생명과학을 위한 수학 1 기말고사 (2018년 6월 9일 오후 1:00-3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [25점] 다음 미분방정식의 해를 구하시오. (a) (5점) cos tdy dt − (sin t)y = 1, (− π 2 < t < π 2) (b) (5점) y00− y0+1 4 = 0, y(0) = 2, y 0 (0) = 1 3 (c) (5점) (t + 5)2y00+ (t + 5)y0+ y = 0 (t > −5) (d) (10점) x0 = y − 2z, x(0) = 3 y0 = 2z − x, y(0) = −2 z0 = x − y, z(0) = −1 문제 2 [20점] 초깃값문제 y0= f (t, y) = 1 + (t − y)2, y(2) = 1 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 구간의 크기가 1인 오일러방법을 이용하여 y(4)의 오 일러 근삿값 L을 구하시오. (b) (10점) u = t − y 로 치환하여, 주어진 초깃값 문제의 해를 구 하고, (a)에서 구한 근삿값 L에 대하여 t = 4에서 절댓값오차 |y(4) − L|을 구하시오. 문제 3 [20점]아이스 아메리카노에 각설탕을 녹일때, 시각 t에서 커 피에 녹아든 각설탕의 양 y(t)g 은 미분방정식 y0= 0.6y − 0.002y2 을 만족한다고 할 때 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 주어진 미분방정식의 대표적인 방향장을 1사분면에 도 시하시오. (b) (5점) 설탕을 충분히 넣을 때 녹을 수 있는 설탕의 양은 최대 몇 g인지 구하시오. (c) (10점) 단 것을 좋아하는 달곤이는 학생회관 커피숍에서 산 아이스 아메리카노에 각설탕 두 개를 넣어 젓고 있다. 점원 이 달곤이의 취향을 알고 미리 커피에 각설탕 한 개를 녹여서 달곤에게 주었다면 달곤이가 넣은 각설탕이 다 녹을 때까지 걸리는 시간을 구하시오. (단, 각설탕 한 개는 5g 이다.) 문제 4 [15점] 온도가 30◦ C인 금속봉을 온도가 100◦C인 끓는 물에 넣었다. 1분의 가열 후에 금속봉의 온도가 51◦ C가 되었다면 금속봉 을 99.9◦ C로 가열하는데 걸리는 시간을 구하여 분수꼴로 표현하시 오. (단, log 700 ≈ 6.55, log 0.7 ≈ −0.35) 문제 5 [15점] 다음과 같이 초깃값이 주어진 사계 선형동차 방정식 의 해가 유일하게 존재하는 것을 알고 있을 때, 그 해를 구하시오. ( y(4)+ y(3)− 7y00 − y0+ 6y = 0, y(0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = −2, y(3)(0) = −1 h 연습용 여백 i 1
생명과학을 위한 수학 1 기말고사 문제 6 [25점] 50L 들이 용기에 200g의 화학약품이 녹아있는 용액 20L가 담겨져 있을 때, 다음 물음에 답하시오. (a) (15점) 이 용기에 L당 100g의 화학약품이 녹아 있는 용액이 1분에 0.6L가 유입되고 잘 섞인 용액은 1분에 0.4L 가 유출된 다. 용기에 잔존하는 화학약품의 양이 2.2kg 이 되는 순간까지, t분에서 용기에 잔류하는 화학약품의 양을 구하시오. (b) (10점) 용기에 잔존하는 화학약품의 양이 2.2kg 이 되는 순 간 용액의 유입은 차단되고, 대신 순수한 물이 1분에 0.4L 씩 유입된다고 할 때, 유입이 차단된 시점부터 t분이 흐른 후 용 기에 잔류하는 화학약품의 양을 구하시오.(단, 용액의 유입은 차단되어도 잘 섞인 용액은 1분에 0.4L 가 유출된다.) 문제 7 [20점] 두 종 x, y 의 시간 t 에서 개체수를 각각 x(t), y(t) 라 하자. 다음은 두 종의 관계를 수학적으로 모형화한 식이다. x0 = 0.1x1 − x 50+0.5y y0 = 0.03y1 −20+0.4xy (a) (10점) 이 미분방정식계의 분기선과 평형해를 구하고, 분기선 으로 분할된 상태공간에서 대표적인 속도벡터를 그리시오. (b) (10점) 1사분면에 속한 평형점에 대하여 국소적 선형화를 이 용하여 평형점을 분류하고 안정성을 판단하시오. 문제 8 [15점] 울새와 그들의 유일한 먹잇감인 벌레가 한 생태계에 서 같이 서식하고 있다고 가정하자. 시간 t년의 울새의 개체수 x(t), 벌레의 개체수를 y(t)라 하자. 다음은 울새와 벌레 사이의 먹이사슬 관계를 수학적으로 모형화한 식이다. ( x0(t) = y(t) − 12 y0(t) = −x(t) + 10 초기에 6마리의 울새와 20마리의 벌레가 있었을 때, x(t)와 y(t)를 구하시오. 문제 9 [25점] y 는 다음 비선형미분방정식을 만족한다. y00+ 2y0− yy0− 2y2 = −2 (a) (10점) x = y0+ 2y 라고 할 때 주어진 미분방정식을 x, y의 일계미분방정식계 ( x0(t) = f (x, y), y0(t) = g(x, y) 꼴로 변환하시오. (b) (15점) 위 미분방정식계의 평형점을 모두 구하고, 각 평형점 에서 야코비 행렬을 이용하여 평형점의 종류와 안정성을 판 단하시오. 문제 10 [20점] 총 인구 N = 2000, 전이계수 α = 0.0001, 평균적으 로 회복하는 데에 걸리는 시간은 10일이며, 회복 후 면역이 생기지만 10 9일 후면 면역이 없어지는 SIRS 모형을 생각하자. 이 모형의 평 형점들의 종류를 판단하고 시간이 충분히 지나고 나면 이 전염병이 어떤 상황에 다다를지 예측하시오. h 연습용 여백 i 2
