

(21)

021

M { , } y+y' 2 x+x' 2 일차변환 f에 의하여 점 P(x, y)가 옮겨 지는 점을 P'(x', y')이라 하면 선분 PP' 의 중점 M의 좌표는 =-∴ x'+y'=-x-y yy`㉠ x+x' 2 y+y' 2 중점 M은 직선 y=-x 위의 점이므로 y'-y x'-x 직선 PP'의 기울기를 구하면 _(-1)=-1 ∴ x'-y'=x-y yy`㉡ y'-y x'-x 직선 y=-x와 직선 PP'은 서로 수직이 므로 수직 조건에 의하여

x'=-y, y'=-x yy`㉢㉠, ㉡을연립하여풀면 풀이

유제

9

10 일차변환 f : (x, y)

1⁄ (x', y')이 직선 y=3x에 대한 대칭변환일 때, 일차변환 f를 나타

내는 행렬의 모든 성분의 합은?

① 1

②

③

④

⑤

9

5

8

5

7

5

6

5 좌표평면 위의 점 P에서 직선 y=2x에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 점 P를 점 H로 옮기는

일차변환 f를 나타내는 행렬을 구하여라.

6 필수예제

일차변환 f : (x, y) 1⁄ (x', y')이 직선 y=-x에 대한 대칭변환일 때, 일차변환 f를 나타내는 행렬을 구하여라. { }= { } { } x y 0 -1 -1 0 x' y' ㉢을 행렬을 이용하여 나타내면 { } ◀ 직선 y=-x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬 0 -1 -1 0 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 P'(x', y') P(x, y) y=-x y x O M 다른 풀이 직선 y=mx에 대한 대칭변 환을 나타내는 행렬은 p.19의 에 의하여 따라서 y=-x를 나타내는 행렬은 m=-1일 때이므로 { } 0 -1 -1 0 º 2m m¤ +1 m¤ -1 m¤ +1 -m¤ -1 m¤ +1 2m m¤ +1 ª 개념Plus Tip 설명3 다른 풀이와 같이 공식을 외워 서 행렬을 구해도 되지만 본 교재에서는풀이에서와 같이 중 점과 수직 조건을 이용하여 행 렬을 구하는 방법을 추천한다.

(22)

022

7 필수예제

원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음변환 f에 의하여 점 (2, 4)가 점 (1, 2)로 옮겨지고, 두 점 P(2, -1), Q(-1, 3)이 각각 두 점 P', Q'으로 옮겨진다고 할 때, 선분 P'Q'의 길이를 구하여라. 닮음변환 f에 의하여 두 점 P, Q가 옮겨지는 점 P', Q'의 좌표는 ª º{ }=ª º ∴ P'{1, - } ª º{ }=ª º ∴ Q'{- , } 3 2 1 2 -;2!; ;2#; -1 3 0 ;2!; ;2!; 0 1 2 1 -;2!; 2 -1 0 ;2!; ;2!; 0 풀이 닮음변환 f에 의하여 점 (2, 4)가 점 (1, 2)로 옮겨지므로 { }={ } { }={ } ∴ k= Δ A=ª º 0 ;2!; ;2!; 0 1 2 2k 4k 2 4 k 0 0 k 1 2 닮음변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 A={ } (단, k+0인 실수) k 0 0 k 따라서 선분 P'Q'의 길이는 _{P'Q'”=æ≠{-} _{-1}2 +[} ≠-{- }]2 =5₂ 1 2 3 2 1 2 다른 풀이 닮음변환 f에 의하여 점 (2, 4)가 점 (1, 2)로 옮겨지므로 f는 닮음의 중심이 원점이고, 닮음비가 인 닮음변환 1 2 닮음비가 1이므로 2 PQ”：P'Q'”=1： ∴ P'Q'”= PQ” yy㉠ 1 2 1 2 선분 PQ의 길이는 _{PQ”="√(-1-2)¤ +√{3-(-1)}¤ =5} ㉠에 의하여 선분 P'Q'의 길이는 P'Q'”=5 2

유제

11 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음변환 f에 의하여 점 (-1, 1)이 점 (-3, 3)으로 옮겨지고,

두 점 P(1, 0), Q(3, -2)가 각각 두 점 P', Q'으로 옮겨질 때, 삼각형 OP'Q'의 넓이를 구하

여라. (단, O는 원점)

12 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 p인 닮음변환에 의하여 세 점 A(1, 2), B(3, -1),

C(2, 5)가 옮겨지는 점을 각각 A', B', C'이라 하자. 삼각형 A'B'C'의 무게중심의 좌표가

(3, 3)일 때, 상수 p의 값을 구하여라. (단, p+0)

(23)

023 유제

원점을 중심으로 h만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 (2

'2, 2'2)가 점 (-4, 0)으로 옮겨

질 때, 이를 만족하는 h의 값을 구하여라. (단, 0<h<2p)

13

8 필수예제

원점을 중심으로 h만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 (2'3, 4)가 점 (1, 3'3)으로 옮겨질 때, 이 를 만족하는 h의 값을 구하여라. (단, 0<h<2p) 삼각방정식의 해 ⁄sin h= 의 해 (단, 0<h<2p) ¤cos h= 의 해 (단, 0<h<2p) y y=cos h h p 6 p 2 3 2 11 6p p p 2p O -1 1 '32 '3 2 y y=sin h h 1 2 p 6 p 2 56p 3 2p p 2p O -1 1 1 2 Tip

오른쪽 그림과 같이 정삼각형 OAB에 대하여 점 A의 좌표가 (4, 2)

일 때, 점 B의 좌표를 구하여라.

14

- sin h=- ∴ sin h=1 yy`㉢

2 7'3 3 14'3 3 원점을 중심으로 h만큼 회전하는 회전 변환을 나타내는 행렬은 { } cos h -sin h sin h cos h 회전변환에 의하여 점 (2_{'3, 4)가} 점 (1, 3'3 )으로 옮겨지므로 ㉠_ 2 -㉡을 하면 '3 { }={ } { }={ } ∴ [

2'3 cos h-4 sin h=1 yy`㉠

2'3 sin h+4 cos h=3'3 yy`㉡ 2'3 cos h-4 sin h 2'3 sin h+4 cos h 2'3 4 cos h -sin h sin h cos h 1 3'3 풀이 ⁄, ¤를 동시에 만족하는 h의 값은 h=p 6 ⁄ 0<h<2p에서 sin h= 을 만 족하는 h의 값은 1 2 h= 또는 h= 5p 6 p 6 ¤ 0<h<2p에서 cos h= 을 만 족하는 h의 값은 '3 2 h= 또는 h=11p 6 p 6 ㉢을 ㉠에 대입하면 2'3 cos h-4¥ =1 ∴ cos h= '3 2 1 2 Tip Tip O y x 2 4 A B

(24)

Ⅰ

일차변환과

행렬

024

{ }={ } { }={ }

∴ x'=y, y'=x Δ x=y', y=x' yy`㉠

y x x y 0 1 1 0 x' y' ⑴ 직선 y=x에 대한 대칭변환에 의하여 직선 2x+y=4위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 { }={ } { } = { }=

∴ x'= , y'=x+y yy`㉠

'2 x-y '2

º

x-y 1222 '2 x+y 112 '2

ª

x y

º

1 -12 '2 1 12 '2 1 12 '2 1 12 '2

ª

x y -sin 45˘ cos 45˘ cos 45˘ sin 45˘ x' y' ⑵ 원점을 중심으로 45˘만큼 회전하는 회전변환 에 의하여 직선 y= x위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 1 2 y'=kx' yy`㉡ 점 (x', y')은 직선 y=kx 위의 점이므로 =k{ } ∴ y= x yy`㉢ k-1 k+1 x-y '2 x+y '2 ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 2y'+x'=4 ∴ x'+2y'-4=0 ㉠을 직선의 방정식 2x+y=4에 대입하여 정리하면 x+2y-4=0 점 (x', y')은 직선 x+2y-4=0 위의 점이 므로 구하는 직선의 방정식은 =1₂, 2k-2=k+1 k=3 k-1 k+1 ㉢은 직선 y=1x와 일치하므로 2 풀이

9 필수예제

다음 물음에 답하여라. ⑴ 직선 2x+y=4가 직선 y=x에 대한 대칭변환에 의하여 옮겨지는 직선의 방정식을 구하여라. ⑵ 원점을 중심으로 45˘만큼 회전하는 회전변환에 의하여 직선 y=;2!;x가 옮겨지는 직선이 y=kx일 때, 상수 k의 값을 구하여라.

유제

다음 물음에 답하여라.

⑴ 직선 2x-y+1=0이 원점에 대한 대칭변환에 의하여 옮겨지는 직선의 방정식을 구하여라.

⑵ 원점을 중심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환에 의하여 직선 x-y+2=0이 옮겨지는 직선

이 ax+by+2=0일 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.

15 닮음의 중심이 원점이고 닮음비가 p인 닮음변환에 의하여 원 (x-4)¤ +(y-3)¤ =25가 옮겨지

는 도형의 넓이가 p일 때, 상수 p의 값을 구하여라. (단, p>0)

16

유형편 11쪽 `⑵의 다른 풀이 오른쪽풀이⑵의 ㉠에서 x-y='2x' x+y='2y' 위의 두 식을 연립하면 x= , y= 이를직선 y= x에대입하면 = { } ∴ y'=3x' 점 (x', y')은 직선 y=3x 위의 점이므로 구하는 직선의 방정식은 y=3x x'+y' '2 1 2 -x'+y' '2 1 2 -x'+y' '2 x'+y' '2 9 Tip 필수예제 `⑵와 같이 변환에 의하여 옮겨진 직선의 방정식 이 주어진 경우, 본 교재에서 는다른 풀이보다풀이와 같은 방법을 추천한다. 9

(25)

025 연습 문제

...

....

,

▷▶정답과 해설 9`쪽

2_1

행렬 A, B에 대하여 일차변환 f가 f(A+B)=

_{

_{}, f(2A-B)={}

_{}를 만족할 때,}

f(A-2B)

를 구하여라.

-4

4

1

2

2 에서 일차변환인 것만을 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ, ㄴ

② ㄱ, ㄷ

③ ㄱ, ㄹ

④ ㄷ, ㄹ

⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

1

_보기 ㄱ. x축에 대한 대칭이동 ㄴ. y축의 방향으로 1만큼 평행이동 ㄷ. 직선 y=x에 대한 대칭이동 ㄹ. 원점을 중심으로 -45˘만큼 회전하는 회전이동

일차변환 f : (x, y)

1⁄ (x', y')이 직선 y=ax(a+0)에 대한 대칭변환일 때, 일차변환 f를

나타내는 행렬의 모든 성분의 합이 -

8 이 되도록 하는 모든 상수 a의 값의 합을 구하여라.

5

4 오른쪽 그림과 같이 점 (2, 1)을 점 (1, 2)로 옮기는 대칭변환을

나타내는 행렬을 A, 점 (2, 1)을 점 (-2, 1)로 옮기는 대칭변

환을 나타내는 행렬을 B라 할 때, 행렬 BA의 모든 성분의 합을

구하여라.

3

y x O -2 1 2 1 2

(26)

026 원점을 중심으로

만큼 회전하는 회전변환 f에 의하여 원 (x-4)¤ +(y-4

_{'3 )¤ =4가 옮겨지는}

도형의 방정식을 구하여라.

p

6

5 일차변환 f에 의하여 두 점 (a, 1), (2, b)가 각각 두 점 (2, 1), (1, -1)로 옮겨질 때, 일차변

환 f에 의하여 점 (2a-2, -b+2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

7 원점을 중심으로 하는 닮음변환 f에 의하여 점 (6, 9)가 점 (8, 12)

로 옮겨지고, 닮음변환 f에 의하여 두 점 A(3, 1), B(3, -2)가

옮겨지는 점을 각각 A', B'이라고 할 때, 삼각형 OAB와 사각형

A'ABB'의 넓이의 비는? (단, O는 원점)

① 5 : 7

② 5 : 9

③ 7 : 9

④ 9 : 5

⑤ 9 : 7

6 제2 사분면 위의 점 P(-1, 2)에서 y축에 내린 수선의 발을 Q라 하고,

점 P에서 직선 y=-x에 내린 수선의 발을 R라 하자. 두 점 P, Q를

각각 두 점 Q, R로 옮기는 일차변환을 f라 할 때, f를 나타내는 행렬을

구하여라.

8

y x O -1 Q R P 2 y=-x y x O 1 3 -2 A A' B B'

(27)

1 일차변환과

행렬

027

▷▶정답과 해설 10`쪽

일차변환 f : (x, y)

1⁄ (x-y, x+2y)에의하여점 A(1, 1)이옮겨지는점을 A', y축위를

움직이는 점 P가 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점을 P'이라 할 때, A'P'”의 최솟값을 구하여라.

9 행렬

_{

_{}로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 직선 l은 자기 자신으로 옮겨진다. 직선 l}

이 점 (3, 1)을 지날 때, 직선 l과 x축 및 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① 2

② 4

③ 6

④ 8

⑤ 12

2 -1

-1 2

10 오른쪽 그림과 같이 동서로 일직선인 해안선에서 남쪽으로

20 km 떨어진 곳에 등대가 있고, 이 등대로부터 두 배 A, B까지

의 거리가 같다. 배 A는 등대로부터 동쪽으로 4 km, 남쪽으로

3 km의 위치에 있고, 등대를 기준으로 배 A와 배 B가 이루는 각

의 크기가 60˘일 때, 배 B에서 해안선까지의 거리를 반올림하여

소수점 아래 첫째 자리까지 구하여라.

(단, 배 B는 배 A보다 해안선에 더 가깝고,

_{'3=1.7로 계산한다.)}

12

등대 해안선 북 남 서 동 배 A 배 B 20 km 60˘

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 원에 내접하는 정팔각형이 그려져

있다. 일차변환 f에 의하여 점 P¡이 점 P¢로, 점 P£이 점 P∞로 옮겨

진다고 할 때, 일차변환 f에 의하여 점 P∞가 옮겨지는 점은?

(단, O는 원점)

① P¢

② P∞

③ P§

④ P¶

⑤ P•

11

-y x P£ P™ P¢ P• P§ P¡ P∞ P¶ O

(28)

028 일차변환의 합성

합성변환

⑴ 합성변환의 정의

좌표평면 위의 두 일차변환

f : (x, y)

1⁄ (x', y')

g : (x', y')

1⁄ (x'', y'')

에 대하여 점 (x, y)를 점 (x'', y'')으로 옮기는 변환을 생각할

수 있다. 이 변환을 f와 g의 합성변환이라고 하며, 이것을 기호로

gΩf : (x, y)

1⁄ (x'', y'')

과 같이 나타낸다.

⑵ 합성변환을 나타내는 행렬

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면

f : {

}=A{

}, g : {

}=B{

}

이므로 f와 g의 합성변환 gΩf : (x, y)

1⁄ (x'', y'')을 행렬로 나타내면

{

}=B{

}=B[A{

}]=BA{

}

이때 행렬 BA는 두 이차정사각행렬 B와 A의 곱이므로 이차정사각행렬이다.

따라서 합성변환 gΩf는 일차변환이고, gΩf를 나타내는 행렬은 BA이다.

x

y

x

y

x'

y'

x''

y''

x'

y'

x''

y''

x

y

x'

y'

1 일차변환의 합성에 대한 성질

합성변환은 일차변환이고 이차정사각행렬의 곱으로 표현된다.

따라서 일차변환의 합성에 대한 성질은 행렬의 곱셈에 대한 성질과

같으므로 세 일차변환 f, g, h를 나타내는 행렬을 각각 A, B, C

라 할 때, 다음이 성립한다.

⑴

일반적으로 AB+BA이므로

fΩg+gΩf

◀ 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않음 ⑵

A(BC)=(AB)C

이므로

fΩ(gΩh)=( fΩg)Ωh

◀ 결합법칙이 성립

2

합성함수 두 함수 f : X1⁄ Y g : Y1⁄ Z 에 대하여 X의 임의의 원소 x에 Z의 원소 `g(f(x))를 대응시키는 함수를 f와 g의 합성함 수라 하고 기호로 다음 과 같이 나타낸다. gΩf : X1⁄ Z (gΩf)(x)=g(f(x)) Tip 합성함수와 합성변환 변환은 좌표평면 위의 점 전체의 집합을 정의 역과 공역으로 하는 함 수이므로 두 일차변환 f, g의 합성변환 gΩf도 좌표평면 위의 점 전체 를 정의역과 공역으로 하는 함수이다. Tip fΩg +gΩf인 경우의 예 두 일차변환 f, g를 나타내는 두 행렬 A={ } , B={ }에 대하여 AB={ } { }={ } BA={ }{ } ={ } 따라서 AB+BA이므로 fΩg+gΩf 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Tip x y O P(x, y) P'(x', y') P"(x", y") f g g f 합성변환을 나타내는 행렬 구하기 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A={ }, B={ }이라 할 때, 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬은 BA이므로 BA={ }{ }={ } 2 0 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 0 -1 1 -1 0 -1 1 1 -1 1 •합성변환을 나타내는 행렬

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 할 때,

합성변환 gΩf를 나타내는 행렬

Δ

BA

이고, 합성변환 gΩf는 일차변환이다.

Tip Tip

(29)

2 일차변환의 합성과 역변환

029 개념

Plus

회전변환의 합성을 나타내는 행렬의 특징 원점을 중심으로 a만큼 회전하는 회전변환을 f, 원점을 중심으로 b만큼 회전하는 회전변환을 g라 할 때, 좌표평면 위의 점 P를 합성변환 gΩf에 의하여 옮긴다고 하 면 이는 오른쪽 그림과 같이 점 P를 원점을 중심으로 a만큼 회전한 다음, 다시 원점 을 중심으로 b만큼 회전하여 옮기므로 다음이 성립한다. 원점을 중심으로 a만큼 회전한 다음, 원점을 중심으로 b만큼 회전하는 회전변환 HHjjKK 원점을 중심으로 a+b만큼 회전하는 회전변환 이때 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬은 { } { } y`㉠ 한편 원점을 중심으로 a+b만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬은 { } y`㉡ ㉠=㉡이 성립하므로 { }{ }={ } 즉 두 회전변환의 행렬의 곱셈은 각의 크기만 더하면 된다. 이와 같은 방법으로 생각하면 회전변환 f의 합성변환 fΩf=f ¤ 은 원점을 중심으로 a+a=2a만큼 회전하는 회전변 환과 같으므로 합성변환 fΩf를 나타내는 행렬은 다음과 같다. { }¤={ } 따라서 일반적으로 회전변환 f의 합성변환 fΩfΩyΩf=f«« (n은 자연수)은 좌표평면 위의 점을 원점을 중심으로 a+a+y+a=na만큼 회전하는 회전변환과 같으므로 합성변환 f «« 을 나타내는 행렬은 다음과 같다. { }«={ } cos na -sin na sin na cos na cos a -sin a sin a cos a cos 2a -sin 2a sin 2a cos 2a cos a -sin a sin a cos a

cos (a+b) -sin (a+b) sin (a+b) cos (a+b) cos a -sin a

sin a cos a cos b -sin b

sin b cos b

cos (a+b) -sin (a+b) sin (a+b) cos (a+b) cos a -sin a sin a cos a cos b -sin b sin b cos b 설명1 삼각함수의 각의 변환 sin (2p+h)=sin h cos (2p+h)=cos h tan (2p+h)=tan h Tip f g g f x y O P a b a+b 원점을 중심으로 a만큼 회전하는 회전변환을 f, 원점을 중심으로 b만큼 회전하는 회전변환을 g라 할 때 ⑴ 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬Δ { }{ }={ } 두 회전변환의 행렬의 곱셈은 각의 크기만 더하면 된다. ⑵ 합성변환 f« 을 나타내는 행렬 Δ { }«={ }(단, n은 자연수) 회전변환의 행렬의 n제곱은 각의 크기만 n배하면 된다. cos na -sin na sin na cos na cos a -sin a sin a cos a

cos (a+b) -sin (a+b) sin (a+b) cos (a+b) cos a -sinà sinà cosà cos b -sin b sin b cos b 원점을 중심으로 15˘만큼 회전하는 회전변환을 f, 원점을 중심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환을 g라 할 때 다음을 구해 보자. ⑴ 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬은 { }{ }={ } ={ }= ⑵ 합성변환 f ‹ ‚ 을 나타내는 행렬은 { }‹ ‚ ={ } ={ }={ }={ } 0 -1 1 0 cos 90˘ -sin 90˘ sin 90˘ cos 90˘ cos 450˘ -sin 450˘ sin 450˘ cos 450˘ cos (15_30)˘ -sin (15_30)˘ sin (15_30)˘ cos (15_30)˘ cos 15˘ -sin 15˘ sin 15˘ cos 15˘

º

:2;'2;; -:2;'2;; :2;'2;; :2;'2;;

ª

cos 45˘ -sin 45˘ sin 45˘ cos 45˘ cos (30˘+15˘) -sin (30˘+15˘) sin (30˘+15˘) cos (30˘+15˘) cos 15˘ -sin 15˘ sin 15˘ cos 15˘ cos 30˘ -sin 30˘ sin 30˘ cos 30˘

z1

n개`

1c

z1

n개`

1c

Tip

(30)

030

BA={ } { } ={ } -a+b 2a+1 2b-1 4 1 a 2 1 -1 b 2 1 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A={ } , B={ }이라 하면 합성 변환 gΩf를 나타내는 행렬은 BA이므로 -1 b 2 1 1 a 2 1 { } ={ } { } ={ } -a+5b-2 2a+9 2 1 -a+b 2a+1 2b-1 4 5 7 합성변환 gΩf에 의하여 점 (2, 1)이 점 (5, 7)로 옮겨지므로 이를 행렬을 이용하여 나타내면 풀이

1 필수예제

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 { }, { }일 때, 합성변환 gΩf에 의하여 점 (2, 1)이 점 (5, 7)로 옮겨진다고 한다. 이때 상수 a, b의 값을 구하여라. -1 b 2 1 1 a 2 1

유제

두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬이 각각 {

}, {

}일 때, 합성변환 fΩg에 의하

여 점 P(-1, 2)는 점 Q로 옮겨지고, 합성변환 gΩf에 의하여 점 Q는 점 R로 옮겨진다.

이때 선분 QR의 중점의 좌표는?

① (-60, 10)

② (-60, 20)

③ (-60, 30)

④ (-50, 10)

⑤ (-50, 20)

4 -2

0 -2

2 0

1 -1

1 두 일차변환 f, g를 f : (x, y)

1⁄ (2x+y, x+y), g : (x, y) 1⁄ (2x+ay, -x+by)

로 정의할 때, fΩg=gΩf가 성립하기 위한 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

① -2

② -1

③ 0

④ 1

⑤ 2

2

5=-a+5b-2 yy`㉠ 7=2a+9 yy`㉡ 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 a=-1, b=6 5 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면

(31)

031

2 필수예제

다음 점 또는 직선을 원점을 중심으로 p만큼 회전한 다음, 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점 또는 직선의 방정식을 구하여라. ⑴ 점 (2, 1) ⑵ 직선 2x-y=3 A={ } ={ } -1 0 0 -1 cos p -sin p sin p cos p 원점을 중심으로 p만큼 회전하는 회전변환을 f라 하 고 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 B={ } 0 -1 -1 0 직선 y=-x에 대한 대칭변환을 g라 하고 g를 나타 내는 행렬을 B라 하면 풀이

유제

점 P(-

'2, '2)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 다음, 원점을 중심으로

만큼 회전한

후, 다시 x축에 대하여 대칭이동한 점을 Q라 할 때, 점 Q의 좌표를 구하여라.

p

4

3

합성변환 gΩf 원점을 중심으로 p만큼 회전한 다음, 직선 y=-x에 대한 대칭이동을 일차변환으로 표현하면 BA={ } { } ={ } 0 1 1 0 -1 0 0 -1 0 -1 -1 0 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬은 BA이므로 { } { } ={ } ∴ (1, 2) 1 2 2 1 0 1 1 0 ⑴ 합성변환 gΩf에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구해 보면 { }={ }{ } ={ }

∴ x'=y, y'=x Δ x=y', y=x' yy`㉠

y x x y 0 1 1 0 x' y' ⑵ 직선 2x-y=3 위의 점 (x, y)가 합성변환 gΩf에 의하여 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 2y'-x'=3 ∴ x'-2y'=-3 ㉠을 직선의 방정식 2x-y=3에 대입하면 x-2y=-3 점 (x', y')은 직선 x-2y=-3 위의 점이므로 합성변환 gΩf에 의하여 직선 2x-y=3이 옮겨 지는 직선의 방정식은

직선 3x+2y-1=0을 원점을 중심으로

만큼 회전한 후, 다시 원점에 대하여 대칭이동한

도형의 방정식이 ax+by-1=0일 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값을 구하여라.

p

2

4

(32)

032 유제

fΩf=f를 만족하는 일차변환 f에 의하여 점 (2, -1)이 점 (3, 1)로 옮겨질 때, 일차변환 f

에 의하여 점 (5, -5)가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

5

Ⅰ. 일차변환 f는 점 (1, 0)을 점 (0, -2)로 옮긴다. Ⅱ. fΩf=f A{ }={ } y`㉠ 0 -2 1 0 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 조건 Ⅰ에 의하여 f가 점 (1, 0)을 점 (0, -2)로 옮기므로 풀이 A¤ =A fΩf를 나타내는 행렬은 A¤ 이고, 조건 Ⅱ 에 의하여 fΩf=f이므로 A{ }={ } HjK AA{ } ={ } A{ }={ } HjK A{ } ={ } (∵ ㉠) y`㉡ 0 -2 0 -2 0 -2 1 0 0 -2 1 0 따라서 ㉠에서 A=A¤ , 즉 A=AA임을 이용하여 행렬식을 변형해 보면 A{ } ={ } 0 0 -2 -2 1 0 0 -2 ㉠, ㉡에 의하여 A={ } { }—⁄ = _{ _{} {} _{} ={} 0 0_} -2 1 2 0 0 -1 0 0 -2 -2 1 2 1 0 0 -2 0 0 -2 -2 행렬{ } 에서 1¥(-2)-0¥0=-2+0 으로 역행렬이 존재하므로 역행렬을 이용 하여 행렬 A를 구해 보면 1 0 0 -2 { } { } ={ } ∴ (0, -7) 0 -7 2 -3 0 0 -2 1 따라서 일차변환 f에 의하여 점 (2, -3) 이 옮겨지는 점의 좌표를 구해 보면

3 필수예제

일차변환 f가 다음 두 조건을 만족할 때, 일차변환 f에 의하여 점 (2, -3)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

좌표평면 위의 점 (1, 3)은 일차변환 f에 의하여 점 (2, 4)로 옮겨지고, 합성변환 fΩf에 의하

여 점 (0, 2)로 옮겨진다. 이때 일차변환 f에 의하여 점 (-2, 0)이 옮겨지는 점의 좌표를 구

하여라.

6

(33)

033

4 필수예제

일차변환 f를 나타내는 행렬이 { }일 때, 합성변환 f · ‚ 에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점 의 좌표를 구하여라. (단, 자연수 n에 대하여 f⁄ =f, f« ±⁄ =f« Ωf) -1 '3 '3 1 1 2 A= _{ _}= = º cos ;6p; -sin ;6p; sin ;6p; cos ;6p; ª

º

:2;'3;; -;2!; ;2!; :2;'3;;

ª

-1 '3 '3 1 1 2 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 원점을 중심으로 p만큼 회전하는 회전변환 6 따라서 일차변환 f는 풀이

A⁄ ¤ ={ }={ }=E yy`㉠ Δ f ⁄ ¤은 항등변환 1 0 0 1 cos 2p -sin 2p sin 2p cos 2p A⁄ ¤은 원점을 중심으로 _12=2p 만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬이므로 A⁄ ¤ 을 구해 보면 p 6 A· ‚ A· ‚ =A12_7+6

=(A⁄ ¤ )‡`¥Afl =E¥Afl =Afl

합성변환 f · ‚ 을 나타내는 행렬은 90=12_7+6이므로 ㉠을 이용하여 A· ‚을 변형해 보면 A· ‚ { }=Aﬂ { }={ }{ } ={ }{ }={ } ∴ (-2, -1) -2 -1 2 1 -1 0 0 -1 2 1 cos p -sin p sin p cos p 2 1 2 1 따라서 합성변환 f · ‚ 을 나타내는 행렬 은 Aﬂ 과 같으므로 f · ‚ 에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구해 보면 회전변환의 합성 일차변환 f가 원점을 중심으 로 h만큼 회전하는 회전변환 이면 합성변환 f «(n은 자연수) 은 원점을 중심으로 nh만큼 회전하는 회전변환이다. 따라서 f« 을 나타내는 행렬은 { } cos nh -sin nh sin nh cos nh Tip

유제

7 일차변환 f를 나타내는 행렬이

{

}일 때, 합성변환 f ¤ ‡ 에 의하여 점 (1, 2)가 옮

겨지는 점의 좌표를 구하여라. (단, 자연수 n에 대하여 f ⁄ =f, f« ±⁄ =f « Ωf )

'3

1

1 -'3

1

2

8 오른쪽 그림과 같이 중심이 원점인 원에 내접하는 정팔각형이 있다.

행렬 P=

_{

_{}로 나타내어지는 일차변환 f를 123회 시}

행하였을 때, 점 A가 옮겨지는 점을 구하여라.

1 -1

1 1

1 '2

x y A B C D E F G H O Tip 유형편 18쪽

(34)

034 일차변환의 역변환

일차변환의 역변환

좌표평면 위의 일차변환

f : (x, y)

1⁄ (x', y')

을 나타내는 행렬을 A라 하고, 행렬 A의 역행렬 A—⁄ 가 존재할 때

{

}=A{

} HjK {

}=A—⁄ {

}

이 성립하므로 점 (x', y')을 점 (x, y)로 옮기는 변환은 행렬 A—⁄

로 나타내어지는 일차변환이다.

이 일차변환을 f의 역변환이라 하고, 기호로

f —⁄ : (x', y')

1 1⁄

⁄ (x, y)

와 같이 나타낸다.

한편 일차변환 f를 나타내는 행렬의 역행렬이 존재하지 않으면 f의 역변환은 존재하지 않는다.

x'

y'

x

y

x

y

x'

y'

1

x y O f P(x, y) P'(x', y') f-1 •일차변환의 역변환

일차변환 f를 나타내는 행렬이 A일 때, A의 역행렬 A—⁄ 가 존재하면 역변환 f —⁄ 가 존재한

다. 이때 역변환 f—⁄ 는 일차변환이고, 역변환 f —⁄ 를 나타내는 행렬은 A—⁄ 이다.

항등변환의 행렬 항등변환 I를 나타내 는 행렬은 단위행렬 E 이다. Tip 역변환과 일대일 대응 함수 f가 일대일 대응 일 때, 함수 f는 역함수 f —⁄ 를 갖는다. 마찬가지로 일차변환 f 는 좌표평면 위의 점 전 체의 집합을 정의역과 공역으로 하는 함수이 므로 일대일 대응일 때 역변환 f —⁄ 를 갖는다. Tip

일차변환에 의한 도형의 이동

일차변환에 의한 도형의 이동은 일차변환을 나타내는 행렬이 역행렬이 존재할 때, 영행렬일 때, 영

행렬이 아니면서 역행렬이 존재하지 않을 때의 세 가지 경우에 따라 다음과 같이 정리할 수 있다.

⑴ 역행렬이 존재할 때 ☞필수예제 ⑴, ⑴

일차변환을 나타내는 행렬을 A라 하고 A의 역행렬 A—⁄ 가 존재한다고 하면

{

}=A{

} HjK {

}=A—⁄ {

}

즉 일차변환이 일대일 대응일 때, 일차변환의 역변환이 존재하므로 역행렬이 존재하는 일차변환

에 의하여 직선은 직선으로, 좌표평면 전체는 좌표평면 전체로 옮겨진다.

⑵ 영행렬일 때