우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (10)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

 자연상수 (

𝑒

) 의 정의 

𝑥

가

0

에 한없이 접근할 때 함수

𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥

1 𝑥 _{의 극한값}

lim

𝑥→0

1 + 𝑥

1 𝑥

= 𝑒

 맥로린(Maclaurin) 급수 전개식:

1 + 𝑥

𝑛

= 1 + 𝑛𝑥 +

𝑛(𝑛−1) 2!

𝑥

2

₊

𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3!

𝑥

3

_{+ ⋯}

 맥로린급수 전개식에서

𝑛 =

1 𝑥 을 대입하고, 극한값을 구하면,

1 + 𝑥

1𝑥

= 1 +

1 𝑥

∙ 𝑥 +

1 2!

∙

1 𝑥 1 𝑥

− 1 ∙ 𝑥

2

₊

1 3!

∙

1 𝑥 1 𝑥

− 1

1 𝑥

− 2 ∙ 𝑥

3

_{+ ⋯}

= 1 + 1 +

(1−𝑥) 2!

+

(1−𝑥)(1−2𝑥) 3!

+ ⋯

lim

𝑥→0

1 + 𝑥

1 𝑥

= lim

𝑥→0

2 +

(1−𝑥) 2!

+

(1−𝑥)(1−2𝑥) 3!

+ ⋯ = 2 +

1 2!

+

1 3!

+ ⋯ = 2.718281828 …

 이 무리수

2.718281828 …

를 자연상수

𝑒

라 함.

∴

lim

𝑥→0

1 + 𝑥

1 𝑥

= 𝑒 𝑜𝑟 lim

𝑥→∞

1 +

1 𝑥 𝑥

= 𝑒

(지난 시간 강의 복습)

1. 변화율과 도함수 Ch3. 미분법 1. 변화율과 도함수 1-1. 평균변화율  증분  함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

에서

𝑥

값이

𝑎

에서

𝑎 + ∆𝑥

까지

∆𝑥

만큼 변하면,

𝑦

의 값은

𝑓(𝑎)

에서

𝑓(𝑎 + ∆𝑥)

까지

∆𝑦

만큼 변한다. 

𝑥

의 증분 (

𝑥

의 변화량)

∴

𝑎 + ∆𝑥 − 𝑎 = ∆𝑥 𝑜𝑟 𝑏 − 𝑎 = ∆𝑥



𝑦

의 증분 (

𝑦

의 변화량)

∴

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎 = ∆𝑦 𝑜𝑟 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) = ∆𝑦

 평균변화율  두변화량

(∆𝑥 & ∆𝑦)

의 비: ∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) 𝑎+∆𝑥 −𝑎

=

𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥 평균변화율은 점

𝑃(𝑥

₁

, 𝑦

₁

)

과 점

Q(𝑥

₂

, 𝑦

₂

)

를 지나는 직선의 기울기 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏

1-2. 순간변화율 

𝑥

가

𝑎

에서

𝑎 + ∆𝑥

까지 변할 때 평균변화율: ∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  만약,

𝑎 + ∆𝑥

가

𝑎

에 한없이 가까이 갈 때 (

∆𝑥 → 0

일 때), 즉 평균변화율의 극한값은?

lim

∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥

= lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥  미분계수

𝑜𝑟

순간변화율  평균변화율의 극한값이 존재하면,

𝑓(𝑥)

는

𝑥 = 𝑎

에서 미분가능  그 극한값을

𝑥 = 𝑎

에서 함수

𝑓(𝑥)

의 미분계수

𝑜𝑟

순간변화율

𝑑𝑦_𝑑𝑥

|

_𝑥=𝑎

= 𝑓

′

_{𝑎 = lim}

∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥

= lim

_𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎  도함수 or 미분 (derivative)  함수

𝑓(𝑥)

가 모든

𝑥

에서 미분가능 할 때

𝑓(𝑥)

는 미분가능이라 하고,  이 때 함수

𝑓′(𝑥)

를

𝑓(𝑥)

의 도함수 라 하고,

𝑦

′

,

𝑑𝑦 𝑑𝑥 등으로 표시한다.

𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥

미분의 정의 𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏

 미분계수

𝑓

′

𝑎

의 기하학적 의미 

𝑎 + ∆𝑥

가

𝑎

에 가까이 갈 때, 점

𝑄 𝑎 + ∆𝑥, 𝑓 𝑎 + ∆𝑥

가 점

𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎

에 점근하므로,

𝑓

′

𝑎 = lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥

= lim

_𝑏→𝑎 𝑓 𝑏 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 

𝑓

′

𝑎

는

𝑃 𝑎, 𝑓 𝑎

에서 함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

의 접선의 기울기를 나타냄.  그러므로,

𝑥 = 𝑎

에서 접선의 방정식은

𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑎 𝑎 + ∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) 𝑓(𝑎) 𝑏 𝑏 접선 𝑎𝑡 𝑥 = 𝑎 1. 변화율과 도함수

예시)

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

− 1

에 대해 다음을 구하라. (1) 구간 [1, 2] 에서

𝑓 𝑥

의 평균변화율 ∆𝑦 ∆𝑥

=

𝑓 𝑎+∆𝑥 −𝑓(𝑎) ∆𝑥

=

𝑓 2 −𝑓(1) 2−1

=

2 2−1 −{ 1 2−1} 2−1

=

4−1 −(1−1) 1

= 3

(2)

𝑥 = 1

에서

𝑓 𝑥

의 미분계수를 정의에 의해 구하라  미분의 정의:

𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥

𝑓

′

_{1 = lim}

∆𝑥→0 𝑓 1+∆𝑥 −𝑓(1) ∆𝑥

∴ lim

∆𝑥→0 1+∆𝑥 2−1 −{ 1 2−1} ∆𝑥

= lim

_∆𝑥→0 ∆𝑥2+2∆𝑥 ∆𝑥

= lim

_∆𝑥→0

∆𝑥 + 2 = 2

※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

|

𝑥=1

=

𝑑 𝑑𝑥

𝑥

2

_{− 1 |}

𝑥=1

= 2𝑥|

𝑥=1

= 2

(3)

𝑥 = 1

에서 접선의 방정식:

𝑦 − 𝑓 1 = 𝑓′(1)(𝑥 − 1)



𝑓

′

1 = 2



𝑓 1 = 1

2

− 1 = 0

𝑦 = 2(𝑥 − 1)

1 1+∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑦 𝑄 𝑃 ∆𝑥 ∆𝑦 0 𝑓(1 + ∆𝑥) 𝑓(1) 접선 𝑎𝑡 𝑥 = 1

예제1) 다음 각 함수

𝑓 𝑥

의 도함수를 정의에 의해 구하라  도함수의 정의:

𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 (1)

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

+ 1



𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 𝑥+∆𝑥 2+1 −{𝑥2+1} ∆𝑥

= lim

∆𝑥→0 𝑥2+2𝑥∆𝑥+∆𝑥2 +1 −(𝑥2+1) ∆𝑥

= lim

∆𝑥→0 2𝑥∆𝑥+∆𝑥2 ∆𝑥

= lim

∆𝑥→0 (2𝑥+∆𝑥)∆𝑥 ∆𝑥

= lim

∆𝑥→0

2𝑥 + ∆𝑥 = 2𝑥

※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓

′

𝑥 = 𝑥

2

− 4

′

=

𝑑 𝑑𝑥

𝑥

2

_{− 4 = 2𝑥}

(2)

𝑓 𝑥 =

1 𝑥 

𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 1 (𝑥+∆𝑥) − 1 𝑥 ∆𝑥

= lim

_∆𝑥→0 𝑥−(𝑥+∆𝑥) 𝑥+∆𝑥 𝑥 ∆𝑥

= lim

_∆𝑥→0 −∆𝑥 ∆𝑥 𝑥+∆𝑥 𝑥

= lim

_∆𝑥→0 −1 𝑥2_+𝑥∆𝑥

= −

1 𝑥2 ※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓

′

𝑥 = (𝑥

−1

)

′

=

_𝑑𝑥𝑑

𝑥

−1

= −𝑥

−1−1

= −

_𝑥1₂ 1. 변화율과 도함수

2. 함수의 미분 2-1. 미분의 정의  미분의 정의로 도함수를 구하는 것은 매우 복잡함 미분의 정의:

𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 예시)

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

− 4

의 도함수

𝑓

′

𝑥 = lim

∆𝑥→0 𝑥+∆𝑥 2−4 −{𝑥2−4} ∆𝑥

∴ 𝑓

′

_{𝑥 = lim}

∆𝑥→0 𝑥2+2𝑥∆𝑥+∆𝑥2 −4 − 𝑥2−4 ∆𝑥

= lim

_∆𝑥→0 (2𝑥∆𝑥+∆𝑥2) ∆𝑥

= lim

_∆𝑥→0 (2𝑥+∆𝑥)∆𝑥 ∆𝑥

= 2𝑥

※

𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑓

′

𝑥 = (𝑥

2

− 4)

′

= 2𝑥

 미분법 정리 (정의에 의해 구한 도합수의 결과를 유형별로 정리) 

𝑓 𝑥 = 𝑐

이면,

𝑓

′

𝑥 = 0,

(

𝑐

는 상수) 

𝑐𝑓 𝑥

′

= 𝑐𝑓

′

𝑥 ,

(

𝑐

는 상수) 

𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)

′

= 𝑓

′

𝑥 ± 𝑔

′

𝑥



𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

′

= 𝑓

′

𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

′ =

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑔2_(𝑥) , (

𝑔 ≠ 0

) 

𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑛 이면,

𝑓

′

𝑥 = 𝑛𝑥

𝑛−1

,

(

𝑛

은 정수)

 함수의 곱의 미분:

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥

′ 

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

′

= 𝑓

′

𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔

′

𝑥

를 증명하라. (1)

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝐹 𝑥

라 하면, 미분의 정의에 의해

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ = 𝐹′ 𝑥 = lim

ℎ→0 𝐹 𝑥+ℎ −𝐹 𝑥 ℎ

= lim

ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ

(2) 위 식의 분자에

𝑓 𝑥 + ℎ 𝑔 𝑥

를 빼고 더한 후, 정리하면

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′ = lim

ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥 +𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ {𝑔 𝑥+ℎ −𝑔 𝑥 }+𝑔 𝑥 {𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 } ℎ

∴

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

′

= lim

ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ {𝑔 𝑥+ℎ −𝑔 𝑥 } ℎ

+ lim

ℎ→0 𝑔 𝑥 {𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 } ℎ

= 𝑓 𝑥 𝑔

′

_{𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓}

′

_𝑥

예시)

𝑦 = (𝑥

3

− 1)(𝑥

2

+ 2)

의 도함수를 구하라. 

𝑦

′

= 𝑥

3

− 1

′

𝑥

2

+ 2 + 𝑥

3

− 1 𝑥

2

+ 2

′

= 3𝑥

2

𝑥

2

+ 2 + 𝑥

3

− 1 2𝑥

= 3𝑥

4

_{+ 6𝑥}

2

_{+ 2𝑥}

4

_{− 2𝑥 = 5𝑥}

4

_{+ 6𝑥}

2

_{− 2𝑥}

2. 함수의 미분 𝑔′ _{𝑥 𝑓}′ _𝑥

 함수의 나눗셈의 미분: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)  𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ′

=

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔_𝑔2(𝑥) ′(𝑥) 를 증명하라. (1) 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)

= 𝐹 𝑥

라 하면, 미분의 정의에 의해 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ′

= 𝐹′ 𝑥 = lim

ℎ→0 𝐹 𝑥+ℎ −𝐹 𝑥 ℎ

= lim

ℎ→0 1 ℎ 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ

−

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

= lim

ℎ→0 1 ℎ 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥

(2) 위 식의 분자에

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

를 빼고 더한 후, 정리하면

_𝑔(𝑥)𝑓 𝑥 ′

= lim

ℎ→0 1 ℎ 𝑓 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 +𝑓 𝑥 𝑔(𝑥)−𝑓 𝑥 𝑔 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥

= lim

ℎ→0 1 ℎ 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 −{𝑔 𝑥+ℎ −𝑔 𝑥 }𝑓 𝑥 𝑔 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥

= lim

ℎ→0 1 𝑔 𝑥+ℎ 𝑔 𝑥

∙ lim

ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ℎ

−

𝑔 𝑥+ℎ −𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 ℎ

=

𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑔2_(𝑥)

예시)

𝑦 =

3𝑥 2𝑥2−1 의 도함수를 구하라. 

𝑦

′

=

3𝑥 ′ 2𝑥2−1 −3𝑥(2𝑥2−1)′ (2𝑥2₋₁₎2

=

3 2𝑥2−1 −3𝑥∙4𝑥 (2𝑥2₋₁₎2

=

−6𝑥2−3 (2𝑥2₋₁₎2 𝑓′ _{𝑥 𝑔}′ _𝑥 𝑔2 _𝑥